Esercitazione_1_risoluzione trave iperstatica (metodo della linea elastica)

 

Esercitazione_1

trave iperstatica (risoluzione tramite la linea elastica)

 

struttura

 

Il sistema proposto risulta essere un sistema iperstatico, quindi per poterlo risolvere si ricorre al metodo d’integrazione della linea elastica (adottando per la trave il modello di Eulero-Bernoulli), il quale ci permette di individuare l’incognita richiesta, ovvero lo spostamento verticale massimo_vs  della deformata.

 

1_

Si procede quindi con l’analisi delle 8 equazioni fondamentali (3 equazioni di EQUILIBRIO, 3 equazioni di DEFORMAZIONE e 2 equazioni COSTITUTIVE); le equazioni successivamente verranno usate per indagare due aspetti fondamentali dello spostamento della deformata della trave, in quanto definiscono sia lo spostamento assiale (definito dallo sforzo normale) che quello trasversale (definito dallo sforzo di taglio e momento flettente).

Le 8 equazioni fondamentali quindi vengono divise in due sistemi:

us

⎧(dN/ds) + q₁=0

⎨N=E*A*ε

⎩ε=(du/ds)

vs

⎧(dT/ds) + q₂=0

⎢(dM/ds) + T=0

⎨M=E*J*χ

⎢ χ=(dφ/ds)

⎩φ=(dv/ds)

Quindi per rispondere alle richieste avanzate nell’esercizio verrano utilizzate solamente le 5 equazioni che descrivono il comportamento dello spostamento verticale_vs  della deformata.

 

2_

Si nota che questo è un sistema di 5 equazioni in 5 incognite. Siamo quindi in grado di dedurle tutte, esprimendole come progressive derivate della legge dello spostamento verticale_vs.

Quindi si procede con l’analisi delle condizioni al bordo; per poter risolvere l’equazione dello spostamento verticale_vs  necessitiamo di 4 equazioni aventi risultati noti poiché l’equazione suddetta presenta 4 incognite, che si presentano sotto costanti di integrazione C₁, C₂, C₃ e C₄ (derivanti dalle 4 integrazioni fatte per la determinazione della stessa).

 

vs= (q₂*s⁴/24*E*J) + (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2) + (C₃*s) + C₄

 

A questa equazione si giunge integrando quattro volte l’equazione che descrive il carico, ovvero:

 

q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J

 

Si suppone quindi che il carico sia descritto da una legge costante, fatto che ci fa dedurre che la legge dello spostamento verticale_vs sia un polinomio del tipo:

 

 p(x)= a₀ + a₁*x + a₂*x² + a₃*x³ + a⁴*x₄

 

Inoltre si è ipotizzato che il prodotto E*J sia costante lungo lo sviluppo assiale della trave_s, ovvero che le sezioni mantengano costanti le loro dimensione, forma e materiale. Grazie a questa ipotesi si è potuto estrapolare dall’integrazione il prodotto suddetto considerandolo come una costante, e quindi semplificando l’integrazione.

 

3_

Nel caso specifico dell’esercizio:

 

deformata

 

 

_estremo sinistro - incastro: s= 0

In questo punto  lo spostamento verticale e la rotazione della sezione della trave risultano essere pari a zero, quindi abbiamo:

v(0)= 0

φ(0)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) si può constatare che C₃ e C₄ sono nulle.

 

v(0)= 0 ⇒ C₄= 0

φ(0)= 0 ⇒ C₃*s = 0

 

_estremo destro - carrello orizzontale: s= L

In questo punto lo spostamento verticale risulta essere pari a zero, mentre la rotazione della sezione risulta essere diversa da zero ed ignota. Si necessita, quindi, di un ulteriore equazione nota e prendiamo in considerazione quella del momento che in prossimità della cerniera del carrello orizzontale deve essere uguale a zero.

v(L)= 0

φ(L)≠ 0 ⇒ M(L)= E*J*χ= E*J*(d²v/ds₂)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) ricavandoci C₁ e C₂.

 

 

v(L)= 0 ⇒

φ(L)= 0 ⇒ M(L)= E*J*χ= E*J*(d²v/ds₂)= 0 ⇒ ⎰(q₂*s²/2*E*J) + (C₁*L) + C₂

⇒ ⎱(q₂*s⁴/24*E*J) + (C₁*L³/6) + (C₂*L²/2)= 0

⇒ ⎰ C₁= -(5*q*L)/(8*E*J)

⇒ ⎱ C₂= (q*L)/(8*E*J)

Le due equazioni relative al bordo L, messe a sistema, ci permettono di calcolare le costanti C₁ e C₂.

 

4_

Successivamente si procede con la definizione dell’ultimo dato incognito presente nell’equazione dello spostamento verticale_vs, senza il quale non risulta possibile determinare l’abbassamento verticale: si tratta quindi del valore da assegnare alla variabile s all’interno dell’equazione dello spostamento verticale. Sapendo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave, si può dedurre che per la sua risoluzione bisogna derivare la funzione vs e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

 

v’s= φ=(dv/ds)= (q₂*s³/6*E*J) + (C₁*s²/2) + (C₂*s)= 0

 

Risolvendo questa equazione di terzo grado (mettendo in evidenza la s  per trovare la prima soluzione, ottenendo di conseguenza un’equazione di secondo grado) ottenendo 3 valori di s per i quali la derivata è nulla, ma solo 2 sono da prendere in considerazione (in quanto uno si riferisce ad un valore di s maggiore di L):

 

v’s= φ=(dv/ds)= (q₂*s³/6*E*J) + ((-(5*q*L)/(8*E*J))*s²/2) + (((q*L)/(8*E*J))*s)= 0

⇒ s= 0

⇒ s₁= (15*L/16) - ((√33)*L/16)

⇒ s₂= (15*L/16) + ((√33)*L/16) ⇒ s₂= 0,578*L

5_

Successivamente si procede con il calcolo dello spostamento verticale. Sostituiamo il valore di s₂ e C₁ e C₂ all’interno dell’equazione dello spostamento verticale_vs.

 

v’s= (q₂*s⁴/24*E*J) + (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2)

 

⇒ v’s= (q₂*(0,578*L )⁴/24*E*J) + ((-(5*q*L)/(8*E*J))*(0,578*L)³/6) + (((q*L)/(8*E*J))*(0,578*L)²/2)

Il risultato dello dello spostamento verticale_vs  sarà in funzione di q/E*J. Per avere un risultato esclusivamente numerico basterà assegnare un valore numerico al carico q, scegliere il materiale per avere un modulo elastico E e la sezione della trave per avere il momento d’inerzia J.

 

6_

L’ultimo passo consiste nel diagrammare il Taglio ed il Momento. Per il primo possiamo affermare che l’andamento è lineare e abbiamo un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel carrello orizzontale. L’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s= 0,578*L. Il momento, di conseguenza, avrà andamento parabolico, con un massimo positivo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello; ad s= 0,578*L corrisponde un momento negativo massimo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grafici qualitativi di TAGLIO e MOMENTO

 

I diagrammi delle sollecitazioni della struttura iperstatica possono essere visti come somma di due diagrammi di due struttura isostatiche.

 

7_

Succesivamente attraverso l’uso del software SAP2000 verrà assegnato un materiale (E), una dimensione ed una forma (J).

 

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUICK GRID LINES > impostare 2 assi sull’asse x, 1 sull’asse y e 1 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

 

 

 

 

 

 

 

disegnare un’asta seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

 

 

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

 

 

 

 

 

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra

 

 

 

 

assegnare il carico uniformemente distribuito:

selezionare l’asta  > ASSIGN > FRAME LOADS > DISTRIBUTED > impostare l’unità di misura voluta (nel nostro caso N, m, °C) > nella casella UNIFORM scrivere (ad esempio) -10 KN

 

 

 

 

 

 

rendere visibile il carico impostato:

DISPLAY > VIEW LOADS

 

 

 

 

eliminare il contributo del peso proprio della struttura dall’analisi:

DEFINE > LOAD PATTERNS > SELF WEIGHT MULTIPLER = 0 > nominare il load pattern “peso_nullo” > ADD NEW LOAD PATTERN

 

 

 

 

 

eliminare MODAL dall’analisi:

selezionare il load pattern MODAL > se nella colonna ACTION c’è RUN, premere il pulsante RUN/DO NOT RUN CASE per disattivare l’analisi

 

 

 

visualizzare la curva della deformata e confrontarla qualitativamente con quella ipotizzata:

RUN ANALYSIS 

 

 

 

 

 

 

visualizzare le reazioni vincolari:

RUN ANALYSIS > JOINT REACTIONS 

 

 

 

 

 

visualizzare il grafico del taglio e confrontarlo qualitativamente con quello ipotizzato:

RUN ANALYSIS  > SHEAR 2-2

 

 

 

 

 

visualizzare il grafico del momento e confrontarlo qualitativamente con quello ipotizzato:

RUN ANALYSIS > MOMENT 3-3 > spuntare START e END

 

 

 

 

impostare il materiale, la forma e la dimensione della sezione:

ASSIGN > FRAME > FRAME SECTION > (nel nostro caso) impostare acciaio a doppia T > impostare le misure desiderate (nel nostro caso quelle di una IPE500) > rinominare la sezione

 

 

 

 

visualizzare le tabelle relative ai dati dell’analisi:

DISPLAY > SHOW TABLES > spuntare la parte ANALYSIS RESULTS 

 

 

 

 

visualizzare gli spostamenti dovuti alle deformazioni per confrontare quello verticale con quello ottenuto nell’esercizio:

dal menù a tendina scegliere JOINT DISPLACEMENT > trovare il dato in R2

 

 

 

 

 

esportare i dati in formato EXCEL per organizzarli:

finestra delle tabelle > FILE > EXPORT > EXCEL FILE > SAVE

 

 

stazioni di record	sollecitazione di TAGLIO	sollecitazione di MOMENTO
0	-47,192	-70,7434
0,58225	-41,37	-44,9609
1,16449	-35,547	-22,5686
1,74674	-29,725	-3,5664
2,32898	-23,902	12,0457
2,91123	-18,08	24,2677
3,49348	-12,257	33,0996
4,07572	-6,435	38,5414
4,65797	-0,613	40,5931
5,24022	5,21	39,2547
5,82246	11,032	34,5262
6,40471	16,855	26,4076
6,98695	22,677	14,8988
7,5692	28,5	1,004*E-15

 

 

 

VINCOLI	REAZIONI VINCOLARI	REAZIONI VINCOLARI
	TAGLIO	MOMENTO
incastro	47,192	-70,7434
cerniera	28,5	0