ESERCITAZIONI

 

Le strutture reticolari sono strutture formate da aste rettilinee connesse da cerniere interne (3gdl) in cui le forze esterne sono applicate sui nodi e per questo sono soggette a solo sforzo assiale. In queste strutture gli elementi tesi prendono il nome di tiranti, e quelli compressi puntoni. Riportiamo due esempi di strutturreticolari ( simmetrica e asimmetrica) svolti utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter i il metodo dei nodi.

STRUTTURA RETICOLARE SIMMETRICA

I vincoli esterni della struttura in esame sono una cerniera(3gdl) e un carrello(2gdl).

Verifichiamo l'isostaticità della struttura: n° gradi di libertà= n° gradi di vincolo

 V_e + a = 2 nodi (vincoli esterni+num aste=2*num nodi)

3 + 11 = 2 x 7   -->  14=14 verificato! Oppure 

V=L    dove   V = V_e + V_i  --->33      L= 3 x num aste  --->33      isostaticità verificata

Calcolo delle reazioni vincolari:  una volta verificata l'isostaticità si calcolano le reazioni vincolari con l'equilibrio allo sforzo verticale. In seguito con il metodo di Ritter eseguiamo delle sezioni virtuali su tre aste e studiamo l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un polo.

Verifica su Sap2000:

Partendo da una griglia in xz di 7x2 campate disegnamo la struttura reticolare. Selezioniamo le aste una ad una e impostiamo momento nullo alla fine e all'inizio dell'asta poichè queste sono soggette solo a sforzi assiali. Selezioniamo i nodi in cui abbiamo dei vincoli ( nodo A e nodo H) e con il comando Assing -> Joint -> Restraint assegnamo rispettivamente una cerniera e un carrello. Definiamo le forze e le assegnamo ai tre nodi B,D,G. A questo punto possiamo far partire l'analisi che ci mostrerà i diagrammi degli sforzi agenti sulle aste e la deformata.

STRUTTURA RETICOLARE ASIMMETRICA

 

Eseguiamo l'equilibrio del corpo

Σv = 0            Rv_A-10KN-10KN=0  ---> Rv_A=20

Σu = 0           Ru_A=Ru_H

ΣM_A= 0      -10KN*1m - 10KN*2m + Ru_H ---> Ru_H=30KN=Rv_A

Metodo dei nodi:    effettuiamo l'equilibrio al nodo e determiniamo lo stato di trazione o compressione delle aste che convergono in quel nodo

Partiamo dal nodo H 

Σu = 0       -N₉-30KN-N₁₀ √2/2=0 ---> N9=-30KN (il verso ipotizzato era sbagliato) l'asta è compressa.

Come unica forza verticale ho la componente verticale di N₁₀

Σv = 0        N₁₀√2/2=0  ne segue che l'asta è scarica.

Continuiamo ad analizzare gli altri nodi partendo sempre da quelli dove abbiamo meno incognite

Non serve verificare l'equilibrio verticale del nodo poichè non ho incognite da trovare.

Conosciamo gli sforzi normali a cui sono sottoposte le aste della struttura; possiamo disegnare la struttura evidenziando puntoni, tiranti e aste scariche.

 

TRAVE CON INCASTRO CARRELLO E CERNIERA INTERNA

 

Analisi qualitativa

Osservando la struttura possiamo affermare che non ci sono salti nel grafico dello sforzo normale poiché non vi sono forze concentrate normale. (dN/dS)+q=0   non essendoci il carico la derivata della normale è nulla, ovvero la tangente al grafico è  orizzontale, quindi N è costante; ora capiamo quanto vale. Vado al bordo e vedo che Ruc=0 quindi N è costante e pari a 0.

Ripetiamo il ragionamento per il taglio: (dT/dS)+q=0  sulla struttura non agisce nessun carico ripartito trasversale quindi il taglio è costante. Per calcolare il valore del taglio consideriamo il due corpi separatamente: il momento C deve essere equilibrato da una coppia di forze che dia un momento uguale ed opposto. Il taglio è costante e vale C/L. 

