ESERCITAZIONE_1 Dimensionamento travi e pilastri (Cls, Acciao e Legno)

 

 

Nella figura sottostante è mostrata una struttura a telaio (struttura composta da un sistema di elementi verticali, pilastri, ed elementi orizzontali, travi) e successivamente verrà dimensionata la trave più caricata con 3 materiali e tecniche costruttive diverse: Cemento Armato (CA), Acciaio e Legno.

 

Prendiamo in considerazione in 1 mq di solaio in laterocemento. 

- Pavimento in Greso Porcellanto

dimensioni: (1m x 1m x 0,02m)

Q/mq = 0,4 kN/mq

- Massetto in Calcestruzzo alleggerito

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)   densità = 18 Kn/mc

Q/mq = 0,72 kN/mq

- Isolante in pannelli di Fibra di Legno 140 SD

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)    densità = 1,4 kN/mc

Q/mq = 0,056 kN/mq

- Soletta in cemento armato

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)   densità = 25 kN/mc

Q/mq = 1 kN/mq

- Pignatte in laterizio

dimensioni: (40cm x 16cm x 2)     densità = 5,5 kN/mc

Q/mq = 0,7 kN/mq

- Travetti in cemento Armato

dimensioni: (10cm x 16cm x 1m)   densità = 25 kN/mc (x2 travetti)

Q/mq = 0,8 kN/mq

- Intonaco

dimensioni: (1m x 1m x 0,015m)

Q/mq = 0,3 kN/mq

 

sono stati utilizzati un calcestruzzo C 60/75 con una resistenza caratteristica fck =60 MPa ( Mpa = Mega Pascal)

e barre d'acciaio FeB 450C con una resistenza caratteristica di 450 MPa

che risultano avere resistenze di progetto di fcd = 19,83 Mpa e fyd = 391,30 MPa

 

Qs = Q travetti + Q soletta + Q  pignattE

Qs = 0,8 kN/mq + 1 kN/mq + 0,7 kN/mq  = 2,44 kN/mq

 

Qp = Q intonaco + Q isolante + Q massetto + Q pavimento + Q muri interni + Q impianti

Qp = 0,3 kN/mq +0,056 kN/mq +0,72 kN/mq +0,4 kN/mq +1 Kn/mq* +0,5 kN/mq* = 3,076 KN/mq = 2,98 kN/mq

Qa = 3 kN/mq    

 il carico ultimo risulta quindi essere:

Qu = (2,44 kN/mq * 1,3   +   2,98 kN/mq * 1,5   +   3 kN/mq * 1,5) x 6 (interasse)  =  73,32 kn/mq

 

 Per il dimensionamento della trave è stato utilizzato un foglio elettronico che considera:

- la struttura come una isostatica appoggiata - appoggiata

- Sollecitazione massima a Momento Flessionale in mezzeria della trave pari a q l^2/8

- resistenze caratteristiche e di progetto di calcestruzzo e acciaio

- la dimensione fissa della base della trave principale (b)

 

. Il Calcestruzzo e l’acciaio hanno un comportamento meccanico diverso, ma la deformazione di un punto della trave deve essere la stessa per via della Omogeneizzazione

ε(P)cls = ε(P)s

σ(P)cls x Ecls = σ(P)s x Es

dato che i Moduli elastici di acciaio e Cls sono diversi, viene introdotto un coefficiente di omogeneizzazione che è definito come il rapporto dei moduli elastici dei due materiali.

σ(P)cls = n σ(P)s

n viene considerato uguale a 15.

 Per via dell’omogeneizzazione le tensioni di cls

Yn : hu = fcd : fyd

Dove:

Yn è l’asse neutro

hu è l’altezza utile. È il punto della sezione in cui si trovano le armature di acciaio.

Per l’omogeneizzazione fyd = come (fcd + fyd/n)

Yn : hu = fcd : (fcd + fyd/n)

Yn = hu x fcd/((fcd + fyd/n))

Consideriamo β come Il rapporto tra le resistenze cosi che la posizione dell’asse neutro risulti

Yn = β X hu

Quando una trave è soggetta a un carico perpendicolare al suo asse, si generano delle sollecitazioni di Momento. A causa del Momento si generano delle tensioni in ogni punto della sezione della trave. Una parte della sezione si comprime mentre una parte si tende.

