Esercitazione 1 dimensionamento trave/pilastri cls/acciao/trave

 

 

La destinazione d’uso del progetto proposto è di tipo residenziale: è composto da 4 piani con il medesimo schema strutturale. Per prima cosa analizziamo la pianta al fine di individuare la trave maggiormente sollecitata: La trave sottoposta ad un carico maggiore è la trave nel tratto BC.

 

CALCESTRUZZO ARMATO

DIMENSIONAMENTO TRAVE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in latero cemento. Verrà calcolato tutto per una porzione di solaio pari a 1m².

 

CALCOLO STRUTTURALE (qs)

Il carico strutturale dipende dal peso dei travetti, dalla caldana in cls con rete elettrosaldata e dalle pignatte.

 

1) TRAVETTI:    

DIMENSIONI                         12 cm x 20 cm

PESO SPECIFICO               2500 kg/m³ = 25 KN/m³

VOLUME                             2 x 0,12m x 0,2m x 1m = 0,048 m³

PESO AL m²                        0,048 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,2 KN/m²

 

2) CALDANA:    

SPESSORE                          5 cm

PESO SPECIFICO               2500 kg/m³ = 25 KN/m³

VOLUME                             0,052m x 1m x 1m = 0,05 m³

PESO AL m²                        0,05 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,25 KN/m²

 

3) PIGNATTE:    

DIMENSIONI                         20 cm x 38 cm x 25 cm

PESO                                  9,8 kg/cad.

PESO AL m²                        9,8 kg x 8 = 78,4 kg/m² = 0,784 KN/m²  (sono 8 pignatte al m²)

 

qs = 1,2 + 1,25 + 0,784 = 3,234 KN/m²

 

CALCOLO PERMANENTE (qp)

Il carico permanente dipende dal peso dell’isolante, dal massetto e dal pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m²) e impianti (0,5 KN/m²).

 

1) PAVIMENTO:          

SPESSORE                 1 cm

PESO SPECIFICO        720 kg/m³ = 7,2 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

 

2) MASSETTO:           

SPESSORE                 3 cm

PESO SPECIFICO        2000 kg/m³ = 20 KN/m³

VOLUME                      0,03m x 1m x 1m = 0,03 m³

PESO AL m²                 0,03 m³/m² x 20 KN/m³ = 0,6 KN/m²

 

3) LANA DI VETRO: 

SPESSORE                   4 cm

PESO SPECIFICO        20 kg/m³ = 0,2 KN/m³

VOLUME                      0,04m x 1m x 1m = 0,04 m³

PESO AL m²                 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m³ = 0,008 KN/m²

 

4) INTONACO:            

SPESSORE                 1 cm

PESO SPECIFICO        1800 kg/m³ = 18 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 18 KN/m³ = 0,18 KN/m²

 

qp = 0,072 + 0,6 + 0,008 + 0,18 + 1,5 = 2,36 KN/m²

 

CALCOLO ACCIDENTALE (qa)

Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.

 

qa = 2 KN/m²

 

Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m² ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m² di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m² per la misura dell’interasse:

 

                                                                      qu = (4,199 + 3,54 + 3) x 3,5 = 37,59 kN/m

 

Passiamo ora al calcolo del Momento Massimo Flettente della trave considerata.

Quest’ultima è una trave doppiamente appoggiata e quindi la formula del Momento risulta essere: ql²/8.

 

M_max = [37,59 kN/m x (7 m)²] / 8 = 230,22 kN/m

 

 

 

Per il cemento armato avrò due tensioni di progetto essendo un materiale non omogeneo, una per l’acciaio f_yd dove y sta per yield ossia snervamento,e una per il calcestruzzo f_cd.

La tensione di progetto per l’acciaio che deve resistere a trazione si calcola cosi:

 

F_yd = f_yk / γs

 

dove f_yk rappresenta la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio che da normativa equivale a 450 N/mm² per quanto riguarda i ferri impiegati nel cls armato ,mentre γs

rappresenta il coefficiente di sicurezza dell’acciaio pari a 1,15.

 

F_yd = 450 x 1,15 = 391,30 N/mm²

 

La tensione di progetto per il calcestruzzo è data dalla resistenza caratteristica del cls a resistere a compressione:

 

F_cd = αcc (f_ck/γC)

 

dove f_ck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto, e in questo caso è 50 N/mm²;  αcc è un coefficiente di riduzione pari a 0,85 e γC è il coefficiente di sicurezza per il calcestruzzo pari a 1,5.

