blog di Veronica Stefanelli

La terza esercitazione consiste nell’analisi di un telaio di un piano di un edificio, in particolare analizzando il centro di massa e il centro delle rigidezze per verificare che questi coincidano o siano molto vicini. Se questo non è verificato l’edificio subirà delle rotazioni quando sul centro di massa agiranno le forze sismiche. 

Per realizzare il piano tipo ho importato da autocad i fili fissi per la creazione di una griglia di riferimento in cui ho incluso tutti gli elementi che costituivano delle gabbie ascensori e corpi scala. Grazie alla griglia ho realizzato un sistema di travi e pilastri ed ho disegnato delle aree poligonali lì dove dovevo definire dei setti.  Alla base di ogni pilastro e di ogni punto appartenente ai setti ho posto un incastro; successivamente ho assegnato le sezioni ai pilastri (circolari e con diametro 60 cm), alle travi (70*45 cm) e ai setti ho assegnato una sezione Shell (0,30*0,30 cm), il tutto in calcestruzzo.  

 Descritta e definita la struttura di questo piano dell’edificio ho analizzato la posizione del centro di massa (centro dell’area). Per determinarlo ho ipotizzato il posizionamento del centro d’area suddividendo il trapezio in due triangoli, posizionando i due centri d’area nei baricentri. Ottenute le coordinate dei due centri ho trovato, tramite la formula seguente, le coordinate del centro dell’intera figura: 

G_x = (A₁x₁ + A₂x₂ ) / (A₁+A₂)

G_y = (A₁y₁ + A₂y₂) / (A₁+A₂)

Posizionato il centro di massa su Sap ho selezionato le travi e tutti i punti appartenenti al piano z=3, incluso il centro di massa che deve far parte dell’impalcato, ed ho assegnato una condizione di vincolo interno Diaphragm per imporre la rigidezza del telaio. Questo passaggio riproduce la condizione di impalcato rigido in cui non è consentito il movimento libero di tutti i punti, i quali invece si possono muovere rigidamente, permettendo anche un’uguale rotazione intorno all’asse verticale che devo definire quando assegno questa condizione di vincolo (nel caso specifico attivo la rotazione intorno a z). 

Per impostare l’analisi devo prima conoscere il valore delle forze orizzontali che devo applicare al centro di massa e per farlo devo considerare il peso totale dell’edificio e moltiplicarlo per un coefficiente sismico di massima (0,2). Per trovare il peso dell’edificio eseguo l’analisi dell’impalcato considerando esclusivamente il peso proprio e dalle tabelle di analisi trovo il valore della forza verticale che, sommata in tutte le sue componenti, mi fornisce il peso totale dell’edificio in kN; nel caso specifico è 44712,35 e moltiplicato per 0,2 da 942,47 kN, ovvero l’intensità della forza orizzontale che devo applicare. 

Per avviare l’analisi devo definire i due casi di carico, cioè la fx e la fy, ovvero le due componenti della forza orizzontale nel caso agisca lungo x e lungo y, che analizzo separatamente. Successivamente selezionando il centro di massa gli assegno prima la forza fx che agisce in direzione x con valore pari a 942,47 kN e faccio partire l’analisi; come risultato ottengo che la struttura oltre a traslare in direzione x, ruota.

Questo avviene anche applicando la componente lungo y con lo stesso valore di 942,47 kN, ma con direzione lungo y. 

La rotazione mette in evidenza il fatto che il centro di massa non coincide con quello delle rigidezze, per cui nel progetto sarà necessario renderli coincidenti. In questa analisi ho cercato quali fossero le coordinate per cui la rotazione fosse minima in ogni punto cambiando le coordinate del centro di massa lungo y, quindi spostandolo verso il basso visto che la rotazione dell’impalcato era oraria. 

Ho modificato tale coordinata di partenza fino ad ottenere sole traslazioni lungo x e lungo y, in risposta all’azione orizzontale rispettivamente lungo x e lungo y, abbassandolo in totale il centro di massa di 5,80 m. 

Le immagini seguenti mostrano i risultati dell'analisi una volta spostato il centro di massa. 

