Dimensionamento di massima di un graticcio di travi inflesse

Studentesse: Lucia Mariani, Ilaria Maurelli

 

INTRODUZIONE
Un graticcio è una morfologia strutturale che ha un comportamento meccanico assimilabile a quello di una piastra.
Una piastra è un modello meccanico bidimensionale di un corpo reale (tridimensionale) con le seguenti caratteristiche geometriche:

• Due dimensioni (lungo le direzioni x e y) sono paragonabili tra loro, cioè hanno lo stesso ordine di grandezza
• Le due dimensioni paragonabili sono molto superiori rispetto alla terza dimensione (spessore lungo la direzione z)
• I carichi che agiscono sulla piastra sono perpendicolari al piano medio

Il modello di piastra è caratterizzato da diversi comportamenti cinematici

• Spostamenti
  • Spostamento verticale
• Deformazioni
  • Curvatura torsionale
  • Curvatura flessionale
  • Rotazione

GEOMETRIA

Abbiamo immaginato di progettare un graticcio di travi inflesse di dimensioni 50,00 x 50,00 metri posto alla base di un edificio composto da tre piani sorretti dal graticcio stesso.

Per ottimizzare la modellazione del graticcio possiamo utilizzare un modello di piastra: il modello di piastra è un modello semplificato per poter dimensionare un sistema molto più complesso come il graticcio di travi inflesse.

Il modello del continuo equivalente è in grado di darci informazioni attendibili sul comportamento effettivo del graticcio: come si deforma, come si inflette, quali sono i punti critici della morfologia strutturale.

Dopo aver definito le dimensioni principali, abbiamo ipotizzato di posizionare degli elementi verticali di appoggio (pilastri) ogni 10 metri in modo tale che per ogni lato ci siano cinque appoggi.

Abbiamo differenziato le dimensioni delle sezioni dei pilastri distinguendo tra pilastri angolari e pilastri perimetrali: questo perchè i pilastri angolari hanno un comportamento rispetto a quelli perimetrali che invece vengono sollecitati maggiormente.

Pilastri angolari: 1,50 x 1,50 metri

Pilastri perimetrali: 2,0 x 1,2 metri

Essendo i pilastri perimetrali a sezione rettangolare, per assicurare la stessa inerzia in entrambe le direzioni del graticcio, abbiamo ipotizzato di orientare otto pilastri con il momento di inerzia maggiore lungo x e i restanti otto pilastri con il momento di inerzia maggiore lungo y.

ANALISI DEI CARICHI

Abbiamo effettuato un analisi dei carichi del solaio in laterocemento dell'edificio sorretto dal graticcio.
Abbiamo quindi inizialmente calcolato i carichi agenti su un metro quadrato di solaio suddividendoli nelle tre categorie

• Carichi permanenti strutturali
• Sovraccarichi permanenti non strutturale
• Carichi accidentali

Analisi dei carichi di un solaio in laterocemento

• Pavimentazione in parquet = 2 cm = 0,02 m
• Massetto = 3 cm = 0,03 m
• Isolante = 4 cm = 0,04 m
• Soletta collaborante = 5 cm = 0,05 m
• Pignatte = 20 cm = 0,20 m
• Travetti = 20 cm = 0,20 m
• Intonaco = 1,5 cm = 0,015 m

Spessore totale del solaio = 35,50 cm = 0,355 m

Carico distribuito superficiale

• 0,02 m x 7,2 KN/m³ = 0,144 KN/m²
• 0,03 m x 20 KN/m³  = 0,60 KN/m²
• 0,04 m x 0,2 KN/m³  = 0,008 KN/m²
• 0,05 m x 25 KN/m³ = 1,25 KN/m²
• 2 (0,2 x 0,12 x 1) m³/m x 25 KN/m³  = 1,20 KN/m²
• 2 (0,38 x 0,20 x 1) m³/m² x 15 KN/m³  = 2,28 KN/m²
• 0,015 m x 18 KN/m³  = 0,27 KN/m²

Carico strutturale q_s
Soletta + travetti + pignatte
1,25 KN/m² + 1,2 KN/m² + 2,28 KN/m² = 4,73 KN/m²

Sovraccarico permanente q_p
Parquet + massetto + isolante + intonaco + incidenza impianti + incidenza tramezzi
0,144 KN/m² + 0,6 KN/m² + 0,008 KN/m² + 0,27 KN/m² + 0,5 KN/m² + 1 KN/m² = 2,52 KN/m² = 2,52 KN/m²

Carico accidentale q_a
Dato fornito dalla normativa in base alla destinazione d’uso (residenziale) = 2,00 KN/m²

