blog di giacomo.monari

Con questa esercitazione vedremo come una forza orizzontale (ad esempio vento o sisma) si ripartiasce su un edificio, per eseguire questa analisi utilizzeremo il metodo delle rigidezze per vedere le reazioni del nostro impalcato.

L'oggetto in analisi è un edificio ad un piano con una struttura i cemento armato composta da 7 telai (3 orizzontali e 4 verticali)

Telai orizzontali    

Telaio 1o: 1-2

Telaio 2o: 3-4-5-6

Telaio 3o: 7-8-9-10

Telai vertical

Telaio 1v: 3-7

Telaio 2v: 1-4-8

Telaio 3v: 2-5-9

Telaio 4v: 6-10

Di questi telai analizzeremo le rigidezze considerandoli come modelli shear-type, un modello teorico che descrive un telaio con tutti nodi ad incastro e travi infinitamente rigide a flessione, questo ci permette di concentrarci solo sul cedimento vincolare dei pilastri (i controventi della struttura) e quindi sulla loro rigidezza.

Vediamo che la rigidezza dei telai dunque è direttamente proporzionale al modulo di Young E, al momento di inerzia I e inversamente proporzionale all'altezza h del pilastro. Per conoscere la rigidezza del nostro telaio basterà dunque sommare le rigidezze dei singoli controventi disposti sul rispettivo asse in analisi

kᵢ=12EI₁/hᶟ

k_tot=∑ᶰᵢ‗₁ kᵢ

Detto ciò visualizzo l'impalcato come un corpo rigido dotato di massa omogenea, controventato da vincoli cedevoli elasticamente rappresentabili sul piano xy come molle di adeguata rigidezza k

Prima di utilizzare il foglio excell per calcolare sistematicamente le rigidezze dei telai definisco che:

H= altezza = 3,4 m

E= Modulo di Young = 21000 N/mm²

Pilastri a sezione quadrata 30cmx30cm con un momento di inerzia unico

I= Momento d’Inerzia = b⁴/12 = 67 500 cm⁴

Una volta ricavate le rigidezze dei diversi telai riportiamo le distanze degli stessi da un punto d' origine (da noi scelto) chiamato O.

Una volta impostato questo sistema di riferimento passiamo a calcolare il centro di massa e il centro di rigidezza della struttura. Questi due punti possono essere entrambi ricavati utilizzando l'equazione per ottenere il centro di un sistema di vettori paralleli.

Per quanto riguarda il centro di massa esso coinciderà con il centro dell'area poichè abbiamo impotizzato che la densità della massa sia uniforme su tutto l'impalcato. per ricavarlo scomponiamo il corpo del nostro edificio in due figure geometriche distinte.

G1: x1= 7,5m

       y1= 8m

G2: x2= 6m

       y2= 3m

Dunque  

x_G = (Σ_i=1-nAixXGi)/ A_tot  

y_G = (Σ_i=1-nAixyGi)/ A_tot       

Per calcolare il centro delle rigidezze utilizzeremo (come introdotto precedentemente) la medesima equazione:

x_C = (Σ_i=1-nKvi x Dvi) / K_{v_tot}

y_C = (Σ_i=1-nKoi x Doi) / K_{o_tot}

Trovati i due centri noto che non coincidono, questo significa che il nostro impalcato sarà soggetto, oltre che a traslanzione, anche a rotazione, questo perchè la forza orizzontale applicata al centro della massa farà ruotare l'impalcato con perno nel centro delle rigidezze, creando un momento con braccio pari alla distanza dei due centri, questo ci dice che la configurazione ottimale per una struttura è quella in cui coincidono i due centri.

Dunque bisogna calcolare anche il valore della rigidezza torsionale K_Φ che non è altro che la sommatoria delle rigidezze dei telai moltiplicati per la rispettiva distanza (braccio) dal centro delle rigidezze

K_Φ =Σ_i=1->nK_vi x dd²_vi  +  K_o x dd²_oi

Seguendo la normativa è possibile ricavare (approssimativamente) la forza sismica che potrebbe agire sul nostro edificio. Per fare questo ho bisogno di ricavarmi la forza peso dell'edificio W, dato dalla somma del carico permanente G e del carico accidentale Q moltiplicato per un coefficente di contemporaneità  ψ,  nel nostro caso ipotizzando un ambiente ad uso commerciale il nostro edificio apparterrà alla categoria D con un coefficente ψ = 0,6

W = G + Q x ψ

La forza peso dell'edificio infine dovrà essere calcolata per un coefficente di intensità sismica c che dipende dal luogo del progetto.

