DIMENSIONAMENTO DI UNA MENSOLA IN C.A, ACCIAIO E LEGNO

Nei progetti architettonici spesso si ricorre all'utilizzo di aggetti per avere degli effetti compositivi particolari

La struttura che sostiene gli sbalzi è la "Mensola".

La mensola è una struttura isostatica ( dove le possibilità di movimento di traslazione e rotazione sono bloccate dallo stesso numero di gradi di vincolo ) che rappresenta l'incastro di una trave in una parete o un aggancio a una struttura portante.

Prendendo come riferimento la stessa struttura utilizza nalla prima esercitazione, ho aggiunto un aggetto alle travi principali.

La struttura proposta è un telaio e in realtà la configurazione strutturale delle travi principali è quella di travi appoggiate appogiate e non di strutture incastrate

Nel nostro caso però possiamo comunque utilizzare una struttura doppiamente appoggiata perchè guardando le leggi del Momento risultano uguali per entrambi i modelli

M(s) = (q s^2) /2 con valore massimo di Mmax = (q l^2)/ 2 quando s = l

DIMENSIONAMENTO DELLE MENSOLE

I valori dei carichi e le sezioni dei solai sono stati prese dall'esercitazione 1 (vedi http://design.rootiers.it/strutture/node/1740)

Mensola in C.A

Analisi dei carichi:

Qs = 0,8 kN/mq + 1 kN/mq + *0,64 kN/mq  = 2,44 kN/mq
Qp = 1 kN/mq + 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,4 kN/mq + *1 Kn/mq + *0,5 kN/mq =  3,076 KN/mq =  3,08 kN/mq
Qa = 2 kN/mq   valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC 2008 per un ambiente ad uso residenziale

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

A differenza della precedente esercitazione, la luce della trave è di 3 metri

il carico ultimo risulta quindi essere:
Qu = 2,44 kN/mq x 1,3 + 3,08 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5   = 27,12 kN/mq x 4 metri di interasse 
= 43,14 kn/mq

fissando la base della sezione in CA a 30 cm ottengo una altezza minima ingegnerizzata di 55 centimetri (verificata anche con il peso della trave)

La trave risulta dimensionata, ma da Norma NTC 2008 va verificato che l'abbassamento sia inferiore di un 250 della luce Vmax/Luce < 250  (oppure per formula inversa Luce/Vmax > 250)
Per la trave di CA risulta un rapporto luce/abbassamento di 857,38

Qe è il valore di carico allo SLE (Stato Limite d'Esercizio )
E è il Modulo Elastico
Ix è il Momento di Inezia
Vmax è l'abbassamento massimo ammissibile

Il valore dell'abbassamento è determinato dall'equzione della linea elastica.

La linea elastica si basa sul modello di trave di Eulero - Bernoulli.

Nel caso della mensola con carico distribuito, non ci sono forze orizzanti p [s] ne carichi di momento μ [s], dunque non ho sforzi normali, Il taglio deve equilibrare la risultate del carico verticale e in più il taglio risulta la derivata del momento.

Il modello di trave può essere riscritto così:

Dalle condizioni di compatibilità risulta che:
la rotazione *ϑ [s]   è la variazione di spostamento v rispetto ad s (v ' [s] derivata di v rispetto alla generica sezione s)
la curvatura χ [s] è la variazione della rotazione respetto ad s

Dai Legami costitutivi risutal che M [s] = E J χ [s] (per la Formula di Navier)
dove E è il Modulo Elastico del materiale
J è il momento di inerzia
χ [s] è la curvatura 

*(la rotazione può essere scritta come ϕ)

Mettendo insieme tutte le relazioni dalla legge del momento è possibile ricavare curvatura, rotazione e abbassamento della trave a secondo della posizione di una generica sezione S lungo la trave.

ϑ [s] = v ' [s] per ottenere v devo fare l'integrale rispetto ad s quindi:

In Base alla legge del momento ottengo una legge almeno del secondo grado dato che per ottenere una funzione che sia derivabile due volte.
Se v [s] è una funzione del secondo grado, M [s] è una legge costante. Dunque il Taglio è nullo e non c'è carcico verticale
Se v [s] è una funzione del terzo grado, M [s] è una legge lineare. Dunque il Taglio è un valore costante e il carico è una forza verticale puntuale

Se v [s] è una funzione del quarto grado, M [s] è una legge parabolica. Dunque il Taglio è un valore lineare e il carico verticale è distribuito su tutta la trave.

