ESERCITAZIONE 2 - Linea Elastica

Nella progettazione delle opere di architettura è importante saper valutare spostamenti e deformazioni, in modo da poterne verificare, oltre che la resistenza, anche la funzionalità.

Abbiamo una trave iperstatica, così definita perchè il numero dei vincoli è maggiore dei gradi di libertà, e ne vogliamo determinare il massimo spostamento, nel punto C. La mia ultima incognita è quindi v_(s), e la calcolo attraverso il metodo dell'integrazione della linea elastica, una curva che rappresenta la forma assunta dall’asse della trave a deformazione avvenuta.

1) DIMOSTRO COME ARRIVO ALL'EQUAZIONE DELLO SPOSTAMENTO VERTICALE DELLA LINEA ELASTICA

2) ESPLICITO RICORDANDOMI: CHE EI = costante, DELLA CONVENZIONE POSITIVA DEI SEGNI, E CHE q₂ = costante

3) PER TROVARE v_(s) DEVO INTEGRARE 4 VOLTE

1° integrazione

2° integrazione

3° integrazione

4° integrazione

4) INSERISCO I VINCOLI

INCASTRO

CARRELLO

So che nel carrello il MOMENTO è NULLO!

Le mie due equazioni sono quindi:

5) PER TROVARE v_(s) SOSTITUISCO I VALORI c₁, c₂, c₃, c₄ CHE HO TROVATO

6) VOGLIAMO ORA DETERMINARE LA LUNGHEZZA s DOVE v_(s) È MASSIMO

Nei punti di MASSIMO o di MINIMO ha la retta tangente alla curva parallela all'asse x. Azzero quindi la derivata per trovare s.

7) DETERMINO LE REAZIONI VINCOLARI E GLI SFORZI M e T

M lo posso calcolare attraverso:

     1) STUDIO IL MOMENTO AGLI ESTREMI

      2) PER SAPERE DOVE M è max DEVO AZZERARE LA DERIVATA

sostituisco nella funzione-momento

      3) TROVO IL SECONDO PUNTO DOVE SI ANNULLA IL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

      4) PER TROVARE IL TAGLIO LA SUA RELAZIONE COL MOMENTO

      5) ESSENDO LINEARE STUDIO LA FUNZIONE SOLO AGLI ESTREMI

          (so già infatti che si annulla dove M = max, a 5/8 L)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

      6) LE REAZIONI VINCOLARI SONO PROPRIO

8) CONFRONTO CON SAP2000