blog di dumitru.musteata

 

Esercitazione_9.0

graticcio di travi (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema tridimensionale composto da travi aventi la stessa sezione di lunghezza 12m con una forza puntuale pari a 100 kN. Lo scopo dello studio del sistema risulta essere quello di comprendere il funzionamento del sistema a graticcio e come il nodo 1 si abbassa e ruota in funzione della forza applicata, lo studio successivamente verrà incentrato sulla sezione ed il materiale della trave soggetta a torsione, per comprendere come quest’ultimi influiscano a parità di azioni esterne.

 

 

 

2_

Per poter studiare la struttura in maniera più semplice, quest’ultima viene studiata attraverso gli schemi notevoli dei diagrammi della deformata. Lo schema presenta però una complicazione, in quanto il nodo 1 non risulta essere posizionato in mezzeria, quindi la forza applicata genera una rotazione φ1. Studiando di conseguenza le due travi della struttura, si può comprendere come la rotazione φ1 della trave CD dovrà necessariamente essere uguale all’abbassamento δ della trave AB. Da questo si può dedurre che sulla trave CD sono presenti due tipi di deformazioni (la rotazione φ1 e l’abbassamento δ), mentre sulla trave AB solo quella verticale (δ).

La struttura verrà studiata dividendo le due azioni agenti sulla trave, usando alla fine il metodo della sovrapposizione degli effetti.

 

 

trave AB_abbassamento δ

 

 

Lo studio dei momenti flettenti per la trave AB, ci fa vedere come quest’ultimi si annullano e quindi di conseguenza non verranno riportati nei calcoli successivi.

 

trave CD_abbassamento δ

 

 

trave CD_rotazione φ1

 

 

 

3_

Come si può dedurre dallo studio eseguito su rotazioni ed abbassamenti si può comprendere come la trave AB presenta solamente una deformazione di abbassamento verticale; ciò nonostante l’inflessione della trave CD genera su di essa un momento torcente. La trave AB quindi reagirà alla sollecitazione prodotta dalla trave CD con un momento torcente di verso opposto alla rotazione definita da quest’ultima.

 

 

Successivamente si procederà studiando l’equilibrio del nodo 1, inizialmente studiando l’equilibrio alla traslazione verticale e successivamente l’equilibrio alla rotazione.

 

Eq. alla traslazione verticale nodo 1

 

 

Eq. alla rotazione nodo 1

 

 

Ci si presenta quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.

 

4_

Possiamo ora attraverso un software WolframAlpha (computational knowledge engine) per poter risolvere il sistema:

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema del nodo si procede con la verifica tramite il software SAP.

 

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

 

 

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 9 sull’asse y e 1 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

 

vengono assegnati incastri sulle 4 aste

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > DISTRIBUTED, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono distribuiti.

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 22

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 33

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi della struttura in funzione delle varie sezioni assegnate.

 

ACCIAIO

SEZIONE QUADRATA CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

HEA 200

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

SEZIONE CIRCOLARE CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

CA

SEZIONE RETTANGOLARE 15cm_67cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

SEZIONE CIRCOLARE 36cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

 

 

 

 

 

 

Esercitazione_8.0

rigidezza torsionale (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema tridimensionale composto da travi e pilastri di lunghezza 10m, e da un aggetto di lunghezza 2m con un carico uniformemente distribuito pari a 5 kN/mq. Lo scopo dello studio del sistema risulta essere quello di comprendere come la sezione ed il materiale della trave soggetta a torsione influiscano su quest’ultima a parità di azioni esterne.

 

 

2_

Per poter studiare la struttura in maniera più semplice, quest’ultima viene studiata tramite uno schema equivalente dove l’aggetto soggetto al peso uniformemente distribuito viene eliminato e vi è applicato un momento concentrato M= (q*L²)*1/2. L’azione del momento applicato genera una flessione nella trave e nel pilastro posizionati nel piano XZ, ed una torsione nella trave posizionata nel piano YZ.

 

 

3_

Dopo aver studiato la deformata della struttura si puo ricavare di conseguenza il grafico qualitativo dei momenti, nel quale l’unica incognita presente risulta essere la rotazione φA (la rotazione sarà uguale in quanto abbiamo supposto che il nodo A sia un nodo rigido).

 

 

 

Successivamente si procederà studiando l’equilibrio del nodo, e definendone la sua rigidità.

 

Eq. nodo A => (q*L²)*1/2 - (((4*E*I)*1/10*L)*φA) - (((4*E*I)*1/10*L)*φA) - (((G*It)*1/10*L)*φA) = 0

=> (q*L²)*1/2 = (((4*E*I)*1/10*L)*φA) + (((4*E*I)*1/10*L)*φA) + (((G*It)*1/10*L)*φA)

=> (q*L²)*1/2 = φA*(((4*E*I)*1/10*L) + ((4*E*I)*1/10*L) + ((G*It)*1/10*L))

 

rigidezza del nodo A => RA = ((4*E*I)*1/10*L) + ((4*E*I)*1/10*L) + ((G*It)*1/10*L)

=> RA = ((q*L²)*1/2)*1/φA)

=> φA = ((q*L²)*1/2)*1/RA)

 

trave AC MAC= - (((4*E*I)*1/10*L)*φA)

trave AD MAD= - (((G*It)*1/10*L)*φA)

pilastro AB MAB= - (((4*E*I)*1/10*L)*φA)

 

Eq. nodo A => (q*L²)*1/2 = MAC + MAB + MAD

 

 

4_

Possiamo ora attraverso le formule sopra ricavate calcolare la rotazione φA ed il momento torcente MAD:

 

(q*L²)*1/2

 

E (in funzione del materiale che viene impiegato nella sezione)

 

Ix= ((B*H³)*1/12)

 

G= E*(1/2*(1+ν)) (dove ν è il coefficiente di Poisson che dipende dal materiale impiegato nella sezione)

It= c2*a*b³ (dove c2 è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione a/b)

 

 

a/b	c1	c2
1	0,208	0,1406
1,2	0,219	0,1661
1,5	0,231	0,1958
2	0,246	0,229
2,5	0,248	0,249
3	0,267	0,263
4	0,282	0,281
5	0,291	0,291
10	0,312	0,312
∞	0,333	0,333

 

 

Successivamente andremmo a studiarci le seguenti sezioni attraverso un foglio Excel ed il software SAP2000:

• • Acciaio:

1.1 sezione quadrata cava r= 20cm tw= 1cm

1.2 HEA 220

1.3 sezione circolare cava r= 20cm tw= 1cm

 

• • CA:

2.1 sezione rettangolare 15cm _ 67cm

2.2 sezione circolare 36cm

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema del nodo si procede con la verifica tramite il software SAP.

 

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

 

 

QUICK GRID LINES > impostare 6 assi sull’asse x, 2 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

 

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

 

vengono assegnati incastri sulle 3 aste

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > DISTRIBUTED, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono distribuiti.

 

 

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 22

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 33

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi della struttura in funzione delle varie sezioni assegnate.

 

ACCIAIO

SEZIONE QUADRATA CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

 

ACCIAIO_sezione quadrata cava r= 20cm tw= 1cm
	M1	M2	M3
	385,182	385,182	240,065
RA				1.010,429
φA
	(q*L²)*1/2	RA
	10	1.010,429
φA			0,009897
	M1	M2	M3
	3,812	3,812	2,376
equilibrio				10,000

HEA 200

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

ACCIAIO_sezione HEA 200
	M1	M2	M3
	575,232	575,232	0,810
RA				1.151,274
φA
	(q*L²)*1/2	RA
	10	1.151,274
φA			0,008686
	M1	M2	M3
	4,996	4,996	0,007
equilibrio				10,000

SEZIONE CIRCOLARE CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

ACCIAIO_sezione circolare cava r= 20cm tw= 1cm
	M1	M2	M3
	226,884	226,884	1.987,313
RA				2.441,081
φA
	(q*L²)*1/2	RA
	10	2.441,081
φA			0,004097
	M1	M2	M3
	0,929	0,929	8,141
equilibrio				10,000

CA

SEZIONE RETTANGOLARE 15cm_67cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

CA_sezione rettangolare 15cm _ 67cm
	M1	M2	M3
	31.580,115	31.580,115	555,985
RA				63.716,215
φA
	(q*L²)*1/2	RA
	10	63.716,215
φA			0,000157
	M1	M2	M3
	4,956	4,956	0,087
equilibrio				10,000

SEZIONE CIRCOLARE 36cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

CA_sezione circolare r= 36cm
	M1	M2	M3
	110.810,055	110.810,055	5.771,357
RA				227.391,467
φA
	(q*L²)*1/2	RA
	10	227.391,467
φA			0,000044
	M1	M2	M3
	4,873	4,873	0,254
equilibrio				10,000

 

 

 

 

 

 

Esercitazione_2.1

trave reticolare piana (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema isostatico, quindi per poterlo risolvere si ricorre ad uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per risolvere le reazioni vincolari e successivamente al metodo delle sezioni di Ritter per risoluzione delle aste della reticolare, quale metodo delle sezioni riesce a definire gli sforzi normali presenti sulle aste, definendo di conseguenza la loro natura di puntoni o tiranti.

 

 

2_

Si procede con la risoluzione di uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per definire le reazioni vincolari, nel caso dell’esercizio:

RUA = 0 

RVA + RVB - (9*F) = 0 ⇒ RVA = RVB = (1/2*(9*F))

 

 

3_

Si procede con l’applicazione del metodo delle sezioni di Ritter (metodo degli equilibri parziali), in questo metodo, la parte di struttura che deve essere in equilibrio viene individuata da una sezione che taglia le aste, dove le 3 aste tagliate non devono mai convergere nello stesso nodo. Questo metodo analizza le azioni di contatto presenti nelle aste andando a definire il loro sforzo normale e la loro classificazione (puntoni o tiranti).

 

 

sezione verticale_1

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L + NAC*L - (1/2*(9*F))*L = 0 => NAC = (1/2*(7*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NAD - F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NAD  = -(1/2*(7*F))

=> NAD = -(1/√2*(7*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NBD + (1/2*(7*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NBD = 0 _scarica

sezione obliqua_1

 

Eql. delle forze verticali

NAB + (1/2*(9*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NAB = -F _tirante

 

sezione verticale_2

 

Eql. alla rotazione

ME= F*L  + (2*(F*L))+ NCF*L - (1/2*(9*F))*(2*L) = 0 => NCF = (1/2*(3*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NCE - 2*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(5*F))

=> NCE = -(1/√2*(5*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NDE + (1/2*(3*F)) - (1/2*(5*F)) = 0 => NDE = F _puntone

sezione obliqua_2

 

Eql. delle forze verticali

- NDc + (1/2*(9*F)) - 2*F = 0 => NDC = - (1/2*(5*F)) _tirante

 

sezione verticale_3

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + NFH*L - (1/2*(9*F))*(3*L) = 0 => NFH = (1/2*(15*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NFG - 3*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(3*F))

=> NFG = -(1/√2*(3*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NEG + (1/2*(15*F)) - (1/2*(3*F)) = 0 => NEG = 6*F _puntone

sezione obliqua_3

 

Eql. delle forze verticali

- NEF + (1/2*(9*F)) - 3*F = 0 => NEF = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

sezione verticale_4

 

Eql. alla rotazione

MI= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + (4*(F*L)) + NHJ*L - (1/2*(9*F))*(4*L) = 0

=> NHJ = 8*F _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NHI - 4*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*F)

=> NHI = -(1/√2**F) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NGI  + 8*F - (1/2**F)  = 0 => NGI = (1/2*(15*F)) _puntone

sezione obliqua_4

 

Eql. delle forze verticali

- NGH + (1/2*(9*F)) - 4*F = 0 => NGH = 1/2*F _puntone

 

sezione obliqua_5

 

Eql. delle forze verticali

- NIJ + (1/2*(9*F)) - 5*F = 0 => Nij = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

4_

Successivamente alla risoluzione del sistema della trave reticolare si procede con la graficizzazione del diagramma dei sforzi normali delle aste, come si può vedere in fingura:

 

 

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema della trave reticolare si procede con la verifica tramite il software SAP.

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 1 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra

 

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono concentrati tutti nei nodi.

 

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE

 

Esercitazione_7

controventi (ripartizione delle forze sismiche)

 

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta da C.A., avente una maglia strutturale definita da pilastri con dimensioni 30x30 cm, e da due passi strutturali, rispettivamente di 5,10 m e 1,70m. L’obiettivo del essercizio e quello di verificare la reazione dell’impalcato alle forze esterne di carattere sismico. I vincoli ad incastro verranno rappresentati graficamente attraverso delle molle, quindi dei vincoli cedevoli elasticamente (in questo caso le molle rispettano lalegge di Hooke: F = k*δ, mentre il pilastro contribuisce sul relativo controvento con una rigidezza traslante pari a k = (12*E*J)*1/12).

 

2_

calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell’edificio

Dati:

E (modulo di Young) = 21’000 N/mm²

H (altezza dei pilastri) = 3,50 m

Jxx (modulo di inerzia in direzione x-x) = 67’500 cm⁴

Jyy (modulo di inerzia in direzione y-y) = 67’500 cm⁴

 

Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

 

 

 

Telaio 1_v	A1-B1	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_1	67500,00	momento d'inerzia pilastro 1
J_9	67500,00	momento d'inerzia pilastro 9
K_T(KN/m)	7934,69	rigidezza traslante telaio 1_v

 

Telaio 1_o	A1->A8	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_1	67500,00	momento d'inerzia pilastro 1
J_2	67500,00	momento d'inerzia pilastro 2
J_3	67500,00	momento d'inerzia pilastro 3
J_4	67500,00	momento d'inerzia pilastro 4
J_5	67500,00	momento d'inerzia pilastro 5
J_6	67500,00	momento d'inerzia pilastro 6
J_7	67500,00	momento d'inerzia pilastro 7
J_8	67500,00	momento d'inerzia pilastro 9
K_T(KN/m)	31738,78	rigidezza traslante telaio 1_o

 

Telaio 2_v	A2-B2-C2	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_2	67500,00	momento d'inerzia pilastro 2
J_10	67500,00	momento d'inerzia pilastro 10
J_17	67500,00	momento d'inerzia pilastro 17
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 2_v

 

Telaio 2_o	B9->B16	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_9	67500,00	momento d'inerzia pilastro 9
J_10	67500,00	momento d'inerzia pilastro 10
J_11	67500,00	momento d'inerzia pilastro 11
J_12	67500,00	momento d'inerzia pilastro 12
J_13	67500,00	momento d'inerzia pilastro 13
J_14	67500,00	momento d'inerzia pilastro 14
J_15	67500,00	momento d'inerzia pilastro 15
J_16	67500,00	momento d'inerzia pilastro 16
K_T(KN/m)	31738,78	rigidezza traslante telaio 2_o

 

Telaio 3_v	A3-B3-C3	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_3	67500,00	momento d'inerzia pilastro 3
J_11	67500,00	momento d'inerzia pilastro 11
J_18	67500,00	momento d'inerzia pilastro 18
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 3_v

 

Telaio 4_v	A4-B4-C4	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_4	67500,00	momento d'inerzia pilastro 4
J_12	67500,00	momento d'inerzia pilastro 12
J_19	67500,00	momento d'inerzia pilastro 19
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 4_v

 

Telaio 3_o	C17->C22	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_17	67500,00	momento d'inerzia pilastro 17
J_18	67500,00	momento d'inerzia pilastro 18
J_19	67500,00	momento d'inerzia pilastro 19
J_20	67500,00	momento d'inerzia pilastro 20
J_21	67500,00	momento d'inerzia pilastro 21
J_22	67500,00	momento d'inerzia pilastro 22
K_T(KN/m)	23804,08	rigidezza traslante telaio 3_o

 

Telaio 5_v	A5-B5-C5	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_5	67500,00	momento d'inerzia pilastro 5
J_13	67500,00	momento d'inerzia pilastro 13
J_20	67500,00	momento d'inerzia pilastro 20
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 5_v

 

Telaio 6_v	A6-B6-C6	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_6	67500,00	momento d'inerzia pilastro 6
J_14	67500,00	momento d'inerzia pilastro 14
J_21	67500,00	momento d'inerzia pilastro 21
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 6_v

 

Telaio 7_v	A7-B7-C7	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_7	67500,00	momento d'inerzia pilastro 7
J_15	67500,00	momento d'inerzia pilastro 15
J_22	67500,00	momento d'inerzia pilastro 22
K_T(KN/m)	11902,04	rigidezza traslante telaio 7_v

 

Telaio 8_v	A8-B8-C8	pilastri che individuano il telaio
E (N/mmq)	21000,00	modulo di Young
H (m)	3,50	altezza dei pilastri
J_8	67500,00	momento d'inerzia pilastro 8
J_16	67500,00	momento d'inerzia pilastro 16
K_T(KN/m)	7934,69	rigidezza traslante telaio 8_v

3_

tabella sinotica controventi e distanze

Dati:

Kv, Ko (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

Kv, Ko (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

 

 

Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

 

 

 

Kv1(KN/m)	7934,69	rigidezza traslante contr.vert.1
Kv2	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.2
Kv3	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.3
Kv4	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.4
Kv5	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.5
Kv6	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.6
Kv7	11902,04	rigidezza traslante contr.vert.7
Kv8	7934,69	rigidezza traslante contr.vert.8
dv2	5,10	distanza orizzontale controvento punto O
dv3	10,20	distanza orizzontale controvento punto O
dv4	15,30	distanza orizzontale controvento punto O
dv5	20,40	distanza orizzontale controvento punto O
dv6	25,50	distanza orizzontale controvento punto O
dv7	30,60	distanza orizzontale controvento punto O
dv8	35,70	distanza orizzontale controvento punto O
Ko1(KN/m)	31738,78	rigidezza traslante contr.orizz.1
Ko2	31738,78	rigidezza traslante contr.orizz.2
Ko3	23804,08	rigidezza traslante contr.orizz.3
do2 (m)	1,70	distanza verticale controvento dal punto O
do3	6,80	distanza verticale controvento dal punto O

4_

calcolo del centro di massa

Dati:

Xg, Yg (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

A1, A2, A3, A4 (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

 

 

Step 3: calcolo del centro di massa

 

 

 

area_1 (mq)	60,69	misura dell'area superficie 1area 1 (misura)
x_G1 (m)	17,85	coordinata X centro area 1
y_G1	0,85	coordinata Y centro area 1
area_2	26,01	misura dell'area superficie 2
x_G2	7,65	coordinata X centro area 2
y_G2	4,25	coordinata Y centro area 2
area_3	26,01	misura dell'area superficie 3
x_G3	17,85	coordinata X centro area 3
y_G3	4,25	coordinata Y centro area 3
area_4	26,01	misura dell'area superficie 4
x_G4	28,05	coordinata X centro area 4
y_G4	4,25	coordinata Y centro area 4
Area tot (mq)	138,72	Area totale impalcato
X_G	17,85	coordinata X centro d'area impalcato (centro massa)
Y_G	2,76	coordinata Y centro d'area impalcato (centro massa)

 

5_

calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Dati:

Kv, Ko (rigidezza totali delle molle)

ddv, ddo (distanza dei controventi dal centro delle rigidezze)

 

 

Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

 

 

 

