Esercitazione_6_analisi della trave Vierendeel (doppiamente incastrata)

 

Esercitazione_6

trave VIERENDEEL doppiamente incastrata (metodo delle rigidezze)

 

 

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tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta a telaio che usa lo schema del telaio Shear Type, questo tipo di analisi da come si potrà vedere, definirà valori del momento flettente molto minori rispetto al telaio con travi deformabili incernierate.

Come si potrà vedere successivamente la caratteristica principale del telaio Shear Type è quella di presentare una trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione. I pilastri sono invece considerati deformabili, trascurandone però l’allungamento (il che avrebbe potuto generare una rotazione rigida della trave).

Fatta questa premessa sul sistema, si può comprendere come l’unico movimento che questo elemento può fare sia quello di traslare orizzontalmente.

La trave presenta inoltre caratteri di simmetria, è così possibile analizzare solo metà trave.

 

 

 

2_

analisi della trave Vierendeel

 

Dall’analisi della deformata della singola trave possiamo ricavare la deformata completa della trave Vierendeel:

 

Passiamo al calcolo del taglio utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali, il quale risulta essere costante nei ritti. Dalla precedente analisi si è quindi capito che la forza agente si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Presentando quindi i ritti le stesse caratteristiche in quanto: lunghezza, materiale, sezione; da queste premesse si può capire che quest’ultimi avranno la stessa rigidezza, quindi su ognuno di loro insisterà metà della forza agente.

 

Nodo_3s

F= 4*T

F= (4* (E*J)*(12/H³)* δ3s)

δ3s= (F*H³) / ((1/48)*(E*J)) ⇒ T= F*1/4

 

Nodo_4

F= 4/3*T

F= (4/3*(E*J)*(12/H³)* δ2)

δ2= (F*H³) / ((1/16)*(E*J)) ⇒ T= F*3/4

 

Nodo_5

F= 4/5*T

F= ((4/5)* (E*J)*(12/H³)* δ3)

δ3= (F*H³) / ((5/48)*(E*J)) ⇒ T= F*5/4

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente, sapendo da considerazioni precedenti che la legge del momento avrà un nullo in L*1/2 ci serve un solo altro valore noto per tracciare il diagramma del momento. Questo valore verrà identificato dal momento con polo in L*1/2.

 

Nodo_3s

M3s= ((F*1/4) * (L*1/2)) ⇒ M3s= FL*1/8

 

Nodo_4

M4= ((F*3/4) * (L*1/2)) ⇒ M4= FL*3/8

 

Nodo_5

M5= ((F*5/4) * (L*1/2)) ⇒ M5= FL*5/8

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente sui ritti, facendo l’equilibrio dei momenti del nodo.

 

Nodo_3s

MR3s= ((FL*1/4)*1/2) - ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR3s= 0

 

Nodo_4

MR4= ((FL*3/4)*1/2) + ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR4= FL*1/2

 

Nodo_5

MR5= ((FL*5/4)*1/2) + ((FL*3/4)*1/2) ⇒ MR5= FL

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del taglio sui ritti, avendo i momenti flettenti agli estremi del ritto concordi li possiamo sommare e dividere il risultato per la luce del ritto, definendo così il valore del taglio.

 

Nodo_3s

TR3s= ((0) + (0))/H ⇒ TR3s= 0

 

Nodo_4

TR4= ((FL*1/2) + (FL*1/2))/H ⇒ TR4= (FL)/H

 

Nodo_5

TR5= ((FL) + (FL))/H ⇒ TR5= (FL*/2)/H

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo dello spostamento della trave Vierendeel, avendo definito che tutti i ritti della struttura hanno una rigidezza pari a 12*E*J/L³. Per definire lo spostamento utilizzeremo  l’equilibrio alla traslazione orizzontale della trave.

 

Nodo_3s

F*1/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3s ⇒ δ3s= (F*L³) / (1/48*E*J)

 

Nodo_4

F*3/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ4 ⇒ δ4= (F*L³) / (1/16*E*J)

 

Nodo_5

F*5/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5 ⇒ δ5= (F*L³) / (5/48*E*J)

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.