 

Ricordiamo che taglio e momento sono legati dalla seguente relazione :

(dM/dS) + T = 0

Se il taglio è costante il momento è lineare. La forza C/l con braccio 2l genera un momento pari a 2C, per cui all’incastro devo avere un momento uguale ed opposto.

Verifichiamo su Sap

Disegnamo la struttura ricordando di impostare:Assing--> Releases--> Moment 3-3 alla fine del primo segmento e all'inizio del secondo per configurare la cerniera interna. Definiamo il carico, che in questo caso è una coppia che ruota attorno all'asse y e la assegnamo ai due corpi in prossimità della cerniera.

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO

 

Analizziamo il nodo

La struttura è simmetrica e la cerniera interna si trova sull'asse di simmetria---> le forze a e -a, non essendo simmetriche, non possono esistere.

Calcoliamo le reazioni vincolari

Il carico distribuito ha risultante -2ql, le reazioni vincolari verticali saranno simmetriche e avranno valore ql.

Analizziamo metà struttura (sempre per le proprietà della simmetria il ragionamento fatto per un corpo vale anche per il secondo),  c deve equilibrare b; per conoscere b svolgo l'equilibrio alla rotazione attorno al nodo c: Mc=0-->  b*h+(ql)²/2=0--> b=-(ql)²/2h. Cambio il verso assegnato a b mentre c=(ql)²/2h

Per disegnare i diagrammi di taglio e momento guardo i bordi: il taglio sul primo elemento verticale è costante e di valore ql²/2h, mentre nel tratto centrale è lineare; il momento è lineari nei tratti in cui il taglio è costante e vale ql²/2(M= fb   ql²/2h * h) e parabolico nel tratto orizzontale, con valore nullo in cerniera.

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO CONCENTRATO

Osservando il portale possiamo subito affermare che la forza concentrata viene equilibrata dalle reazioni verticali in cerniera. Analizziamo i due corpi separatamente

 Corpo 1                                           Corpo 2                                     Cerniera

 

Σu=0 --> RuA = b                                            Σu=0 ---> b' =  Ruc                                  Σu=0 ---> b' =  b 

Σv=0 --> a =F/2                                               Σv=0 -->  a' =F/2                                        Σv=0 -->  a' + a = F

ΣMA=0 --> bh-F/2*l  --->b= Fl/2h                  ΣMA=0 --> -b'h+F/2*l  ---> b= Fl/2h

 

Disegnamo i diagrammi degli sforzi di normale, taglio e momento

Osserviamo come, in corrispondenza di un carico concentrato ci sia un salto nel grafico del taglio e conseguente spigolo nel diagramma del momento. Portiamo la struttura su Sap e verifichiamo quanto ottenuto con il calcolo delle reazioni vincolari. 

            deformata                             taglio                                        momento        

 

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO SULL'ELEMENTO VERTICALE

Corpo 1                                           Corpo 2                                     

 

Σu=0 --> RuA + qh= b                                            Σu=0 ---> b' =  Ruc                               

Σv=0 --> a = Rva                                             Σv=0 --->  a' = Rvc                                    

ΣMA=0 -->   -qh² /2 -al+bh                            ΣMA=0 --> -b'h-a'l  ---> a'= -bh/l

Mettendo a sistema le due equazioni dei momenti dei corpi 1 e 2, e sapendo che la cerniera è equilibrata, ottengo: 

Ora possiamo disegnare i diagrammi osservando ai bordi le sollecitazioni a cui sono sottoposte le aste

La presenza del carico distribuito comporta un andamento lineare del taglio che si annulla nel punto di massimo del momento             dT/ds+q = 0      dM/ds + T = 0

          deformata                             taglio                                           momento

 

PROGETTO DI UNA TRAVE

 

Rappresentiamo un impalcato di una abitazione unifamiliare e progettiamo la trave B2-C2.

