Quarta Esercitazione _ Dimensionamento di un pilastro

INTRODUZIONE:

L’obiettivo di questa quarta esercitazione è il dimensionamento della sezione del pilastro maggiormente sollecitato, sempre secondo le tre diverse principali tecnologie, ovvero legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Trattandosi di un elemento strutturale sottoposto a sforzo normale centrato di compressione, bisogna tener conto, oltre alla rottura per schiacciamento del materiale, di eventuali fenomeni di instabilità euleriana (fenomeno tipico/proprio delle strutture snelle).

Le instabilità sono causate dalla natura fisica delle forze: le forze devono compiere lavoro e quindi spostare il più possibile il loro punto di applicazione nella direzione della forza. Da qui si verifica l’abbassamento del punto di applicazione, con relativo accorciamento delle fibre compresse, e la deformazione assiale dell’elemento strutturale (che noi definiamo contrazione).

L’incognita principale di progetto è l’Area minima (tale da evitare lo schiacciamento) della sezione del pilastro esaminato, che ricaveremo eguagliando la tensione massima sulla sezione alla resistenza di progetto del materiale di cui è composto il nostro pilastro:

σmax= f_cd     e sapendo che N/A_min = f_cd    ricavo    A_min =N/ f_cd 

L’incognita secondaria è il Momento di Inerzia minimo della sezione che ottengo mettendo in relazione la tensione normale massima all’interno dell’elemento strutturale e la tensione critica (con un’uguaglianza), in corrispondenza del carico critico euleriano, del pilastro.

Il carico critico euleriano vale N_critico = π² E I_min /(β l)².

In questa formula viene introdotto un nuovo coefficiente β, che rappresenta l’influenza dei vincoli secondo il seguente schema.

NOTA:

• Ricordando le seguenti relazioni I_min =A ρ_min² e  λ = l₀/ρ_min e sostituendole all’interno della formula del carico critico euleriano ottengo quanto segue: N_critico = π² EA/λ²
• σ_critico ⁼ N_critico /A = π² E/λ²
• Dovremo imporre f_cd<σ_critico ; in questo modo progettiamo in maniera che si inneschi prima il fenomeno di rottura e non dello schiacciamento, poiché quest’ultimo risulta essere un fenomeno di difficile controllo.

­DISEGNO:

Disegno la carpenteria del piano tipo e la sezione del mio edificio:

Sto, dunque, considerando un edificio a più piani, con struttura intelaiata piana, ordita da travi che collaborano con i pilastri, secondo il vincolo di appoggio semplice.

Il pilastro più sollecitato è certamente uno di quelli al piano terra, ai quali vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori. Perciò  individuo il pilastro più sollecitato guardando la pianta di carpenteria del piano terra.

Dopodiché, attraverso il file excel, inserisco i dati per ogni diversa tecnologia.

1_LEGNO

ANALISI:

Riprendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserisco i dati a mia disposizione

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (circondata in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame

Ottengo, così, il valore dell’area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). 

Per il calcolo dello sforzo normale di compressione, devo trovare i valori dei carichi dovuto al peso proprio delle travi che poggiano un’estremità sul pilastro, il carico dovuto al peso del solaio ed il numero dei piani dell’edificio.

• trave_p = (0,30*0,55)m² x 6KN/m³ = 0,99 KN/m      [trave principale]
• trave_s = (0,25*0,15)m² x 6KN/m³ =  0,225 KN/m    [trave secondaria]

Ottengo q_trave =trave_p*L₁*1,3 + trave_s*L₂*1,3 e lo sforzo normale di compressione agente sul pilastro con la formula N=q_trave+q_solaio*n_piani

Ottengo il valore del carico del solaio dalla combinazione dei tre carichi allo stato limite, il tutto moltiplicato per l’area di influenza.

NOTA: Come già detto, i valori q_s, q_p e q_a  sono stati ripresi dalla prima esercitazione.

PROGETTO:

Procedo ora con il pre-dimensionamento della sezione del pilastro a partire dalla resistenza del materiale e ottenendo quanto vale A_min.

• f_c0,k = resistenza caratteristica a flessione nella direzione delle fibre (dipende dal materiale)
• k_mod = coefficiente di durata del carico (fornito dalla normativa)
•  γ_m = coefficiente di sicurezza

Ottengo così la tensione ammissibile f_c0d = f_c0,k k_mod / γ_m e quindi l'area minima necessaria alla sezione affinché il materiale non giunga a rottura.

• E,005 = modulo elastico in percentile
• β = 1 [caso cerniera-carrello]       (vedere lo schema iniziale)
• l = altezza del pilastro

Ricavo;  

λ_max =  π √(E/f_cd)  [valore massimo di snellezza]

 ρ_{min =} β l/ λ_max 

 Sapendo che nel legno ρ_min= √(1/12) *b ,ricavo attraverso questo formula una delle due dimensioni della sezione, b_min, che ingegnerizzo 

h_min= A_min/b

Devo ingegnerizzare anche l'altezza. Ora ho le due dimensioni che descrivono la sezione del pilastro.

Verifico poi, per sicurezza, che l'Area di design sia maggiore dell'Area minima.

2_ACCIAIO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nel caso del legno, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (descritta in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame
• trave_p = IPE 360 = 57,1 kg/m =0,571 KN/m    [peso trave principale]
• trave_s = IPE 160 = 15,8 kg/m =0,158 KN/m    [peso trave secondaria]

PROGETTO:

• f_yk  = tensione di snervamento caratteristica 
• γ_m = coefficiente di sicurezza
• f_yd = f_yk/ γ_m [resistenza di progetto]

Ottengo l'area minima A_min=N/f_cd

• λ^* = √(E/f_yd)
•  ρ_min = β l/ λ^*
• I_min = Aρ_min² (ricavo dunque il momento di inerzia minimo in funzione del raggio di inerzia minimo)

Attraverso la tabella dei profili HEA ricavo i valori di A_{design ,} I_design e ρ_min maggiori di quelli minimi ottenuti, il cui profilo risulta essere un HEA140.

3_CALCESTRUZZO ARMATO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nei casi precedenti, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• trave_p = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave principale]
• trave_s = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave secondaria]

​

PROGETTO:

• f_ck =35 (calcestruzzo di classe C35/45)
• f_cd = 0,85*f_ck/1,5

• β =1 [doppio incastro]   (fare riferimento allo schema iniziale)
• l=2,70 m [la luce del pilastro]

Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro = cm 25x45.

Non mi resta che calcolare:

• A_design =b*h
• I_design =(h*b³)/12
• I_max =(b*h³)/12

NOTA: Ricordiamo che, a differenza dei due casi precedenti, il pilastro in cls armato è sottoposto, oltre che a compressione, a presso-flessione, poiché il nodo trave-pilastro è realizzato da un incastro (il che trasmette momento); per evitare fenomeni di instabilità devo verificare che σ_max ​ sia minore o uguale a f_cd.

Per il calcolo della tensione massima devo ricavare i seguenti valori:

• W_max  = bh²/6  [modulo di resistenza a flessione per sezioni rettangolari]
• q_t    [carico sulla trave; combinazione allo SLU dei tre carichi moltiplicati per l’interasse delle travi principali]
• Mt =(q_t* l_p²)/12   [momento nell'estremo della trave, trasmesso da quest’ultima al pilastro]

A questo punto σ_max = N/A + M_t /W_max ≤ f_cd ? Sì, 16,81 ≤ 19,8

Il pilastro di dimensioni cm 25x45 risulta VERIFICATO!