Esercitazione 3 - Dimensionamento di una Trave a Sbalzo (mensola)

L’esercitazione prevede il dimensionamento di una mensola nelle tre tecnologie: legno, acciaio e cls armato.

Osservando la struttura è evidente che la mensola su cui grava più carico è quella centrale e la sua area è pari a 6 m², con Luce = 2m e Interasse = 3m

Iniziamo il calcolo prendendo come riferimento gli stessi carichi dell’ Esercitazione 1 - Dimensionamento di una trave in Legno, Acciaio e Cls Armato

(vedi collegamento Esercitazione 1 - Dimensionamento Trave)

Legno

Scelta degli elementi di calcolo

• Carico strutturale: qs = 0,438 kN/m²
• Carico permanente: qp = 2,69 kN/m²
• Carico accidentale: qa = 2,00 kN/m²

Inserendo il valore di ogni singolo carico nel foglio excel darà come risultato il carico totale:

qu = 15,2088 kN/m

Inserendo la luce l=2 m, possiamo ricavare il Momento Massimo di una mensola:

Mmax = ql²/2

Fase progettuale

Dobbiamo scegliere:

1– La tipologia di legno: Legno lamellare GL 24h con

     resistenza a flessione caratteristica fm,k = 24 MPa    

2 – coefficiente della durata del carico kmod = 0,8 (fornito dalla normativa)

3 – coefficiente parziale di sicurezza del materiale γm = 1,45 (legno lamellare) con questi dati possiamo calcolare la tensione ammissibile f_d c (N/mm²) = fm,k x kmod / γm

4 – impostando la base b= 20 cm, ricaviamo l’altezza hmin:

hmin è il valore minimo che deve avere l’altezza della sezione, tale va ingegnerizzata cioè va scelto un valore di altezza superiore ad hmin, cioè H= 35 cm quindi non avendo considerato il peso proprio della trave è giusto scegliere la sezione con un profilo pari a 20 x 35 cm

5 – determiniamo il valore del modulo elastico E = 8.000 N/mm²

6 – il foglio excel ci determina il momento d’inerzia I_x = b x h³/12 e i carichi incidenti come q_e = (q_s + q_p + q_a x 0,5) x i come vediamo non inseriamo il peso proprio del trave perché è materiale leggero (mentre verrà inserito per l’acciaio e il cls)

7– avendo ottenuto il carico totale q_e, specificato E e il I_x, il foglio di calcolo ci determina l’abbassamento massimo v_max = q_e x l⁴/ 8 x E x I_x e il suo rapporto con la luce:

Fase di verifica _ Limiti Di Deformabilità:

1 – la verifica è molto semplice dobbiamo determinare che il rapporto tra la luce e l’abbassamento sia maggiore o uguale a 250, quindi l/ v_max ≥ 250:

                                                                                La sezione 20 x 35 cm è stata verificata!

2- definiamo un altro esempio di sezione con base b=30 cm e poniamo un H=35 cm, come si vede dalla tabella il rapporto tra la luce e l’abbassamento è minore di 250 quindi la mensola supera i limiti di deformabilità:

                                                                                La sezione 30 x 35 cm non è verificata!

Acciaio

Scelta degli elementi di calcolo

• Carico strutturale: qs =  2,01 kN/m²
• Carico permanente: qp = 2,84 kN/m²
• Carico accidentale: qa = 2,00 kN/m²

Inserendo il valore di ogni singolo carico nel foglio excel darà come risultato il carico totale:

qu = 29,619 kN/m

Inseriamo la luce l= 2 m ricaviamo il Momento Massimo di una mensola:

Mmax = ql²/2

Fase progettuale

1 - la tensione di snervamento del Fe 430/ S275 è fy,k = 275 MPa quindi otteniamo un modulo di resistenza pari a W_x,min = 226,18 cm³:

Dopo aver ottenuto il modulo di resistenza, per ingegnerizzare la sezione si inserisce nella colonna affianco il valore del momento d’inerzia I_x del profilo, che ha come modulo di resistenza W_x,min un valore maggiore di quello trovato:

Il profilo scelto è un IPE 220 con:

• Ix=2772 cm⁴;
• Peso=26,2 kg/m = 0,262 kN/m

2- Al carico totale q_e si inserisce il peso proprio dell’elemento strutturale e otteniamo:

3 – determiniamo il valore del modulo elastico E = 210.000 N/mm²

4– avendo ottenuto il carico totale q_e, specificato la luce l, E e il I_x, il foglio di calcolo ci determina l’abbassamento massimo v_max = q_e x l⁴/ 8 x E x I_x e il suo rapporto con la luce:

Fase di verifica _ Limiti Di Deformabilità

1 – Determiniamo che  il rapporto tra la luce e l’abbassamento deve essere maggiore o uguale a 250, quindi l/ v_max ≥ 250:

                                                                           Il profilo IPE 220 è stato verificato!

CLS

Scelta degli elementi di calcolo

• Carico strutturalo: qs =  2,368 kN/m²
• Carico permanente: qp = 2,654 kN/m²
• Carico accidentale: qa = 2,00 kN/m²

Inserendo il valore di ogni singolo carico nel foglio excel darà come risultato il carico totale:

qu = 30,18 kN/m

Inseriamo la luce l= 2 m ricaviamo il Momento Massimo di una mensola:

Mmax = ql²/2

Fase progettuale

1 - acciaio per il cls: B450C avremo come tensione di snervamento fyk = 450 MPa, con queste scelte è possibile ricavare la tensione di progetto con la formula:           

fyd = fyk / γs

2 –tensione di progetto del cls fcd = αcc x fck/γc quindi fck = 60 MPa

3 – β = 0,53 e r = 2,14

4 – consideriamo una base b = 15 cm

otteniamo un Hmin pari a 28,29 cm, quindi ingegnerizzando possiamo scrivere H = 30 cm.

Quindi la sezione finale della trave in cls sarà 15 x 30 cm.

5 - Al carico totale q_e si inserisce il peso proprio dell’elemento strutturale

6 – determiniamo il valore del modulo elastico E = 21000 N/mm²

7 – avendo ottenuto il carico totale q_e, specificato la luce l, E e il I_x, il foglio di calcolo ci determina l’abbassamento massimo v_max = q_e x l⁴/ 8 x E x I_x e il suo rapporto con la luce l/ v_max ≥ 250:

Fase di verifica _ Limiti Di Deformabilità

1- Calcoliamo il peso unitario:

p = (0,15 x 0,30x 1) m³/m² x 25 kN/m³ = 1,125 kN/m²

quindi il carico totale con l’aggiunta del peso proprio del cls moltiplicato per 1,3 è

qu = 31,64 kN/m

                                                                             La sezione 15 x 30 cm è stata verificata!