Abbiamo successivamente considerato le combinazioni di carico fornite dalla normativa per le verifiche agli stati limite utilizzando coefficienti parziali di sicurezza sfavorevoli

Combinazione di carico allo stato limite d’esercizio SLE
Questo valore di carico allo stato limite di esercizio ci servirà per le verifiche agli abbassamenti.
γ̃s qs + γ̃p qp + γ̃a qa = 1 x 4,73 KN/m² + 0,7 x 2,52 KN/m² + 0,7 x 2 KN/m² = 7,88 KN/m² = 7,9 KN/m²
q_e = 7,90 KN/m²

Combinazione di carico allo stato limite ultimo SLU
Questo valore di carico allo stato limite ultimo ci servirà per le verifiche di resistenza degli elementi inflessi e presso inflessi (travi del graticcio, pilastri di appoggio)
γs qs + γp qp + γa qa = 1,3 x 4,73 KN/m² + 1,5 x 2,52 KN/m² + 1,5 x 2 KN/m² = 12,89 KN/m² = 12,9 KN/m²
q_u = 12,90 KN/m²

Una volta ottenuto il valore della combinazione di carico agli stati limite, essendo un valore distribuito sulla superficie, abbiamo moltiplicato il valore per le dimensioni della piastra e moltiplicando per il numero di piani, ottenendo così il valore della forza concentrata equivalente al carico dovuto ai tre piani.

Forza concenrata SLE
50,00 m x 50,00 m x 7,90 KN/m² x 3 piani = 59250 KN

Forza concenrata SLU
50,00 m x 50,00 m x 12,90 KN/m² ​x 3 piani = 96750 KN

 

MODELLAZIONE SU SAP2000

Una volta definita la geometria principale, abbiamo cominciato a modellare la piastra su SAP.

Per prima cosa abbiamo definito il materiale, abbiamo scelto un calcestruzzo ad alte prestazioni (C50/60) essendo il graticcio una morfologia molto complessa e impegnativa dal punto di vista strutturale.

Il passo successivo è stato quello di modellare la piastra con lo strumentoo "Poly area" e assegnarle una sezione "Shell" e selezionando la voce “Shell Thick” che tiene conto anche dell’azione del taglio, assegnando uno spessore di 1,50.

Successivamente abbiamo discretizzato la piastra in porzioni di 0,50 m x 0,50 metri; questa discretizzazione aiuta il programma di calcolo ad eseguire un'analisi più accurata in modo che il modello potesse essere più assimilabile a un modello realistico.

Dal momento che stiamo utilizzando un modello di piastra per simulare il comportamento di un graticcio di travi inflesse, dobbiamo tenere conto del fatto che le deformazioni secondarie presenti in un continuo dovute all'effetto Poisson, in questo caso, saranno trascurabili.

Questo avviene perchè il graticcio composto da travi è assimilabile al modello di piastra dal punto di vista del comportamento meccanico ma la geometria del graticcio non è assimilabile a quella di un continuo.

Per trascurare questo comportamento, abbiamo creato un materiale fittizio a partire da un calcestruzzo ad alte prestazioni (C50/60) ponendo il coefficiente di Poisson pari a zero: in questo modo simuliamo in un oggetto continuo (shell) il comportamento di un oggetto discreto.

Abbiamo attribuito alla piastra discretizzata il materiale precedentemente definito.

Per quanto riguarda la modellazione dei pilastri, abbiamo scelto un altezza di 4 metri e abbiamo attribuito ad ognuno di essi le sezioni precedentemente definite differenziando in pilastri angolari e pilastri perimetrali.

A questo punto abbiamo assicurato la stessa inerzia lungo le due direzioni x e y ruotando di 90 gradi gli assi locali dei pilastri appartenenti a due dei quattro lati della piastra.

Per completare la modellazione della geometria del modello abbiamo assegnato i vincoli esterni di tipo incastro alla base di ogni pilastro.

A questo punto abbiamo definito il carico F considerando un fattore moltiplicatore di peso proprio pari a 1: questo passaggio è necessario affinche nel calcolo del modello venga considerato anche il peso proprio della struttura che, nel caso del calcestruzzo, non può essere trascurato.

Una volta trovati i valori della forza concentrata equivalente, dobbiamo distribuirli nei nodi a seconda dell'area di influenza di carico che inciderà in ogni nodo.

Da SAP troviamo che il numero totale dei nodi è 10201.

Di questi, in base alle aree di influenza, sappiamo che quelli centrali prenderanno una forza concentrata pari al 100%, i nodi che si trovano sul perimetro prenderanno una forza concentrata parti al 50%, quelli angolari prenderanno invece una forza concentrata pari al 25% del totale.