Facendo l’equilibrio del momento possono presentarsi due possibiltà:

M = T x B                                            M = C x B

Dalla risultante di Compressione è possibile determinare l’area di calcestruzzo, mentre dalla risultante di Trazione è possibile determinare l’area minima di Acciaio.

Il foglio di calcolo utilizzato di sotto dimensiona l’area di calcestruzzo.

 

Dando un valore fisso alla base della sezione e considerando la hu come incognita possiamo trovare l’altezza minima dalla trave  H = hu + δ                              dove δ è il copriferro

Risulta una trave con altezza utile alte 43,79 cm e considerando un copriferro di 5 cm si ha un totale di 48,79 cm.

La sezione viene ingegnerizzata, e scelgo una trave con un altezza di 55 cm. Se guardiamo la seconda riga di calcolo,dove vengono rieseguiti i calcoli considerando nel carico ultimo l'aggiunta del peso della trave, l'aggiunta al carico strutturale di peso della trave, la sezione ingegnerizzata deve essere superiore di 50,37 cm.

 

Prendiamo in considerazione in 1 mq di solaio in PLATFORM FRAME che moltiplicato per la luce e l'interasse della trave Principale ci darà il carico dell'Area di influenza.

La figura mostra una sezione perpendicolare all'orditura dei travetti di OSB

 

dimensioni: (1m x 1m x 0,02m)   densità = 7,2 Kn/mc

Q/mq = 0,144 kN/mq

- Massetto in Calcestruzzo alleggerito

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)    densità = 18 Kn/mc

Q/mq = 0,72 kN/mq

dimensioni: (1m x 1m x 0,06m)   densità = 0,25 kN/mc

/mq = 0,015 kN/mq

- Boarding panels OSB

dimensioni: (1m x 1m x 0,025m)   densità = 8 kN/mc

Q/mq = 0,2 kN/mq

- Travetti 

dimensioni: (0,12m x 0,05m x 1m) x 1,61   densità = 3,80 kN/mc

Q/mq = 0,037 kN/mq

 

Qs = Q travetti + Q boarding panels

Qs = 0,037 kN/mq   +   0,2 kN/mq   = 0,237 kN/mq

 

Qp =  0,015 kN/mq  +  0,72 kN/mq  + 0,144 kN/mq  +  1 Kn/mq   +  0,5 kN/mq

 

Qa = 3 kN/mq    

il carico ultimo risulta quindi essere:

il legno OSB ha una resistenza di 24 MPa

Il dimensionamento della sezione della trave avviene con lo stesso procedimento utilizzato per la sezione di acciaio.

Partendo dalla Formula di Navier

σ(y) = Mmax

            Wx        

Considerando che il Modulo di resistenza geometrica della trave W per una sezione rettangolare risulta essere 

E fissando il valore della base della sezione b, risulta che l’altezza minima della sezione è

 

Il risultato ottenuto mostra che l'altezza minima devo essere di 59,52 cm, che ingegnerizzato danno un'altezza della trave di 60 cm.

 

Prendiamo in considerazione in 1 mq di solaio con lamiera grecata che moltiplicato per la luce e l'interasse della trave Principale ci darà il carico dell'Area di influenza.

 

 

- Pavimento in Greso Porcellanto

dimensioni: (1m x 1m x 0,02m)

Q/mq = 0,4 kN/mq

- Massetto in Calcestruzzo alleggerito

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)    densità = 18 Kn/mc

Q/mq = 0,72 kN/mq

- Isolante in pannelli di Fibra di Legno 140 SD

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)    densità = 1,4 kN/mc

Q/mq = 0,056 kN/mq

- Getto di completamento in il cemento armato

dimensioni: (1m x 1m x 0,04m)   densità = 25 kN/mc

Q/mq = 1 kN/mq

- Lamiera Grecata Zincata

dimensioni: (10cm x 16cm x 1m)

Q/mq = 0,157 kN/mq

- IPE 100

dimensioni: (0,00103m^2 x 1m)   densità = 78,5 kN/mc

Q/mq = 0,081 kN/mq

- Intonaco in cartongesso

dimensioni: (1m x 1m x 0,02m)

Q/mq = 0,078 kN/mq

Si progetta la trave Principale con un acciaio S275 con una resistenza carattestica fyk di 275 MPa con un coefficiente 

γm0 = 1,05. La resistenza di progetto fyd = 261,90 MPa.