 

F_cd = 0,85 x ( 50/1,5) = 28,33 N/mm²

 

la tabella excel tiene inoltre conto di un altro coefficiente essendo il calcestruzzo un materiale non omogeneo, il COEFFICIENTE DI OMOGENEIZZAZIONE: n=15

 

β = f_cd/ (f_cd + (f_yd/n) = 0,52

 

r = √2/f_cd(1-β/3) x β = 2,16

 

Ora per trovare H_min della sezione trave ho bisogno di:

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 30 cm

in questo modo mi ricavo h_u che è l’altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo e si trova al di sopra dell’armatura

h_u = r √Mmax/b = 25,34 cm

δ= 4 cm (parte sotto del cls maggiormente sollecitata

in questo modo arrivo a calcolarmi H_min 

 

H_min = h_u + δ = 29,34 cm

Ho trovato ora l’altezza minima che deve avere la mia sezione rettangolare di base 30 cm, dopodiché ingegnerizzo per sicurezza l’altezza a H = 50 cm

 

VERIFICA

Aggiungo adesso al totale del Q_u anche il peso unitario della trave:

(0,30 x 0,55 x 1) m³/m² x 25 kN/m² = 4,125 kN/m

 

lo moltiplico poi per il coefficiente di sicurezza 1,3: 4,125 x 1,3 = 5,36 kN/m²

e lo vado a sommare al mio Q_u : 5,36 + 37,59 = 42,95 kN/m²

 

la tabella excel mi ricalcola l’altezza: la sezione 30x50 cm è stata VERIFICATA.

 

 

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DIMENSIONAMENTO PILASTRO

 

Seguendo ora i valori sopra elencati, inserisco nella tabella excel i dati a mia disposizione:

La tensione di progetto per il calcestruzzo è data dalla resistenza caratteristica del cls a resistere a compressione:

 

_fcd = αcc (f_ck/γC)

 

dove f_yk rappresenta la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio che da normativa equivale a 450 N/mm² per quanto riguarda i ferri impiegati nel cls armato ,mentre γs

rappresenta il coefficiente di sicurezza dell’acciaio pari a 1,15.

 

_fcd = 0,85 x ( 50/1,5) = 28,33 N/mm²

Mi trovo ora l’area minima e la base minima:

 

A_min= N/f_cd = 368,6753 cm²

 

Prendo ora in considerazione i valori del modulo di elasticità E, il coefficiente β avente un valore legato alla tipologia di vincoli a cui è soggetto il pilastro e l’altezza I del pilastro per definirne la snellezza λ, il raggio di inerzia minimo ρ_min e la base minima che il pilastro dovrà avere:

 

λ = π x √E/f_cd = 85,52847

ρ_min = (β x I) / λ = 3,156844 cm

b_min  = ρ_min x √12 = 10,93563 cm

 

Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro = 30 x 50 cm

 

Non mi resta che calcolare:

A_design =b x h= 1500 cm²

I_design =(h x b³)/12= 112500 cm⁴

 

VERIFICA

Il pilastro in cls armato è sottoposto, oltre che a compressione, a presso-flessione, poiché il nodo trave-pilastro è realizzato da un incastro (il che trasmette momento); per evitare fenomeni di instabilità devo verificare che σ_max  sia minore o uguale a f_cd.

A questo punto σ_max = N/A + M_t /W_max ≤ f_cd ? Si, 7,98 ≤ 28,33

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia lo sforzo assiale:

ACCIAIO

DIMENSIONAMENTO TRAVE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in lamiera grecata. Verrà calcolato tutto per una porzione di solaio pari a 1m².

 

CALCOLO STRUTTURALE (qs)

Il carico strutturale dipende dal peso delle travi secondarie con lamiera grecata e dal getto in cls.

 

1) TRAVETTI (IPE 200 S235):             

AREA                           28,5 cm² = 0,00285 m²

PESO                           22,4 kg/m = 0,224 KN/m

PESO AL m²                 0,224 KN/m²

 

2) GETTO CLS:                                   

SEZIONE                     0,07 m²

PESO SPECIFICO        2500 kg/m³ = 25 KN/m³

VOLUME                      0,07m² x 1m = 0,07 m³

PESO AL m²                 0,07 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,75 KN/m²

 

qs = 0,224 + 1,75 = 1,974 KN/m²

 

CALCOLO PERMANENTE (qp)

Il carico permanente dipende dal peso dell’isolante, dal massetto e dal pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m²) e impianti (0,5 KN/m²).

