blog di aleandro.masi

METODO DELLE RIGIDEZZE – MENSOLA

 

 

Questa è una trave Vierendeel ed ha lo stesso comportamento di un telaio shear-type ( travi infinitamente rigide e quindi resistenti a flessione). Mentre i pilastri sono soggetti a traslazioni provenienti da azioni esterne.

 

Questo telaio si deformerebbe così

Questo solaio può essere visto come uno shear-type ruotato di 90°.

Consideriamo i tratti verticali come travi doppiamente appoggiate.

 

Questa trave è iperstatica ed è soggetta ad un cedimento vincolare δ, da cui si ricavano i seguenti valori del taglio e del momento:

 

M = 6 EI/l² * δ T = 12 EI/l³ * δ

 

TRATTO 1

 

-F + 2T = 0

F = 2T

Applicando i valori notevoli

F = 2 (12 EI/l³ * δ1) = 24 EI/ l³ * δ1

 

δ1 = F l³/24 EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ1 = F/2

 

M = 6 EI/ l² * δ1 = Fl/4

 

TRATTO 2

 

T + T – F – F/2 – F/2 = 0

2F = 2T

Applicando i valori notevoli

F = 12EI/ l³ * δ2

 

δ2 = F l³/12 EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ2 = F

 

M = 6 EI/ l² * δ2 = FL/2

 

 

TRATTO 3

 

T + T – F -F – F = 0

3F = 2T

Applicando i valori notevoli

3F = 24 EI/l³ * δ3

 

δ3 = Fl/8 EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ3 = 3/2 F

 

M = 6 EI/ l² * δ3 =3/4Fl

 

TRATTO 4

 

T + T – F – 3/2 F – 3/2 F = 0

4F = 2T

Applicando i valori notevoli

4 F = 24EI/ l³ * δ4

 

δ4 = F l³/6EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ4 = 2F

 

M = 6 EI/ l² * δ4 = Fl

 

TRATTO 5

 

T + T – F – 2F – 2F = 0

5F = 2T

Applicando i valori notevoli

5F = 24 EI/ l³ * δ5

 

δ5 = 5 F l³/24 EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ5 = 5/2 F

 

M = 6 EI/ l² * δ5 = 5/4 Fl

 

TRATTO 6

 

T + T – F – 5/2 F – 5/2 F = 0

6F = 2T

Applicando i valori notevoli

6F = 24 EI/ l³ * δ6

 

δ6 = F l³/4 EI

 

T = 12 EI/ l³ * δ6 = 3F

 

M = 6 EI/ l² * δ6 = 3/2 Fl 

 

 

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

 

 

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

 

 

Ora bisogna calcolare il taglio e i momenti delle shear-type facendo l'equilibrio ai nodi

 

MOMENTI

 

TRATTO 1 VERTICALE

 

 

MV1 – Fl/4 = 0

MV1 = Fl/4

 

TRATTO 2 VERTICALE

 

MV2 – Fl/4 – Fl/2 = 0

MV2 = 3/4Fl

 

TRATTO 3 VERTICALE

 

MV3 – 3/4Fl – Fl/2 = 0

MV3 = 5/4 Fl

 

TRATTO 4 VERTICALE

 

MV4 – Fl – 3/4Fl = 0

MV4 = 7/4 Fl

 

TRATTO 5 VERTICALE

 

MV5 – Fl – 5/4 Fl = 0

MV5 = 9/4 Fl

 

TRATTO 6 VERTICALE

 

MV6 - 5/4 Fl – 3/2 Fl = 0

MV6 = 11/4 Fl

 

DIAGRAMMA MOMENTI VERTICALI

 

Per ricavarci i valori del taglio a questo punto ci basterà fare la somma dei momenti agenti sull'asta dividendoli per la luce e mettendo il taglio in equilibrio

 

TAGLIO

TRATTO 1 VERTICALE

 

Tv1 = (Fl/4 + Fl/4) 1/l = F/2

 

TRATTO 2 VERTICALE

 

Tv2 = (3/4Fl + 3/4Fl) 1/l = 3/2F

 

TRATTO 3 VERTICALE

 

Tv3 = (5/4Fl + 5/4Fl) 1/l = 5/2 F

 

TRATTO 4 VERTICALE

 

Tv4 = 7/4Fl + 7/4Fl) 1/l = 7/2 F

 

TRATTO 5 VERTICALE

 

Tv5 = (9/4 Fl + 9/4Fl) 1/l = 9/2 F

 

TRATTO 6 VERTICALE

 

Tv6 = (11/4 Fl + 11/4 Fl) 1/l =11/2 F

 

DIAGRAMMA TAGLIO VERTICALE

 

Gli sforzi di taglio in un tratto diventano sforzi normali per i tratti ortogonali adiacenti, quindi possiamo disegnare il diagramma dello sforzo normale

 

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

 

ESERCIZIO SUL METODO DELLE FORZE

La struttura è IPERSTATICA 3 volte perché GDL=3 NGV=6.

Consideriamo una struttura isostatica, realizzata trasformando i vincoli esterni in vincoli interni, ristabilendo però le condizioni di vincolo della prima struttura ( i momenti x1, x2 ).

 

ΔφB = 0 => φBS - φBD = 0

ΔφC = 0 => φCS - φCD = 0

ΔφD = 0 => φDS - φDD = 0

N.B. La struttura è simmetrica, quindi basterà studiare metà struttura.

 

Devo considerare la struttura tratto per tratto.

 

Avrò

φBS = ql³/24EI -X1l/3EI

φBD = X1l/3EI - ql³/24EI + X2l/6EI

 

φCS = ql³/24EI – X2l/3EI – X1l/6EI

φBD = - ql³/24EI + X2l/3EI + X1l/6EI

 

Scrivo queste equazioni nella forma φBS - φBD = 0 e φCS - φCD = 0 mettendole a sistema per trovare i valori di X1 e X2

 

 

ql³/24EI -X1l/3EI - X1l/3EI + ql³/24EI – X2l/6EI = 0

ql³/24EI – X2l/3EI – X1l/6EI + ql³/24EI - X2l/3EI – X1l/6EI = 0

 

X2 = 1/14 ql²

X1 = 3/28 ql²

 

Studio le reazioni vincolari dovute al carico ripartito

 

Considerando i tratti come strutture indipendenti, per oppormi a 4ql, dovrò avere, per l'equilibrio su ogni tratto, delle forze opposte con un valore di ql/2.

 

Posso scrivere il grafico di prima come:

 

 

sommando, per il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI i contributi del carico ripartito e delle reazioni che vado a considerare per mettere in equilibrio i singoli tratti e che derivano dall'effetto dei momenti nei nodi.

 

In A - X1/l + ql/2

In B X1/l + X1/l - X2/l + ql = 2 X1/l - X2/l + ql

In C - X1/l + X2/l + X2/l - X1/l + ql = - 2X1/l + 2 X2/l + ql

In D - X2/l + X1/l + X1/l + ql = - X2/l + 2X1/l + ql

In E - X1/l + ql/2

 

sostituendo i valori di X1 e X2 avrò

 

In A 11/28 ql

In B 8/7 ql

In C 13/14 ql

In D 8/7 ql

In E 11/28 ql

 

Le reazioni vincolari finali saranno

Disegno i diagrammi delle sollecitazioni

 

TAGLIO e MOMENTO

 

ANALISI DEI CARICHI E DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE

 

DESTINAZIONE D'USO

uffici non aperti al pubblico 

 

TRAVE PIU' SOLLECITATA

AREA D'INFLUENZA

 

STRATIGRAFIA SOLAIO

 

1)pavimento

2)allettamento (2 cm)

3)massetto cementizio (10 cm)

4)tavolato (4cm)

5)travicelli (10 x 10)

6)trave

 

ANALISI DEI CARICHI

-CARICHI STRUTTURALI qs

Travicelli

P = γ * V γ travicelli = 6 KN V = 0,1 * 0,1 * 1 = 0,01 m³

P = 6 KN/m³ * 0,01 m³ = 0,06 KN/mq mq perchè il carico agisce su un'area

Su 1 mq ci sono due travetti quindi 0,06 * 2 = 0,12 KN/mq

 

Tavolato

γ = 6 KN/ m³ V = 0,2 * 0,04 * 1 = 0,008 m³

P = 6 * 0,008 = 0,048 KN/mq

In 1 mq ci sono 5 tavole quindi 5 * 0,008 = 0,24 KN/mq

 

qs = 0,12 + 0,24 = 0,36 KN/mq

 

-CARICHI PERMANENTI qp

Massetto cementizio

γ = 18 KN/m³ V = 1 * 1 * 0,1 = 0,1 m³

P = 18 * 0,1 = 1,8 KN/mq

 

Allettamento

γ = 21 KN/m³ V = 1 * 0,02 * 1 = 0,02 m³

P = 21 * 0,02 = 0,42 KN/mq

 

Pavimento in mattonelle di granito

γ = 27 KN/m³ V = 0,2 * 0,2 * 0,01 = 0,0004 m³

P = 27 * 0,0004 = 0,0108 Kn/mq

il peso complessivo delle mattonelle che agisce su 1 mq = 0,0108 * 1 * 1 = 0,0108 KN/mq

 

Incidenza dei tramezzi

1 KN/mq

 

 

Impianti

0,5 KN/mq

 

qp = 1,8 + 0,42 + 0,0108 = 2,23 KN/mq

 

-CARICHI ACCIDENTALI qa = 2 KN/mq ( data dalla normativa )

 

DIMENSIONAMENTO CON LA TABELLA DI EXCEL

Avendo deciso di avere la base della trave di 30 cm e la luce della trave più sollecitata di 6 m, risulta dall'analisi dei carichi che per sorreggere i carichi provenienti dal solaio devo avere una trave alta 49,96 cm.

 

Questo tipo di dimensionamento ci permette di calcolare l'altezza di una trave per volta, quindi noi andremo a calcolare sempre i carichi che agiscono sulla trave più sollecitata (ci accorgiamo che una trave è più sollecitata rispetto ad un'altra osservando l'orditura del solai, quindi i carichi agiranno in maggior modo sulla trave perpendicolare all'orditura dei solai).