 

Qs = 1 kN/mq   +   0,157 kN/mq    +   0,081 kN/mq  = 1,238 kN

 

Qp = 0,078 kN/mq + 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,4 kN/mq  + 1 Kn/mq* + *0,5 kN/mq = 2,75 KN/mq

 

Qa = 3 kN/mq   

il carico ultimo risulta quindi essere:

Qu = (1,24 kN/mq * 1,3   +   2,75 kN/mq * 1,5   +   3 kN/mq * 1,5) x interasse   =  61,44 kn/mq

 

σ(y) = Mmax  y

              Ix        

Per il dimensionamento della trave d'acciaio, si considera al posto di σ(y) la resistenza di progetto, per determinare sezione minima della trave. dove Mmax è il valore del Momento massimo, Ix è il momento di Inerzia della sezione e y è la distanza dall'asse neutro della sezione.

Per stabilire la Geometria della trave è importante ricordare che Wx = Ix/y dove Wx è un modulo di resistenza geometrico della trave

 

Il risultato del calcolo mostra come il Wx minimo della trave debba essere 1436,91 cm^3 dunque la sezione minima della trave risulta essere un IPE 450 con un Wx di 1500 cm^3.

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DIMENSIONAMENTO PILASTRO

Con l’ausilio di un foglio Excel vado ora a dimensionarmi la sezione del pilastro ed a ingenierizzarla  conoscendo ora come trovare l’area minima e il momento di inerzia che mi servivano per dimensionare questo elemento strutturale soggetto a compressione nelle tre diverse tecnologie.

Sulla pianta di carpenteria, individuo il pilastro più sollecitato che sarà quello centrale e inquadro la sua area di influenza. Considero quindi la pianta di carpenteria del piano terra, poiché è quello più compressa dovendo supportare i carichi dei piani superiori, di un edificio tipo di 3 piani.

Per dimensionare la sezione del pilastro in cemento armato procedo come farò per il legno dal momento che entrambe hanno sezione piena rettangolare dunque posso trovare la base minima della sezione tramite il raggio di inerzia e secondo perché li tratto come materiali omogenei essendo molto reagenti a compressione. Unica differenza, nel C.A. ci sarà un passaggio in più che tiene conto del fatto che il pilastro in cemento armato è soggetto a presso-flessione e non a solo sforzo di compressione.

 

In cui L1 e L2  sono le due luci della pianta

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dal passaggio precedente e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro 

Trave principale = (0.30 x 0.55)m2 x 25 KN/m3 =4.125 KN/m

Trave secondaria= (0.30 x 0.55)m2 x 25 KN/m3=4.125 KN/m

Qtravi=(4.125x7) + (4.125x6) = 53.625 KN

Qpiano: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza più l’aggiunta del contributo del peso delle travi

Nmax= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi Qtravi più il carico del solaio Qsolaio per il numero di piani.

 

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima.

fck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto in questo caso 60 N/mm2. αcc è un coefficiente riduttivo pari a 0.85 e γc è il coefficiente di sicurezza per il cls pari a 1.5 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione :                                                      Fcd= αcc(fck/ γc) = 0.85(50/1.5)=  34 MPa

 

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite sempre un incastro.

Con le formule che abbiamo dimostrato in classe il foglio di Excel mi calcola:                                                                 λ max = ∏ √E/fcd                 ρmin= l0 /λ max           

bmin= ρmin 2√3=14.18cm      ingenierizzo a b=50cm

hmin=b/Amin =16.56 cm          ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

Adesign= bxh = 2500 cm2          Idesign= hxb3/12 =520833cm4

La sezione del pilastro più sollecitato è di 50cmx50cm ed è VERIFICATA avendo Adesign>Amin ed essendo h≥b

 

Il pilastro essendo collegato alla trave con un incastro, in quel nodo trasmette un momento il quale potrebbe sottoporre il pilastro alla presso-flessione.

