blog di valerio.minella

 

 

Il procedimento che segue descrive il calcolo relativo alla ripartizione delle forze orizzontali (sisma, vento…) sui telai che compongono la struttura rappresentata si seguito, attraverso il metodo delle rigidezze.

 

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Si identificano nell’impalcato tutti i telai che fungono da controventi per le forze orizzontali che agiscono sulla struttura, quindi:

 

v1 - pilastri: 1-5-7

v2 - pilastri: 2-6-8

v3 - pilastri: 3-9

v4 - pilastri: 4-10

 

o1 - pilastri: 1-2-3-4

o2 - pilastri: 5-6

o3 - pilastri: 7-8-9-10

 

questi possono essere rappresentati come “molle”, e costituiscono i vincoli cedevoli elasticamente dell’impalcato:

Ipotizzando che il solaio, rappresentato successivamente, sia rigido a sufficienza da considerare la struttura composta da telai Shear-Type, possiamo calcolare la rigidezza traslante K_T di ogni telaio, ovvero la somma delle rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono, la quale come sappiamo dipende dal modulo di Young E, dal Momento d’Inerzia I e dalla luce L (nello specifico l’altezza h).

poiché il telaio Shear-Type ha una rigidezza pari a:

meglio sintetizzata nell’immagine qui sotto:

Step-1: Con la formula della rigidezza vista prima possiamo calcolarla per tutti i telai orizzontali e verticali identificati, definendo:

E = 21000 N/mm²

H = 4mt

Ix = bh³/12 *

Iy = b³h/12 *

 

*rappresentazione della sezione rettangolare scelta per i pilastri dei telai Shear-Type

 

 

Step-2: Si riportano in tabella tutte le rigidezze calcolate nello step-1, con relative distanze tra esse e l’origine degli assi posto in basso a sinistra dell’impalcato:

La tabella riassuntiva riportata qui sopra servirà poi per velocizzare i calcoli del centro di rigidezza che viene calcolato nello step-3

 

 

Step-3: Per capire dove applicare la forza orizzontale, che servirà per i calcoli successivi, si ricava il centro di massa dell’impalcato dal procedimento che segue:

Così procedendo si ricavano le coordinate xG e yG che descrivono il centro di massa, ipotizzando che questo abbia la stessa densità per tutta la sua estensione, si ricava ponendo come la massa l’area della parte di impalcato in esame, poiché a parità di densità di tutto l’impalcato, il centro di massa coincide con il centro d’area.

Il procedimento è sintetizzato nella tabella sottostante che evidenzia un'unica area poiché essendo questo un impalcato “semplice” non vi è l’esigenza di dividerlo in parti:

 

 

 

Nell’immagine qui sopra è riportato l’impalcato con i due punti del centro di massa e del centro di rigidezza con le quote della loro distanza.

Non coincidendo questi due punti, nel momento in cui si applica una forza orizzontale (nel centro di massa dell’impalcato) si produrrà uno spostamento sull’asse in cui è applicata la forza ed un momento che farà ruotare l’impalcato con perno nel centro delle rigidezze e braccio pari alla coordinata che informa sulla distanza di questa forza dal centro delle rigidezze.

Qualora questi due punti coincidessero allora non vi sarà alcun momento ma solo spostamento.

 

Step-5: Nella seconda parte della tabella esposta prima, che si riporta di seguito, viene calcolata “Kφ” la rigidezza torsionale che si ricava tramite la sommatoria di tutte le rigidezze ricavate nello step-1 per la loro distanza dal centro delle rigidezze, ricavato nello step-4.

Questa rigidezza torsionale “Kφ” verrà utilizzato in seguito per il calcolo della rotazione dell’impalcato secondo una direzione:

 

Step-5: Per analizzare la ripartizione delle forze orizzontali, manca ora solo il carico orizzontale, essendo questo ipotizzabile come una forza sismica, si ricava tale carico dalle operazioni che seguono:

 

 

Nella tabella qui sopra sono riportati i carichi qs, qp e qa che equivalgono ai valori del solaio in figura e dei carichi accidentali attribuiti a residenza:

 

Si ricavano i carichi G e Q, in accordo con le norme tecniche vigenti, dalle seguenti formule:

Si distinguono due carichi differenti per il calcolo dei carichi sismici W poiché il carico G presenta tutti i carichi “permanenti” legati ad elementi strutturali e non, mentre il carico Q racchiude tutti i carichi accidentali che vengono compresi nella combinazione sismica ridotti di un coefficiente di contemporaneità ψ.

