Analisi di un edificio multipiano in calcestruzzo, precedentemente dimensionato, soggetto ad azione sismica

Studentesse: Mariani Lucia, Maurelli Ilaria

Dopo aver precedentemente effettuato la progettazione di massima dell’edificio sottoposto alla combinazione di carico allo stato limite ultimo e all'azione del vento, ci siamo concentrate sull’analisi del comportamento del fabbricato sottoposto ad azione sismica orizzontale.

Definizione dei controventi e delle rigidezze

Come prima cosa, definita la geometria dell'impalcato, abbiamo numerato i pilastri e successivamente individuato i controventi orizzontali e verticali in corrispondenza dei telai.

Successivamente abbiamo svolto una breve analisi per capire quale fosse l'orientamento ottimale dei pilastri in presenza dell'azione sismica.

Nell'esercitazione precedente, i nostri pilastri erano stati orientati in base allo studio dell'azione del vento, con la dimensione maggiore lungo l'asse orizzontale.

I pilastri del piano terra (32x44) cm, possono essere orientati in due diverse direzioni.
In base all'orientamento del pilastro ciò che influisce sul calcolo delle rigidezze è il momento di inerzia I, che dipende dalla sezione e dal suo orientamento in pianta.

Abbiamo calcolato il momento di inerzia della sezione rettangolare in entrambi i casi di orientamento:

I₁ = bh³ / 12 = 32 cm x 44³ cm³ / 12 = 227157 cm⁴
I₂ = hb³ / 12 = 44 cm x 32³ cm³ / 12 = 120149 cm⁴

Abbiamo poi calcolato il rapporto tra i due momenti
di inerzia

I₁ / I₂  = 227157 cm⁴ / 120149 cm⁴ = 1,9 = 2 (circa)

Dal calcolo del rapporto vediamo come orientando il pilastro con la dimensione maggiore l'ungo l'asse orizzontale, otteniamo un momento di inerzia che è pari a circa il doppio rispetto all'orientamento con la dimensione maggiore lungo l'asse verticale.

Per quanto riguarda il nostro impalcato rigido, essendo i telai orizzontali individuati da 5 pilastri e i telai verticali individuati da 4 pilastri, e sapendo che la rigidezza totale è la somma delle rigidezze traslanti dei controventi lungo una direzione, abbiamo scelto di orientare il pilastro in modo tale da ottenere un maggiore momento di inerzia lungo la direzione verticale, cioè quella individuata da un minor numero di controventi.

In questo modo, otteniamo due valori di rigidezza traslante non troppo distanti tra loro, questo ci assicura una discreta rigidezza dell'impalcato in entrambe le direzioni, non potendo prevedere da quale delle due inciderà la forza del sisma.

Dopo aver definito l'orientamento e successivamente le rigidezze dei telai, abbiamo scelto di considerare un  punto O come centro provvisorio, in corrispondenza del pilastro 1.

In base al nostro centro abbiamo potuto così definire le diverse distanze dal punto O, sia per i controventi orizzontali che per i controventi verticali.

In fine abbiamo potuto completare la tabella sinottica dei controventi con le relative rigidezze traslanti nelle due direzioni, orizzontale e verticale e le distanze ottenute.

 

Calcolo del centro d’area e centro di massa

Successivamente abbiamo definito il centro d'area (centro di massa) del nostro impalcato.
Come prima cosa abbiamo calcolato le aree che caratterizzano la nostra pianta, l’area totale dell'impalcato (Area 1 = 264 m²) e l’area del blocco scale (Area 2 = 10 m²).
Per trovare l'area effettiva, abbiamo quindi sottratto l'area del blocco scale al valore dell'area totale, trovando il valore di 254 m².

Dopo aver ottenuto i valori delle due aree, abbiamo calcolato i rispettivi centri d'area C₁ (x₁;y₁) e C₂ (x₂;y₂).

A questo punto siamo state in grado di calcolare i valori effettivi delle coordinate del centro d'area G (X_G e Y_G) relativo all'area totale cioè la differenza delle due aree (Atot = A₁ - A₂ = 254 m²). 

A₁ = B x H 
A₂ = b x h 
C₁ = (x₁;y₁)
C₂ = (x₂;y₂) 

x_G =  (A₁ x₁ - A₂ x₂)  / (A₁ - A₂)
y_G =  (A₁ y₁ - A₂ y₂)  / (A₁ - A₂)

A₁ = 254,00 m²
A₂ = 10,00 m²
C₁ = (11,00 m ; 6,00 m)
C₂ = (11,25 m ; 6,00 m) 

x_G = (254,00 m² x 11,00 m) - (10,00 m² x 11,25 m) / (254,00 - 10,00) m² = 10,99 m 
y_G = (254,00 m² x 6,00 m) - (10,00 m² x 6,00 m) / (254,00 - 10,00) m² = 6,00 m 

Calcolare il centro di un sistema di forze significa poter controllare e saper individuare il punto geometrico attorno al quale la risultante dei momenti statici è uguale a zero.
Questo concetto di centro è fondamentale ai fini dell’analisi che stiamo effettuando perché ci permetterà di individuare il centro delle rigidezze.
Questo punto ci consente di avere coscienza di dove la forza sismica verrà applicata producendo così una traslazione e una rotazione rigida dell'impalcato.

