Es5_Rigidezza e metodo

 

Un portale è una struttura che va guardata nel suo complesso, in quanto il suo comportamento è sistematico.
Nel caso che segue la struttura è una volta iperstatica e il nostro obiettivo è quello di trovare la rigidezza del
telaio, cioè il coefficiente che lega F a δ.
 
Prendo una struttura isostatica di riferimento e risolvo il sistema con il metodo delle forze.
 
 
 
Per quanto riguardo gli spostamenti dei punti A e B posso identificare i due pilastri come due mensole con forza
concentrata all’estremo libero. Quindi:

Equazione di compatibilità cinematica

 

Dal sistema finale risulterà che la forza iniziale F influisce sia sul primo che sul secondo pilastro

 

 

Quindi lo spostamento finale δ è pari a quello di una mensola con una forza F/2 all’estremità

 

Dove la rigidezza, il coefficiente che lega F a δ,è pari a:

Se considero sistemi più complessi come quello in figura, avrò un comportamento strutturale (sistematico)

 

in cui la forza F sarà ripartita in ogni pilastro in modo uguale

 

 


 

Telaio shear-type

 
Diverso è il caso del telaio shear-type, costituito da una trave che si presenta come un elemento pieno, un corpo
infinitamente rigido, e due pilastri flessibili. L’unica deformazione possibile per questo tipo di telaio è la seguente,
in quanto la forza sposta la trave in maniera rigida e trascina con sé i pilastri che si flettono.
 
 
Per conoscere in questo caso quanto vale la rigidezza del sistema, considero una situazione analoga: la mensola
incastra ai due estremi. Suppongo che uno dei due incastri ceda, provocando una deformazione e quindi una curvatura.
 
 

 

In questo caso il taglio vale 0, quindi il momento è lineare. Il punto in cui il momento è nullo e quindi anche la curvatura
è nulla (M=EJχ), è detto punto di flesso.
 
Per sapere quanto vale il momento risolvo la struttura iperstatica con il metodo della linea elastica, e otterrò i seguenti
valori di taglio e momento:
 
 

 

A questo punto torno al sistema iniziale del telaio shear-type e lo risolvo utilizzando il metodo delle rigidezze, che mi 
permetterà di conoscere il valore dello spostamento δ provocato da F.
Scrivo l’equazione di equilibrio provocata da F:
 
Sostituendo δ posso conoscere i valori di M e  T e introduco così la rigidezza:
 
 

 

Esempio di telaio a più piani

 
 
 

 


ESERCIZIO TRAVE VIERENDEEL_1

 

Una trave Vierendeel può essere vista come un sistema shear-type ribaltato. Quindi anche qui sono presenti degli
elementi infinitamente rigidi ed elementi flessibili.
 

 

Risolvo la struttura utilizzando il metodo delle rigidezze, che mi permetterà di calcolare i valori degli spostamenti δe di
verificare i valori del taglio.

 

Ora conosco tutti i valori del taglio negli elementi orizzontali.

 
  • Diagramma T 

 

Per conoscere i valori dei momenti sugli elementi orizzontali, basterà moltiplicare la forza di taglio per il suo braccio l/2.

  • Diagramma M

 

Per conoscere i valori del momento su ogni elemento verticale, calcolo l’equilibrio in ogni nodo.

 

 

Ora posso fare l’equilibrio di ogni elemento verticale per sapere il valore del taglio.

 

 

  • Diagramma T

 

  • Diagramma M

 

 

Ora verifico i valori su SAP2000

 
Deformata 
 
 

 

Taglio 

 

 

Momento

 


 

ESERCIZIO TRAVE VIERENDEEL_2

In questo caso la struttura è incastrata su entrambi i lati.

Posso vederla come una struttura simmetrica, quindi vado ad analizzare la parte sinistra della utilizzando sempre il
metodo delle rigidezze.
 
Intuitivamente i valori del taglio nel pilastro centrale valgono F/4, ma andrò comunque a verificarlo calcolando anche
lo spostamento δ di ogni elemento.
 

Ora conosco tutti i valori del taglio negli elementi orizzontali.

Diagramma T

 

Per conoscere i valori dei momenti sugli elementi orizzontali, basterà moltiplicare la forza di taglio per il suo braccio l/2.
 
Diagramma M
 
 

 

 

Per conoscere i valori del momento su ogni elemento verticale, calcolo l’equilibrio in ogni nodo.

 

Ora posso fare l’equilibrio di ogni elemento verticale per sapere il valore del taglio.

 

Diagramma T

 

 

Diagramma M

 

 

Ora verifico i valori su SAP2000

Deformata

 

Taglio

 

Momento