*Il valore di ψ è tabellato in normativa.

Questo carico W rappresenta la forza peso dell’edificio, espresso dalla massa dell’edificio per l’accelerazione di gravità.

Poiché il sisma ha un’accelerazione poco più piccola di quella di gravità, può essere introdotto un coefficiente riduttivo calcolato secondo la sismicità del luogo in cui si progetta la struttura:

Step-6: Si dovrà ora quantificare la ripartizione della forza sismica F lungo l’asse x e lungo quello y e, nello specifico, per ognuno dei controventi. Si ricorda che nel momento in cui la forza agente abbia un asse differente da quello del centro delle rigidezze (come nel caso dell’impalcato in questione), il corpo non si limita a traslare, ma ha anche una rotazione. Per poter conoscere il valore di questa rotazione, si calcola il Momento Torcente M per l’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri. Poi, si calcola la traslazione orizzontale, dividendo F per la rigidezza traslante orizzontale, la traslazione verticale, dividendo F stavolta per la rigidezza traslante verticale, e le rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti Torcenti per la rigidezza rotazionale “Kφ”:

I calcoli riportati di seguito descrivono il dimensionamento della trave più sollecitata di un balcone ad uso residenziale con tre materiali differenti, acciaio, legno e calcestruzzo armato.

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Poiché il seguente dimensionamento riprende in parte il procedimento della seconda esercitazione già pubblicata, dove necessario saranno fatti dei riferimenti alla stessa.

L’elemento preso come oggetto di studio è la mensola con area di influenza maggiore di un impalcato strutturale che rispecchia il balcone di un livello di edificio ad uso residenziale meglio descritto dagli elaborati allegati di seguito: 

Step-1: Vengono analizzate tutte le aree di influenza delle travi principali dell’impalcato strutturale per evidenziare l’elemento oggetto del dimensionamento;

LUCE = 1,50 m

AREA DI INFLUENZA = 8,60 m

Step-2: Il calcolo dei carichi strutturali (qs) e permanenti (qp) viene ripreso dalla seconda esercitazione e come descritto nella stessa, questo varierà a seconda della tecnologia dei solai che si sono scelti per il calcolo da effettuare.

Il carico accidentale (qa) differenzia dal valore di 2 KN/mq, presente nell’esercitazione precedente, poiché la normativa (D.M. 14.01.2008) definisce un differente valore di carico qa per gli ambienti suscettibili di affollamento, come nel caso che segue di un balcone che rientra in categoria C2 con valore di carico accidentale pari a:

qa = 4 KN/mq

 

Le tipologie tecnologiche dei solaio sono state scelte in base all’abaco dei modelli UNI10355

SOLAIO-15  PROFILATI ACCIAIO E TAVELLONI – dimensionamento in acciaio;

SOLAIO-12  SOLAIO IN LEGNO – dimensionamento in legno;

SOLAIO-04  LATERO CEMENTO CON BLOCCHI COLLABORANTI – dimensionamento in calcestruzzo armato.

 

ACCIAIO

Step-3 acciaio: Si procede al dimensionamento della sezione della mensola tramite lo stesso procedimento dell’esercitazione precedente, ricavandoci i dati necessari per la scelta del profilo da appositi sagomari, con la sola eccezione del calcolo del M_max poiché essendo una mensola anziché una trave doppiamente appoggiata analizzata nell’esercitazione precedente, questo M_max avrà un valore pari a ql²/2

(link esercitazione 2: http://design.rootiers.it/strutture/node/2069) 

 

 

Step-4 acciaio: Dimensionata la sezione (IPE 240) si procede alla verifica dell’abbassamento massimo (v_max), poiché essendo questo un elemento mensola, il suo abbassamento sarà oggetto di dimensionamento, così come anche il calcolo del peso proprio dell’elemento che in quanto acciaio, in questo caso, non potrà essere trascurato durante il carico di qe;

qe identifica la combinazione di carico per le analisi allo Stato Limite di Esercizio (SLE) che terranno conto dell’abbassamento da verificare:

qe = qs + qp + 0,5 * qa + peso proprio dell’elemento

 

 

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ABBASSAMENTO MASSIMO: v_max

Dovendo verificare che la sezione dimensionata tramite lo stesso approccio dell’esercitazione precedente sia efficace per la verifica dell’abbassamento massimo, come prescritto da normativa, si procede con il calcolo del v_max , per poi operare con:

l/v_max > 250         come nel testo della normativa.

