blog di giulia.sabbatini

Es7_Rigidezza torsionale

Esercizio_Torsione 1
 
Un’altra applicazione del metodo delle rigidezze si trova nella risoluzione di una struttura 12 volte iperstatica composta da un nodo con tre aste incastrate all’estremità e una mensola con carico distribuito. Vengono qui introdotti due concetti di rigidezza: flessionale e torsionale.
 
Innanzitutto, possiamo togliere la mensola e sostituirla con il suo momento in corrispondenza del nodo. Toricamente dovrebbe essere presente anche la forza ql provocata dal carico, che diventa sforzo normale sul pilastro. Questo però è indeformabile assialmente, quindi non si può accorciare e non chiama in causa le travi che di conseguenza non si inflettono.
 
 
 
Verifico i valori ottenuti su SAP2000:
 
 
 
Verifico i valori ottenuti su SAP2000:
 
 
 
Verifico i valori ottenuti su SAP2000:
 
 
 

 

 

 

Es6_Controventi e ripartizione forze sismiche

 

Controventi
 
Un impalcato, composto da tutti gli elementi orizzontali del telaio, è rigido nel suo piano e flessibile fuori dal piano.
Quindi le forze esterne agenti su di esso tendono a spostarlo e per contrastarle si utilizzano i controventi, elementi
elastici in grado di resistere all’azione delle forze orizzontali (sisma/vento).
 
 
Caso1
Consideriamo un impalcato con una forza F applicata. I controventi possiamo assimilarli a due molle (vincoli cedevoli)
entrambe aventi rigidezza pari a k.
 
                                                     
 
Essendo il sistema isostatico, posso facilmente conoscere le reazioni delle due molle, le quali generano anche una forza
uguale e opposta che provocherà un accorciamento (δsarà uguale perché le molle hanno la stessa rigidezza). 
 
                                                     

 

Quindi il corpo trasla di una quantitàche sarà pari a δ=F/2k
 
 
Caso 2
Ora considero lo stesso sistema isostatico precedente, ma con due molle aventi rigidezze diverse. Quindi la forza che
reagisce sul sistema provocherà due abbassamenti diversi a destra e a sinistra (il corpo ruota rigidamente).
                                                
                                                  
 
 
Ora ipotizzo che il sistema non ruoti, ma trasli di δ. In questo modo analizzo le reazioni vincolari e trovo il loro asse centrale.
 

 

Dato che la forza F non coincide con l’asse delle rigidezze, il sistema tenderà a ruotare intorno al punto C.

 

 

Caso 3
Nel caso di un sistema iperstatico, vedo i parametri di spostamento δ e φ come le mie incognite.
Per determinare il loro valore utilizzo le tre equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione del corpo rigido.
                                            

Cerco quindi il centro di queste forze:

 

 

 

Importanti sono le distanze delle molle dal centro, perché è da questo che dipendo il loro
accorciamento o allungamento:
 
                                  
 

 

    - Equazioni di equilibrio alla traslazione:
 
     R1 = kδ + kφd1  
 
     R2 = 2kδ + 2kφd2                                        
 
     R3 = 3kδ - 3kφd3
 
     R1 + R2  + R= F                kδ + kφd1 + 2kδ + 2kφd2 + 3kδ - 3kφd3 = F
 
     6kδ + kφ ( d1 + 2d2 - 3d3 ) = F                           6kδ = F                           δ kδ = F                                                           
 
 
 
 
(Più grande è la forza, più grande sarà la rotazione dell’impalcato)
 
Dopo aver risolto rotazione e traslazione posso quindi trovare le reazioni iniziali R1, R2, R3
 
δ = F/ kδ                                                        
 
φ = Fb*/ kφ                       
 

 

Es5_Rigidezza e metodo

 

Un portale è una struttura che va guardata nel suo complesso, in quanto il suo comportamento è sistematico.
Nel caso che segue la struttura è una volta iperstatica e il nostro obiettivo è quello di trovare la rigidezza del
telaio, cioè il coefficiente che lega F a δ.
 
Prendo una struttura isostatica di riferimento e risolvo il sistema con il metodo delle forze.
 
 
 
Per quanto riguardo gli spostamenti dei punti A e B posso identificare i due pilastri come due mensole con forza
concentrata all’estremo libero. Quindi:

Equazione di compatibilità cinematica

 

Dal sistema finale risulterà che la forza iniziale F influisce sia sul primo che sul secondo pilastro

 

 

Quindi lo spostamento finale δ è pari a quello di una mensola con una forza F/2 all’estremità

 

Dove la rigidezza, il coefficiente che lega F a δ,è pari a:

Se considero sistemi più complessi come quello in figura, avrò un comportamento strutturale (sistematico)

 

in cui la forza F sarà ripartita in ogni pilastro in modo uguale

 

 


 

Telaio shear-type

 
Diverso è il caso del telaio shear-type, costituito da una trave che si presenta come un elemento pieno, un corpo
infinitamente rigido, e due pilastri flessibili. L’unica deformazione possibile per questo tipo di telaio è la seguente,
in quanto la forza sposta la trave in maniera rigida e trascina con sé i pilastri che si flettono.
 