Per il progetto della trave dobbiamo conoscere quali sono i carichi che gravano su di essa. Il progetto verrà ripetuto ipotizzando l’utilizzo di tre materiali diversi: legno, acciaio e cemento armato e servendoci di un foglio di calcolo Excel. I carichi che distinguiamo sono di tre tipi:

-carico strutturale: carico dovuto agli elementi con funzione strutturale;

-carico permanente-non strutturale:carico dovuto agli elementi non strutturali che fanno parte del solaio o che poggiano su di esso ( tramezzi, impianti, pavimentazione, isolante…)

-carico accidentale: carico che dipende dalla funzione dell’edificio, è un valore tabellato. In questo caso, trattandosi di una civile abitazione il carico è di 2KN/mq.

Legno GH32

PROGETTO TRAVETTI:  progettiamo i travetti che sostengono l’orditura del solaio

 Interasse 1 mt luce 4,38 mt

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale (impalcato in legno)    

P = V*gamma=(0,03*1*1)m* 6KN/mc=0, 18KN--> calcolo il peso unitario dell’impalcato moltiplicando il volume per il peso specifico del legno

qs= P/A= 0,18KN/mq-->divido il peso per l’area di un m² ed ottengo il carico

Carichi permanenti non strutturali

definisco la stratigrafia del solaio, individuo il peso specifico dei diversi materiali e lo moltiplico per il loro spessore

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         massetto 22KN/mc*0,04m= 0,88KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

qp= 0,2+0,4+0,016+0,88+1,5=2,99KN/mq

Carico accidentale

qa= 2KN/mq

-Dimensionamento del travetto:

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il carico al metro lineare(q) e, partendo da una base ipotizzata di 12 cm, trovo un altezza di 23,51cm che arrotondo per eccesso a 25cm. 

-Aggiungo il carico dei travetti:

(0,12*0,25*6KN/mc)*i =0,18KN/m

modificando il foglio Excel includo questo dato nel calcolo del carico al metro lineare e verifico che la dimensione trovata per i travetti vada bene. 

Verificato.

PROGETTO DELLA TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

q’s=qs+qtr= 0,18+ 0,18=0,36KN/mq

qp=2,99KN/mq (gli elementi che costituiscono il pacchetto dei carichi permanenti sono gli stessi)

qa=2KN/mq

Carico totale al metro lineare: (q’s+qp+qa)*i=23,43KN/m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il dimensionamento della trave 25*40 cm

Aggiungo il carico della trave stessa nel foglio Excel e verifico che la sezione scelta vada bene. qtr=(0,25*0,40*6KN/mc)/4,38m=0,13KN/mq

La trave scelta va bene.

 

Acciaio Fe360 S235

PROGETTO TRAVETTI:

Interasse 1 m luce 4,38 m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Lamiera grecata e getto in cls: per la mia luce la normativa impone una lamiera di tipo A75/P600,  h lamiera 75mm e una altezza totale della soletta di 15cm.

qs= 2,5 KN/mq

Carico accidentale (civile abitazione)

qa= 2KN/mq

Carichi permanenti

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         pannello in cartongesso Vaccaro 0,1KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

 

qp=0,2+0,4+0,0160,1+1,5=2,21KN/mq

DIMENSIONAMENTO DEL TRAVETTO:

Inserisco i dati nelle caselle corrispondenti del foglio Excel e determino il modulo di resistenza a flessione Wx .

Tramite un profilario trovo la Ipe corrispondente (si prende il valore di Wx  maggiore o uguale a quello trovato). Ipe 140   h 14cm   b 7,3cm

peso tabellato della trave 0,13KN/mà al mq diventa qtr=0,13/i= 0,13KN/mq

q’s= qs+qtr= 2,5+0,13=2,63KN/mq

Imposto questo nuovo carico nel foglio di calcolo e verifico che la Ipe scelta supporti anche il peso proprio. La trave scelta va bene.