Per trovare la forza totale che agisce su di un singolo nodo facciamo la somma di tutti i nodi centrali (che prendono il 100%) ai quali aggiungiamo la metà dei nodi perimetrali (che prendono il 50% della forza totale e perciò possiamo immaginarli come la metà dei nodi che prendono il 100% della forza) ai quali aggiungiamo infine uno solo dei quattro nodi angolari (che prende il 25% della forza totale quindi possiamo immaginare di considerare un solo nodo che prende il 100% della forza)

9801 (nodi centrali) + 198 (nodi perimetrali) + 1 (nodo angolare) = 10 000 nodi

A questo punto dividiamo il valore delle forze precedentemente calcolate per il numero di nodi e troviamo il valore della forza applicata ad un singolo nodo.

SLE
F_TOT = 59250 KN / 10 000 = 5,925 KN

• Nodi centrali
  F = 5,925 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 2,9625 KN
• Nodi angolari
  F = 1,481 KN

SLU
F_TOT = 96750 KN / 10 000 = 9,675 KN

• Nodi centrali
  F = 9,675 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 4,8375 KN
• Nodi angolari
  F = 2,41875 KN

 

Definiamo a questo punto due diversi carichi con fattore moltiplicatore di peso proprio pari a 1

• F_SLE
• F_SLU

E applichiamo ai nodi centrali, perimetrali e angolari i valori precedentemente calcolati.

Ora possiamo avviare l'analisi del modello di piastra equivalente, prima con la combinazione di carico allo stato limite di esercizio e successivamente con la combinazione di carico allo stato limite ultimo.

 

VERIFICHE

Verifica agli abbassamenti

L'analisi con il carico allo SLE ci serve per la verifica degli abbassamenti

U₃ = -0,0853 m

Lo spostamento verticale deve essere inferiore a 1/200 della luce.
Essendo la nostra luce di 50 metri, l'abbassamento risulta verificato:

50 m / 200 = 0,25 m > 0,0853 m

 

Verifiche di resistenza

L'analisi con il carico allo SLU ci serve per la verifica di resistenza degli elementi inflessi e pressoinflessi.

Dai diagrammi del momento flettente intorno agli assi locali 1 e 2 (M11, M22), notiamo che otteniamo gli stessi valori, questo perchè il sistema è perfettamente simmetrico, sia nella geometria, sia nei carichi applicati.

Verifichiamo il valore massimo del momento, in corrispondenza di un pilastro, che equivale a 22157,31 KNm

A questo punto, per verificare il dimensionamento della piastra abbiamo utilizzato la tabella Excel ti verifica a flessione delle travi, ponendo come base uno spessore di 1,50 metri.

Avendo ottenuto un valore dell'altezza utile maggiore rispetto a quella di progetto (2,09 metri) abbiamo verificato che l'incremento in percentuale non fosse superiore al 40%.

Abbiamo deciso quindi di passare al dimensionamento del graticcio poichè abbiamo sfruttato il modello di piastra per creare un equivalenza in rigidezza in base al momento di inerzia della sezione.

L'equivalenza in rigidezza non implica però una equivalenza del peso della piastra rispetto a quello del graticcio, questo perchè il momento di inerzia è proporzionale alla terza potenza dell'altezza della sezione mentre il peso è proporzionale alla prima potenza dell'altezza della sezione.

Questo è dovuto al fatto che il graticcio di travi inflesse, rispetto al modello di piastra, ha un peso notevolmente inferiore dovuto al fatto che non è un continuo pieno ma è formato da travi che si alternano a vuoti.

 

DIMENSIONAMENTO

Dimensionamento graticcio

Per dimensionare le travi del graticcio abbiamo calcolato il momento di inerzia di una porzione di piastra di dimensioni 1,00 m x 1,00 m

I_x =  (bh³ / 12)
I_x = 1,00 m x (1,50 m)³ / 12 = 0,28125 m⁴

Da questo risultato sappiamo che in una porzione di graticcio di un metro quadrato non posso dare un valore di inerzia inferiore a quello ottenuto.

A questo punto abbiamo scelto un interasse per le travi del graticcio, i = 2,50 m
In una porzione di interasse di 2,50 m avremo quindi una inerzia di:
I_x =  (bh³ / 12)
Dove la base è 2,50 m
I_x = 2,50 m x (1,50 m)³ / 12 = 0,703125 m⁴

Ipotizziamo un valore della base delle travi del graticcio pari a 0,60 m e calcoliamo l'altezza della sezione sapendo che il momento di inerzia deve essere circa 0,70 m⁴

h =  (12 I_x / b) ^1/3

h =  (12 x 0,703125 m⁴/ 0,80 m) ^1/3 = 2,20 m (circa)

La sezione della trave del graticcio ottenuta è 0,80 m x 2,20 m

 

MODELLAZIONE GRATICCIO SU SAP2000

Nel modello precedentemente sviluppato, elimino la piastra discretizzata per sostituirla con le travi del graticcio appena dimensionate.

