STRUTTURE IPERSTATICHE - METODO DELLE FORZE. Esercitazione manuale.

In questa nuova esercitazione siamo chiamati a risolvere una struttura 3 volte iperstatica, tramite il metodo delle forze. La struttura in questione è una trave su più appoggi, molto comune nella progettazione strutturale ordinaria:

Per trovare le reazioni vincolari di questa struttura (che nel caso in cui fosse risolta col metodo della linea elastica comporterebbe un'innumerevole quantità di calcoli) adottiamo quindi il METODO DELLE FORZE. Per prima cosa trasformiamo l'attuale sistema iperstatico in un equivalente isostatico, a cui aggiungiamo, sottoforma di forze esterne, le reazioni vincolari in eccesso:

Nel nostro caso è più opportuno trasformare l'unica trave di luce 4 L in quattro travi di luce L, collegate tra loro da carrelli, e aggiungere, sempre come forze esterne, le reazioni vincolari rimosse. Il sistema sarà così assimilabile ad una serie di travi doppiamente appoggiate, con l'aggiunta di coppie di momenti di forze in corrispondenza dei punti B, C,  D. Avremo quindi 2 schemi, che andremo poi a sommare tramite il metodo della sovrapposizione degli effetti:

Inoltre, se analizziamo la struttura dal punto di vista qualitativo, si nota subito che essa è caratterizzata da una marcata simmetria, la quale ci consente di affermare che le reazioni vincolari sono rispettivamente uguali in B e D,  ed in A ed E. Sempre grazie alla simmetria, possiamo anche affermare che la coppia di momenti X₁ è uguale alla coppia X₂, e che quindi:

Dall'equazione cinematica del vincolo rimosso sappiamo invece che:

Prima di determinare quanto valgono le rotazioni complessive nei vari tratti, prendiamo dalle tavole sinottiche i valori delle rotazioni per la trave doppiamente appoggiata:

Una volta stabiliti, nel caso della trave doppiamente appoggiata, i valori delle rotazioni dovuti al carico q e alle coppie di momenti X, possiamo ricavarci i valori delle incognite iperstatiche X nei punti B e C:

Dopo aver trovato i valori delle incognite iperstatiche, abbiamo tutti gli strumenti necessari a determinare i valori delle reazioni vincolari:

Per il metodo della sovrapposizione degli effetti su enunciato, sommiamo quindi le reazioni vincolari dei 2 schemi:

Non rimane altro che disegnare i diagrammi di taglio e momento flettente: