ESERCITAZIONE 4

Per la quarta esercitazione si calcola la rigidezza di un impalcato costituito da sei telai di cemento armato basati sul modello teorico "shear-type". La distanza tra il centro delle rigidezze rispetto al centro di massa determina la sua capacità di rispondere alle sollecitazioni orizzontali. L'impalcato, considerato di un piano solo, è il seguente:

I pilastri sono di sezione rettangolare 30x65 cm, alcuni disposti lungo x, altri lungo y, uno, invece, è a basa quadrata di 30x30 cm.

Il primo step della tabella excell richiede i valori della geometria e i materiali dei telai: l'altezza h=3,50m, il modulo plastico E (da materiale, 21000 N/mmq) e i momenti d'inerzia I (per la sezione rettangolare (b*h³)/12)
La tabella, quindi, calcola la rigidezza traslante di ogni telaio , che si ottiene dalla formula: 

Dove la rigidezza del singolo pilastro è dato dal modello  "shear-type"e vale 12*E*I/h³.

Si può assumere che ogni telaio è in grado di resistere a sforzi orizzontali al suo sviluppo (possiamo quindi rappresentare ogni telaio con una molla che ostacola gli spostamenti):

Si passa ora a calcolare le coordinate X e Y del centro d'area G, riducendo la forma in pianta in schemi semplici composti da rettangoli i quali centri G1 e G2, inseriti nella formula per il centro di un sistema di vettori paralleli, restituiscono il centro d'area di tutto l'impalcato.

Un telaio ben progettato richiede una distanza tra i due centri non troppo elevata,per limitare la rotazione rigida dell'impalcato e i conseguenti momenti torcenti sui pilastri, sottoponendo la struttura a sola traslazione pura. La distanza dell'impalcato considerato è tuttavia accettabile, anche se tende comunque a ruotare. Con il foglio excell calcoliamo, quindi, la rigidezza torsionale, mediante l'utilizzo della seguente formula che tiene in considerazione la distanza dei controventi dal centro delle rigidezze.

La rigidezza torsionale totale vale 15036062,80 KNm.

Con lo step 5 si calcola l'entità del carico sismico dell'impalcato, per il quale è necessario conoscere i carichi strutturali qs, i carichi permanenti non strutturali qp ed i carichi accidentali qa.
Per un normale solaio in latero-cemento, ad uso residenziale:
qs=1,86 KN/mq, qp=1,91 KN/mq, qa=2 KN/mq.

I carichi moltiplicati per l'area totale dell'impalcato forniscono G = 626,4 KN e Q = 216 KN, a loro volta vengono sommati (ma Q prima è moltiplicato per il coefficiente di contemporaneità 0,3 tabellato per uso residenziale) per avere il valore del peso sismico W = 691,2 KN. 
infine è necessario "accellerare" la massa dell'edificio per il coefficiente d'intensità sismica c, che dipende dall'area geografica e dalla sua sismicità (in questo caso vale 0,1) fino ad ottenere lo sforzo sismico orizzontale F= 69,12 KN.

Gli step 6 e 7 calcolano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali e della rotazione dell'impalcato applicando la forza F sul centro di massa G, rispettivamente lungo l'asse X e lungo l'asse Y, con le formule qui riportate:

Il momento torcente M che appare nella tabella 6 ha come forza la forza sismica F e come braccio la distanza tra centro di massa e centro delle rigidezze, e vale quindi 52,89 KNm ed è antiorario nel caso di una forza fisica orizzontale, invece -85,51 ed è orario nel caso di una forza fisica verticale.

Nelle due tabelle finali si può calcolare la forza sismica agente sui singoli controventi orizzontali e verticali.
Nel caso di forze lungo X con le seguenti formule:

Lo stesso principio si applica con la forza lungo Y: