blog di lavinia.sabatini

Un graticcio di travi è definibile tale quando non vi è una gerarchia strutturale tra le travi; non essendoci travi primarie e secondarie le travi avranno tutte la stessa sezione, così come i momenti di inerzia saranno simili nelle due direzioni.

Sfrutteremo questo esercizio per analizzare il problema della TORSIONE, generata proprio dalla stretta collaborazione tra le travi che compongono il graticcio.

Svolgiamo questo esercizio con la SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, analizzando la trave AC e la trave BD separatamente.

1) ANALISI DELLE DEFORMATE DOVUTE ALLO SPOSTAMENTO δ

Tale spostamento lo vedo come un cedimento vincolare che "separa in due ogni singola trave"

2) ANALISI DEGLI EFFETTI DOVUTI ALLA ROTAZIONE φ

La rotazione φ_y diventa TORSIONE per l'altra asta; si attivano quindi i M_t che si oppongono alla torsione.

3) STUDIO DEI TAGLI

Scrivo l'equazione:

4) STUDIO DEI MOMENTI

Scrivo l'equazione:

E quindi:

Vediamo cosa cambia se consideriamo un nodo incastro in 3D invece che in 2D: intanto non bloccherà più 3 gradi di libertà ma 6 e renderà solidali delle travi tra loro perpendicolari.

Eliminiamo per un attimo l'asse DC (che sarebbe "uscente" dallo schermo) e osservo il comportamento di questa struttura:

- la mensola produce un MOMENTO FLETTENTE che arriva direttamente al nodo D; assumo inoltre che il pilastro sia assialmente indeformabile e che quindi assorba lui tutto lo sforzo qL.

                                              configurazione equivalente:

- il momento genera sul nodo una ROTAZIONE che diventa: FLESSIONE nelle travi AD e BD, TORSIONE nella trave DC. Da qui nasce l'esigenza di una nuova RIGIDEZZA, che contrasti le deformazioni derivanti dal momento torcente.

Risolviamo il sistema con il METODO DELLE FORZE facendo cedere l'incastro in A alla rotazione.

1) INTEGRO:

2) METTO LE CONDIZIONI AL BORDO:

3) SOSTITUISCO I VALORI NELLE EQUAZIONI:

4) DIAGRAMMI

In questo caso il MOMENTO non si ribalta sul pilastro! Ci vuole altro per equilibrarlo!

Il MOMENTO si è diviso esattamente a metà perchè la RIGIDEZZA delle due aste è la stessa!

SAP

Prendiamo una pianta tipo di cui vogliamo studiare la ripartizione delle forze sismiche, e di cui vogliamo conoscere la molla più sollecitata; considereremo la pianta come un corpo rigido in grado solo di spostamenti rigidi (traslazioni e rotazioni), mentre i telai li considereremo come corpi elstici, in grado quindi di deformarsi.

PIANTA:

PILASTRO:

I pilastri hanno tutti la stessa sezione ma, a seconda del telaio considerato, varia il loro momento di inerzia:

STEP 1:

Come prima cosa dobbiamo calcolare la rigidezza traslante di ogni telaio, ossia il coefficiente di proporzionalità tra la forza F e lo spostamento δ:

STEP 2:

Raccogliamo quindi tutte le rigidezze dei telai e delle loro distanze da uno stesso punto individuato sulla pianta, che coincide con il pilastro 16 (in basso a sinistra):

STEP 3:

Il centro di massa di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione della massa del sistema nello spazio. La posizione del centro di massa dell'intera pianta è frutto della suddivisione in "forme note" della stessa, per una questione di semplicità; di ogni area nota è stato individuato il baricentro attraverso il momento statico (area * distanza):

STEP 4:

Il centro delle rigidezze è, analogamente al centro delle masse, il valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione delle rigidezze del sistema. Conoscere la sua posizione rispetto al centro delle masse è fondamentale per sapere se c'è (e quanta) rotazione si genera del sistema.

STEP 5:

La determinazione dei carichi sismici è strettamente legata al peso della struttura a dell'intero impalcato:

STEPS 6 & 7:

La trave Vierendeel, dall'ingegnere che la brevettò, è una trave senza diagonali, composta da due correnti paralleli deformabili e montanti assialmente rigidi ortogonali ad essi. I nodi interni della trave devono essere in grado di trasmettere momenti flettenti (cosa che nelle travature reticolari non avviene, essendo essi delle cerniere).

Infatti la maglia triangolare è nel suo insieme indeformabile anche se sono ammesse rotazioni nei nodi, mentre quella rettangolare non lo è e quindi l'indeformabilità viene garantita con giunzioni in grado di impedire la rotazione reciproca tra le aste.

In questo esercizio NON possiamo sfruttare la simmetria, anche se i ragionamenti e il procedimento saranno del tutto analoghi all'esercizio precedente.

1) DISTRIBUZIONE DEL TAGLIO

Le forze applicate si trasformano in taglio sulle travi, iniziamo dalla 6 procendendo verso sinistra:

Abbiamo quindi un diagramma del TAGLIO con andamento costante, come il precedente esercizio, ma che trova il suo massimo valore a 3F (nettamente superiore ai 3/4 F dell'esercizio con la trave 4 volte incastrata).

2) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Anche in questo caso determiniamo il MOMENTO moltiplicando il taglio per metà della luce.

3) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI VERTICALI

Attraverso l'equilibrio dei NODI determiniamo il MOMENTO sui corpi rigidi:

4) DISTRIBUZIONE DEL TAGLIO NEGLI ELEMENTI VERTICALI

Per determinare il TAGLIO sommiamo i momenti agenti sull'elemento e dividiamo per la sua luce. Il momento infatti dimensionalmente è una forza per una lunghezza, mentre il taglio una forza.

Possiamo quindi ora disegnare il diagramma:

5) DEFORMATA E ABBASSAMENTO

La deformata, seguendo la conformazione del telaio SHEAR TYPE, avrà questa conformazione:

Lo spostamento δ dipende dal TAGLIO che sollecita l'asta (si prendono in considerazione i correnti superiore ed inferiore partendo dall'asta direttamente incastrata con l'esterno del sistema); sappiamo infatti che:

e quindi, svolgendo i calcoli, troveremo che:

Questo vuol dire che l'ELEMENTO 1 (il primo sulla sinistra) subisce una deformazione 6 volte MAGGIORE di quella dell'ELEMENTO 6 (l'ulitmo a destra).

La trave Vierendeel, dall'ingegnere che la brevettò, è una trave senza diagonali, composta da due correnti paralleli deformabili e montanti assialmente rigidi ortogonali ad essi. I nodi interni della trave devono essere in grado di trasmettere momenti flettenti (cosa che nelle travature reticolari non avviene, essendo essi delle cerniere).

Infatti la maglia triangolare è nel suo insieme indeformabile anche se sono ammesse rotazioni nei nodi, mentre quella rettangolare non lo è e quindi l'indeformabilità viene garantita con giunzioni in grado di impedire la rotazione reciproca tra le aste.

Studiamo il comportamento di questa trave sfruttando la sua simmetria: geometrica, dei carichi, dei vincoli e delle rigidezze.

1) DETERMINAZIONE DEL TAGLIO NEGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Partiamo dall'elemento centrale (3) e procediamo verso sinistra (1):

2) DISTRIBUZIONE DELLO SFORZO DI TAGLIO SUI CORRENTI:

3) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Per la determinazione del momento mi servo di questa semplice regola :

                                                                         M₀ = T * H/2      _{con H = L nel nostro caso}

4) DETERMINAZIONE DEL MOMENTO NEI CORPI RIGIDI

Anche in questo caso la determinazione del momento è molto semplice, in quanto basta ribaltare i momenti che arrivano al nodo:

- NODO 1

SAP

Il Metodo delle Forze, che ha una profonda parentela con il Principio dei Lavori Virtuali, è uno dei possibili metodi per la risoluzione di strutture iperstatiche e consiste primariamente nel porre come incognite del problema alcune reazioni vincolari, il cui numero è pari al grado di iperstaticità della struttura in esame.

Definite queste incognite in modo opportuno, ossia senza “labilizzare” la struttura di partenza, il metodo procede, tramite una sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti, nella determinazione delle equazioni che ci consentono di determinare il valore delle suddette incognite. Queste equazioni sono di compatibilità cinematica: difatti, la scelta di rappresentare qualche grado di vincolo tramite la reazione (forza o coppia) corrispondente, elevandola al rango di incognita, equivale all'eliminazione di alcuni vincoli cinematici, che devono essere ripristinati in termini di equazioni, affinché il sistema isostatico che si sta studiando corrisponda al sistema iperstatico di partenza.

Prendiamo quindi una struttura iperstatica, nel nostro caso 3 volte, ed applichiamo il Metodo delle Forze per determinare gli sforzi di Momento, Taglio e Normale.

Divido la struttura in una successione di travi appoggiate:

L'orientamento delle coppie è dato per equilibrare l'azione dei MOMENTI introdotti in precedenza. Sommo facendo un passo alla volta:

Avendo un carico distribuito so già che il diagramma del MOMENTO sarà descritto da una funzione parabolica e, conseguentemente, quello del TAGLIO da una lineare. Posso anche già dire che in presenza delle forze puntuali il diagramma del TAGLIO avrà una discontinuità (SALTO), e che dove il taglio si annulla il MOMENTO avrà la tangente orizzontale (MASSIMO o MINIMO).

Posso quindi fare un primo disegno QUALITATIVO del momento mentre del taglio so già i valori (REAZIONI VINCOLARI):

Per torvare i valori dei momenti faccio i tagli e sfrutto la simmetria:

Saper fare un dimensionamento di massima di una trave soggetta a MOMENTO FLETTENTE è basilare ai fini della progettazione; il dimensionamento infatti serve a stabilire se la struttura riesce a resistere ai carichi a cui è sottoposta.

La resistenza si misura in TENSIONE, motivo per cui nelle tabelle finali si verificherà che le tensioni di progetto siano inferiori a quelle cosiddette ammissibili.

1) PIANTA:

Il dimensionamento riguarderà il solaio rappresentato in figura e in particolare la trave più sollecitata

Luce 7m _ Interasse 5 m

2) SEZIONE

3) ANALISI DEI CARICHI:

4) -Dimensionamento trave maggiormente sollecitata:

Ho inserito nel foglio elettronico i carichi precedentemente calcolati e la misura della base ipotizzata.

ottengo un hmin = 53.43 cm;

per stare in sicurezza e adattarmi ai formati commerciali prendo una sezione 35x55 cm.

Aggiungo ora al calcolo precedentemente effettuato il peso proprio della trave:

Vediamo nel riquadro rosso a sfondo verde che la trave non è verificata; provo allora adottando una trave 35x60 cm e vedo, nell'ultima riga sopra allegata, che questa soddisfa la verifica.

Nella progettazione delle opere di architettura è importante saper valutare spostamenti e deformazioni, in modo da poterne verificare, oltre che la resistenza, anche la funzionalità.

Abbiamo una trave iperstatica, così definita perchè il numero dei vincoli è maggiore dei gradi di libertà, e ne vogliamo determinare il massimo spostamento, nel punto C. La mia ultima incognita è quindi v_(s), e la calcolo attraverso il metodo dell'integrazione della linea elastica, una curva che rappresenta la forma assunta dall’asse della trave a deformazione avvenuta.

1) DIMOSTRO COME ARRIVO ALL'EQUAZIONE DELLO SPOSTAMENTO VERTICALE DELLA LINEA ELASTICA

2) ESPLICITO RICORDANDOMI: CHE EI = costante, DELLA CONVENZIONE POSITIVA DEI SEGNI, E CHE q₂ = costante

3) PER TROVARE v_(s) DEVO INTEGRARE 4 VOLTE

1° integrazione

2° integrazione

3° integrazione

4° integrazione

4) INSERISCO I VINCOLI

INCASTRO

CARRELLO

So che nel carrello il MOMENTO è NULLO!