 

Calcolo del centro delle rigidezze

Per il calcolo del centro delle rigidezze, abbiamo definito prima di tutto la rigidezza totale dei controventi in direzione orizzontale e quella dei controventi in direzione verticale
K_{o_tot}​ = 141236,38 KN/m
K_{v_tot} = 267025,37 KN/m

Successivamente abbiamo trovato i valori delle coordinate del centro delle rigidezze C (X_c ; Yc)

X_c = (Sommatoria delle rigidezze dei controventi verticali per le relative distanze y) / (Sommatoria delle rigidezze dei controventi verticali K_{v_tot})
X_c = (K_{v_1} x y₁ + K_{v_2} x y₂  + K_{v_3} x y₃  + K_{v_4} x y₄  + K_{v_5} x y₅) / K_{v_tot} 
X_c = 10,00 m

Y_c = (Sommatoria delle rigidezze dei controventi orizzontali per le relative distanze x) / (Sommatoria delle rigidezze dei controventi orizzontali K_{o_tot})
Y_c = (K_{o_6} x x₆ + K_{o_7} x x₇  + K_{o_8} x x₈  + K_{o_9} x x₉) / K_{o_tot} 
Y_c = 6,00 m

 

Considerazioni:

Abbiamo a questo punto ottenuto i valori delle coordinate del centro d'area (centro di massa) e del centro delle rigidezze.

Centro di massa
X_G = 10,99 m
Y_G = 6,00 m

Centro delle rigidezze
X_C = 10,00 m
Y_C = 6,00 m

Affinché l'edificio possa rispondere adeguatamente alla forza sismica agente, il centro di massa dell'impalcato e il centro delle rigidezze non devono essere troppo distanti tra loro.
In caso contrario, si verificherebbe la formazione di un braccio troppo grande tra i gli assi dei due centri che comporterebbe una rotazione eccessiva dell'impalcato rigido con conseguente collasso.

Calcolo della forza sismica 

Per prima cosa abbiamo definito la forza sismica come il prodotto della massa investita dal sisma per il valore dell'accelerazione sismica di trascinamento (F = m x a).

Queste accelerazioni sismiche sono indotte dal movimento del terreno che le trasferisce all’edificio: qui, incontrando le masse orizzontali (solai), si tramutano in forze.

Per questa ragione, nella formula stessa che descrive il valore della forza F_s, possiamo constatare come la forza sismica non è altro che una frazione della forza peso.
Più una struttura è pesante, e quindi più massa ha, più sarà sensibile all’azione del sisma.

F_s = m x a
F_s =​ m x g x C
F_s = P x C

C= 0,2 è il coefficiente di intensità sismica ricavato dalla normativa in base alla localizzazione dell’edificio che stiamo analizzando: tale coefficiente, sempre minore di 1, ci da un'idea di quanto la nostra struttura è vulnerabile al sisma.

P è la forza peso, descritta come prodotto tra il valore della massa m per l'accelerazione gravitazionale g.
 
P = Q_s + Q_p + 0,8 Q_a 

Q = (Numero di piani dell'edificio) x (Area di un piano al netto del vano scale) x (Valore del carico superficiale distribuito al metro quadrato)

Q_s = 3 x 254,00 m² x 4,73 KN/m² = 3604,26 KN 
Q_p = 3 x 254,00 m² x 2,52 KN/m² = 1920,24 KN 
Q_a = 3 x 254,00 m² x 2,00 KN/m² = 1524,00 KN 

P = 3604,26 KN + 1920,24 KN + 0,8 x 1524,00 KN = 6743,70 KN 

F_s = 6743,70 KN x 0,2 = 1348,74 KN

Osservando le precedenti formule possiamo notare come l’analisi del carico Q dipenda non soltanto dai carichi strutturali, dai sovraccarichi permanenti e da quelli accidentali, bensì anche dal numero dei piani che compongono l’edificio e dall’area della superficie di un piano al netto della scala.
Questo deriva dal fatto che la forza sismica dipende non solo dalla localizzazione geografica e topografica dell’edificio (coefficiente d’intensità sismica C) ma, come abbiamo già detto, dalla massa che essa investe e quindi, dal valore dei pesi sismici che compongono l’intero edificio.
 

