LINEA ELASTICA

       

 Il metodo della linea elastica serve per risolvere l'equilibrio di strutture sia iperstatiche che isostatiche; consentendoci di determinare le reazioni vincolari, i diagrammi delle sollecitazioni , gli spostamenti e le deformazioni.              

                                                   

Richiamiamo di seguito tutte le equazioni del modello di trave di bernoulli, distinguendole in tre gruppi in base al loro diverso significato fisico.

• EQUAZIONI DI BILANCIO esprimono il legame tra carichi esterni e sollecitazioni 

dN/ds + q1 = 0

dT/ds + q2 = 0

dM/ds + T = 0

• EQUAZIONI DI CONGRUENZA esprinono il legame tra deformazioni e spostamenti

E =    du/ds

y = dv/ds - φ = 0

X = dφ/ds

dove E = deformazione assiale

       y = scorrimento angolare

       X = curvatura

• LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO esprimono il legame tra la deformazione e la sollecitazione

N = EA * E 

M = EI * X

Analizziamo il problema flessionale e prendiamo in considerazione le seguenti grandezze

v ; Y ; T ; M ; x

quindi non prendendo in considerazione le equazioni che riguardano lo sforzo normale, le equazioni che definiscono il problema flessionale sono :

dT/ds + q₂ = 0

dM/ds  + T = 0

M = EI * X

X = dφ/ds

φ= dv/ds

Prendiamo in considerazione l'equazione ( dM / ds ) + T = 0 e ci ricaviamo T = - dM / ds e sostituiamo la T in

( dT/ds ) + q₂ = 0

avremo che d/ds ( -dM/ds) + q₂ = 0 ⇒ -d²M/ds² + q₂ = 0 

X = dφ/ds - d/ds(dv/ds) = d²v/ds^{2 =} d²v/ds²

andiamo ora a sostituire φ= dv/ds in X= dφ/ds

avremo che X = dφ/ds - d/ds(dv/ds) = d²v/ds^{2 =} d²v/ds²

ci rimane solo l'equazione M = EIx

Sostituiamo la x e avremo che M = EI (d²v)/ds

sostituiamo poi l'equazione ricavata nell'equazione  -d²M/ds² + q₂ = 0 

si avrà che :

 d²/ds² ( EI * d²v/ds²) = q₂

portiamo EI al di fuori della derivata e avremo che 

EI d⁴v/ds⁴ = q₂  EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA

L'equazione della linea elastica mette in relazione i carichi agenti sulla trave con gli spostamenti da essi prodotti , integrando quattro volte otteniamo la funzione spostamento

d⁴v/ds = q₂/EI

d³v/ds = q₂/EIs + c₁

d²v/ds = q²/EI * s²/2 + c₁s + c₂   (3)

dv/ds = q₂/EI + s³/6 + c₁ * s²/2 + c₂s + c₃   (2)

v(s) = q₂/EI * s⁴/24 + c₁*s³/6 + c₂ s_2/2 + c₃s + c_{4    spostamento}  (1)

Abbiamo così ottenuto quattro equazioni che dipendono dai vincoli quindi andiamo a sostituire le equazioni al bordo

Nell'incastro v(0) = 0 

Andando a sostituire nella 1 la condizione al bordo v(0) = 0 si ottiene v(s=0) = 0 --> C4 = 0

 φ(0) = 0

Sostituendo nella 2 si ottiene 

φ (s=0) --> c3=0

Nell'appoggio

v(l) = 0

sostituiamo nella 1 avremo che :

v(s=l)= 0 ⇒ - q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 + c₂l²/2 = 0  (4)

Nel carrello il momento vale zero M (l) = 0

sostituendo nella 3 avremo che :

M(s=l) = 0 ⇒ -q₂l²/2EI + c₁l + c₂ = 0 

ci ricaviamo c_{2 =} q₂l²/2EI - c₁l    (5)

sostituiamo c₂ nella 4 

- q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 + (q₂l²/2EI - c₁l ) * l²/2 = 0

- q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 q₂l⁴/4EI - c₁l³/2 = 0

5q₂l⁴/24EI -1/3 l³ c₁ = 0

c₁ = 5/8 q₂l/EI

Andiamo a sostituire c₁ nella (5) e ricaviamo c₂

c₂ = -q₂l²/8EI

Abbiamo così trovato le quattro costanti di integrazione , ora dobbiamo calcolare l'abbassamento massimo . Sappiamo che y= dv/ds, ossia che la rotazione è la derivata dello spostamento . Quindi nel punto in cui la rotazione è nulla lo spostamento sarà massimo

φ = dv/ds = q₂/EI + s³/6 + c₁ * s²/2 + c₂s + c₃

Andiamo a sostituire nell'equazione scritta le costanti trovate 

φ (s) = - q₂/EI + s³/6 + 5/8 q₂l/EI s²/2 - q₂l²/8EI + 0 

poniamola uguale a zero 

φ (s) = - q₂/EI + s³/6 + 5/8 q₂l/EI s²/2 - q₂l²/8EI = 0

che possiamo scrivere come

q/2EI s * ( - s₂/3 + 5/8 ls - l²/4) = 0 

Questa equazione ha tre soluzioni. Una è data da s=0 ed altre due le troveremo svolgendo l'equazione di secondo grado 

1.  - s₂/3 + 5/8 ls - l²/4 = 0 
2.    s₂/3 + 5/8 ls - l²/4) = 0 

Poniamo 1/3 = A   -5/8 l = B  ⇒ As² - Bs - l₂/4 = 0 

Risolvendo con la formula del delta otteniamo due valori :

1.  1,3 l  ( soluzione non accettabile perchè s < l )
2. 0,57 l 

I punti di massimo della funzione spostamento si trovano uno a zero e l'altro a 0,57 l. Per ricavarci l'abbassamento massimo basta sostituire la s nell'equazione 4.

Adesso calcoliamo il momento M

Ms = -q/2 s₂ + 5/8 qls - ql²/8

Ora dobbiamo calcolare il punto in cui si annulla la derivata del momento M'(s)

M ( s=0) = -ql²/8

M ( s=l) = -ql²/2 + 5/8 ql² - ql²/8 = 0 

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

Adesso calcoliamo il taglio 

T(s) = -dM/ds = - M'(s)

- M'(s) = T(s) = qs - 5/8 ql

T ( s=l) = ql - 5/8ql = 3/8 ql

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

 

RISOLUZIONE SAP

 

Ho riprodotto la struttura in SAP disegnandola di lunghezza l = 2 e con un carico distribuito pari a q = 40 kN

1.    Divido ( con il comando Point ) la struttura in due parti, posizionando il punto ad una distanza di 0,57 dal punto zero e con asse y = z = 0 dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l'ammassamento massimo avviene in questo punto

         

L'analisi è stata fatta su due sezioni differenti , una rettangolare in acciaio cavo 

e l'altra in cemento armato 

 

DEFORMATA

                 

REAZIONI VINCOLARI

                                 

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

                      

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

                      

SEZIONE IN CEMENTO

REAZIONI VINCOLARI

                      

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

                     

DIAGRAMMA DEL MOMENTO