 

1) PAVIMENTO:          

SPESSORE                 1 cm

PESO SPECIFICO        720 kg/m³ = 7,2 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

 

2) MASSETTO:           

SPESSORE                 3 cm

PESO SPECIFICO        2000 kg/m³ = 20 KN/m³

VOLUME                      0,03m x 1m x 1m = 0,03 m³

PESO AL m²                 0,03 m³/m² x 20 KN/m³ = 0,6 KN/m²

 

3) LANA DI VETRO:   

SPESSORE                 4 cm

PESO SPECIFICO        20 kg/m³ = 0,2 KN/m³

VOLUME                      0,04m x 1m x 1m = 0,04 m³

PESO AL m²                 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m³ = 0,008 KN/m²

 

4) CARTONGESSO: 

SPESSORE                   1 cm

PESO SPECIFICO        9 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 9 KN/m³ = 0,09 KN/m²

 

qp = 0,072 + 0,6 + 0,008 + 0,09 + 1,5 = 2,27 KN/m²

 

CALCOLO ACCIDENTALE (qa)

Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.

 

qa = 2 KN/m²

 

Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m² ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m² di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m² per la misura dell’interasse:

 

                                     qu = (2,56 + 3,405 + 3) x 3,5 = 31,40 kN/m

 

Passiamo ora al calcolo del Momento Massimo Flettente della trave considerata.

Quest’ultima è una trave doppiamente appoggiata e quindi la formula del Momento risulta essere: ql²/8.

M_max = [31,40 kN/m x (7 m)²] / 8 = 192,32 kN/m

 

 

Ora scegliamo il valore caratteristico di snervamento per l’acciaio f_yk  che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo una resistenza di 235 MPa.

 

Mi calcolo così la tensione di progetto f_d  ( tensione ammissibile) dividendo f_yk per un il coefficiente di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

 

F_d = 235/1.05= 223,81 N/mm²

 

Mi calcolo infine il MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE  W_x,min, per poi andare a scegliere il profilato appropriato sulla tabella dei profili in acciaio.

 

W_x,min:= M_max/f_d = 859,30 cm³

 

La tabella di calcolo mi ha ora trovato il W_x,min  cioè il valore minimo che la sezione che sceglierò dovrà avere affinchè nessuna fibra del materiali superi la tensione di progetto.                                                        

 

Nella tabella dei profili metallici scelgo un profilo adatto che abbia un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato: SCEGLIAMO QUINDI UNA IPE 360.

Qui di seguito la tabella di riferimento per la scelta del profilato IPE:

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DIMENSIONAMENTO PILASTRO 

Seguendo ora i valori sopra elencati, inserisco nella tabella excel i dati a mia disposizione:

 

 

Scelgo il tipo di acciao da utilizzare per il pilastro e definisco quindi la sua tensione caratteristica di snervamento f_yk moltiplico questo valore per γm coefficiente parziale di sicurezza per trovare il valore della tensione di progetto f_yd. Trovo adesso l'A_min:

A_min= N/f_yd 

 

λ^* = √(E/f_yd)

 ρ_min = β l/ λ^*

^{I_min = Aρ_min2 (ricavo dunque il momento di inerzia minimo in funzione del raggio di inerzia minimo)}

Attraverso la tabella dei profili HEA ricavo i valori di A_{design ,} I_design e ρ_min maggiori di quelli minimi ottenuti, il cui profilo risulta essere un HEA160.

 

 

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia lo sforzo assiale:

 

LEGNO

DIMENSIONAMENTO TRAVE

 

 

 

 

 

 

 

Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in travetti e pannelli OSB. Verrà calcolato tutto per una porzione di solaio pari a 1m².

 

CALCOLO STRUTTURALE (qs)

Il carico strutturale si ottiene sommando i contributi di peso dei travetti e del tavolato.

 

1) TRAVETTI IN ABETE:         

SEZIONE                     8 cm x 20 cm

PESO SPECIFICO        550 kg/m³

VOLUME                      0,08 x 0,20m x 1m = 0,016 m³

0,016 x 1/62,5 = 0,000256 m³ (perché ogni 62,5 cm ho un travetto)

 

PESO AL m²                 0,000256 m³/m² x 5,50 KN/m³ = 0,0014 KN/m²

 

2) TAVOLATO OSB:              

SPESSORE                 3 cm

PESO SPECIFICO        650 kg/m³ = 6,5 KN/m³

VOLUME                      0,03m x 1m x 1m = 0,03 m³

PESO AL m²                 0,03 m³/m² x 6,5 KN/m³ = 0,195 KN/m²

 

qs = 0,0014 + (2 x 0,195) = 0,391 KN/m²

 

CALCOLO PERMANENTE (qp)

Il carico permanente si ottiene sommando i contributi della caldana, dell’isolante, del massetto e del pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m²) e impianti (0,5 KN/m²).