Risultato con la forza agente lungo x. 

Risultato con la forza agente lungo y. 

In collaborazione con Jessica Sordi. 

La progettazione di un graticcio prevede il dimensionamento di travi in calcestruzzo senza l’individuazione di una gerarchia. Il graticcio in esame, composto da travi con la stessa geometria, supera una luce di 15 m ed ha ha al di sopra un piano adibito ad uffici aperti al pubblico. 

Come primo passo definisco la geometria del graticcio su Autocad, creando una  griglia 15 m per 10 m, con interasse pari ad 1 m. Per l’esportazione su Sap è importante esplodere gli elementi creati (su un layer diverso dallo 0) e posizionare la griglia in prossimità dell’origine degli assi. 

Fig. 01 - L'immagine seguente mostra la griglia creata su Autocad importata su Sap. 

Definisco la tipologia di solaio in calcestruzzo, riportata nell’immagine seguente.

Fig.02 - Solaio

Questa scelta mi permette di calcolare i carichi strutturali q_s e i sovraccarichi permanenti q_p, agenti sul graticcio utilizzando la combinazione di carico, che include il carico accidentale q_a, legato alla funzione (questi valori sono moltiplicati per i coefficienti di sicurezza).  

La combinazione di carico segue la formula q_u=(q_s γ_s + q_p + γ_p + q_a γ_{a) * i} 

Importando il modello su Sap come prima operazione spezzo le linee che definiscono il graticcio in modo che si possa analizzare il comportamento delle travi considerandole disgiunte dalle altre poste perpendicolarmente. 

Dopo questo ipotizzo il posizionamento dei vincoli esterni (incastri) lungo i due lati corti e assegno la sezione in calcestruzzo, rettangolare e pari a 0,25 x 0,50 m. Successivamente assegno il carico agente distinguendo le travi di bordo da quelle interne: su quelle più esterne considero la metà del carico rispetto a quelle centrali in quanto l’area d’influenza è esattamente la metà rispetto alle travi interne, su cui calcolo il carico lineare moltiplicando q_u per 1m (quindi per quelle esterne farò q_u x 0,50 m). 

Fig. 03 - Griglia con vincoli e assegnazione della sezione 

Fig. 04 - Assegnazione del carico alle travi interne 

Fig. 05 - Assegnazione del carico alle travi esterne 

Assegnato il carico con questa distinzione, avvio l’analisi. Possiamo osservare la configurazione deformata e il diagramma del momento flettente. Il valore massimo del momento flettente lo ottengo come risultato di output delle tabelle generate su Sap e che utilizzo nel foglio di calcolo Excel per verificare se il dimensionamento ipotizzato sia corretto. 

Fig. 06 - Configurazione deformata 

Fig. 07 - Diagrammi del momento flettente 

Fig. 08 - Trave con sollecitazione di momento massimo 

Dalla tabella di Output di Sap possiamo trovare il valore massimo del momento flettente: 

 quindi possiamo utilizzarlo come dato di partenza nel foglio di calcolo Excel, come illustrato nell'immagine seguente (calcestruzzo C50/60) : 

Verificata la sezione analizzo la configurazione deformata ed esamino l’abbassamento massimo della trave centrale, verificando che questo sia minore di 1/200 della luce. 

0.0576 m < (1/200)*15 m = 0.075 m 

La prima esercitazione prevede l’analisi di un telaio a pilastrata con una tecnologia in cemento armato, acciaio e legno. Le immagini che seguono descrivono il telaio preso in esame: 

Fig. 01 Pianta

Fig. 02 Prospetto 

Abbiamo realizzato due analisi parallele, una sul progetto della trave e una sul progetto del pilastro attraverso i fogli di calcolo Excel, in entrambe i casi scegliendo quello più sollecitato, per poi inserire i dati ottenuti su SAP2000.

Definito l’interasse, abbiamo analizzato la combinazione di carico q_u, ottenuta come somma delle singole componenti di carico q_s, q_p e q_a, che sono rispettivamente il peso della struttura a mq (che dipende dalla tecnologia usata), il peso dei sovraccarichi permanenti e il carico accidentale dovuto alla destinazione d’uso (uffici aperti al pubblico), ognuno di essi moltiplicato per un fattore di sicurezza, preso dalla normativa.