Per far si chè il pilastro non sia soggetto a presso flessione la tensione massima deve essere minore uguale alla tensione di progetto σmax ≤ fcd

- calcolo l’inerzia massima Imax= hxb3/12 =520833cm4

- calcolo il modulo di resistenza a flessione per le sezioni rettangolari

- calcolo il carico distribuito sulla trave  qt= qsolaio x Ls =73,32 KN/m

- calcolo il momento in testa al pilastro che è collegato alla trave

- infine trovo la tensione massima la quale deve essere minore di quella di progetto:

 

Nuovamente L1 e L2  sono le due luci della pianta

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dall’esercizio precedente e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtravi che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

Trave principale = (0.35 x 0.60)m2 x 3,8 KN/m3 =0.798 KN/m

Trave secondaria= (0.35 x 0.60)m2 x 3,8 KN/m3=0.798 KN/m

Qtravi=(0.798x7) + (0.79x6) = 10,374 KN

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima.

Ho scelto un legno lamellare GL28h il mio coefficiente parziale di sicurezza γm=1.45.                      

Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel mio caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media =0.80. Fc0,k è la resistenza a flessione caratteristica del legno = 28 Mpa

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:          

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

E= modulo di elasticità 8800Mpa

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite una cerniera/carrello

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                                                      λ max = ∏ √E/fcd                 ρmin= l0 /λ max            

bmin= ρmin 2√3=16.18cm         ingenierizzo a b=30cm

hmin=b/Amin =23.46 cm            ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

Adesign= bxh = 1500 cm2          Idesign= hxb3/12 =112500cm4

La sezione del pilastro più sollecitato è di 30cmx50cm ed è VERIFICATA avendo Adesign>Amin ed essendo h>b

 

ACCIAIO

Per dimensionare un pilastro in acciaio con una sezione HEA si procede inizialmente come per il legno e per il c.a. in questo caso però non ho necessità di ricavarmi la base ma una volta trovato il raggio di inerzia mi calcolo l’inerzia minima e  dopo di che posso andare sulle tabelle dei profilati e scegliere quello che ha l’inerzia maggiore di quella da me ottenuta.

L1 e L2  sono di nuovo le due luci della pianta

Area influenza= 42 cm2

 

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dall’esercizio precedente e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtravi che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

La trave che avevo dimensionato nella parte precedente è un IPE 450  che ha un peso specifico di 78,5 KN/m3

Q1piano: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza e poi aggiungo il peso delle travi = 440,04 KN

Nmax= la forza di compressione N è dovuto al carico Qsolaio per il numero di piani.                                                       Nmax= (440,04) x 3 = 1320,1 KN

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima.

fyK è valore caratteristico di snervamento per l’acciaio che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo un acciaio medio (classe Fe430/s275) di resistenza 275 Nmm2.

γm coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità pari a 1.05 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:             

Fyd= fyk/ γm = 275/1.05= 261.90 MPa

Trovo l’ Inerzia minima per poter cercare il mio profilato sulla tabella non prima di aver trovato dei valori importanti quali la snellezza e il raggio di inerzia.

E= modulo di elasticità 21000Mpa

β = 1 il pilastro è incernierato sia a terra che nel nodo trave pilastro.

l= altezza del pilastro 3.5m

λ max = ∏ √E/fcd                 ρmin= l0 /λ max            Imin= A x ρmin2=780 cm4

Una volta che ho l’inerzia minima vado sulle tabelle dei profilati HEA e scelgo il profilato che abbia un Inerzia maggiore dell’ inerzia minima.

  

Una volta scelto il profilato ho  l’area di design e il momento di inerzia di design.

Adesign= 53.8 cm2          Idesig=3692cm4       ρdesign=8.28 cm

Il profilato adatto per il pilastro è un HEA 200 VERIFICATO avendo Adesign>Amin