Per ricavare il valore di v_max si ha bisogno di effettuare i calcoli mediante il metodo della linea elastica che di seguito sarà sintetizzato per il caso dell’elemento mensola:

- si ricava il momento M_s tramite il taglio virtuale che si opera sull’elemento:

M_s = -ql²/2 + qls – qs²/2

- dall’equazione di legame costitutivo: M = EI χ si ricava la curvatura:

χ_s = -ql²/2EI + qls/EI – qs²/2EI

- integrando secondo l’equazione di congruenza χ = dϕ/ds:

ϕ_s = -ql²s/2EI + qls²/2EI – qs³/6EI + c1

- integrando ϕ_s d_s si ricava l’abbassamento in funzione di s:

v_s = -ql²s²/4EI + qls³/6EI – qs⁴/24EI + c1s + c2

poiché si deve ricavare l’abbassamento massimo, allora v_s sarà calcolato per s=l, dove “l”è la luce della mensola poiché li si avrà l’abbassamento massimo.

Quindi:

v_max = v_(l) = -ql⁴/4EI + ql⁴/6EI – ql⁴/24EI = -ql⁴/8EI = ql⁴/8EI

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Step-4 acciaio: Si ricava quindi v_max = ql⁴/8EI e si confronta con il limite in normativa per verificare che la sezione sia ben dimensionata:

 

 

LEGNO

Step-3 legno: come per l’acciaio si dimensiona la sezione della mensola come nell’esercitazione precedente con l’inserimento dei dati relativi al materiale dalle tabelle riportate di seguito: 

 

Step-4 legno: una volta ricavati i dati relativi al dimensionamento della sezione in legno, come per l’acciaio si procede con il calcolo dell’abbassamento massimo (SLE), trascurando nel caso del legno il paso proprio della trave poiché il peso specifico di questo materiale è molto basso;

 

 

CALCESTRUZZO ARMATO

Step-4 c.a.: Si ripetono gli step analizzati precedentemente per il dimensionamento della sezione in c.a., per poi arrivare a calcolare anche per questa sezione l’abbassamento massimo v_max ;

 

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L’analisi descritta dall’esercitazione che segue verte al calcolo del dimensionamento di una trave con tre diversi materiali tecnologici: acciaio, legno e calcestruzzo armato.

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L’elemento preso come oggetto di studio è la trave più sollecitata di un impalcato strutturale che rispecchia un livello di un edificio ad uso residenziale meglio descritto dagli elaborati allegati di seguito: 

Step-1: Evidenziati gli elementi orizzontali principali, secondo la tessitura del solaio sovrastante, sono state calcolate tutte le aree d’influenza degli stessi con le relative luci e superfici, per permettere la localizzazione del più sollecitato;

LUCE = 6,20 m

AREA DI INFLUENZA = 32,60 mq

 

Step-2: Per procedere con i relativi calcoli di dimensionamento dell’elemento evidenziato nell’immagine precedente si analizzano i carichi distribuiti agenti sullo stesso: qs, qp, qa:

Questi carichi, normati dal D.M.14-01-2008, consentono di ricavare il carico totale (qu) calcolato mediante una combinazione dei precedenti impostata secondo la natura dell’analisi che si vuole effettuare, in questo caso allo Stato Limite Ultimo (SLU):

qu = γG1 qs + γG2 qp + γG3 qa

I termini γG1, γG2, γG3 sono coefficienti parziali dei pesi analizzati, imposti dalla normativa e impostati  secondo la tabella che segue, prendendo in esame la colonna STR che analizza gli elementi strutturali che si stanno calcolando;

 

Quindi la combinazione sarà:   qu = 1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa

I carichi qs, qp, qa [KN/mq] rispecchiano rispettivamente:

(qs) carico strutturale ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi che svolgono una funzione portante;

(qp) carico permanente ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi che gravano sulla struttura portante per il suo intero periodo di vita e che non svolgono alcuna funzione strutturale;

(qa) carico accidentale ovvero i carichi legati alla funzione svolta dall’edificio. Questo carico ha una natura aleatoria, basata su calcoli statistici normati e tabellati che vengono svolti prendendo in considerazione funzione, vita e azioni esterne (quali ad esempio il sisma).

