blog di luca.querzola

Per la quarta esercitazione si calcola la rigidezza di un impalcato costituito da sei telai di cemento armato basati sul modello teorico "shear-type". La distanza tra il centro delle rigidezze rispetto al centro di massa determina la sua capacità di rispondere alle sollecitazioni orizzontali. L'impalcato, considerato di un piano solo, è il seguente:

I pilastri sono di sezione rettangolare 30x65 cm, alcuni disposti lungo x, altri lungo y, uno, invece, è a basa quadrata di 30x30 cm.

Il primo step della tabella excell richiede i valori della geometria e i materiali dei telai: l'altezza h=3,50m, il modulo plastico E (da materiale, 21000 N/mmq) e i momenti d'inerzia I (per la sezione rettangolare (b*h³)/12)
La tabella, quindi, calcola la rigidezza traslante di ogni telaio , che si ottiene dalla formula: 

Dove la rigidezza del singolo pilastro è dato dal modello  "shear-type"e vale 12*E*I/h³.

Si può assumere che ogni telaio è in grado di resistere a sforzi orizzontali al suo sviluppo (possiamo quindi rappresentare ogni telaio con una molla che ostacola gli spostamenti):

Si passa ora a calcolare le coordinate X e Y del centro d'area G, riducendo la forma in pianta in schemi semplici composti da rettangoli i quali centri G1 e G2, inseriti nella formula per il centro di un sistema di vettori paralleli, restituiscono il centro d'area di tutto l'impalcato.

Un telaio ben progettato richiede una distanza tra i due centri non troppo elevata,per limitare la rotazione rigida dell'impalcato e i conseguenti momenti torcenti sui pilastri, sottoponendo la struttura a sola traslazione pura. La distanza dell'impalcato considerato è tuttavia accettabile, anche se tende comunque a ruotare. Con il foglio excell calcoliamo, quindi, la rigidezza torsionale, mediante l'utilizzo della seguente formula che tiene in considerazione la distanza dei controventi dal centro delle rigidezze.

La rigidezza torsionale totale vale 15036062,80 KNm.

Con lo step 5 si calcola l'entità del carico sismico dell'impalcato, per il quale è necessario conoscere i carichi strutturali qs, i carichi permanenti non strutturali qp ed i carichi accidentali qa.
Per un normale solaio in latero-cemento, ad uso residenziale:
qs=1,86 KN/mq, qp=1,91 KN/mq, qa=2 KN/mq.

I carichi moltiplicati per l'area totale dell'impalcato forniscono G = 626,4 KN e Q = 216 KN, a loro volta vengono sommati (ma Q prima è moltiplicato per il coefficiente di contemporaneità 0,3 tabellato per uso residenziale) per avere il valore del peso sismico W = 691,2 KN. 
infine è necessario "accellerare" la massa dell'edificio per il coefficiente d'intensità sismica c, che dipende dall'area geografica e dalla sua sismicità (in questo caso vale 0,1) fino ad ottenere lo sforzo sismico orizzontale F= 69,12 KN.

Gli step 6 e 7 calcolano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali e della rotazione dell'impalcato applicando la forza F sul centro di massa G, rispettivamente lungo l'asse X e lungo l'asse Y, con le formule qui riportate:

Il momento torcente M che appare nella tabella 6 ha come forza la forza sismica F e come braccio la distanza tra centro di massa e centro delle rigidezze, e vale quindi 52,89 KNm ed è antiorario nel caso di una forza fisica orizzontale, invece -85,51 ed è orario nel caso di una forza fisica verticale.

Nelle due tabelle finali si può calcolare la forza sismica agente sui singoli controventi orizzontali e verticali.
Nel caso di forze lungo X con le seguenti formule:

Lo stesso principio si applica con la forza lungo Y:

Per la terza esercitazione ci è stato richiesto di dimensionare una trave, non più appoggiata-appoggiata, bensì a mensola.
I solai sono gli stessi dell'esercitazione precedente e i materiali utilizzati saranno legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A.
Lo scopo è quello di effettuare su queste tre mensole la verifica a deformabilità, controllando l’abbassamento minimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce. 