Le mie due equazioni sono quindi:

5) PER TROVARE v_(s) SOSTITUISCO I VALORI c₁, c₂, c₃, c₄ CHE HO TROVATO

6) VOGLIAMO ORA DETERMINARE LA LUNGHEZZA s DOVE v_(s) È MASSIMO

Nei punti di MASSIMO o di MINIMO ha la retta tangente alla curva parallela all'asse x. Azzero quindi la derivata per trovare s.

7) DETERMINO LE REAZIONI VINCOLARI E GLI SFORZI M e T

M lo posso calcolare attraverso:

     1) STUDIO IL MOMENTO AGLI ESTREMI

      2) PER SAPERE DOVE M è max DEVO AZZERARE LA DERIVATA

sostituisco nella funzione-momento

      3) TROVO IL SECONDO PUNTO DOVE SI ANNULLA IL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

      4) PER TROVARE IL TAGLIO LA SUA RELAZIONE COL MOMENTO

      5) ESSENDO LINEARE STUDIO LA FUNZIONE SOLO AGLI ESTREMI

          (so già infatti che si annulla dove M = max, a 5/8 L)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

      6) LE REAZIONI VINCOLARI SONO PROPRIO

8) CONFRONTO CON SAP2000

Le strutture reticolari sono composta da un insieme di aste rettilinee complanari, vincolate ai nodi con delle cerniere e caricate esternamente solo su queste. Esse nascono per far fronte alla necessità di impiegare strutture più leggere per superare luci più grandi. È formata da due elementi continui chiamati correnti, e da un'anima scomposta in elementi lineari, disposti in verticale e/o inclinati, chiamati montanti; tutti gli elementi sono sollecitati esclusivamente da sforzo normale di compressione (PUNTONI) o di trazione (TIRANTI).

Le aste che compongono una struttura reticolare devono essere conformate in modo da formare maglie triangolari. Il numero delle aste “a”, necessarie per collegare “n” nodi in modo stabile, cioè in modo che non presenti labilità interne, è: a = 2n -3.

Svolgiamo adesso un esercizio con il Metodo delle Sezioni di Ritter (Georg Dietrich August); questo metodo prevede di suddividere la trave reticolare in due parti mediante un’opportuna sezione che dovrà interessare oltre l’asta di cui si vuole determinare lo sforzo altre due aste. Le tre aste sezionate dovranno essere a due a due concorrenti nello stesso punto. Una volta tagliata la struttura, sui monconi delle tre aste tagliate si introducono gli sforzi normali incogniti, ipotizzandone un verso; imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione di una delle due parti in cui è sta ta divisa la travatura rispetto al punto d’intersezione degli assi di due delle tre aste interessate dalla sezione di Ritter si ottiene lo sforzo normale nella terza asta.

1) CALCOLIAMO LE REAZIONI VINCOLARI

Essendo la struttura simmetrica e caricata simmetricamente, le reazioni saranno la somma delle forze applicate diviso 2.

               α = 45° --->   sen α = cos α = √2 / 2

2) ESEGUIAMO UNA PRIMA SEZIONE

Isoliamo la sezione ed evidenziamo gli sforzi normali, ipotizzandone un verso:

Ora, imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione, ogni volta facendo polo in un punto diverso, calcolo gli sforzi normali.

Ora attraverso l'equilibrio alla traslazione verticale calcolo l'ultimo sforzo normale:

3) ESEGUIAMO UNA SECONDA SEZIONE

Isoliamo la sezione ed evidenziamo gli sforzi normali, ipotizzandone un verso:

4) CALCOLIAMO LO SFORZO NEL NODO 1 ATTRAVERSO L'EQUILIBRIO AL NODO

5) SCHEMA RIASSUNTIVO

L'asta più sollecitata risulta essere un TIRANTE ed è quella che collega i nodi 3 e 5.