 

1) INTONACO:                        

SPESSORE                 1 cm

PESO SPECIFICO        1800 kg/m³ = 18 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 18 KN/m³ = 0,18 KN/m²

 

2) CALDANA:                         

SPESSORE                 4 cm

PESO SPECIFICO        2500 kg/m³ = 25 KN/m³

VOLUME                      0,04m x 1m x 1m = 0,04 m³

PESO AL m²                 0,04 m³/m² x 25 KN/m³ = 1 KN/m²

 

3) LANA DI VETRO:               

SPESSORE                 4 cm

PESO SPECIFICO        20 kg/m³ = 0,2 KN/m³

VOLUME                      0,04m x 1m x 1m = 0,04 m³

PESO AL m²                 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m³ = 0,008 KN/m²

 

4) MASSETTO:                       

SPESSORE                 3 cm

PESO SPECIFICO        2000 kg/m³ = 20 KN/m³

VOLUME                      0,03m x 1m x 1m = 0,03 m³

PESO AL m²                 0,03 m³/m² x 20 KN/m³ = 0,6 KN/m²

 

5) PARQUET ROVERE:           

SPESSORE                 1 cm

PESO SPECIFICO        720 kg/m³ = 7,2 KN/m³

VOLUME                      0,01m x 1m x 1m = 0,01 m³

PESO AL m²                 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

 

qp = 1 + 0,008 + 0,18 + 0,6 + 0,072 + 1,5 = 3,36 KN/m²

 

CALCOLO ACCIDENTALE (qa)

Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.

 

qa = 2 KN/m²

 

Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m² ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m² di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m² per la misura dell’interasse:

 

                                            Qu = (0,507 + 5,04 + 3) x 3,5 = 29,91 kN/m

 

A questo punto posso calcolarmi il momento massimo M_max agente sulla trave avendo il carico lineare Qu, la luce che copre la mia trave che è 7 e sapendo che il momento massimo di una trave appoggiata è ql²/8.

 

M_max = Qu x l²/8=  183,23 kN*m

 

Per calcolare la TENSIONE DI PROGETTO F_d per quanto riguarda il legno abbiamo bisogno di alcuni valori:

 

In fase progettuale si è scelto un legno lamellare con resistenza meccanica f_mk pari a 27 Mpa.

 

γ_m (coefficiente di sicurezza del materiale) = 1,45

K_mod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel nostro caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media = 0.80

 

Inserendo questi dati nella tabella di calcolo mi ricavo F_d = K_mod x f_mk / γm

Quindi il nostro f_d = 14,90 N/mm²

 

Rimane ora da inserire nel foglio excel la base b = 26 cm ipotizzata per trovare l’altezza minima della trave di legno che era l’unica incognita nel nostro progetto.

L’altezza minima viene 53,28 cm e con una  ingegnerizzazione arrivo ad un altezza della trave in legno di 55 cm.

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:

DIMENSIONAMENTO PILASTRO

Seguendo ora i valori sopra elencati, inserisco nella tabella excel i dati a mia disposizione:

 

Procedo ora con il pre-dimensionamento della sezione del pilastro a partire dalla resistenza del materiale e ottenendo quanto vale A_min.

f_mk = resistenza caratteristica a flessione nella direzione delle fibre (dipende dal materiale)

k_mod = coefficiente di durata del carico (fornito dalla normativa)

 γ_m = coefficiente di sicurezza

Ottengo così la tensione ammissibile f_d = f_mk x  k_mod / γ_m e quindi l'area minima necessaria alla sezione affinché il materiale non giunga a rottura.

 

Prendo ora in considerazione i valori del modulo di elasticità E, il coefficiente β avente un valore legato alla tipologia di vincoli a cui è soggetto il pilastro e l’altezza I del pilastro per definirne la snellezza λ, il raggio di inerzia minimo ρ_min e la base minima che il pilastro dovrà avere:

 

λ = π x √E/f_cd = 72,80346 

ρ_min = (β x I) / λ = 3,708615 cm

b_min  = ρ_min x √12 = 12,84702 cm

 

 

Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro = 20 x 50 cm

 

Non mi resta che calcolare:

A_design =b x h= 1000 cm²

I_design =(h x b³)/12= 33333,33cm⁴

Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia lo sforzo assiale:

 

 

 

(lavoro svolto in gruppo con Martina Rubeis e Italo Millozzi)