Per la terza esercitazione ci è stato richiesto di dimensionare una trave, non più appoggiata-appoggiata, bensì a mensola.
I solai sono gli stessi dell'esercitazione precedente e i materiali utilizzati saranno legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A.
Ila verificherà sarà effettuata allo Stato Limite d’Esercizio (SLE), differentemente da quanto avvenuto invece per il dimensionamento delle travi nella precedente esercitazione, che ha avuto luogo allo Stato Limite Ultimo (SLU). Ipotizziamo in tutti e tre i casi di trovarci dinnanzi ad una mensola di lunghezza l e caricata con un carico uniformemente distribuito pari a qu. Il momento massimo nella sezione di incastro vale:

Mmax=(qu*l²)/2

Lo spostamento massimo verticale, invece, vale:
vmax= - (qe*l⁴)/8*E*Ix

Verificando che il rapporto tra la luce della trave ed il suo spostamento massimo sia maggiore di 250 possiamo stabilire che la trave non si deformerà più di quanto non sia consentito dalla normativa.

1) TRAVE IN LEGNO

2) TRAVE DI ACCIAIO

3) TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Nel caso del cemento armato è necessario verificare che il peso stesso della trave, aggiunto al carico del solaio, non vada a sovraccaricare eccessivamente la struttura a mensola.

Per la seconda esercitazione andremo a dimensionare la trave maggiormente sollecitata di un impalcato strutturale ad uso residenziale. Calcoliamo quanto pesa un metro quadro del nostro solaio (espresso come densità di carico superficiale in kN/m²). Studieremo il caso di un salaio di legno, uno di laterocemento e uno di acciaio con lamiera grecata.
Divideremo il carico totale in qs (kN/m²) (carico dovuto al peso della struttura), il carico permanente qp (kN/m²) (carico di tutto ciò che grava sulla struttura), e il carico accidentale qa (kN/m²) (in questo caso 2,0 kN/m² cioè il carico accidentale previsto da normativa per gli edifici residenziali). 
Per calcolare il peso al metro quadro del solaio sommiamo tutti i pesi di tutti gli elementi tecnologici presenti. Il loro peso specifico (kN/m³) si moltiplica per la quantità di volume del materiale presente in un metro quadro (m³/m²). Dal calcolo si ottengono i pesi espressi in kN/m² che sommati individueranno i nostri qp e qs.
La normativa impone l'utilizzo di coefficienti moltiplicativi dei singoli carichi, che forniscono il carico totale come una combinazione di carico, espressa dalla formula seguente: qtot [KN/m²] = 1,3*qs + 1,5*qp + 1,5*qa  per lo stato limite ultimo con cui vanno calcolati. Da questo carico dobbiamo ricavare il carico agente sulla trave (qu) derivante dalla moltiplicazione di qtot per l'interasse della trave. A questo punto bisogna determinare il momento massimo agente sulla trave Mmax = qul²/8 (considerando il modello di trave appoggiata appoggiata).
L'impalcato che andremo ad analizzare è il seguente, la trave analizzata è evidenziata in rosso e la sua area di influenza è di 15mq.

1)    TRAVE IN LEGNO

Nel dimensionamento di una sezione di una trave in legno il progettista deve scegliere il tipo di legno da utilizzare e quindi inserire nella colonna corrispondente la resistenza caratteristica a flessione fm,k del legno prescelto a seconda della tecnologia (legno massiccio o legno lamellare) e ad una classe di resistenza. 

Consideriamo il GL 24c ed inseriamo nella tabella Excel la resistenza caratteristica a flessione fm,k.

La tensione di resistenza fd sarà a sua volta pari a fd = (kmod*fm,k)/γm

Kmod è un coefficiente diminutivo che considera l’effetto della durata del carico e le condizioni di umidità.

Ipotizzando un carico permanente, una classe di servizio 2 e un legno lamellare, avremo un valore kmod pari a 0,6 (come da normativa).

Il coefficiente γm è invece un coefficiente parziale di sicurezza del materiale e vale 1,45

Ora, con il foglio excell fornitoci, andiamo a calcolare la sezione della trave di legno. Inseriamo le informazioni sulla geometria dell'impalcato, le caratteristiche del materiale e le tensioni di progetto, calcoliamo il momento massimo e con la tensione di resistenza e una base di partenza di 40cm andiamo a calcolare l'altezza minima. 

hmin= (Mmax/b)^0.5 * (6/fd)^0.5 = 36,08 cm.

Ingegnerizzando l'altezza minima scegliamo un profilo quadrato di 40x40cm.