PROGETTO TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Lamiera grecata, getto in cls e travetti:

qs=2,63KN/mq

Carico accidentale (civile abitazione)

qa= 2KN/mq

Carichi permanenti

qp=2,21KN/mq

Carico totale al metro lineare: (q’s+qp+qa)*i=28,77KN/m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Ripeto lo stesso procedimento fatto per il dimensionamento dei travetti ed ottengo:

Ipe 270

Aggiungo il peso della trave al carico totale al metro lineare

peso tabellato della trave 36kg/m-->al metro quadro diventa (0,3KN/m)/i= 0,3/4,38=0,068KN/mq

q’s= qs+qtr=2,63+ 0,068=2,69KN/mq   Aggiornando i dati su Excel ottengo ilnuovo Wx, pari a 421,98 cm³, e verifico tramite il profilario che la trave scelta vada bene.

Verificato.

 

Cemento Armato

PROGETTO TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Solaio in latero - cemento gettato in opera di tipo “Bausta” :

qs=2,66KN/mq

Carichi permanenti

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         pannello in cartongesso Vaccaro 0,1KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

 

qp=0,2+0,4+0,0160,1+1,5=2,21KN/mq

Carico accidentale

qa= 2KN/mq

Carico totale al metro lineare: (qs+qp+qa)*i=30KN/mq

 

Calcolo del momento massimo

Trattandosi di una trave doppiamente appoggiata il valore del momento massimo è ql²/8

M=30 *5²/8=93,75KN*m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Ipotizzando una base di 25cm ottengo una altezza di 46,25 cm (H=hu+d) che approssimo a 50 cm

Aggiungo il carico della trave e verifico che il dimensionamento sia corretto.

qtr=A*Peso specifico =(0,25*0,5)*33,3KN/mc=4,16KN/m

qtr al metro quadro=qtr/i=0,54KN/mq

Aggiungo il carico della trave  e verifico che il dimensionamento sia corretto

Verificato

STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE

Disegno della struttura su Autocad

Costruiamo il modulo di base della struttura reticolare tramite una polilinea con punto di partenza nell’origine degli assi (0,0,0);

ruotiamo il modulo per una visualizzazione frontale

con il comando “serie” costruiamo passo passo il reticolo spaziale, impostando ogni volta il numero di righe e colonne esatte e mantenendo sempre una spaziatura pari a 2 (misura del modulo). Nel procedere fate attenzione a non duplicare le linee.

disegniamo il nuovo modulo da ripetere lasciandolo aperto

ruotiamo l'orientamento degli assi con il comando "ucs" per tre punti

completiamo con le aste diagonali superiori e inferiori 

ripetiamo il modulo con il comando serie e chiudiamo la struttura ruotando la vista per non sbagliare punti di ancoraggio. Ottengo una reticolare spaziale di 4x6 campate 

una volta completata la struttura esplodiamo tutte le polilinee, verifichiamo che siano tutte su un unico layer che possiamo chiamare "aste" e salviamo in Autocad dxf 2000.

Analizziamo la struttura su Sap 2000

Quando importiamo il file su Sap si apre una finestra di dialogo in cui dovremo impostare Frame -> aste. In questo modo Sap riconosce tutte le aste come elementi strutturali e potremo assegnare caratteristiche di materiale e sezione uguali per tutte. Assegniamo i carrelli sui quattro nodi di appoggio (il reticolo spaziale ci consentirebbe di disporre gli appoggi anche in modo più casuale)

sottoponiamo le aste a solo sforzo assiale andando a spuntare, nella finestra "frame releases" le caselle Moment 2-2 Moment 3-3 all'inizio e alla fine dell'asta.

Definiamo un nuovo materiale e gli assegniamo una sezione:

Assing-> frame-> frame section-> add new properties-> pipe/acciaio

Definiamo un carico concentrato verticale di 40KN

Spuntiamo la voce che rende invisibili le aste e selezioniamo i nodi superiori su cui assegneremo il carico concentrato; a questo punto possiamo far partire l’analisi e vedere come si deforma la struttura

La visualizzazione degli sforzi sul diagramma risulta poco leggibile per cui attiviamo il comando "label" che numera le aste e apriamo una tabella che riporta i valori di sforzo assiale a cui sono sottoposte le singole aste:

Display-> show tables-> analysis result-> element output

Dall'analisi della tabella individuiamo le aste più tese e più compresse, utili per il dimensionamento del profilo

 

Progetto dell’asta maggiormente tesa

Dalla tabella rilevo uno sforzo massimo a trazione di 259,16KN; con la formula di Navier dimensiono l’asta (scegliendo  l’asta più tesa mi tengo in sicurezza anche rispetto alle altre)

A=N/f_d               dove f_d= f_yk*1,05  scegliendo un acciaio Fe360 S235 trovo un’area pari a:

A=259167/ (235*1.05)=1158mm² --> 11,58cm²

Sul profilario trovo un tubolare che abbia una sezione con area maggiore a quella minima trovata

Sezione A’=12,5cm²

Verifica a resistenza

(N/A’)< f_d           259167N/1250mm²=207,33Mpa<223,8Mpa

 il progetto è verificato.

 

Progetto dell’asta maggiormente compressa

Le aste compresse possono essere soggette a carico critico euleriano che porta a una inflessione dell’asta fino al collasso della stessa. Rispetto a ciò molto importante è il fattore snellezza (rapporto h/l). Per progettare la struttura eseguiremo una verifica a resistenza, a snellezza e a stabilità.

Il maggior sforzo a compressione è di 307,25 KN, dimensioniamo l’asta utilizzando l’acciaio Fe360 S275 e tramite la formula di Navier troviamo l’area minima che resiste a tale sforzo.

A=N/f_d               dove f_d= f_yk*1,05

A=307250/ (275*1.05)=1064mm²--> 10,64cm²

Verifica a resistenza

Dal profilario il primo valore che trovo è 10,7 cm2 ma preferisco scegliere un’area di 12,5cm²    J_x 192cm⁴ e  verifico che fd ≤ fyk tramite la formula:

fd=N/A= (307.25*1000)/(12,5*100)=245,8MPa< 275MPa       Asta verificata a resistenza

Verifica a snellezza

l<200      dove l=l_o/ρ

l_o è la luce libera di inflessione che dipende dal tipo di vincolo dell’asta. Nel caso di un asta doppiamente incernierata l_o=b*l=1*l; ρ lo leggo dalla tabella

l=283/3,92=72,19<200    Asta verificata a snellezza

Verifica a stabilità

Per prima cosa trovo il carico critico euleriano e verifico che lo sforzo assiale Nd sia minore della resistenza alla stabilità Nd<Nbdr

Ncr=(ρ²E J_min)/l_o²= (3,14²* 210000MPa*192 cm⁴ *10000/283²cm*10)/1000 = 496,4KN

Ora calcoliamo Nbdr

Nbdr=χ*A*fyk/g₁      dove:

χ = 1/Φ+√(Φ²-λ ²)≤1

λ=√ (A*fyk/Ncr)

 Φ= 0,5[1+α(λ – 0,2)+λ²]      α coeff. di imperfezione (0,21)

Nbdr=(0,68 x 12,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 222,62KN

Nd=307,25KN > Nbdr    non verificato. 