Ko_tot	87281,63	rigidezza totale orizzontale
Kv_tot	87281,63	rigidezza totale verticale
X_C (m)	17,85	coordinata X centro rigidezze
Y_C	2,47	coordinata Y centro rigidezze
dd_v1	-17,85	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v2	-12,75	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v3	-7,65	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v4	-2,55	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v5	2,55	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v6	7,65	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v7	12,75	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_v8	17,85	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_o1	-2,47	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_o2	-0,77	distanze controvento dal centro rigidezze
dd_o3	4,33	distanze controvento dal centro rigidezze
K_ϕ (KN*m)	11132608,14	rigidezza torsionale totale

6_

analisi dei carichi sismici

Dati:

qs (carico strutturale)

qp (carico permanente)

qa (carico accidentale)

y (coeficiente di contemporaneità)

c (coeficiente di intensità sismica)

ddv, ddo (distanza dei controventi dal centro delle rigidezze)

 

 

Step 5: analisi dei carichi sismici

 

 

 

q_s (KN/mq)	1,50	carico permanente di natura strutturale
q_p	2,50	sovraccarico permanente
q_a	5,00	sovraccarico accidentale
G (KN)	554,88	carico totale permamente
Q (KN)	693,60	carico totale accidentale
y	0,80	coefficiente di contemporaneità
W (KN)	1109,76	Pesi sismici
c	0,10	coefficiente di intensità sismica
F (KN)	110,98	Forza sismica orizzontale

7_

ripartizione della forza sismica lungo X

Dati:

M (momento torcente) = F *(Yc - Yg)

uo (traslazione orizzontale) = F*(1/KoTOT)

φ (rotazione impalcato) = M*(1/Kφ)

 

 

Step 6: ripartizione forza sismica lungo X

 

 

 

M (KN*m)	-32,16	momento torcente (positivo se antiorario)
u_o (m)	0,001	traslazione orizzontale
ϕ	-0,0000029	rotazione impalcato (positiva se antioraria)
Fv1 (KN)	0,4091	Forza sul controvento verticale 1
Fv2	0,4384	Forza sul controvento verticale 2
Fv3	0,2630	Forza sul controvento verticale 3
Fv4	0,0877	Forza sul controvento verticale 4
Fv5	-0,0877	Forza sul controvento verticale 5
Fv6	-0,2630	Forza sul controvento verticale 6
Fv7	-0,4384	Forza sul controvento verticale 7
Fv8	-0,4091	Forza sul controvento verticale 8
Fo1	40,5816	Forza sul controvento orizzontale 1
Fo2	40,4258	Forza sul controvento orizzontale 2
Fo3	29,9686	Forza sul controvento orizzontale 3

 

	40,35
	40,35
	30,27
TOTALE	110,98

8_

ripartizione della forza sismica lungo Y

Dati:

M (momento torcente) = F *(Xc - Xg)

uo (traslazione orizzontale) = F*(1/KvTOT)

φ (rotazione impalcato) = M*(1/Kφ)

 

 

Step 6: ripartizione forza sismica lungo Y

 

 

 

M (KN*M)	0,00	momento torcente
v_o (KN)	0,001	traslazione verticale
ϕ	0,0000000	rotazione impalcato
Fv1 (KN)	10,0887	Forza sul controvento verticale 1
Fv2	15,1331	Forza sul controvento verticale 2
Fv3	15,1331	Forza sul controvento verticale 3
Fv4	15,1331	Forza sul controvento verticale 4
Fv5	15,1331	Forza sul controvento verticale 5
Fv6	15,1331	Forza sul controvento verticale 6
Fv7	15,1331	Forza sul controvento verticale 7
Fv8	10,0887	Forza sul controvento verticale 8
Fo1	-99,7867	Forza sul controvento orizzontale 1
Fo2	-31,1833	Forza sul controvento orizzontale 2
Fo3	130,9700	Forza sul controvento orizzontale 3

 

	10,09
	15,13
	15,13
	15,13
	15,13
	15,13
	15,13
	10,09
TOTALE	110,98

 

 

 

Esercitazione_4

trave su più appoggi (risoluzione di un sistema iperstatico attraverso il metodo delle forze)

 

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta da una trave su più appoggi, la quale risulta di conseguenza iperstatica. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema verrà applicato il metodo delle forze, il quale metodo prevede il declassamento dei vincoli, sostituendoli con forze o momenti, corrispondenti alle reazioni vincolari escluse dallo schema. Questo metodo ha come obbiettivo la risoluzione di uno schema iperstatico mediante schemi isostatici equivalenti.

 

2_

analisi della trave

La scelta del declassamento dei vincoli viene definita dalla conoscenza del valore di abbassamento e rotazione (deformata della trave) sotto condizioni di carico distribuito o momenti flettenti. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema iperstatico, si declassano le cerniere B-C-D, rendendole di conseguenza passanti (quindi interne) e aggiungendo delle coppie di momenti nei punti B-C-D. Le coppie di momenti riescono a ripristinare la condizione di vincolo esclusa precedentemente, garantendo di conseguenza una simmetria nella rotazione della cerniera interna.

 

3_

equazioni di compatibilità cinematica

Successivamente vengono definite le equazioni di compatibilità cinematica della trave, dove abbiamo:

 

tratto A-B

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφB = ΔφBs + ΔφBd ⇒ ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφBd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xBd*L)*(1/3*E*J)) + ((xCs*L)*(1/6*E*J))

ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xBd*L)*(1/3*E*J))+((xCs*L)*(1/6*E*J)) = ΔφBd

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

tratto B-C

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφC = 0

ΔφC = ΔφCs + ΔφCd ⇒ ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBd*L)*(1/6*E*J)) - ((xCs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφCd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xDs*L)*(1/6*E*J)) + ((xCd*L)*(1/6*E*J))

ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBd*L)*(1/6*E*J))-((xCs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xDs*L)*(1/6*E*J))+((xCd*L)*(1/6*E*J)) = ΔφCd

⇒ Δφc = ((q*L²)*(1/14))

ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (((q*L²)*(1/14))*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(3/28))

 

 

4_

equazioni di equilibrio

Successivamente vengono definite le equazioni di equilibrio della trave, dove abbiamo:

 

 

tratto A-B

RVA = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) ⇒ RVBs = (q*L*(17/28))

 

tratto B-C

RVBd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVBd = (q*L*(15/28))

RVCs = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCs = (q*L*(13/28))

 

tratto C-D

RVCd = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(13/28))

RVDs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVDs = (q*L*(15/28))

 

tratto D-E

RVDd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(15/28))

RVE = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVE = (q*L*(11/28))

 

Successivamente vengono definite le reazioni vincolari complessive del sistema analizzato:

 

RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(17/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVB = (q*L*(8/7))

RVBd = (q*L*(15/28)) ⎭

RVCs = (q*L*(13/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVC = (q*L*(13/14))

RVCd = (q*L*(13/28)) ⎭

RVDs = (q*L*(15/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVD = (q*L*(8/7))

RVDd = (q*L*(17/28)) ⎭

RVE = (q*L*(11/28))

 

 

5_

sollecitazioni di taglio e momento flettente

 

Successivamente vengono definite le sollecitazioni a taglio ed i punti di nullo del taglio, quest’ultimi eguagliando il valore del taglio nel dato tratto a 0 (sapendo che il punto di nullo definisce come suggerito dal nome il punto dove il taglio presenta un valore pari a 0):

 

taglio

tratto A-B

Ts = - (q*L*(11/28)) + q*s

s = 0 ⇒ T0 = - (q*L*(11/28))

s = L ⇒ TL = (q*L*(17/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) + q*s = 0

⇒ s = L*(11/28)

 

tratto A-B + B-C

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = L ⇒ TL = - (q*L*(15/28))

s = 2*L ⇒ T2L = (q*L*(13/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*L = 0

⇒ s = L*(15/28)

 

tratto A-B + B-C + C-D

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*s

s = 2*L ⇒ T0 = - (q*L*(13/28))

s = 3*L ⇒ T0 = (q*L*(15/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*2*L = 0

⇒ s = L*(13/28)

 

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = 3*L ⇒ T0 = - (q*L*(17/28))

s = 4*L ⇒ T0 = (q*L*(11/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*3 = 0

⇒ s = L*(17/28)

 

momento

tratto A-B

Ms = ((q*L*(11/28))*s) - ((q*s²)*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = 0

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

 

tratto A-B + B-C

Ms = + (((q*L*(11/28))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*(s)) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(1/14))

s = L*(15/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

 

tratto A-B + B-C + C-D

Ms = + (((q*L*(11/28))*(2*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(L+s)) + ((q*L*(13/14))*s) - ((q*(L+s)²* 1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(1/14))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(13/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

 

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ms = + (((q*L*(11/28))*(3*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(2*L+s)) + (((q*L*(13/14))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*s) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = 0

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

 

 

Esercitazione_6

trave VIERENDEEL doppiamente incastrata (metodo delle rigidezze)

 

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta a telaio che usa lo schema del telaio Shear Type, questo tipo di analisi da come si potrà vedere, definirà valori del momento flettente molto minori rispetto al telaio con travi deformabili incernierate.

Come si potrà vedere successivamente la caratteristica principale del telaio Shear Type è quella di presentare una trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione. I pilastri sono invece considerati deformabili, trascurandone però l’allungamento (il che avrebbe potuto generare una rotazione rigida della trave).

Fatta questa premessa sul sistema, si può comprendere come l’unico movimento che questo elemento può fare sia quello di traslare orizzontalmente.

La trave presenta inoltre caratteri di simmetria, è così possibile analizzare solo metà trave.

 

 

 

2_

analisi della trave Vierendeel

 

Dall’analisi della deformata della singola trave possiamo ricavare la deformata completa della trave Vierendeel:

 

Passiamo al calcolo del taglio utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali, il quale risulta essere costante nei ritti. Dalla precedente analisi si è quindi capito che la forza agente si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Presentando quindi i ritti le stesse caratteristiche in quanto: lunghezza, materiale, sezione; da queste premesse si può capire che quest’ultimi avranno la stessa rigidezza, quindi su ognuno di loro insisterà metà della forza agente.

 

Nodo_3s

F= 4*T

F= (4* (E*J)*(12/H³)* δ3s)

δ3s= (F*H³) / ((1/48)*(E*J)) ⇒ T= F*1/4

 

Nodo_4

F= 4/3*T

F= (4/3*(E*J)*(12/H³)* δ2)

δ2= (F*H³) / ((1/16)*(E*J)) ⇒ T= F*3/4

 

Nodo_5

F= 4/5*T

F= ((4/5)* (E*J)*(12/H³)* δ3)

δ3= (F*H³) / ((5/48)*(E*J)) ⇒ T= F*5/4

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente, sapendo da considerazioni precedenti che la legge del momento avrà un nullo in L*1/2 ci serve un solo altro valore noto per tracciare il diagramma del momento. Questo valore verrà identificato dal momento con polo in L*1/2.

 

Nodo_3s

M3s= ((F*1/4) * (L*1/2)) ⇒ M3s= FL*1/8

 

Nodo_4

M4= ((F*3/4) * (L*1/2)) ⇒ M4= FL*3/8

 

Nodo_5

M5= ((F*5/4) * (L*1/2)) ⇒ M5= FL*5/8

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente sui ritti, facendo l’equilibrio dei momenti del nodo.

 

Nodo_3s

MR3s= ((FL*1/4)*1/2) - ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR3s= 0

 

Nodo_4

MR4= ((FL*3/4)*1/2) + ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR4= FL*1/2

 

Nodo_5

MR5= ((FL*5/4)*1/2) + ((FL*3/4)*1/2) ⇒ MR5= FL

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del taglio sui ritti, avendo i momenti flettenti agli estremi del ritto concordi li possiamo sommare e dividere il risultato per la luce del ritto, definendo così il valore del taglio.

 

Nodo_3s

TR3s= ((0) + (0))/H ⇒ TR3s= 0

 

Nodo_4

TR4= ((FL*1/2) + (FL*1/2))/H ⇒ TR4= (FL)/H

 

Nodo_5

TR5= ((FL) + (FL))/H ⇒ TR5= (FL*/2)/H

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo dello spostamento della trave Vierendeel, avendo definito che tutti i ritti della struttura hanno una rigidezza pari a 12*E*J/L³. Per definire lo spostamento utilizzeremo  l’equilibrio alla traslazione orizzontale della trave.

 

Nodo_3s

F*1/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3s ⇒ δ3s= (F*L³) / (1/48*E*J)

 

Nodo_4

F*3/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ4 ⇒ δ4= (F*L³) / (1/16*E*J)

 

Nodo_5

F*5/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5 ⇒ δ5= (F*L³) / (5/48*E*J)

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

Esercitazione_5

trave VIERENDEEL (metodo delle rigidezze)

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta a telaio che usa lo schema del telaio Shear Type, questo tipo di analisi da come si potrà vedere, definirà valori del momento flettente molto minori rispetto al telaio con travi deformabili incernierate.

Come si potrà vedere successivamente la caratteristica principale del telaio Shear Type è quella di presentare una trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione. I pilastri sono invece considerati deformabili, trascurandone però l’allungamento (il che avrebbe potuto generare una rotazione rigida della trave).

Fatta questa premessa sul sistema, si può comprendere come l’unico movimento che questo elemento può fare sia quello di traslare orizzontalmente.

 

2_

analisi tramite l’integrazione della linea elastica

Si procede quindi con l’analisi dello spostamento δ ipotizzando un cedimento vincolare elastico in uno dei due estremi e analizzando la curvatura (in una struttura iperstatica un cedimento provoca una curvatura e di conseguenza una tensione) ed il momento flettente (analizzando la deformata e definendone il punto di flesso, possiamo dire che in quel punto il grafico del momento si annullerà).

Si procede quindi all’applicazione del metodo della linea elastica:

 

 

vs= (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2) + (C₃*s) + C₄

φ(s)= (C₁*s²/2) + (C₂*s) + C₃

 

 

3_

analisi della deformata

Successivamente definisco le condizioni al bordo:

 

 

_estremo sinistro - incastro: s= 0

In questo punto  lo spostamento verticale e la rotazione della sezione della trave risultano essere pari a zero, quindi abbiamo:

v(0)= 0

φ(0)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) si può constatare che C₃ e C₄ sono nulle.

 

v(0)= 0 ⇒ C₄= 0

φ(0)= 0 ⇒ C₃*s = 0

 

_estremo destro - incastro: s= L

In questo punto  lo spostamento verticale e la rotazione della sezione della trave risultano essere pari a zero, quindi abbiamo:

v(L)= 0

φ(L)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) si può constatare che C₃ e C₄ sono nulle.

 

v(L) = -δ ⇒ C₂= -((6/L²)*δ)

φ(L) = 0 ⇒ C₁= ((12/L³)* δ)

 

4_

equazione di spostamento e rotazione

Sostituendo i valori definiti dall’analisi delle condizioni al bordo della trave possiamo definire le equazioni di spostamento e rotazione:

 

vs= (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2) + (C₃*s) + C₄

⇒ C₁= ((12/L³)* δ) ⎫

⎬ ⇒ vs= (((12/L³)* δ)*s³/6) - (((6/L²)*δ)*s²/2)

⇒ C₂= -((6/L²)*δ) ⎭

 

φ(s)= (C₁*s²/2) + (C₂*s) + C₃

⇒ C₁= ((12/L³)* δ) ⎫

⎬ ⇒ φ(s)= (((12/L³)* δ)*s²/2) + (((6/L²)*δ)*s) + C₃

⇒ C₂= -((6/L²)*δ) ⎭

 

Si procede derivando l’equazione della rotazione per ottenere la curvatura, ricavandoci il momento flettente e derivando l’equazione del momento flettente ricavandoci il valore del taglio:

 

φ(s)’= χ ⇒ χ= (((12/L³)* δ)* s) - ((6/L²)*δ)

M= E*J*χ ⇒ M= (E*J)*((((12/L³)* δ)* s) - ((6/L²)*δ))

T= -Ms‘ ⇒ T= -((E*J)*(12/L³)* δ)

 

5_

calcolo dello spostamento e della rigidezza

Attraverso l’equilibrio alla traslazione orizzontale si arriva a definire la relazione che lega lo spostamento δ con lo sforzo di taglio a cui sono soggetti i pilastri. Infatti questi sono legati da una proporzionalità diretta tramite un fattore k definito come rigidezza del pilastro.

 

F= 2T ⇒ F= (2* (E*J)*(12/L³)* δ)

F= ((E*J)*(24/L³)* δ) ⇒ δ= ((F*L³)/(24*E*J))

⇒ k= ((24*E*J)/L³)

 

6_

analisi della trave Vierendeel

 

Dall’analisi della deformata della singola trave possiamo ricavare la deformata completa della trave Vierendeel:

 

Passiamo al calcolo del taglio utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali, il quale risulta essere costante nei ritti. Dalla precedente analisi si è quindi capito che la forza agente si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Presentando quindi i ritti le stesse caratteristiche in quanto: lunghezza, materiale, sezione; da queste premesse si può capire che quest’ultimi avranno la stessa rigidezza, quindi su ognuno di loro insisterà metà della forza agente.

 

Nodo_1

F= 2T

F= (2* (E*J)*(12/H³)* δ1)

δ1= (F*H³) / ((1/24)*(E*J)) ⇒ T= F*1/2

 

Nodo_2

F= T

F= ((E*J)*(12/H³)* δ2)

δ2= (F*H³) / ((1/12)*(E*J)) ⇒ T= F

 

Nodo_3

F= 2/3*T

F= ((2/3)* (E*J)*(12/H³)* δ3)

δ3= (F*H³) / ((1/8)*(E*J)) ⇒ T= F*3/2

 

Nodo_4

F= 1/2*T

F= ((1/2)* (E*J)*(12/H³)* δ4)

δ4= (F*H³) / ((1/6)*(E*J)) ⇒ T= F*2

 

Nodo_5

F= 2/5*T

F= ((2/5)* (E*J)*(12/H³)* δ5)

δ5= (F*H³) / ((5/24)*(E*J)) ⇒ T= F*5/2

 

Nodo_6

F= 1/3*T

F= ((1/3)* (E*J)*(12/H³)* δ5)

δ5= (F*H³) / ((1/4)*(E*J)) ⇒ T= F*3

 

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente, sapendo da considerazioni precedenti che la legge del momento avrà un nullo in L*1/2 ci serve un solo altro valore noto per tracciare il diagramma del momento. Questo valore verrà identificato dal momento con polo in L*1/2.

 

Nodo_1

M1= ((F*1/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*1/4

 

Nodo_2

M2= (F * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*1/2

 

Nodo_3

M3= ((F*3/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*3/4

 

Nodo_4

M4= ((F*2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL

 

Nodo_5

M5= ((F*5/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*5/4

 

Nodo_6

M6= ((F*3) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*3/2

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente sui ritti, facendo l’equilibrio dei momenti del nodo.

 

Nodo_1

MR1= FL*1/4 ⇒ MR1= FL*1/4

 

Nodo_2

MR2= (FL*1/4) + (FL*1/2) ⇒ MR2= FL*3/4

 

Nodo_3

MR3= (FL*1/2) + (FL*3/4) ⇒ MR3= FL*5/4

 

Nodo_4

MR4= (FL*3/4) + (FL) ⇒ MR4= FL*7/4

 

Nodo_5

MR5= (FL) + (FL*5/4) ⇒ MR5= FL*9/4

 

Nodo_6

MR6= ((FL*5/4) + (FL*3/2) ⇒ MR6= FL*11/4

 

 

 

Passiamo al calcolo del taglio sui ritti, avendo i momenti flettenti agli estremi del ritto concordi li possiamo sommare e dividere il risultato per la luce del ritto, definendo così il valore del taglio.

 

Nodo_1

TR1= ((FL*1/4) + (FL*1/4))/H ⇒ TR1= (FL*1/2)/H

 

Nodo_2

TR2= ((FL*3/4) + (FL*3/4))/H ⇒ TR2= (FL*3/2)/H

 

Nodo_3

TR3= ((FL*5/4) + (FL*5/4))/H ⇒ TR3= (FL*5/2)/H

 

Nodo_4

TR4= ((FL*7/4) + (FL*7/4))/H ⇒ TR4= (FL*7/2)/H

 

 

Nodo_5

TR5= ((FL*9/4) + (FL*9/4))/H ⇒ TR5= (FL*9/2)/H

 

Nodo_6

TR6= ((FL*11/4) + (FL*11/4))/H ⇒ TR6= (FL*11/2)/H

 

 

 

Passiamo al calcolo della normale sui traversi, sapendo che essendo tratti ortogonali ai ritti, lo sforzo di taglio di quest’ultimi si trasmette come sforzo normale nei traversi.

 

Nodo_1

⇒ NR1= (FL*1/2)/H

 

Nodo_2

⇒ NR2= (FL*3/2)/H

 

Nodo_3

⇒ NR3= (FL*5/2)/H

 

Nodo_4

⇒ NR4= (FL*7/2)/H

 

Nodo_5

⇒ NR5= (FL*9/2)/H

 

Nodo_6

⇒ NR6= (FL*11/2)/H

 

 

 

Passiamo al calcolo dello spostamento della trave Vierendeel, avendo definito che tutti i ritti della struttura hanno una rigidezza pari a 12*E*J/L³. Per definire lo spostamento utilizzeremo  l’equilibrio alla traslazione orizzontale della trave.

 

Nodo_1

F/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ1 ⇒ δ1= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

Nodo_2

F = T = ((12*E*J)/L³)*δ2 ⇒ δ2= (F*L³) / (1/12*E*J)

 

Nodo_3

F*3/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3 ⇒ δ3= (F*L³) / (1/8*E*J)

 

Nodo_4

F*2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ4 ⇒ δ4= (F*L³) / (1/6*E*J)

 

Nodo_5

F*5/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5 ⇒ δ5= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

Nodo_6

F*3 = T = ((12*E*J)/L³)*δ6 ⇒ δ6= (F*L³) / (1/4*(E*J)

 

 

Esercitazione_3

analisi dei carichi e dimensionamento di una trave (risoluzione tramite foglio Excel)

 

1_

inquadramento edificio

L’edificio presenta un solo solaio posizionato fuori terra ed in testata una torre alta tre piani. La tecnologia scelta per la realizzazione dell’edificio sarà in funzione del dimensionamento delle travi e dei materiali usati.

 

 

 

 

destinazione d’uso

L’edificio ospita uffici ed uno spazio comune nella parte più alta della torre. Internamente l’edificio si presenta munito di pannelli scorrevoli che definiscono una maggiore flessibilità per lo spazio interno. L’incidenza degli impianti nei controsoffitti e il valore di carico accidentale saranno dunque importanti nel calcolo.

 

2.1_

stratrigrafia solaio_1

 

analisi dei carichi

.solaio in legno

_carichi strutturali_qs

_tavolato 0,020 kN/m²

_travicelli 600kg/m³ 0,050 kN/m²

_caldana 0,100 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 0,170 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in parquet 750kg/m³ 0,220 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,520 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 7,690 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verrà aggiunto il peso proprio della stessa. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.1_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (0,170 + 4,520 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 39,22kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAx che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (39,22*5,10²)/8

⇒ MMAX= 127,51kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (in questo caso legno) per il coefficiente di degrado nel tempo kmod (che descrive la durata del carico e la classe di servizio) e diviso per il coefficiente di sicurezza γm (= 1,45 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd=  kmod * fmk/γm ⇒ fd= (0,60*24)/1,45

⇒ fd= 9,93N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto del materiale si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave usando la formula flessionale di Navier:

 

fd= σMAX ⇒ σMAX = 9,93N/mm²

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (127,51*10⁶) / 9,93 

⇒ Wx= 12’840’886,20mm³

⇒ Wx= 12’840,89cm³

Wx= MMAX/σMAX

Wx= Jxx / (h/2) ⇒ Jxx = (b * h³)/12

MMAX= (q*L²)/8

⇒ Jxx / (h/2) = ((q*L²)/8)/σMAX

⇒ ((b * h³)/12) / (h/2) = ((q*L²)/8)/σMAX

⇒ h²= (6 * q*L²)/(8 * b * σMAX)

⇒ h= √(6 * q*L²)/(8 * b * σMAX)

Per procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, si ipotizza una base di una di base di b (= 25 cm), attraverso la formula flessionale di Navier viene ricavata l’altezza h:

 

⇒ h= √(6 * 39,22 * (5,1*1000)²)/(8 * (25*10) * 9,93)

⇒ h= 555,10mm

⇒ h= 57,00cm

 

4.1_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_tavolato 0,020 kN/m²

_travicelli 600kg/m³ 0,050 kN/m²

_caldana 0,100 kN/m²

_trave in latifoglie 1,140 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 1,131 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in parquet 750kg/m³ 0,220 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,520 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 8,651 kN/m²

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (1,131 + 4,520 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 44,12kN /m

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (44,12*5,10²)/8

⇒ MMAX= 143,45kN*m

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (143,45*10⁶) / 9,93 

⇒ Wx= 14’446’122,12mm³

⇒ Wx= 14’446,12cm³

Wx= MMAX/σMAX

Wx= Jxx / (h/2) ⇒ Jxx = (b * h³)/12

MMAX= (q*L²)/8

Per procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, si ipotizza una base di b (= 25 cm), attraverso la formula flessionale di Navier viene ricavata l’altezza h:

 

⇒ h= √(6 * 44,12 * (5,1*1000)²)/(8 * (25*10) * 9,93)

⇒ h= 588,80mm

⇒ h= 60,00cm

Si adotta di conseguenza una trave di base b (= 25 cm) e altezza h (= 60 cm) avente modulo di resistenza Wx (= 15’000,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

5.1_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)
5,1	0,170	4,520	3,00	39,219	5,1	127,51077375	24
5,1	1,131	4,520	3,00	44,120	5,1	143,445475125	24

 

 