2) TRAVE IN ACCIAIO

Per dimensionare la sezione in acciaio procediamo individuando il modulo di resistenza a flessione minimo da utilizzare affinché la tensione del materiale non superi la tensione di progetto. 

fyd è la tensione di progetto e si calcola a partire dalla tensione caratteristica di snervamento divisa per un coefficiente di sicurezza γs pari a 1,05.

Fyd = Fyk/γs

Se consideriamo l'acciaio Fe 430/S275, con una tensione di snervamento caratteristica di 275 MPa, otteniamo un Wx,min di 338,12 cm³.
 
Wx,min = Mmax/fyd

Wx,min è il valore minimo della sezione che posso scegliere per il dimensionamento. Con un Profilario di IPE in acciaio scegliamo una sezione con un Wx più grande.
La IPE270 con Wx = 429 cm³.

3) TRAVE IN CEMENTO ARMATO

In questo caso teniamo conto delle due diverse tensioni di progetto: del cls (fcd) e dell’acciaio (fyd).

Scelta una base, determinato il Momento massimo e δ (5cm) possiamo proseguire con la scelta della sezione da utilizzare.

Iniziamo scegliendo il tipo di acciaio ed il tipo di calcestruzzo, individuando prima fyk ed fck (le resistenze caratteristiche), poi li riduciamo ottenendo fcd e fyd (le tensioni di progetto del calcestruzzo e dell’acciaio)

fyd = fyk/γs             fcd = αcc(fck/γc)

γs  è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio (pari a 1,15), αcc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata (0,85) e γc il coefficiente parziale di sicurezza relativo al cls, pari a 1,5.

Scegliamo un acciaio B450A (con fyk = 450 MPa) ed un calcestruzzo ordinario C 25/30 (fck = 30 MPa).

Scegliendo la base della sezione di 30cm e noti i valori delle tensioni di progetto, determiniamo hu (l’altezza utile della sezione, pari all’altezza totale meno δ), da cui poi otterremo appunto una Hmin (altezza minima della sezione).

Hmin = hu + δ

hu = r(Mmax/b)^0.5    con r = (2/[fcd*(1-β/3)*β])^0.5      e     β= fcd/(fcd+fyd/n)

L’altezza minima andrà poi ingegnerizzata in eccesso. Nel nostro caso quindi, ottenendo una hu = 33,42 cm avremo una Hmin= 38,42cm, che ingegnerizziamo prendendo un’altezza H = 40cm.

A questo punto è necessario aggiungere al carico totale qu il peso stesso della trave (calcolato con il peso specifico del cls armato che è pari a 3 kN/m). Se l’altezza minima risultante sarà ancora minore dell’altezza ingegnerizzata la sezione risulterà verificata anche una volta aggiunto il peso proprio della trave.
Da qui la necessità di aumentare l'altezza della sezione H=45cm.

1. Apro SAP2000 e creo un nuovo file. Imposto ‘Grid Only’. Mi assicuro anche che l’unità di misura sia corretta (KN, m, C).

2. Imposto 2 assi in direzione x,y,z di dimensione 2m per creare la maglia geometrica del mio primo modulo di travatura.

3. Costruisco il modulo base di forma cubica con controventi diagonali.

4. Moltiplico il modulo per ottenere una travatura più complessa. Per farlo uso Ctrl-c Ctrl-v e traslo il modulo tenendo presente di non copiare due volte le aste creando una sovrapposizione delle stesse che invalida i calcoli di SAP2000.

5. Selezionando i punti dove voglio che la struttura sia vincolata apro dal menù a tendina Assign>Joint>Restraints

6. Seleziono la cerniera.

7. Con tutte le aste selezionate procedo nell’assegnare una sezione di studio comune a tutte. Per farlo dal menù in alto Define>Section Properties>Frame Section.

8. Creo una nuova sezione cliccando su 'Add New Property'.

9. Assegno una sezione standard circolare cava.

10. Selezionando tutta la struttura andiamo ad applicare le cerniere interne in tutti i nodi necessarie nelle strutture reticolari. Dal menù in alto Assign>Frame>Releases/Partial Fixity.

11. Clicchiamo sulle caselle per aggiungere il segno di spunta che impone momento 2-2 e 3-3 uguale a 0 per i punti di inizio e fine asta.

12. Applichiamo ora il carico che grava sulla struttura. Dovranno essere cariche puntuali applicate sui nodi affinche la reticolare funzioni. Considerando che i nodi più esterni portano solo la metà del carico perche meno aste vi confluiscono selezioniamo prima tutti i nodi centrali poi Assign>Joint Loads>Forces.