In figura illustriamo i tre solai che abbiamo scelto per le diverse tecnologie.

Solaio in Cemento armato

Solaio in acciaio

Solaio in legno 

Nel primo foglio Excel di calcolo della trave abbiamo quindi una prima pagina in cui abbiamo portato parallelamente l’analisi delle tre tecnologie per arrivare alla combinazione di carico che ha la seguente formula:

q_u=γ_sq_s+γ_pq_p+γ_aq_a 

_dove
γ_s=1.3 
γp = 1.5 
γ_a=1.5

Questo carico ci fornisce un dato al mq, ma per effettuare l’analisi lungo la trave moltiplichiamo questa grandezza per l’interasse per ottenere quindi una grandezza espressa in kN/m. Come risultato di questa prima pagina abbiamo il momento massimo su questa trave, per cui aggiungiamo l’informazione relativa alla luce e, ipotizzando il modello di funzionamento a trave appoggiata, calcoliamo il valore di M_max con la seguente formula:

M_max=ql²/8

Con questo dato di partenza abbiamo sviluppato tre fogli di calcolo per le tre tecnologie per  il progetto della trave ed abbiamo ottenuto come dato in uscita il valore di base e altezza, quindi definito la sezione.

In particolare per il cemento armato abbiamo stabilito una tensione caratteristica f_y,k di 450 MPa, l’abbiamo divisa per il coefficiente di sicurezza per ottenere la tensione di progetto f_y,d per i tondini di acciaio; abbiamo poi preso f_c,k, cioè la tensione caratteristica del calcestruzzo, moltiplicandola per il coefficiente αα, che tiene conto dell’interazione del tempo e dell’ambiente con la struttura, e dividendolaper il coefficiente γ di sicurezza, otteniamo la tensione f_c,d di progetto.

Per la definizione della sezione effettuiamo i seguenti passaggi:

• Calcoliamo il valore di β come:
  β =  f_c,d / ( f_c,d + ( f_c,d / 15)) 
• Calcoliamo il valore di r come:
  r = (2/ β (1 - (β/3))  ^0.5
• Ipotizziamo una base b pari a 30 cm 
• Calcoliamo l'altezza utile con la seguente formula:
  h_u = r (M_max / f_c,d b) ^ 0.5
• Inseriamo un copri ferro δ pari a 5 cm 
• Calcoliamo l’altezza effettiva della sezione sommando l’altezza utile con la dimensione del copriferro ed otteniamo un’altezza ingegnerizzata pari a 40 cm
• Calcoliamo l’area della sezione della trave e il suo peso unitario moltiplicando l’area per il peso specifico del calcestruzzo (30 x 40 cm). 

Per quanto riguarda l’acciaio siamo partite dal momento massimo agente sulla trave, abbiamo stabilito la f_y,k pari a 275 MPa, la tensione caratteristica di snervamento, da dividere per il coefficiente di sicurezza pari a 1.05 che ci permette di ottenere la tensione di progetto dell’acciaio, f_y,d. Abbiamo successivamente calcolato il modulo di resistenza a flessione con la seguente formula:

W_x,min = M_max / f_y,d

Con questo dato possiamo rintracciare nel sagomario una IPE che abbia un W_x,min maggiore (IPE 330).  

Allo stesso modo per il legno siamo partite dal momento massimo agente, per poi stabilire la tensione caratteristica f_m,k (C30). Abbiamo poi moltiplicato quest'ultima per il coefficiente di sicurezza k_mod, che tiene conto dell’umidità e dell’effetto della durata del carico, e divisa per un coefficiente di sicurezza pari a 1.50 al fine di ottenere la tensione di progetto fd. 

f_d = ( f_m,k / γ_m ) k_mod

Ipotizzando anche in questo caso una base, calcoliamo l'altezza utile con la seguente formula: 

h_u = ( 6 M_max / b f_d )

Ingegnerizzando questo valore otteniamo il valore finale dell'altezza della sezione (30 x 40 cm). 