F= W x c

Ricavata la forza passo a verificare la sua influenza sulla nostra struttura nei versi dei controventi da noi analizzati.

Dove :

lo spostamento orizzontale         u= F/ko_tot

Lo spostamento verticale            v= F/kv_tot

La rotazione                                     φ=M/kφ

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile concludere ricavando la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Forza sismicalungo l’asse x

reazione controventi orizontali     F_{o_n}= k_{o_n} (u+Φ x dd_{o_n})

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n} x Φ x dd_{v_n}

Forza sismicalungo l’asse y

reazione controventi orizontali     F_{o_n}=k_{o_n} x Φ x dd_{o_n}

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n}(v+ Φ x dd_{v_n})

Per questa esercitazione modifico la struttura dell'esercitazione precedente in modo da ottenere una trave a sbalzo, mantengo gli stessi solai con gli stessi materiali in modo da ottenere una comparazione più diretta con l'esercitazione precedente.

INTERASSE: 3m

LUCE: 3m

AREA DI INFLUENZA: 9mq

In questa esercitazione dovrò dimensionare una trave a sbalzo nei tre materiali con una verifica a deformabilità (similmente alla seconda esercitazione) dopodichè dovrò controllare l'abbassamento minimo dell'elemento effettuando le verifiche allo SLE.

La prima parte dell'esercizio riguardante il dimensionamento sarà pressochè uguale alla seconda esercitazione tranne che per due valori, il momento massimo non sarà più quello di una trave appoggiata appoggiata ma quello di una mensola  Mmax=q_ul²/2

Inoltre il carico accidentale qua è pari a 4 KN/mq come da normativa per carichi accidentali su balconi.

legno- Sezione 25x45

acciaio- IPE 330

calcestruzzo armato- Sezione 30x40

Una volta dimensionate le sezioni allo SLU passiamo alla verifica a deformabilità allo SLE (poichè è una verifica finalizzata a controllare che non vi siano spostamenti e deformazioni che ne compromettano l'uso) con le conseguenti diverse combinazioni di carico incidenti.

Inoltre in questa verifica per quanto riguarda l'acciaio verrà presa in considerazione l'influenza del suo peso proprio (per una IPE 330 è di 0,49 KN/m) all'interno del calcolo del carico totale.

Anche per la verifica del calcestruzzo viene presa in considerazione l'influenza del peso, nel legno invece continua a essere ignorato.

Per il calcolo dello spostamento oltre al momento massimo ho bisogno di altre due informazioni: il modulo di elasticità dipendente dal materiale e il momento di inerzia dipendente dalla sezione.

Questi mi servono per potermi ricavare in primis la curvatura χ = (qx²/2) (1/EI), da cui mi ricaverò la rotazione   ϕ = (qx³/6) (1/EI) + C₁ da cui mi posso infine ricavare (sostituendo le costanti di integrazione) l' abbassamento massimo Vmax=ql⁴/8EI

Una volta trovato il valore dell'abbassamento massimo posso verificare che il rapporto tra questo e la luce della trave sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa.

legno= verificato

acciaio=verificato

calcestruzzo armato=verificato

Per questa esercitazione analizzo un generico piano di carpenteria, di questo individuo la trave più sollecitata e mi ricavo le caratteristiche dimensionali necessarie al suo dimensionamento, tali caratteristiche sono la luce, l'are di influenza e l'interasse, quest' ultimo in particolare mi serve per determinare il valore di carico lineare incidente sulla trave.

-Luce: 6m        -Area di influenza: 18mq      -Interasse: 3m

Questo carico è chiamato "carico totale" qu ed è composto dalla somma del "carico strutturale" qs (carico dato dal peso proprio degli elementi portanti), del "carico permanente" qp (carico dat dal peso proprio degli elementi portanti) e  dei "carichi accidentali" qa (carichi variabili ne tempo, accidentali, insieme ai carichi di esercizio).