Scegliamo un profilo con un'area maggiore: 

A 15,5cm²  J=234 cm⁴ 41cm³   ρ=3,89 cm

Verifica a resistenza

fd=N/A= (307.25*1000)/(15,5*100)=198,22MPa< 275MPa       Asta verificata a resistenza

Verifica a snellezza

l=283/3,89=72,75<200    Asta verificata a snellezza

Verifica a stabilità

Calcoliamo il carico critico euleriano

 N_cr = (3.14)² x 210000 N/mm² x 2340000 mm⁴ / (2830 mm)² = 604,95 KN 

λ=√ (A*fyk/Ncr)= √1550*275/604952= 0,83

Φ = 0.5[1 + 0.21 ( 0.83 - 0.2) + (0.83)²] = 0,91 

 X = 1 / 0.9106 + √(0.9106)² - (0.83)² = 0,77<1

 Nbrd = 0,77 x 1550 mm² x 275 N/mm² / 1.05 =  312,5KN < 545 KN

Nd=307,25< 312,5 KN         Asta verificata a stabilità

 

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Studiamo la ripartizione delle forze sismiche (forze orizzontali) sui telai che compongono l'impalcato, calcolando anzitutto le diverse rigidezze K dei controventi. Possiamo considerare l'impalcato come un corpo rigido e i controventi come delle molle che reagiscono alle forze orizzontali secondo la legge di Hook    F= kd

Disegnamo l'orditura dei solai in base alla luce minore della maglia ed evidenziamo di conseguenza quali travi portano il solaio. Queste sono le travi che si inflettono di più, e per continuità del nodo, anche i pilastri si inflettono.  I pilastri vanno quindi disposti in modo da sfruttare il loro momento d'inerzia maggiore, nel caso in cui un pilastro appartenga a due telai ( come per i pilastri 5,6,7), si favorisce il telaio con luce maggiore. Scegliamo una struttura in cemento armato (E=21000) e dei pilastri rettangolari con sezione 30x50 cm. 

M_x=bh³/12=312500cm⁴          M_y=b³h/12=112500cm⁴

Calcolo delle rigidezze dei controventi

Ipotizziamo un centro O attorno al quale facciamo agire f ed effettuiamo il bilancio dei momenti. Inseriamo nel foglio Excel le distanze dei controventi da questo punto O

Tabella sinottica dei controventi e delle loro distanze dal centro di massa

Calcolo del centro di massa

Dividiamol'impalcato in due aree, calcoliamo i rispettivi baricentri ed infine troviamo la posizione del centro di massa G dell'impalcato, punto in cui sono applicate le forze (in questo caso forza sismica).

Xg = Area₁ X_g1 + Area₂ X_g2 / Area₁+Area₂

Yg = Area₁ Y_g1 + Area₂ Y_g2 / Area₁+Area₂

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze è il punto di applicazione della risultante delle reazioni dei controventi. Per una buona progettazione in zona sismica è bene far coincidere il più possibile il centro delle masse con il centro delle rigidezze, in modo da non creare momenti e quindi rotazioni.

Xc = K_vi  dvi /K_vtot

Yc =  K_oi  doi /K_otot

Analisi dei carichi sismici

La forza sismica imprime un'accelerazione all'edificio F=ma, questa accelerazione dipende dalla classificazione della zona sismica a= cg   c <1 coeff. di intensità sismica. Possiamo quindi riscrivere allora il principio d'inerzia come:

F = mcg = c P  Questo peso viene chiamato peso sismico W ed è espresso come la somma dei carichi permanenti e strutturali e i carichi accidentali moltiplicati per un coefficiente di contemporaneità.

W= (G+Q)Ψ                  G= ( qs+qp)A _tot

                                     Q= qa A _tot

                                     Ψ = 0,8

Ripartizione della forza sismica lungo x

La forza orizzontale non viene assorbita solo dai controventi orizzontali e viceversa poichè questa spesso ha un braccio rispetto a C e fa ruotare il corpo ---> Momento torcente= Forza sismica*braccio

Traslazione orizzontale  μ₀ = F/ K_otot ;  Rotazione rigida dell'impalcato ψ = Fb/ K_ψtot

Ripartizione della forza sismica lungo y