Concluso il progetto delle travi, abbiamo affrontato il progetto dei pilastri nelle tre tecnologie.

 Come prima analisi abbiamo realizzato un foglio di calcolo per stabilire lo sforzo normale agente sul pilastro, dato che poi diventerà nelle successive tre pagine di calcolo il dato di partenza per la definizione della sezione. In particolare abbiamo definito:

• L’area di influenza A_inf , che otteniamo con la formula
  A_inf = ((L_a + L_b) / 2) + ((L_c + L_d) / 2)
• Fissiamo i tre γ pari a 25 kN/m³ per il calcestruzzo, 78.5 kN/m³ per l’acciaio e  6 kN/m³ per il legno. 
• Calcoliamo l’area della trave e quindi il peso, moltiplicando l’area della trave per la luce maggiore (per ottenere il peso delle travi principali) e la stessa area per la luce minore (per ottenere il peso delle travi secondarie), questa somma, moltiplicata per il peso specifico, ci fornisce il peso delle travi su un mq di solaio. 
• Calcoliamo la combinazione di carico, come abbiamo fatto precedentemente nelle travi con la formula 
  q_u=γ_sq_s+γ_pq_p+γ_aq_a 
• Calcoliamo il valore di sforzo normale agente su un piano moltiplicando l’area di influenza per la combinazione di carico allo stato limite ultimo e lo sommiamo al peso delle travi, ottenendo il valore concentrato di N (kN)
  N = (A_inf q_u) + qt
• Stabilito il numero dei piani della nostra struttura (4) otteniamo il valore di massima sollecitazione a compressione agente sul pilastro moltiplicando l’N agente su un piano per il numero di piani. Con questo dato entriamo nel foglio di calcolo della progettazione dei pilastri nelle tre tecnologie. 

La progettazione della sezione di un pilastro in calcestruzzo prevede oltre la progettazione a compressione anche una verifica a pressoflessione. Riportato il valore di N_max:

• Stabiliamo la classe di resistenza del calcestruzzo (C50/60) e moltiplicando il valore della resistenza caratteristica per un coefficiente αα (0.85), che tiene conto degli effetti del tempo, e dividendolo per il coefficiente di sicurezza che tiene conto del processo produttivo γ_m pari a 1.5 otteniamo la resistenza di progetto. 
• Calcoliamo l’area minima considerando la formula inversa di 
  σ = N / A  
  quindi  A_min = N_max / f_c,d
• Stabiliamo il modulo elastico E, l’altezza del pilastro L e il coefficiente β che tiene conto della condizione di vincolo della struttura.
• Calcoliamo la snellezza come
  λ = ((π² E) / f_c,d ) ^ 0.5
• Calcoliamo il ρ_min cioè il raggio giratore d’inerzia come
  ρ_min = Lβ / λ
• Stabiliamo la base minima 
  b_mim = ρ_min (12) ^ 0.5
• Quindi otteniamo l’altezza minima dividendo l’area minima per la base minima; ingegnerizziamo le dimensioni ottenute, calcoliamo l’area della sezione, il momento d’inerzia I e il modulo di resistenza W pari a 
  W_max = (bh²) / 6 
• Per la sezione in calcestruzzo effettuiamo la verifica a pressoflessione confrontando la σ_max  con la tensione di progetto f_cd 
  σ_max = (N_max / A) + (M_max​ / W_max)  < f_cd  

Il valore di M_max è calcolato come M_t = (q_t L_p²) / 12 e q_t è il valore uscente dal progetto della trave in calcestruzzo e che è pari alla combinazione di carico per l’interasse principale. 