Nel nostro caso trattandosi di un edificio ad uso residenziale il carico accidentale sarà       qa=2 KN/mq

Questi carichi vengono normati dal Decreto Ministeriale 14-01-2008, tale Norma impone l'utilizzo di alcuni coefficenti (γG1, γG2, γQ1) da moltiplicare ai rispettivi carichi, tali coefficenti variano a seconda del tipo di analisi che si vuole fare, nel nostro caso effetuiamo un'analisi allo stato limite ultimo, dunque saranno coefficenti finalizzati alla sicurezza.

qu = γG1 qs + γG2 qp + γQ1 qa

Tali dati mi servono per poter ricavare il momento massimo agente sulla trave, nella nostra ipotesi si tratta di una trave doppiamente appoggiata per cui il momento massimosi troverà in mezzeria  

1-LEGNO

Per il solaio in legno ho scelto come tipo il modello UNI SOL-12

In base al composizione d questo solaio avremmo che:

Carichi struttura li (qs)= 0.024 KN/mq

Carichi permanenti (qp)= 1.19 KN/mq

Per il dimensionamento del legno per prima cosa bisogna riportare la classe di resistenza del legno scelto fmk

Scelgo un legno lamellare incollato Classe GL 28h con fmk=24

Questa insieme al coefficentw diminutivo Kmod e al coefficente parziale di sicurezza γm mi permettono di calcolare la tensione di progetto fd= Kmod x fmk /  γm

Kmod è definito dalla normativa a seconda della durata del carico e dalla classe di servizio (condizioni climatiche)

γm dipende dal materiale scelto, per il legno lamellare incollato è 1.45

Ora possiamo dimensionare la sezione della trave scegliendo la dimensionne della base (b) della sezionne poichè sappiamo che persezioni rettangolari

Wxmin= bh²/6 =Mmax/fmd 

da qui mi estrapolo la formula per ricavarmi hmin, se mi viene più piccolo della base devo scegliere una base più piccola.

Infine il valore di hmin va ingegnerizzato, ovvero andrò a scegliere una sezione da sagomario con un'altezza maggiore dell' hmin  che mi sono ricavato.

2-ACCIAIO

Per la trave in acciaio ho scelto come tipo di solaio il modello UNI SOL-15

In base al composizione d questo solaio avremmo che:

Carichi struttura li (qs)= 2.11 KN/mq

Carichi permanenti (qp)=1.59 KN/mq

Come per il legno la prima operazione da fare e scegliere il tipo di materiale da utilizzare, in questo caso il tipo di acciao con la sua rispettiva tensione caratteristica di snervamento fyk

a cui applicheremo un coefficente parziale di sicurezza γs per ottenere le tensioni di progetto fyd.

Con il momento massimo Mmax e la tensione di progetto mi posso ricavare il modulo di resistenza a flessione minimo Wxmin, questo mi permetterà di trovare lasezione della trave (ingegnerizzazione) con un modulo di resistenza maggiore di Wxmin, affinchè la tensione massima del materiale scelto non superi la tensione di progetto

da sagomario mi scelgo una trave IPE 360

3-CALCESTRUZZO ARMATO

Per la trave in calcestruzzo armato ho scelto come tipo di solaio il modello UNI SOL- 03

In base al composizione d questo solaio avremmo che:

Carichi struttura li (qs)= 2.10 KN/mq

Carichi permanenti (qp)=1.79 KN/mq

Data la natura non omogenea del calcestruzzo armato avrò bisogno di più informazioni per il suo dimensionamento, tali informazioni deriveranno dall'acciaio (per l'armatura a trazione) e dal calcestruzzo.

Nello specifico mi servono le rispettive classi di resistenza caratteristiche fyk (acciaio) e fck (calcestruzzo).

Da queste miricavo le tensioni di progetto:

acciaio fyd= fyk/γs   dove γs è il coefficente parziale di sicurezza dell'acciaio pari a 1.15

calcestruzzo fcd= αcc x fck/γc   dove αcc è il coeficente riduttivo per resistenza a luga durata

                                                     pari a 0.85 e γc il coefficente parziale di sicurezza pari a 1.5.

Similmente al dimensionamento della sezione rettangolare in legno mi fisso il valore della base a priori, per potermi poi ricavare l'altezza utile hu della sezione

 dove r è pari a 

Nel caso della tabella Xcell beta viene sostituito da alfa.

una volta determinato hu mi posso ricavare l'altezza minima tenendo conto della distanza tra il baricentro dell'armatura e il filo del calcestruzzo teso, dopo di che mi sceglierò n altezza di progetto maggiore dell'altezza minima.

