blog di marco.sinopoli

Si analizzi la seguente struttura e si ricavino la deformata, i diagrammi delle sollecitazioni e le reazioni vincolari, nell’ipotesi di rigidezza assiale delle aste incastrate.

La struttura è complessivamente 12 volte iperstatica, perché l’incastro 3D ha 6 gradi di vincolo e la mensola 3d ha 6 gradi di libertà, quindi: 18 – 6 = 12 volte iperstatica.

Per prima cosa possiamo semplificare la struttura adottando un sistema equivalente, per farlo bisogna sostituire la mensola e il suo carico distribuito con il momento concentrato M al nodo pari a ql2/2 (ovvero pari all’azione del carico distribuito); questo momento che ruota intorno all’asse y genererà una flessione nella trave e nel pilastro posti nel piano xz e di conseguenza una torsione nella trave che giace nel piano yz.

Conoscendo la deformata possiamo ricavare il valore dei momenti flettenti e di quello torsionale in funzione della ROTAZIONE φa grazie agli schemi notevoli e fare così l’equilibrio alla rotazione nel nodo.

Possiamo indicare come rigidezza nel nodo A

ASSEGNAZIONE DEI PROFILI E VERIFICA IN SAP:

la rigidezza torsionale varia anche in funzione della geometria della sezione.

Lo dimostriamo confrontando quattro profili diversi da applicare alla trave CD sopra analizzata. Utilizzo 4 sezioni differenti.

aventi a due a due stesso materiale e stessa area: 2 in cls e 2 in acciaio. Ciò che cambia è solo la geometria della sezione, e quindi la rigidezza torsionale. (Assegno i valori L=3 m e q=10 kN/m, perciò il momento applicato al nodo A ha valore M = 15 kN*m)

Comincio analizzando in SAP il comportamento generico della struttura. Disegno la struttura, assegno dei vincoli di incastro agli estremi liberi delle aste, assegno il momento attorno a y provocato dalla mensola, ed imposto l’indeformabilità assiale delle aste AB e AC. Ottengo i seguenti risultati:

Le diverse sezioni scelte hanno la stessa area e un momento d’inerzia simile, ma hanno diversa rigidezza torsionale.

·         Sezione RETTANGOLARE in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione CIRCOLARE PIENA in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione DOPPIA T in ACCIAIO

·         Sezione QUADRATA CAVA in ACCIAIO

·         Sezione TUBOLARE in ACCIAIO

Proprietà dei materiali:

Dopo aver avviato l'analisi per ogni sezione scelta, si sono riportati tutti i valori in una tabella riassuntiva

Si può quindi notare che nel caso in analisi, a parità di sollecitazione e di area, le sezioni piene resistono alla torsione

meglio di quelle sottili, e tra quelle sottili le sezioni chiuse risultano essere più efficienti delle sezioni aperte.

In particolare, tra quelle confrontate a sezione piena più resistente risulta essere quella circolare, mentre quella

assolutamente meno resistente a torsione è il profilo aperto HEB.

RISOLUZIONE DI UNA TRAVE VIERENDEEL MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

Possiamo definire la RIGIDEZZA (K) il rapporto tra la FORZA (F) necessaria per imprimere uno spostamento e lo SPOSTAMENTO (δ).

F = k x δ

L’oggetto di questa esercitazione è la risoluzione di due travi di Vierendeel

Dal punto di vista statico, il modello teorico della trave di Vierendeel si presenta come un telaio “SHEAR TYPE”

rovesciato. Nel telaio shear type la TRAVE presenta un’elevatissima RIGIDEZZA FLESSIONALE (infinita nel modello

ideale), mentre i PILASTRI sono ipotizzati INFINITAMENTE RIGIDI ASSIALMENTE (perché altrimenti la trave sarebbe

soggetta ad una rotazione rigida) pur consentendo le altre deformazioni. Pertanto, l’unico movimento che la trave può

compiere è la TRASLAZIONE ORIZZONTALE.

Una trave Vierendeel è una somma di telai Shear Type

La trave virendell  viene utilizzata perché il suo particolare comportamento permette di spezzare il diagramma del momento in ogni campata e ridurre i valori delle reazioni agli incastri.

Iniziamo con l’analizzare il modello shear type. Il portale ha una trave composta da un corpo rigido indeformabile, se applichiamo una forza F la trave non potendo ne deformarsi ne ruotare, è soggetta alla sola traslazione orizzontale  , che dipende dalla rigidezza dei pilastri.

La struttura si deforma come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vincolare elastico sull'incastro.

Nonostante non ci siano carichi esterni, a causa del cedimento vincolare la trave si incurva. Dall’equazione della linea

elastica si ricavano i valori di rotazione, spostamento, momento flettente e taglio della trave.