Per simulare un nodo rigido interno ad ogni incrocio tra le travi e tra travi e pilastri, separo le travi modellate ad ogni intersezione, in modo che non siano continue.

A questo punto assegnamo nuovamente i carichi precedentemente calcolati su ogni nodo del graticcio.

Per fare  questo, dividiamo il valore delle forze per il numero di nodi e troviamo il valore della forza applicata ad un singolo nodo.

361 (nodi centrali) + 38 (nodi perimetrali) + 1 (nodo angolare) = 400 nodi

SLE
F_TOT = 59250 KN / 400 = 148,125 KN

• Nodi centrali
  F = 148,125 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 74,0625 KN
• Nodi angolari
  F = 37,03125 KN

SLU
F_TOT = 96750 KN / 400 = 241,875 KN

• Nodi centrali
  F = 241,875 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 120,9375 KN
• Nodi angolari
  F = 60,46875 KN

Assegnamo a questo punto ai nodi centrali, perimetrali e angolari i valori precedentemente calcolati, distinguendo sempre secondo le due combinazioni di carico.

• F_SLE
• F_SLU

Ora possiamo avviare l'analisi del modello del graticcio, prima con la combinazione di carico allo stato limite di esercizio e successivamente con la combinazione di carico allo stato limite ultimo.

 

VERIFICHE

Verifica agli abbassamenti

L'analisi con il carico allo SLE ci serve per la verifica degli abbassamenti

U₃ = -0,1166 m

Lo spostamento verticale deve essere inferiore a 1/200 della luce.
Essendo la nostra luce di 50 metri, l'abbassamento risulta verificato:

50 m / 200 = 0,25 m > 0,1166 m

 

Verifiche di resistenza

L'analisi con il carico allo SLU ci serve per la verifica di resistenza degli elementi inflessi e pressoinflessi.

Diagramma dello sforzo normale

Notiamo dal diagramma dello sforzo normale che il graticcio si comporta come una  serie di portali formati da due pilastri sullo stesso asse e le travi che li congiungono.

Diagramma del momento flettente

Se ci concentriamo su un pilastro perimetrale, notiamo che il valore del momento flettente è molto elevato in corrispondenza del nodo rigido tra trave e pilastro, questo comporterà una deformazione eccessiva del pilastro, che tenderà quindi ad instabilizzarsi.

Per evitare che questo accada, possiamo aumentare la rigidezza torsionale della trave di bordo, in questo modo, parte del momento flettente che arriva al nodo sarà assorbito dalla trave di bordo irrigidita e il pilastro subirà di meno la deformazione.

A questo punto torniamo sul modello SAP, selezioniamo le travi di bordo e assegnamo  una sezione con rigidezza torsionale maggiore.

Essendo il pilastro molto sollecitato, scegliamo di utilizzare una sezione rettangolare cava che ci consente di aumentare la larghezza senza andare a gravare ulteriormente sul peso proprio dell'intero sistema.

La trave di bordo avrà quindi una sezione cava di 2,20 m x 1,50 m x 0,08 m x 0,08 m

 

 

 

 

 

 

  

 

 

A questo punto abbiamo verificato la sezione dei pilastri soggetti a pressoflessione con il valore del momento ottenuto dopo aver ri assegnato la sezione della trave di bordo.

Sforzo normale di compressione

Momento flettente

Verifica sul file Excel dei pilastri soggetti a presso flessione

Dalla verifica a pressoflessione abbiamo infine notato che i pilastri necessitano di un incremento della sezione per poter soddisfare la verifica.

Per questa ragione abbiamo aumentato la base da 1,20 m a 1,80 m.
Avendo dimensioni molto grandi, i pilastri sono assimilabili a dei piccoli setti.
Questo è giustificato dal fatto che il graticcio è una struttura molto impegnativa che serve a coprire luci molto ampie e di conseguenza necessita di appoggi altrettanto imponenti.

Abbiamo infine verificato l'eccentricità dei pilastri

 

VERIFICA FINALE

Dopo aver ri assegnato le sezioni dei pilastri su SAP e la trave di bordo, abbiamo effettuato la verifica finale agli abbassamenti e a resistenza di tutte le sezioni.

Deformata

Sforzo normale

Momento flettente

 

MODELLO 3D