 

kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
0,6	9,93	25	55,51
0,6	9,93	25	58,88

2.2_

stratrigrafia solaio_2

 

analisi dei carichi

.solaio in acciaio

_carichi strutturali_qs

_solaio in lamiera grecata di acciaio 0,240 kN/m²

_travetti in IPE 200 1,141 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 1,381 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_controsoffito in cartongesso 8kg/m² 0,010 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,313 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 8,694 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verra aggiunto il peso proprio della trave. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.2_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (1,381 + 4,313 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 44,34kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAx che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (44,34*5,10²)/8

⇒ MMAX= 144,15kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (in questo caso acciaio) diviso per il coefficiente di sicurezza γs (= 1,15 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd= fyk/γs ⇒ fd= 235/1,15

⇒ fd= 204,35N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto del materiale si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave usando la formula flessionale di Navier:

 

fd= σMAX ⇒ σMAX = 204,35N/mm²

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (144,15*10⁶) / 204,35 

⇒ Wx= 705’407,39mm³

⇒ Wx= 705,47cm³

 

Si adotta di conseguenza un IPE 330 avente modulo di resistenza Wx (= 713,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

4.2_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_solaio in lamiera grecata di acciaio 0,240 kN/m²

_travetti in IPE 200 1,141 kN/m²

_trave in IPE 330 2,506 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 3,587 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_controsoffito in cartongesso 8kg/m² 0,010 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,313 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 10,900 kN/m²

 

q eff = (qs + qp + qa)*i ⇒ q eff = (3,587 + 4,313 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q eff = 55,59kN /m

MMAXeff= (q*L²)/8 ⇒ MMAXeff= (55,59*5,10²)/8

⇒ MMAXeff= 180,74kN*m

 

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= (180,74*10⁶) / 204,35 

⇒ Wx= 884’462,93mm³

⇒ Wx= 884,46cm³

 

Si adotta di conseguenza un IPE 360 avente modulo di resistenza Wx (= 904,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

5.2_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
5,1	1,381	4,313	3,00	44,34	5,10	144,15847425
5,1	3,587	4,313	3,00	55,59	5,10	180,7369875

 

 

 

fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
235	204,35	705,46
235	204,35	884,46

2.3_

stratrigrafia solaio_3

 

analisi dei carichi

.solaio in c.a.

_carichi strutturali_qs

_solaio in latero-cemento 2,700 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 2,700 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,303 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 10,003 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verra aggiunto il peso proprio della trave. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.3_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (2,700 + 4,303 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 48,45kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAX che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (51,02*5,10²)/8

⇒ MMAX= 165,86kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd e fy, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (fyk in questo caso CA e fyd nel caso delle barre in acciaio) per il coefficiente di sicurezza αcc (= 0,85) e diviso per il coefficiente di sicurezza γm (= 1,50 per il cls, = 1,15 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd= αcc*(fyk/γm) ⇒ fd= 0,85*(40/1,50)

⇒ fd= 22,67N/mm²

fy= fyd/γs ⇒ ⇒ fY= 450/1,15

⇒ fY= 391,30N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto dei due materiali si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, la quale presenta una di base di b (= 20 cm), attraverso l’equilibrio alla rotazione della sezione, come si può vedere nella formula:

 

M = C * b* = T * b* ⇒ C = (σca * b * α * hu) / 2

⇒ b* = hu * (1- α/3)

⇒ M = ((σca * b * α * hu) / 2) * (hu * (1- α/3))

⇒ hu = √(M/b) * (1 / (σca/2) * (α * (1- α/3))

⇒ r =  √(1 / (σca/2) * (α * (1- α/3))

⇒ hu = √(M/b) * r

⇒ hu = √(165,86*10⁶) / (20 * 10)) * 2,26

⇒ hu = 432mm

 

Successivamente al calcolo delle resistenze di progetto si calcola il coefficiente α di omogeneizzazione della sezione in C.A. per poter calcolare la posizione dell’asse neutro della sezione viene usato il teorema dei triangoli simili, mediante la formula:

 

xc / hu = (σca/Eca) / (σca/Eca + σfd/Efd) ⇒ hu * (σca/Eca) = xc * (σca/Eca + σfd/Efd)

⇒ xc = (hu * (σca/Eca)) / (σca/Eca + σfd/Efd)

⇒ xc = (hu * (σca/Eca)) / (1/Eca) * (σca + (Eca/Efd) * σfd)

⇒ xc = (hu * σca) / (σca + (Eca/Efd) * σfd)

⇒ n = Eca/Efd ⇒ n = 15

⇒ xc = (hu * σca) / (σca + n * σfd)

⇒ α =  σca / (σca + n * σfd)

⇒ α =  22,67 / (22,67 + (15 * 391,30))

⇒ α =  0,46

⇒ xc = hu * α

⇒ xc = 432 * 0,46

⇒ xc =  198,7mm

 

In ultimo viene definita l’altezza definitiva della sezione sommando all’altezza utile della trave hu (= 432mm) il parametro δ (= 50 mm), che comprende il copriferro e metà barra di acciaio, come si può vedere nella formula:

 

h= hu + δ ⇒ h= 432 +50

⇒ h= 482mm

⇒ h’= 60cm

Verrà quindi adottata una trave avente base b (= 20cm) ed altezza h (= 60cm).

 

4.3_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_solaio in latero-cemento 2,700 kN/m²

_trave in c.a 2,790 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 5,4900 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,303 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 12,793 kN/m²

 

verifica del momento massimo effettivo

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (65,24*5,10²)/8

⇒ MMAX= 212,13kN*m

 

M = C * b* = T * b* ⇒ hu = √(M/b) * r

⇒ hu = √(212,13*10⁶) / (30 * 10)) * 2,26

⇒ hu = 399mm

 

h= hu + δ ⇒ h= 399mm +50

⇒ h= 449mm

⇒ h’= 45cm

Considerando questo nuovo momento massimo la trave non risulta verificata, quindi si sceglie di aumentare la dimensione della base b (= 30cm) ricavandoci di conseguenza un’altezza utile hu (= 39,9cm) e quindi l’altezza complessiva h (= 45cm).

 

5.3_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
5,1	2,700	4,303	3,00	51,02	5,1	165,86
5,1	5,490	4,303	3,00	65,24	5,1	212,13

 

 

 

alfa	r	b (cm)	h (cm)	delta (cm)	H (cm)	H/l	area (m2)	peso (KN/m)
0,46	2,27	20,0	43,2	5	48,20	0,094	0,10	2,41
0,46	2,27	30,0	39,9	5	44,90	0,088	0,13	3,37