TRAVE DI VIERENDEEL A MENSOLA

Dopo le considerazioni sopra riportate, posso dedurre che la deformazione della trave di Vierendeel a mensola sarà la seguente:

PILASTRI

In questo caso chiamo pilastri gli elementi orizzontali e travi gli elementi verticali.

Poiché i pilastri hanno la stessa rigidezza, le forze si ripartiranno in egual misura tra di essi.

Pertanto Il diagramma del taglio è il seguente:

Per ottenere il momento flettente moltiplichiamo il taglio per la metà della luce

TRAVI

Attraverso l’equilibrio ai nodi posso calcolarmi taglio, momento e sforzo assiale degli elementi verticali.

Il diagramma dei MOMENTI nelle travi è il seguente:

Ottenuti i valori dei momenti, ci ricaviamo quelli del taglio facendo l'equilibrio alla rotazione dei pilastri, sommiamo i momenti e dividiamo per la luce del pilatro

Il diagramma del TAGLIO nelle travi è il seguente:

SFORZO ASSIALE

Utilizzando l’equilibrio dei nodi, mi trovo lo sforzo assiale. Comincio dal CORRENTE SUPERIORE.

CORRENTE INFERIORE. Nel corrente inferiore i risultati saranno uguali ma opposti. Cioè i valori si ripeteranno nelle

aste del corrente inferiore, ma avranno verso opposto

diagramma degli SFORZI ASSIALI

Verifica dei risultati con SAP 2000

Verifico con SAP 2000 i risultati ottenuti dal calcolo manuale.

Dobbiamo però assegnare un materiale qualsiasi ed un profilo qualsiasi alle travi, mentre per i pilastri che devono essere INFINITAMENTE RIGIDI possiamo agire sulla sezione (cambiando così il momento d’inerzia) oppure sul materiale (cambiando il modulo elastico). In questo caso si è scelto di assegnare direttamente un modulo elastico “estremamente elevato” ed abbiamo ottenuto così i seguenti diagrammi e deformata.

Mando l’analisi e ottengo i seguenti risultati:

DEFORMATA

MOMENTO

TAGLIO

SFORZO ASSIALE

TRAVE DI VIERENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

A seguito delle considerazioni iniziali, posso facilmente ipotizzare che la struttura si deformerà nel seguente modo:

La struttura presenta SIMMETRIA geometrica e di carico. Nella trave D la forza esterna si ripartirà in ugual misura tra l’asta CD e l’asta DE (sia nel corrente superiore che in quello inferiore)

La forza si ripartisce in egual misura trai pilastri SOLO perché essi hanno tutti le stesse rigidezze.

Avrò 4 forze di F/4. Ora posso calcolarmi il taglio in tutti i pilastri.

TAGLIO: in una struttura con simmetria di CARICO e GEOMETRICA verrà specchiato e ribaltato (cioè i valori hanno segno opposto ma di ugual valore assoluto)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO:

DIAGRAMMA DEL MOMENTO:

TRAVI: Tramite l’equilibrio ai nodi mi trovo TAGLIO e MOMENTO delle ASTE VERTICALI

Ora posso disegnare il diagramma di TAGLIO e MOMENTO delle aste verticali (sempre seguendo le considerazioni fatte

precedentemente sui diagrammi di M e T in caso di simmetria geometrica e di carico):

DIAGRAMMA MOMENTO (travi):

DIAGRAMMA TAGLIO (travi):

ESERCITAZIONE 4 - METODO DELLE FORZE

Il metodo delle forze consente di risolvere strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti.  

la struttura analizzata viene ricondotta ad una struttura isostatica di riferimento, rispettando però la condizione dicompatibilità cinematica ovvero la congruenza degli spostamenti e delle rotazioni in ciascuna delle strutture isostatiche di rifermento.

STRUTTURA IPERSTATICA DI PARTENZA

Analizzando la struttura abbiamo 3 gradi di libertà e 6 gradi di vincolo

Ci sono quindi 3 incognite iperstatiche, quindi impostiamo una struttura isostatica equivalente in cui per ciascun grado di iperstaticità corrisponda una reazione vincolare in modo da avere una struttura corrispondente a quella iperstatica.

STRUTTURA ISOSTATICA DI RIFERIMENTO

Sostituiamo quindi le 3 cerniere esterne delle campate centrali con delle cerniere interne permettendo la rotazione a destra e a sinistra di ciascuna cerniera.

Inoltre per il principio di simmetria sappiamo che X₁ = X₃ quindi utilizzeremo come incognite solo X₁ eX₂.

    EEQUAZIONI DI COMPATIBILITA’ CINEMATICA

Individuate le reazioni incognite, dobbiamo scrivere le equazioni di compatibilità cinematica capaci di ripristinare il vincolo iperstatico, soppresso attraverso la trasformazione dello stesso in reazione vincolare.