 

Calcolo della ripartizione della forza sismica per piano

La forza sismica, approssimata come forza orizzontale concentrata, è in realtà descritta da un andamento lineare crescente in proporzione all'altezza dell edificio.
Per questa ragione il valore della forza sismica che colpisce ogni piano è differente.

Per calcolarla abbiamo utilizzato la seguente formula:
F_i = (Altezza interpiano considerato) / (Somma delle altezze relative ai piani) x (Forza sismica)

F₁ = (3,50 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 224,79 KN 
F₂ = (7,00 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 449,58 KN
F₃ = (10,50 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 674,37 KN

Per verificare i valori ottenuti della forza sismica nei vari piani abbiamo usato un metodo proporzionale. Quando un edificio è regolare in pianta e in alzato la forza sismica si ripartisce secondo l'andamento lineare crescente precedentemente descritto.
Di conseguenza abbiamo considerato che la forza sismica totale F_s = 1348,74 KN si ripartisce di piano in piano secondo un unità crescente: il primo piano sarà investito da una forza sismica pari ad un unità di F_s, il secondo da una forza pari a due unità, il terzo piano da una forza pari a tre unità.

Abbiamo quindi suddiviso il valore totale di F_s in 6 unità ottenendo così il valore unitario di forza
U_F = 1348,74 KN / 6 = 224,79 KN

Questo valore equivale perciò al valore della forza agente sul primo piano:
F₁ = 224,79 x 1 = 224,79 KN
Per trovare il valore della forza agente sul secondo piano abbiamo moltiplicato questo valore per 2 unità:
F₂ = 224,79 x 2 = 449,58 KN
Abbiamo ripetuto lo stesso procedimento per il terzo piano moltiplicando per 3 unità ottenendo la forza agente su quel piano:
F₂ = 224,79 x 3 = 674,37 KN.

Abbiamo così constatato che i valori precedentemente ottenuti sono verificati.

 

Calcolo della ripartizione della forza sismica lungo le due direzioni X e Y

Per il calcolo della ripartizione della forza sismica, abbiamo innanzitutto calcolato il valore del momento torcente dell'impalcato nelle due direzioni come forza per braccio:

M_x = F_s x (X_C - X_G)
M_x = 1348,74 KN x (10,00 m - 10,99 m)
M_x = 1335,47 KNm

M_y = F_s x (Y_C - Y_G)
M_y = 1348,74 KN x (6,00 m - 6,00 m)
M_y = 0 KNm

Sapendo che la forza sismica è definita in funzione della rigidezza dalla seguente equazione lineare:
Forza sismica = Rigidezza x Spostamento
Spostamento = Forza sismica / Rigidezza

Abbiamo calcolato il valore della traslazione orizzontale e di quella verticale relative all'impalcato
u_orizzontale = F_s / K_{o_tot}​ 
u_orizzontale = 0,010 m

v_verticale = F_s /  K_{v_tot} 
v_verticale = 0,005 m

Successivamente abbiamo calcolato i valori di rotazione, sempre differenziando le due direzioni x e y su cui agisce il sisma, come rapporto tra il momento torcente e il valore della rigidezza torsionale totale trovato precedentemente:

ϕ_x = M_x / K_ϕ
ϕ_x = 1335,47 KNm / 16175996,08 KNm
ϕ_x = 0,00008

ϕ_y = M_y / K_ϕ
ϕ_y = 0 KNm / 16175996,08 KNm
ϕ_y = 0

Dopo aver calcolato questi valori siamo stati in grado di calcolare le singole forze agenti sui controventi orizzontali e verticali nel caso della forza sismica agente lungo la direzione X e nel caso della forza sismica agente lungo la direzione Y

F_{i_x} = K_i x (u_orizzontale + d_i x ϕ_x)

F_{i_y} = K_i x (v_verticale + d_i x ϕ_y)

Infine, per verificare i calcoli effettuati, abbiamo calcolato la forza sismica totale incidente su ogni controvento sia in direzione orizzontale che in direzione verticale e abbiamo verificato che la somma di tutte le forze relative ai controventi in una stessa direzione equivalesse al valore della forza sismica.

Modellazione su SAP2000

- ASSEGNAZIONE DEL CENTRO DI MASSA E DEL DIAPHRAM

Abbiamo iniziato la modellazione assegnando ad ogni impalcato il centro di massa calcolato precedentemente tramite lo strumento "Special Joint".
Successivamente abbiamo attribuito a tutti i punti appartenenti al piano orizzontale dell’edificio il vincolo "Diaphram", simulando così il comportamento di corpo rigido. 
Questo comportamento impone ad ogni punto appartenente al piano dell’impalcato di ruotare o traslare in maniera omogenea e non indipendente.
Prima dell’assegnazione abbiamo creato tre differenti "Constrains", uno per ogni quota z dell'edificio (z = 3,50 m; z = 7,00 m; z = 10,50 m), questo perché è necessario definire un impalcato rigido differente a seconda del piano orizzontale su cui i punti giacciono.
 

- DEFINIZIONE DEI LOAD PATTERNS

Dopodiché siamo andate a definire due load pattern differenti, "Sisma X" e "Sisma Y", assegnando come moltiplicatore di peso proprio un valore pari a zero in modo da non considerare il peso proprio dell'edificio, già presente nella combinazione lineare SLU.
Queste due forze rappresentano due azioni orizzontali che potrebbero verificarsi in un caso reale, lungo un’asse piuttosto che un altro: le nostra analisi, infatti, è orientata a metterci nella condizione di poter assicurare una risposta dei controventi adeguata in entrambe le direzioni.
 

- APPLICAZIONE DELLA FORZA SISMICA

Secondo piano
Abbiamo inserito il valore della forza F3 = 674,37 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"
Primo piano
Abbiamo inserito il valore della forza F2 = 449,58 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"
Piano terra
Abbiamo inserito il valore della forza F1 = 224,79 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"

- DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO

Dopo aver assegnato il valore delle forze nei vari centri di massa abbiamo definito due combinazioni di carico “Load Combination” per il sisma lungo X e per il sisma lungo Y (oltre alla combinazione SLU già definita per la scorsa esercitazione), moltiplicando ogni singolo carico per il relativo coefficiente parziale di sicurezza:

- Combinazione allo stato limite ultimo: SLU

Qs (1,3)
Qp (1,5)
Qa (1,5)
PP (1,3)

- Combinazione: Sisma lungo la direzione X

SLU (1)
Sisma X (1)

- Combinazione: Sisma lungo la direzione Y

SLU (1)
Sisma Y (1)
 

- AVVIO DELL'ANALISI

A questo punto, dopo aver simulato la condizione di impalcato rigido per ogni piano, aver applicato le forze sismiche nel centro di massa differenziandole al crescere dei piani e aver definito le combinazioni di carico che ci interessa analizzare, abbiamo avviato l'analisi del modello "Run Analysis"

Considerando che difficilmente la forza sismica e l'azione del vento agiscono entrambe contemporaneamente con massima intensità, abbiamo deciso di considerare tutti i carichi definiti (Q_s, Q_P, Q_A, PP, Sisma X, Sisma Y) tranne i carichi relativi al vento.

A questo punto abbiamo osservato i diagrammi delle deformate e delle sollecitazioni agenti (N, T, M) nei due casi di combinazione lineare di carico e successivamente abbiamo estratto i valori delle forze nella tabella Excel per andare a verificare le dimensioni delle sezioni dei pilastri soggetti a presso flessione.

Combinazione Sisma Y
Deformata

Diagramma del momento flettente (intorno all'asse 3)

Combinazione Sisma X
Deformata

Diagramma del momento flettente (intorno all'asse 3)

Modello tridimensionale
L'orientamento del pilastri è stato invertito in base alle considerazioni riguardanti le rigidezze traslanti dei controventi lungo le due direzioni precedentemente illustrate.

Verifica a pressoflessione dei pilastri

Dopo aver estratto i valori delle sollecitazioni da SAP, le abbiamo suddivise secondo le due combinazioni di carico "Sisma X" e "Sisma Y" .
A questo punto abbiamo importato i valori nel file Excel relativo alla verifica dei pilastri a pressoflessione differenziando le tabelle relative all'azione del sisma lungo l'asse X e all'azione del sisma lungo l'asse Y.

Sisma lungo la direzione X - Verifica pilastri a pressoflessione

Sisma lungo la direzione Y - Verifica pilastri a pressoflessione

Le tabelle Excel evidenziano che il dimensionamento di massima delle sezioni di pilastri che era stato effettuato per l'esercitazione precedente è sufficiente a rispondere adeguatamente all'azione orizzontale della forza sismica in entrambe le direzioni.

 

Eccentricità

Sisma lungo la direzione X - Eccentricità dello sforzo normale

Sisma lungo la direzione Y - Eccentricità dello sforzo normale

In fine abbiamo verificato, con i nuovi valori dello sforzo normale e del momento flettente, i valori dell'eccentricità relativa allo sforzo assiale N di compressione sui pilastri.
Tale eccentricità di N è dovuta alla compresenza dello sforzo di compressione e della flessione.

Dal confronto con i precedenti calcoli risulta che alcuni pilastri, evidentemente soggetti ad una flessione più elevata, sono passati da un valore di piccola eccentricità ad un valore di eccentricità moderata; altri pilastri che risultavano invece in condizione di eccentricità moderata sono passati ad avere un valore di eccentricità grande.