Nel caso del legno e dell'acciaio non si tiene conto del peso proprio della trave (la sua influenza è contenuta fra Wmin e Wmax).

Nel calcestruzzo si fa una secondaiterata introducendo il peso proprio della trave consequentemente alla sezione dimensionata.

Lo si aggiunge al calcolo del carico totale qu moltiplicandolo per un coefficente di sicurezza pari a 1.3.

Se la risultante del nuovo dimensionamento sarà minore di quella scelta da noi la sezione sarà verificata.

Come oggetto di analisi di questa prima esercitazione ho deciso di modellare una piccole tettoia di Peter Huybers nei Paesi Bassi

Per poter modellare tale struttura innanzi tutto l'ho scomposta nei suoi moduli costitutivi principali.

Per quanto riguarda la tettoia vera e propria è formata da un modulo piramidale di 2 metri per 2 alla base e 1 metro in altezza, tale modulo viene ripetuto per 4 volte sul lato minore e per 6 volte sul lato maggiore, i vertici di queste sono connessi tra di loro da ulterori aste che chiudono così il sistema reticolare.

Il tutto poggia su dei pilastri posti sul perimetro della tettoia controventati da delle aste diagonali

Affinchè la simulazione che andrò ad applicare sul modello coincida con i comportamento della struttura reale, ho assegnato alle aste una sezione tubolare in acciaio e ho rilasciato i momenti nei nodi che connettono quest' ultime, definendoli così delle cerniere interne.

Inoltre ho assegnato delle forze puntuali pari a 100KN sui nodi superiore, in corrispondenza dei vertici delle piramidi che costituiscono la struttura.

A questo punto ho tutti gli elementi per poter passare al'analisi del comportamento della struttura soggetta a questi carichi.

La presente immagine mi mostra la distribuzione degi sforzi assiali di ogni singola asta, gli unici presenti in una struttura reticolare, posso notare come alcuni dei pilastri su cui si poggia la tettoia non hanno alcuno sforzo assiale, ciò non vuol dire che essi non abbiano ragion d'essere poichè potrebbero servire semplicemente per stabilizzare la struttura.

Da questa analisi posso ricavarmi una tabella excell che mi mostra le caratteristiche di ogni asta, catalogate dal programma stesso, da questa tabella potrò ricavare i dati sufficenti per il dimensionamento di queste per poi poter tornare a definire la loro sezione all'interno del modello.

A partire dal valore dello sforzo di ogni singola asta potro sudduvuderle in due insiemi specifici, quello delle aste tese e quello delle aste compresse, applico questa differenzazione poichè necessitano di procedure differenti per il dimensionnamento

ASTE TESE

Per il dimensionamento delle aste soggette a sola trazione si tiene conto della possibilità di rottura del materiale, ovvero si impone che la tensione massima sia sempre minore o uguale alla rsistenza a trazione di progetto del materiale (ftd).

Mi scelgo la classe di acciaio dei tubolari in modo da ricavarmi il coefficiente di snervamento (fyk) e il coefficente di sicurezza (Ym), da questi due elementi mi ricavo la tensione di progetto (fyd) e conseguentemente l'area minima di progetto poichè  A_min= N / f_yd .

Una volta ricavata l'area è sufficente che io scelga una sezione standard (dalla tabella dei profilati) che mi garantisca una resistenza a trazione sufficente in quell'asta.

ASTE COMPRESSE

Nelle aste compresse oltre al rischio di rottura del materiale bisogna tener conto del fenomeno di instabilità delle aste snelle.

Attraverso il modulo di elasticità E dell'acciaio mi ricavo la snellezza massima (λ*) possibile prima che si inneschi l'instabilità, dalla snellezza combinata con la lunghezza libera di inflessione mi ricavo il raggio di inerzia minimo (  ρ_min= l₀ / λ*) atto a sua volta al calcolo del momento di inerzia minimo (I_min= A_min  ρ²_min ) ovvero l'asse più instabile dell'asta compressa.

Grazie ai valori del momento di inerzia minimo e dell'area minima posso scegliere la sezione giusta per ogni asta, fatto questo scrivo i nuovi valori di Area,momento d’Inerzia e raggio d’inerzia in modo tale da ricalcolarmi la snellezza λ che deve essere inferiore a 200.

_{Una volta finito il dimensionamento torno sul modello di SAP e modifico le sezioni con i risultati ottenutti, infine mando nuovamente l'analisi.}