Se v [s] è una funziona del quinto grado, M [s] è una legge cubica. il Taglio è parabolico e il carico verticale è lineare. (un carico del genere può essere il carico della neve sui tetti)

e così via.

Nel caso della mensola

la legge del momento risulta:

C1 e C2 sono costanti che escono fuori dall'integrale indefinito. Per poter determinare i valori delle costanti ho bisogno di punti in cui conosco sicuramente i valori di spostamento e/o rotazione.

In questo caso con la mensola la deformata 

Nella mensola conosciamo questi valori all'incastro dove lo spostamento e la rotazione sono nulli

Dopo aver determinato C1 e C2 l'equazione della linea elastica risulta

Dato che l'abbassamento massimo risulta essere all'inizio della trave.
Calcolo l'abbassamento in s = 0 quindi Vmax = V0

Mensola in Acciaio

Analisi dei carichi

Qs = 1 kN/mq + 0,157 kN/mq + 0,081 kN/mq  = 1,238 kN = 1,24 kN/mq 
Qp = 0,078 kN/mq + 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,4 kN/mq + *1 Kn/mq + *0,5 kN/mq =  2,75 KN/mq
Qa = 2 kN/mq valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC per un ambiente ad uso residenziale

Qu = 2,94 kN/mq x 1,3 + 2,75 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5  = 44,55 kn/mq

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

Il profilo necessario per resistere alla flessione è un IPE 360 (verificata anche con l'aggiunta del peso della trave stessa).

Il profilo scelto ha un rapporto tra luce e abbassamento di 370,189 quindi il profilo scelto risulta verificato anche all'abbassamento.

Mensola in Legno

Analisi dei Carichi:

Qs = 0,078 kN/mq + 0,216 kN/mq = 0,292 kN/mq = 0,3 kN/mq  
Qp = 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,144 kN/mq + *1 Kn/mq  + *0,5 kN/mq  =  2,26 kN/mq
Qa = 2 kN/mq valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC per un ambiente ad uso residenziale

Qu = 0,3 kN/mq x 1,3 + 2,26 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5  = 27,12 kN/mq

Nella trave di Legno Lamellare per determinare l'abbassamento non considero il peso della trave principale (perchè è un materiale molto leggero e il peso della trave principale non influesce fortemente sul carico strutturale)

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

Utilizzo una trave in legno lamellare in classe 2, con classe di durata del carico di lunga durata che implica un coefficiente riduttivo di resistenza Kmod di 0,7 

fissando la base della trave a 25 cm risulta necessaria una trave in legno lamellare ingegnerizzata di 55 cm.

Poichè il rapporto tra abbassamento è di 576,97 la trave è a Norma.

Considerazioni:

La mensola in C.A ha dimensioni 30x55 cm con un rapporto luce/abbassamento di 857,38
La mensola in Acciaio è un IPE 360 (altezza del profilo 36 cm) con un rapporto luce/abbassamento di 370,189
La mensola in Legno ha dimensioni 25x55 cm con un rapporto luce/abbassamento di 576,97

tra le tre travi, quella che ha un abbassamento minore è quella in CA, e quella con un abbassamento maggiore è quella in acciaio. L'acciaio permette di coprire luci con un altezza della trave più piccola rispetto agli altri materiali, ma a causa del suo comportamento duttile ha un abbassamento molto maggiore. Cemento è un materiale molto più pesante rispetto agli altri ma ha un comportamento molto rigido, infatti il suo abbassamento è meno della metà di quello dell'acciaio.
Il legno è una situazione intermedia tra gli altri due materiali. Ha dimensioni minori del cemento armato, ha un abbassamento di poco superiore al cemento, maggiore dell'acciaio ed molto più leggero rispetto agli altri due materiali.

Se avessi bisgono di strutture leggere conviene utilizzare il legno.
Per strutture snelle che sostengono tanto carico conviene l'acciaio.
Se avessi bisogno invece di strutture che si devono abbassare di meno conviene utilizzare il CA