Nel caso dell’elemento analizzato in questa esercitazione, avendo preso un edificio a uso residenziale il carico accidentale sarà:

qa  = 2 KN/mq

 

Per il calcolo dei carichi qs e qp, essendo questi legati alla natura degli elementi compresi nel pacchetto tecnologico del solaio si vanno a scegliere tre tipologie differenti dello stesso a seconda del materiale scelto per il dimensionamento della trave.

Le tipologie tecnologiche dei solaio sono stati scelti in base all’abaco dei modelli UNI10355:

SOLAIO-15  PROFILATI ACCIAIO E TAVELLONI – dimensionamento in acciaio;

SOLAIO-12  SOLAIO IN LEGNO – dimensionamento in legno;

SOLAIO-04  LATERO CEMENTO CON BLOCCHI COLLABORANTI – dimensionamento in calcestruzzo armato.

 

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ACCIAIO

Step-3 acciaio: Ricavati quindi i carichi qs, qp e qa possiamo inserire questi dati all’interno di un foglio excel che permette di effettuare il calcolo di qu, con la formula descritta sopra ed avere quindi il carico complessivo che grava sulla trave da dimensionare.

Essendo i carichi qs, qp e qa espressi in KN/mq, anche qu che si otterrà sarà espresso con la stessa dimensione, bisogna quindi moltiplicare il valore ottenuto di qu per la dimensione perpendicolare alla luce dell’elemento (chiamata nell’immagine come interasse) ottenendo quindi un valore espresso in KN/m ovvero un carico uniformemente distribuito lungo la luce della trave;

 

Come riportato nella stringa qui sopra il qu sarà formato dalla seguente operazione:

qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

 

Step-4 acciaio: Si può ricavare ora il momento massimo (MMAX) dell’elemento sostenendo che si tratti di una trave appoggiata-appoggiata il cui momento massimo si trova alla mezzeria della luce e equivale a ql²/8, dove “l” viene sostituito dalla luce dell’elemento e “q” dal carico qu ricavato nello Step-3 acciaio;

 

Step-5 acciaio: Sapendo il valore del momento massimo che agisce sulla trave, per il dimensionamento si utilizza la formula di Navier:

σmax = (Mmax/Ix) ymax

dove Ix è il momento d’inerzia della sezione secondo l’asse x e ymax è la distanza delle fibre che si considerano rispetto all’asse y.

Essendo i profilati in acciaio tutti ingegnerizzati e tabellati, servirà un parametro minimo su cui basare la scelta della sezione più opportuna, quindi, una volta scelto il tipo di materiale (quindi una resistenza caratteristica fyk ) si avrà bisogno del modulo di resistenza (Wx) che è:

Wx = Ix/ ymax

Che dipende dalle caratteristiche geometriche della sezione, opportunamente tabellato e calcolato per ogni profilo ingegnerizzato.

Si può quindi sintetizzare il tutto con la formula:

Wmin = Mmax/fd

dove fd è la resistenza di progetto del materiale acciaio scelto, ricavata da fd = fyk / γm (con γm = 1.05 coefficiente di sicurezza normato),  e σmax = fd e Wmin il parametro utile per la scelta del Wdesign;

Wmin < Wdesign

 

 

Step-6 acciaio: Da profilario (in questo caso si è scelto il catalogo dei profilati IPE dell’azienda Oppo) si può ricavare la sezione che meglio risponde alle esigenze strutturali, economiche e di progetto.

 

 

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LEGNO

Step-3/4 legno: Come per il dimensionamento in acciaio anche per il legno si segue il metodo utilizzato nello Step-3 acciaio per il calcolo di qu e nello Step-4 acciaio per ricavare il momento massimo;

qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

Mmax = ql²/8

 

 

Step-5 legno: Ricavato il momento massimo “Mmax” si procede con il determinare la resistenza di progetto del legno scelto per il dimensionamento:

fd = Kmod fmk / γm

la resistenza di progetto del materiale legno viene calcolata in parte come quella dell’acciaio (fmk / γm), con γm = 1.50 (per cautela verso un materiale che viene ingegnerizzato ancora da poco tempo nel paese) e fmk = resistenza caratteristica a flessione, il quale si differenzia dalla resistenza a trazione e compressione del legno poiché questo essendo un materiale ortotropo non ha resistenze uguali per ogni direzione, ed in maniera differente data la presenza di Kmod quale coefficiente diminutivo della resistenza del materiale che considera sia la permanenza del carico sull’elemento che si analizza sia le condizioni di umidità dell’ambiente su cui questo viene realizzato;

 

 

Step-6 legno: Scelto il materiale e ricavata la tensione di progetto si procede determinando una dimensione della base (b) della sezione rettangolare che si vuole dimensionare, lasciando come unica incognita da ricavare l’altezza (h). Come detto prima, poiché il legno è un materiale ingegnerizzato le sue sezioni sono tabellate (in maniera diversa tra le aziende) quindi si può scegliere la base da profilari o ipotizzarla;

b = 35 cm

Riprendendo i concetti espressi per il dimensionamento della sezione in acciaio:

σmax = (Mmax/Ix) ymax

σmax =fd

quindi:

fd = Mmax / Wmin

Ix per sezioni rettangolari è Ix = bh³/12 ovvero Wmin = Ix / ymax  quindi Wmin = bh²/6 per ymax  = h/2, posso ricavare ora il valore dell’altezza con la formula:

Mmax / fd = Wmin

Mmax / fd = bh²/6

h² = 6 Mmax / bfd

h² = RAD2 (Mmax/b) x RAD2 (6/fd)

poiché si è scelto σmax = fd il valore che si otterrà di “h” sarà il valore minimo dell’altezza che di dovrà scegliere per il dimensionamento;

hmin < H

 

 

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CALCESTRUZZO ARMATO

Step-3/4 c.a.: Come per il dimensionamento in acciaio e legno, si ricava il qu con lo stesso metodo descritto nello Step-3 acciaio/legno e il momento massimo con lo Step-4 acciaio/legno;

 qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

Mmax = ql²/8

 

 

Step-5 c.a.: Per il calcolo della trave in c.a., essendo questa composta da due diversi materiale, si deve scegliere sia un acciaio per l’armatura a trazione sia il calcestruzzo per la sezione rettangolare da dimensionare:

per l’acciaio (B450C)      

fd = fyk /γm

dove γm =1,15

per il calcestruzzo, una volta scelta la classe (C25/30)    

fcd = αcc x fck/ γc

dove γc = 1,50 , αcc = 0,85 coefficiente riduttivo per le resistenze a lunga durata e fcd resistenza a compressione del calcestruzzo scelto;

 

 

Step-6 c.a.: Poiché la sezione che si va a dimensionare è rettangolare, come che per il legno, fissiamo il valore della base b = 35 cm, per poter ricavare il valore dell’altezza Hmin.

L’incognita da ricavare è quindi hu ovvero l’altezza UTILE della sezione, attraverso l’uguaglianza tra triangoli simili nel diagramma delle tensioni, come nella figura, tenendo conto dell’omogenizzazione del materiale acciaio in calcestruzzo, essendo questo dimensionamento composto da due materiali tra loro differenti:

 

(nella stringa excel il parametro α=β)

Step-7 c.a.: Ottenuto il parametro hu = altezza utile, si fissa δ come distanza tra interasse dell’armatura in acciaio e la sezione “inferiore” del calcestruzzo:

Hmin = hu + δ

 

 

Step-8 c.a.: Ricavato Hmin, si va a dimensionare la sezione scegliendo, con b = 35 cm, il valore dell’altezza:

Hdesign > Hmin

(le dimensioni devono essere adattate a misure idonee per la cantierizzazione, poiché il calcestruzzo armato non è ingegnerizzato come il legno e il ferro)

Step-9 c.a.: La sezione in calcestruzzo, a differenza di quella in legno che ha un peso limitato dato il basso peso specifico del materiale stesso (γ=710 Kg/mc) e quella in acciaio molto snella data la grande resistenza del materiale (fyk = 235 MPa), deve essere analizzata anche in base al peso proprio dell’elemento dimensionato, poiché non trascurabile dato l’elevato peso specifico di questo materiale (γ=2500 Kg/mc).

Infatti la seconda riga della stringa qui in basso riporta gli stessi calcoli effettuati per il dimensionamento, calcolando all’interno del qs anche il valore del peso proprio dell’elemento appena dimensionato e serve come verifica al calcolo precedente.