 
Per conoscere in questo caso quanto vale la rigidezza del sistema, considero una situazione analoga: la mensola
incastra ai due estremi. Suppongo che uno dei due incastri ceda, provocando una deformazione e quindi una curvatura.
 
 

 

In questo caso il taglio vale 0, quindi il momento è lineare. Il punto in cui il momento è nullo e quindi anche la curvatura
è nulla (M=EJχ), è detto punto di flesso.
 
Per sapere quanto vale il momento risolvo la struttura iperstatica con il metodo della linea elastica, e otterrò i seguenti
valori di taglio e momento:
 
 

 

A questo punto torno al sistema iniziale del telaio shear-type e lo risolvo utilizzando il metodo delle rigidezze, che mi 
permetterà di conoscere il valore dello spostamento δ provocato da F.
Scrivo l’equazione di equilibrio provocata da F:
 
Sostituendo δ posso conoscere i valori di M e  T e introduco così la rigidezza:
 
 

 

Esempio di telaio a più piani

 
 
 

 


ESERCIZIO TRAVE VIERENDEEL_1

 

Una trave Vierendeel può essere vista come un sistema shear-type ribaltato. Quindi anche qui sono presenti degli
elementi infinitamente rigidi ed elementi flessibili.
 

 

Risolvo la struttura utilizzando il metodo delle rigidezze, che mi permetterà di calcolare i valori degli spostamenti δe di
verificare i valori del taglio.

 

Ora conosco tutti i valori del taglio negli elementi orizzontali.

 
  • Diagramma T 

 

Per conoscere i valori dei momenti sugli elementi orizzontali, basterà moltiplicare la forza di taglio per il suo braccio l/2.

  • Diagramma M

 

Per conoscere i valori del momento su ogni elemento verticale, calcolo l’equilibrio in ogni nodo.

 

 

Ora posso fare l’equilibrio di ogni elemento verticale per sapere il valore del taglio.

 

 

  • Diagramma T

 

  • Diagramma M

 

 

Ora verifico i valori su SAP2000

 
Deformata 
 
 

 

Taglio 

 

 

Momento

 


 

ESERCIZIO TRAVE VIERENDEEL_2

In questo caso la struttura è incastrata su entrambi i lati.

Posso vederla come una struttura simmetrica, quindi vado ad analizzare la parte sinistra della utilizzando sempre il
metodo delle rigidezze.
 
Intuitivamente i valori del taglio nel pilastro centrale valgono F/4, ma andrò comunque a verificarlo calcolando anche
lo spostamento δ di ogni elemento.
 

Ora conosco tutti i valori del taglio negli elementi orizzontali.

Diagramma T

 

Per conoscere i valori dei momenti sugli elementi orizzontali, basterà moltiplicare la forza di taglio per il suo braccio l/2.
 
Diagramma M
 
 

 

 

Per conoscere i valori del momento su ogni elemento verticale, calcolo l’equilibrio in ogni nodo.

 

Ora posso fare l’equilibrio di ogni elemento verticale per sapere il valore del taglio.

 

Diagramma T

 

 

Diagramma M

 

 

Ora verifico i valori su SAP2000

Deformata

 

Taglio

 

Momento

 

 

Es4_metodo delle forze

Strutture iperstatiche

Es3_analisi dei carichi e dimensionamento di massima di una trave (Acciaio, Legno, Cls)

 

L’esercizio prevede il dimensionamento della trave più sollecitata di un solaio, riconoscibile per la maggiore area d’influenza.
In questo caso la trave centrale sarà quella sottoposta ad un carico maggiore.
 
Area d’influenza:
L=6,70m
I=3,35m
 
 
Analisi dei carichi
 
Per poter dimensionare la trave occorre conoscere e analizzare tutti i carichi che agiscono sulla struttura. Questi si dividono in
  • Carico strutturale_qs [KN/mq]: riguarda il peso proprio di tutti gli elementi strutturali
  • Carico permanente_qp [KN/mq]: relativo ai carichi non strutturali che fanno parte del pacchetto del solaio
  • Carico accidentale_qa [KN/mq]: legato alla destinazione d’uso dell’edificio

SOLAIO IN ACCIAIO


Per poter dimensionare una trave devo prima calcolare tutti i carichi strutturali.
Quindi dovrò innanzitutto dimensionare i travetti per conoscere il loro peso e poterlo sommare a quello della lamiera grecata e del getto in cls.
 
Dimensionamento travetti
 
  • Carico strutturale_qs
Quindi scelgo la lamiera grecata
 
           
Lamiera A55/P600 + getto in cls h=11 cm
Peso totale della soletta  1,15 KN/mq
 
Qs= 1,15 KN/mq
 
  • Carico permanente_qp
Isolante:
peso specifico=7 KN/mc    H=4cm
0,04*7*1=0,28 KN/mq
 
Massetto:
peso specifico=21 KN/mc   H=4cm
0,04*21*1=0,84 KN/mq
 
Pavimento in gres:
peso specifico=20 KN/mc
0,02*20*1=0,4 KN/mq
 
Tramezzi+impianti:
1,5 KN/mq
 
Qp= 3,02 KN/mq
 
  • Carico accidentale_qa
Per un ambiente ad uso residenziale secondo normativa il carico accidentale risulta essere di 2 KN/mq
 
Qa= 2KN/mq
 
 
Inserisco tutti i valori dei carichi ottenuti all’interno della tabella excel e scelgo come tipo di acciaio un Fe 430/S275 fy,k=275 (tensione di snervamento dell’acciaio)
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fy,k (N/mm2)
sigam (N/mm2)
Wx (cm3)
1
1,15
3,02
2,00
6,17
3,35
8,655353
275
239,13
36,20
 
Ottengo un modulo di resistenza a flessione Wx = 36,20 cm3
Quindi dal profilarlo scelgo per i travetti un IPE120 (Wx = 53,0 cm3)
 
 
Peso del travetto: 10,4 Kg/m
Peso del travetto al mq: 0,104/1(interasse)=0,104 KN/mq
 
Il nuovo carico strutturale sarà:
      
         Qs=1,25 KN/mq
 

Dimensionamento trave

Inserisco i seguenti valori all’interno della tabella excel per poter dimensionare la trave:
 
interasse=3,35m
luce=6,70m
Qs=1,25 KN/mq
Qp=3,02 KN/mq
Qa=2,00 KN/mq
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fy,k (N/mm2)
sigam (N/mm2)
Wx (cm3)
3,35
1,25
3,02
2,00
21,0045
6,7
117,8615
275
239,13
492,88
 
Ottengo una resistenza a flessione Wx = 492,88 cm3
Quindi scelgo una trave IPE300 (Wx = 557,0 cm3)
 
Peso della trave: 42,2 Kg/m
Peso della trave al mq: 0,42/3,35(interasse)=0,12 KN/mq
 
Il nuovo carico strutturale sarà:
       
        Qs=1,37 KN/mq
 
Sostituendo il nuovo valore nella tabella verifico che la trave IPE300 scelta in precedenza sia sufficientemente resistente a flessione.
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fy,k (N/mm2)
sigam (N/mm2)
Wx (cm3)
3,35
1,37
3,02
2,00
21,4065
6,7
120,1172
275
239,13
502,31
 
 
 
 
 
IPE300 Wx = 557,0 cm > Wx = 502,31 cm3  VERIFICATO

 


SOLAIO IN LEGNO
 

Per poter dimensionare un solaio in legno analizzo tutti i carichi strutturali.
Dovrò quindi dimensionare prima i travetti per poter sommare il loro peso a quello del tavolato in legno.
 
 
Dimensionamento travetti
 
  • Carico strutturale_qs
Tavolato in legno: peso specifico=6 KN/mc  h=3 cm
Peso del tavolato al mq: 6*0,03*1=0,18 KN/mq
 
Qs=0,18 KN/mq
 
  • Carico permanente_qp
Gettata cls:
peso specifico=20 KN/mc   H=4 cm
0,04*20*1=0,8 KN/mq
 
Isolante:
peso specifico=7 KN/mc    H=4 cm
0,04*7*1=0,28 KN/mq
 
Massetto:
peso specifico=21 KN/mc   H=4 cm
0,04*21*1=0,84 KN/mq
 
Pavimento parquet:
peso specifico=7,5 KN/mc  H=2 cm
0,02*7,5*1=0,15 KN/mq
 
Tramezzi+impianti:
1,5 KN/mq
 
Qp=3,57 KN/mq
 
  • Carico accidentale_qa
Per un ambiente ad uso residenziale secondo normativa il carico accidentale risulta essere di 2 KN/mq
 
Qa= 2KN/mq
 
  • Scelgo un legno lamellare GL 24h
Resistenza a flessione: fm,k= 24 N/mm²
Classe di durata del carico: kmod=0,6
 
 
 
  • Inserisco tutti i valori ottenuti all’interno della tabella excel, scegliendo per il travetto una base b=14 cm