​

Per quanto riguarda il progetto del pilastro in acciaio siamo partite dallo sforzo di compressione massimo, la definizione della classe di resistenza f_y,k (235 MPa), che moltiplicato per il coefficiente di sicurezza (1.05) ci consente di calcolare la tensione di progetto f_y,d. Successivamente: 

• Calcoliamo l’area minima dividendo lo sforzo N massimo per la tensione di progetto  A_min = N_max / f_y,d
• Stabiliamo il modulo elastico E (210000 MPa), il β che descrive i vincoli e l’altezza del pilastro (3.50 m).  
• Calcoliamo la snellezza minima λ_min
  λ = ((π² E) / f_y,d ) ^ 0.5
• Calcoliamo il ρ_min 
  ρ_min = Lβ / λ 
• A differenza del calcestruzzo, nell’acciaio non calcoliamo l’altezza utile, ma cerchiamo il valore d’inerzia minimo che possiamo usare per definire sui sagomari una sezione HEA, con la condizione che il valore dell'inerzia della sezione scelta sia maggiore di quella di progetto
  I_min = A ρ_min² 
• Stabilito il profilo HEA (200) inseriamo nella tabella i valori che ne descrivono la sezione, quindi l’area, l’inerzia e il raggio giratore d’inerzia. Verifichiamo poi che la snellezza che otteniamo sia minore della snellezza minima che abbiamo calcolato precedentemente. 

Il progetto del pilastro in legno segue le seguenti fasi.

• Riportato il valore di sforzo normale massimo, scegliendo la classe di resistenza (C24), riportiamo il valore della tensione caratteristica, che moltiplicata per il coefficiente k_mod,  che tiene conto dell’umidità e dell’effetto della durata del carico, e diviso per il coefficiente di sicurezza γ_m, ci fornisce la tensione di progetto.
• Dividendo lo sforzo normale agente per la tensione di progetto otteniamo l’area minima della sezione.
• Stabilito il modulo elastico E, il coefficiente β e l’altezza del pilastro L, calcoliamo quindi la snellezza massima λ_max, il ρ_min e otteniamo
  b_mim = ρ_min (12) ^ 0.5
• Stabiliamo una base ingegnerizzata, ricaviamo, dividendo l’area minima per quest’ultima base, un'altezza ed ingegnerizziamo anch’essa. Stabilita quindi la sezione otteniamo l’area di progetto e il valore dell’inerzia.

   

Finita la fase di calcolo su Excel abbiamo impostato questo stesso telaio, nelle tre tecnologie, nel software SAP2000, che ci consente di poter confrontare le sezioni progettate e i relativi diagrammi delle sollecitazioni con ciò che abbiamo ottenuto dai fogli di calcolo.

I diagrammi che abbiamo ottenuto sono i seguenti per il cemento armato:  

Schema strutturale 

Diagramma del Momento sulle travi (combinazione che considera il vento) 

Diagramma dello sforzo normale sui pilastri (combinazione che considera il vento) 

I diagrammi seguenti illustrano il comportamento del telaio con travi e pilastri in acciaio: 

Schema strutturale

Diagramma del Momento sulle travi (combinazione che considera il vento)  

Diagramma dello sforzo Normale sui pilastri (combinazione che considera il vento)  

I diagrammi seguenti illustrano il comportamento del telaio con travi e pilastri in legno.  

Schema strutturale

Diagramma del momento sulle travi (combinazione che considera il vento)  

Diagramma dello sforzo normale sui pilastri (combinazione che considera il vento)  

Le immagini precedenti mostrano la combinazione di carico che include anche la componente di carico orizzontale dovuta alla presenza del vento, che  aggiungiamo su SAP200 come carico orizzontale nella direzione Y (perpendicolare alla struttura) pari a:
F_vento = 0.70 i
dove i è Dove i è l’interasse sul prospetto minore, illustrato in figura (dimensione di una pressione kN/m, carico lineare) 

Abbiamo considerato le sollecitazioni di momento e compressione per le tre tecnologie in presenza di vento. Analizzando ciò che accade escludendo l'azione del vento possiamo osservare che i valori che otteniamo si avvicinano di più a quelli che risultano dal foglio di calcolo Excel, soprattutto per il legno e l’acciaio. Un’altra differenza è l’approssimazione che sul foglio di calcolo consideriamo per definire i vincoli, che su SAP diventano più rigorosi.

Esercitazione eseguita con Jessica Sordi