13. Nel nuovo menù cliccando sul '+' si crea un nuovo 'Pattern' 

14. Negli appositi spazi si inserisce il nome del nuovo 'Pattern', per esempio 'q' e si imposta '0' al 'Self Weight Multiplier'. Per aggiungerlo click su 'Add New Load Pattern'.

15. Nel menù a tendina selezioniamo 'q' e impostiamo lungo l'asse z una forza puntuale verso il basso inserendo un valore di -100 per i nodi al centro della struttura e -50 per quelli del perimetro.

16. Avviamo ora l'analisi matematica di SAP2000 cliccando sulla nona icona del menù in alto che presenta un triangolino nero. Nel menù che si apre impostiamo 'Run' solo al 'Case' 'q'. Una volta fatto diamo il comando 'Run Now'.

17. Il Software ci restituisce l'immagine della struttura deformata e degli sforzi delle aste che in questo caso ci aspettiamo siano prive di taglio e di momento. Verifichiamo che sia così e otteniamo infatti solo sforzo normale.

18. A questo punto possiamo ottenere il valore di questi sforzi asta per asta. Per farlo Display>Show Tables. 

19. Spuntiamo le caselle che ci interessano, in questo caso solo 'Analysis Results' e clicchiamo su ok.

20. Nel nuovo menù selezioniamo 'Element Forces - Frame' per visualizzare la lista completa di tutte le aste. La colonna 'P' espressa in KN vede in positivo gli sforzi di trazione e in negativo quelli di compressione.

21. Con File>Export Current Table>To Excell esportiamo i valori in un foglio excell.

22. La colonna 'station' rappresenta il punto dell'asta. Sapendo che lo sforzo assiale è costante in tutta la lunghezza posso ordinare l'elenco esportato da SAP2000 rispetto alla colonna 'station'. Eliminiamo tutti i valori maggiori di zero affinche non sia presente alcun doppione delle aste. Ordiniamo ora in ordine crescente la colonna 'P'. Esportiamo in un altro file Excell tutti quei valori positivi per dimensionarli a trazione.
Per dimensionare a trazione si deve considerare che il materiale potrebbe rompersi. Necessariamente dobbiamo considerare che la tensione massima non superi mai la resistenza del materiale.
Per fare ciò nel mio foglio Excell creo una colonna per il valore della normale, una per fyk ( 235 Mpa), per il coefficente di sicurezza γm (1.05). Di seguito creo due colonne di dati input una con la tensione di progetto fyd e una con Amin (uguale al rapporto tra il valore dello sforzo Normale e la tensione di progetto fyd). 
Con un profilario di travi a sezione circolare andiamo a identificare quelle con un area più grande di quella ottenuta. Quasi tutte le aste presentano la stessa sezione eccetto le due maggiormente caricate. Per le aste totalmente scariche si decide per adottare la stessa sezione di quelle con la sezione più piccola disponibile sul catalogo.

23. Per dimensionare a compressione non basta assicurarsi che sia sufficente la resistenza dell'asta ma dobbiamo evitare anche il fenomeno del carico euleriano imponendo che N<NE. Oltre all'area minima dobbiamo verificare anche il momento di inerzia.
Apriamo un nuovo file Excell e accanto ai valori della normale precedentemente ottenuti impostiamo fyk, γm per ottenere fyd e Amin. Non basta Amin e dalla formula del carico critico euleriano NE = (π2*E*Imin)/(lo2) impostiamo tutte le colonne che individuano questi valori:
E è il modulo di elasticità dell'acciaio e vale 210.000 Mpa, e lo che a sua volta dipende dalla lunghezza dell'asta (2 m) moltiplicato per β  (coefficiente che dipende dai vincoli, nel caso di cerniera-cerniera vale 1). 
Nella colonna Lamm* introduciamo il concetto di snellezza che dipende da l0 e ρmin. Considerando che Imin è il prodotto tra l'area e ρmin2 posso riscrivere NE.
Otteniamo quindi Amin e Imin che ci consentiranno di selezionare i profili anche delle aste compresse. In seguito verifichiamo che Lamm <200.

24. Otteniamo quindi 2 tipi di profili per le aste tese che sono anche uguali a due dei 7 tipi delle aste compresse.