 

interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fm,k (N/mm2)
kmod
sigam (N/mm2)
b (cm)
h (cm)
1
0,18
3,57
2,00
5,75
3,35
8,066172
24
0,6
9,93
14
18,66
Ottengo un’altezza h=18,66 cm --> assumo un’altezza h=20 cm
Quindi la sua massa volumica (tabella superiore) è pari a 380 KN/mc
 
Peso del travetto: 0,14*0,20*3,35*3,8=0,35 KN
Peso del travetto al mq: 0,35/3,35/1=0,10 KN/mq
 
Il nuovo carico strutturale sarà:
 
Qs=0,28 KN/mq
 
Dimensionamento trave
 
Scelgo una trave in legno lamellare GL 28h
Inserisco i nuovi valori all’interno della tabella excel per verificare l’altezza della trave.
 
interasse: 3,35m
luce: 6,70m
fmk= 28 N/mm²
b=30 cm
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fm,k (N/mm2)
kmod
sigam (N/mm2)
b (cm)
h (cm)
3,35
0,28
3,57
2,00
19,5975
6,7
109,9665
28
0,6
11,59
30
43,57
 
 
 
 
 
 
Ottengo un h=43,57 cm --> scelgo un’altezza h=45 cm
 
peso della trave: 410 Kg/mc
 
0,3*0,45*6,7*4,1=3,7 KN
Peso della trave al mq: 3,7/6,7/3,35=0,16 KN/mq
 
Il nuovo carico strutturale sarà:
 
Qs=0,44 KN/mq
 
Inserisco i nuovi valori all’interno della tabella excel per verificare l’altezza della trave.
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fm,k (N/mm2)
kmod
sigam (N/mm2)
b (cm)
h (cm)
3,35
0,44
3,57
2,00
20,1335
6,7
112,9741
28
0,6
11,59
30
44,16

 

Ottengo un’altezza h=44,16 cm < h=45 cm --> VERIFICATO

 


SOLAIO IN CLS


Scelgo un un pacchetto di solaio in laterocemento con travetti armati.

Avendo una luce di 3,35m il mio solaio avrà:
h=16cm (12+4)
peso del solaio=236 Kg/mc
 
Quindi:
Qs=2,36 KN/mq
 
 
  • Carico permanente_qp
Isolante:
peso specifico=7 KN/mc    H=4 cm
0,04*7*1=0,28 KN/mq
 
Massetto:
peso specifico=21 KN/mc   H=4 cm
0,04*21*1=0,84 KN/mq
 
Pavimento parquet:
peso specifico=7,5 KN/mc  H=2 cm
0,02*7,5*1=0,15 KN/mq
 
Intonaco:
0,3 KN/mq
 
Tramezzi+impianti:
1,5 KN/mq
 
Qp=3,07 KN/mq
 
  • Carico accidentale_qa
Per un ambiente ad uso residenziale secondo normativa il carico accidentale risulta essere di 2 KN/mq
 
Qa= 2KN/mq
 

Inserisco i valori all’interno del foglio excel assumendo come tipo di cls C35/45 (Rck=45 N/mmq) e per le barre un acciaio B450C.

 

 

interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fy (N/mm2)
sig_fa (N/mm2)
Rck (N/mm2)
3,35
2,36
3,07
2,00
24,8905
6,7
139,6668
450
391,30
45
 
 
sig_ca (N/mm2)
alfa
r
b (cm)
h (cm)
delta (cm)
H (cm)
H/l
area (m2)
peso (KN/m)
25,50
0,49
2,20
30
29,74
5
34,74
0,052
0,10
2,61
 
Ho scelto una base di 30 cm e ottengo un’altezza di 29,74 cm.
Dovendo aggiungere 5 cm di copriferro prendo una sezione di 30x40 cm.
 
Eseguo nuovamente la verifica aggiungendo il peso della trave:
peso trave: 2,61 KN/m
peso trave al mq: 2,61/3,35=0,77 KN/mq
 
Ottengo il nuovo carico strutturale:
Qs=3,13 KN/mq
 
interasse (m)
qs (KN/m2)
qp (KN/m2)
qa (KN/m2)
q (KN/m)
luce (m)
M (KN*m)
fy (N/mm2)
sig_fa (N/mm2)
Rck (N/mm2)
3,35
3,13
3,07
2,00
27,47
6,7
154,141
450
391,30
45
 
 
sig_ca (N/mm2)
alfa
r
b (cm)
h (cm)
delta (cm)
H (cm)
H/l
area (m2)
peso (KN/m)
25,50
0,49
2,20
30
31,24
5
36,24
0,054
0,11
2,72
 

H=36,24 cm < 40 cm --> VERIFICATO

 

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