 

 

La struttura analizzata è una superficie rigata a curvatura negativa definita come “paraboloide iperbolico”. Si è voluta scegliere poiché io ed il mio collega, Tommaso Passerini, l’abbiamo studiata, calcolata e costruita nel corso singolo “Geometrie e Modelli” delle professoresse Tedeschini Lalli-Magrone e perché avevamo il desiderio di capirne il funzionamento con la natura di reticolare spaziale. Vorrei premettere da subito che io ed il mio collega abbiamo realizzato 2 modelli di paraboloide iperbolico completamente differenti l’uno dall’altro.

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La modellazione della superficie è stata affrontata con AutoCAD tramite una costruzione spaziale di “frame spezzati” che consentivano una giusta importazione nel software di calcolo SAP 2000.

La costruzione ha seguito un iter compositivo basato sulla realizzazione di 4 aste sghembe “perimetrali” della superficie a base quadrata sul quale poi sono state costruite per punti tutte le “rigate”, partendo da un’asta base di 2m di lunghezza.

  

Scelta una curvatura appropriata a definire una superficie tridimensionale idonea al calcolo delle sollecitazioni, sono stati costruiti (uno ad uno) tutti i frame necessari per comporre una travatura che esprimesse il compito di reticolare.

  

  

  

Effettuando gli opportuni accorgimenti di importazione tra diversi software (centramento del modello nell’origine degli assi del foglio di lavoro, ribaltamento del modello sull’asse XZ, copia del modello su layer appropriato e esportazione come file .dxf), il modello è stato lavorato in SAP 2000 come descrivono i passaggi successivi.

  

Step-1: selezione di tutti i frame del modello e impostazione di calcolo della deformata e delle sollecitazioni solo in due Output Station ai due estremi dell’asta, poiché essendo una travatura reticolare spaziale sarà soggetta solo a sforzi normali COSTANTI e quindi definibili attraverso un solo valore di questo su qualsiasi punto dell’asta, inoltre poiché per il dimensionamento di massima occorre avere la lunghezza di ogni frame si decide di impostare il secondo Output Station;

Step-2: impostazione delle cerniere interne con rilascio dei momenti agli estremi dell’asta per tutti i componenti del modello, affinché questo assuma natura di reticolare spaziale;

  

Step-3: definizione e assegnazione di “sezione di progetto” delle aste per il calcolo delle sollecitazioni scelta come tubolare metallico cavo;

 

Step-4: assegno di vincoli esterni puntuali su alcuni dei nodi presenti sulla “faccia posteriore” del modello: l’assegnazione di tali cerniere è stato un passaggio complesso dato dal modo di lavorazione del software che sfrutta viste bidimensionali “PER PIANI” che interagiva con un oggetto a curvatura negativa. Per aggirare il problema sono stati assegnati i vincoli esterni andando a selezionare i nodi da una visualizzazione 3d assonometrica del modello, oppure analogamente si poteva lavorare con una visualizzazione bidimensionale in pianta andando a sommare i “piani” che il software evidenziava come sottolinea l’immagine qui di seguito;

  

Step-5: definizione di un carico “F” con esclusione del peso proprio della struttura e assegnazione dello stesso come carico uniformemente distribuito ma impostato come carico puntuale, con valore di 100 KN per tutti i nodi presenti sulla faccia superiore del modello.

Essendo un carico distribuito sono stati assegnati carichi puntuali di intensità di 100 KN per tutti i nodi della superficie tranne che per i nodi al perimetro della stessa per cui l’area di influenza del carico distribuito è dimezzata e quindi con intensità di 50 KN;

Step-6: calcolo della struttura per il carico impostato “F”;

Step-7: visualizzazione della deformata per la sola combinazione di carico “F” definito a posteriori;

  

Step-8: analisi dei valori e dei diagrammi degli sforzi normali per tutto il modello (ovviamente di natura costante) – in rosso il software definisce la compressione e in blu la trazione, infatti è possibile notare come i frame collegati direttamente per una estremità al vincolo esterno siano tutti in compressione;

  

Step-9: esportazione della tabella di analisi delle sollecitazione delle aste da SAP 2000 al foglio elettronico di Excel per il dimensionamento di massima delle aste;

Step-10: per il dimensionamento delle aste del modello di paraboloide iperbolico si ha l’esigenza di differenziare due tabelle che raggruppano i frame compressi e tesi, quindi procedere con i calcoli necessari alla ricerca dell’area minima (Amin) per le aste tese e l’ulteriore calcolo del momento d’inerzia minima (Imin) per le aste compresse soggette anche alla verifica di snellezza della sezione che si va a scegliere da opportuni profilari;

Step-11: dato l’eccessivo numero di frame da calcolare si è scelto di operare attraverso un metodo che riuscisse a semplificare la procedura di dimensionamento eseguendo gli opportuni calcoli descritti sopra dividendo ulteriormente le aste tese e compresse a seconda del valore di sollecitazione a sforzo normale (Ned);

Step-12: per tutte le aste soggette a trazione, dato un valore di sforzo normale di progetto (Ned) – esportato direttamente da SAP 2000, si va a calcolare un’area minima tramite la formula:

 Amin=Ned/Fd

Dove Fd è la resistenza di progetto del materiale scelto, in questo caso acciaio S235, che viene calcolato dalla resistenza del materiale Fyk (235 MPa) diviso il coefficiente di sicurezza γm pari a 1,05 per l’acciaio;

Step-13: ricavata l’area minima di tutte le aste tese, con un opportuno profilario di sezioni tubolari cave in acciaio si va ad assegnare una sezione per ogni categoria di aste, definito dallo step-11, andando a prendere una sezione che abbia un’area (“metallica” nel caso del profilario dell’azienda Oppo) maggiore rispetto all’area minima, definita in tabella con il nome di Adesign e quindi si associa a questa il profilo scelto;

Amin < Adesign

  

Step-14: per il dimensionamento delle aste compresse si segue lo stesso iter processuale delle aste tese con la differenza iniziale del segno dello sforzo normale di progetto da cambiare, con opportuna formula in Excel e il calcolo ulteriore del momento d’inerzia minimo:

Nell’immagine di seguito nella tabella è stata inserita una colonna di Ned che definisce il cambio di segno dell’NSAP esportato direttamente dal software stesso.

Successivamente, calcolata l’area minima, si procede con il calcolo del momento d’inerzia minimo (Imin) che si ricava dalla formula del carico critico euleriano:

Ncr = π²EA/λ²

Dove E è il modulo di elasticità del materiale, A l’area della sezione e λ è la snellezza della sezione calcolata mediante la formula:

λ=lo/ρmin

dove lo è la lunghezza libera di inflessione che si ricava dal prodotto di β, coefficiente adimensionale che determina le condizioni di vincolo dell’asta (in questo caso essendo ogni asta doppiamente incernierata il coefficiente sarà pari a 1 poiché i flessi saranno localizzati proprio sulle cerniere) e l, lunghezza dell’asta, e che rappresenta la distanza tra due punti di flesso successivi della deformata critica, e ρmin è il raggio d’inerzia ricavabile dalla formula:

ρmin=lo/λmax

quale λmax è la snellezza massima della sezione definibile tramite la formula del carico critico euleriano:

λmax=π RadQ(E/Fd)

dove è tutto noto.

Essendo l’inerzia minima (Imin):

Imin=A ρmin²

Step-15: una volta ricavati tutti i parametri in Excel delle formule viste prima si avrà sia un’area minima sia un momento d’inerzia minimo e da questi due parametri si potrà scegliere il profilato per ogni asta scegliendo il parametro più restrittivo tra i due;

Step-16: scelto un profilato per ogni categoria di asta compressa, divise come suggeriva lo step-11, si procede ad un ulteriore calcolo normativo di verifica che va ad analizzare la snellezza del profilato scelto:

la normativa impone che la snellezza di un asta non può essere superiore a un valore pari a 200 quindi scelto il profilato adeguato ai due valori di area minima e momento d’inerzia minimo, sempre sul profilario è possibile leggere i valori dei raggi d’inerzia (ρmin) (essendo un tubolare il raggio sarà unico) di tutte le sezioni scelte per calcolare poi la snellezza dell’asta con la formula vista prima:

λ=lo/ρmin

dove:

λ < 200

Step-17: dopo questo dimensionamento di massima è possibile effettuare nuovamente le verifiche e le analisi in SAP 2000 andando a definire tutte le sezioni e i materiali scelti, e assegnarli alle apposite aste del modello.

Valerio Minella