∆φ_B = 0 à  φ_Bs = φ_Bd  à  φ_Bs - φ_Bd = 0

∆φ_C = 0 à  φ_Cs = φ_Cd  à  φ_Cs - φ_Cd  = 0

∆φ_D = 0 à  φ_Ds = φ_Dd  à  φ_Ds - φ_Dd=0

Per il principio di simmetria

φ_Ds  = - φ_Bd

φ_Dd  = - φ_Bs

        RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

sostituiamo nelle equazioni di compatibilità cinematica i rispettivi valori dati dalle rotazioni in ciascuna cerniera.

Mettiamo a sistema e otteniamo i valori di X₁  e X₂ 

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZZIONE DEGLI EFFETTI

Definite le incognite delle reazioni vincolari x₁ e x₂ applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti, semplificando la struttura isostatica di riferimento mediante due strutture: una dipendente dal carico q e l’altra dipendente dalle reazioni vincolari x. 

Scomponiamo la struttura in 4 travi doppiamente appoggiate, studiando le reazioni vincolari dovute al carico q e ai momenti x₁ e x₂   e in ognuna delle 4 travi

A questo punto è possibile sovrapporre gli effetti dei due sistemi e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra struttura di partenza.

REAZIONI VINCOLARI

Ora è possibile disegnare il grafico del Taglio e del Momento Flettente

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO

Ci è stato richiesto di fare un progetto di massima di una trave soggetta a momento flettente massimo.      L'esercizio è stato svolto per tre tipologie costruttive diverse: solaio in legno, solaio in acciaio e solaio in latero-cemento.                                                                                                                                                                     

Andiamo ad individuare quella che è all’interno della struttura la trave maggiormente sollecitata

Andiamo ad analizzare  il solaio in legno e quelli che sono i carichi strutturali permanenti ed accidentali.

Per il progetto di una trave stabiliamo i materiali con i loro pesi specifici, e i carichi a cui è soggetta la trave 

Il solaio in legno è composto da:

·         pavimento in cotto con peso specifico 18 Kn/m3

·         sottofondo composto da malta di calce con peso specifico 18 KN/m3

·         caldana di malta cementizia con peso specifico  25 KN/m3

·         assito in legno di conifera con peso specifico di 4 KN/m3

·         travetti in legno lamellare di conifera 10x20 con peso specifico di 5,3 KN/m3

La porzione di solaio presa in considerazione per svolgere i calcoli è di un metro quadrato

CARICHI STRUTTURALI

travetti in legno (10x20 cm)= (0,1m*0,2m*1m)*5,3 KN/m3 = 0,106 KN/m     

i travetti hanno un interasse di 0,50 m, se dividiamo il  risultato per l’interasse ci viene fornito il peso di tutti i travetti 0,106/0,5 = 0.212 KN/mq

assito in legno (s=4 cm) = (0,04m*1m*1m)*4 KN/m3 = 0,16 KN/mq

caldana (s=4 cm) = (0,04m*1m*1m)*25 KN/m3 = 1 KN/mq

QS = 1 + 0,16 + 0,212 = 1,372 KN/mq

CARICHI PERMANENTI

sottofondo (s=3 cm)= (0,03m*1m*1m)*18 KN/m3 = 0,54 kN/mq

impianti = vengono calcolati circa 0,5 KN/mq

tramezzi = vengono calcolati circa 1 KN/mq

pavimento (s=2 cm) = (0,02m*1m*1m)*18 KN/m3 = 0,36 KN/mq

QP = 0,54 + 0,5 + 1 + 0,36 = 2,40 KN/mq

CARICHI ACCIDENTALI

QA = per abitazione 2 KN/mq

Inseriamo i dati richiesti nel foglio di calcolo

Il foglio ci restituisce una trave alta 38,12 cm, e per approssimazione scegliamo una sezione di 30x40 cm

La trave deve sostenere anche il proprio peso, quindi procediamo con la verifica aggiungendo al carico strutturale il peso della trave, che al metro lineare è di (0,3m*0,4m*1m)*5 KN/m3 = 0,60 kN/m

nel foglio di calcolo il qs viene moltiplicato per l'interasse (area di influenza) mentre il peso della trave principale non agisce su tutta quest'area, ma solo su se stessa. Quindi dividiamo il risultato per l'area di influenza (4m).

trave in legno (30x40cm) = 0,60 KN/m / 4 m = 0,15 KN/mq

QS = 1,372 KN/mq + 0,15 KN/mq = 1,522 KN/mq

L'altezza è aumentata a 38,61 cm, nettamente inferiore alla nostra sezione scelta, quindi la trave è verificata