blog di lorenzo.pirone

RIPARTIZIONE DELLE FORZE ORIZZONTALI IN UNA STRUTTURA IN CEMENTO ARMATO

In questo esercizio si analizza una struttura a telaio in cemento armato, con lo scopo di ricavare la rigidezza nei confronti delle forze orizzontali di ciascun telaio di cui essa è composta, la posizione del centro di massa della struttura, quella del centro delle rigidezze e in base alla distanza tra questi ultimi gli spostamenti che la struttura compie sotto l’azione di un sisma, considerando come si ripartiscono le forze orizzontali sui diversi telai.

Il primo passo consiste nel calcolare la rigidezza di ogni telaio in cemento armato. Questo valore è strettamente legato alla rigidezza dei singoli pilastri che lo compongono, definita dalla geometria e il materiale di cui sono composti.

In questa tabella sono riassunti i valori delle rigidezze di nostro interesse e le distanze a cui i telai si trovano rispetto all’origine, fissata nel vertice inferiore sinistro della pianta.

Successivamente vengono calcolate le coordinate del centro di massa, mediante una semplice media ponderata che considera la posizione del baricentro e l’area di ognuna delle figure archetipe in cui la pianta è suddivisa.

Il calcolo della posizione del centro delle rigidezze dipende dalla rigidezza dei singoli telai e dalla loro posizione rispetto all’origine. Una seconda media ponderata, che tiene conto della rigidezza totale lungo i 2 assi cartesiani di riferimento.

La sommatoria del prodotto tra la rigidezza di ogni telaio e il quadrato della sua distanza dal centro delle rigidezze porta al valore della rigidezza rotazionale. A parità di rigidezza infatti maggiore è la distanza che il telaio ha rispetto al centro delle rigidezze e maggiore è il contributo che fornisce nella limitazione degli spostamenti.

L’analisi dei carichi è necessaria per determinare la forza sismica che agisce sulla struttura. Infatti come è noto sono le strutture pesanti a soffrire di più i sismi. I carichi al metro quadro dei pesi permanenti e accidentali, moltiplicati per l’area dell’impalcato, per il coefficiente di contemporaneità e successivamente divisi per il coefficiente di intensità sismica portano al valore della forza sismica orizzontale.

L’ultimo passo consiste nel ricavare la forza che si ripartisce sui singoli telai. La forza sismica orizzontale è applicata sul centro delle masse, generando una traslazione dell’impalcato nella sua direzione: essa si determina dividendo la forza per la rigidezza nella direzione corrispondente. Ma la non coincidenza del centro delle masse con il centro delle rigidezze provoca anche una rotazione dell’impalcato, per via del momento torcente che in questo modo si genera, che dipende proprio dal prodotto tra la forza orizzontale equivalente e la differenza tra le ascisse e le ordinate dei 2 centri (che quindi portano ad avere 2 valori di momenti torcenti).

L’entità della rotazione dell’impalcato si ottiene dividendo i momenti torcenti per la rigidezza rotazionale. Queste 2 grandezze sono dimensionalmente coerenti, infatti la rotazione è adimensionale.

Grazie ai dati ottenuti è possibile calcolare la forza orizzontale che ogni telaio sarà chiamato a controventare. Nell’esempio preso in considerazione essa è per la maggior parte dovuta allo spostamento e in minima parte alla rotazione, per via dell’enorme differenza che sussiste tra la rigidezza rotazionale e quelle di traslazione (tra le 20 e le 40 volte più piccola) e del valore del momento torcente, che è solo la metà della forza sismica orizzontale.

La struttura tridimensionale è stata modellata sulla base di una 3D Grid, le travi e i pilastri hanno la stessa lunghezza (3m). i 3 elementi rappresentano un corpo unico, tre volte incastrato.

È possibile semplificare il sistema sostituendo la trave a sbalzo con il carico distribuito con un momento che agisce direttamente sul nodo dove lo sbalzo era fissato, avente il valore del momento flettente sviluppato in corrispondenza dell’incastro dalla trave a sbalzo appena sostituita.

Gli elementi strutturali, in queste condizioni di vincolo e di carico si comportano in maniera differente: il momento applicato genera una flessione sulla trave e il pilastro appartenenti al suo stesso piano, mentre la trave ortogonale è sottoposta a torsione.

Questo è confermato dalla deformata e dai grafici delle sollecitazioni, per ipotesi trascuriamo gli abbassamenti, definendo gli elementi strutturali come indeformabili assialmente.

Deformata

Taglio

Momento flettente

Torsione

Il suo comportamento ha effetto su quello degli altri 2 elementi strutturali, in quanto la sua rigidezza torsionale contra la rotazione del punto d’incontro delle travi e del pilastro, e di conseguenza anche la curvatura e il momento flettente.

Per verificare questa differenza sono state applicate diverse sezioni con la stessa area (170cm^2)alla trave sottoposta a torsione, confrontando i dati forniti dal software riguardo la rotazione del punto d’intersezione attorno all’asse della trave stessa.

Nonostante l’area della sezione e il materiale di cui è composta siano costanti le differenti prove hanno dato diversi esiti. Questo perché esse sono caratterizzate da un diversa rigidezza torsionale. In particolare le sezioni aperte (la T o la L) sono quelle che presentano le rotazioni maggiori pur avendo una buona resistenza flessionale (a cui consegue un minore abbassamento del giunto 4, quì non tabellato in quanto gli elementi strutturali sono per definizione indeformabili assialmente. Questa input non è stato fornito a SAP, che mostra anche l'abbassamento del punto in questione per via della compressione che subisce il pilastro, come si può vedere nel disegno della deformata).

Le tensioni tangenziali (τ)crescono di entità all’aumentare della distanza dall’asse di torsione (parallelamente al comportamento delle tensioni normali nel caso della flessione, che sono massime nei lembi superiori e inferiori delle sezioni). Il profilo che ha la miglior resistenza torsionale, e quindi che presenta la minor rotazione, è quello cilindrico, in quanto l’acciaio è distribuito a una distanza media dall’asse di torsione maggiore rispetto a quella delle altre sezioni.

La scatolare quadrata presenta le tensioni più alte in corrispondenza dei vertici, quella rettangolare in corrispondenza dei lati corti e invece il tubolare permette di distribuire uniformemente le tensioni tangenziali su tutta la sua area, ammesso che l’asse di torsione coincida con il centro delle sue sezioni, e il materiale viene sfruttato in maniera più uniforme.

Il modo in cui l’area di materiale è distribuita attorno all’asse di torsione è rappresentata numericamente dal momento d’inerzia polare, che è inversamente proporzionale alla tensione τ.

RISOLUZIONE DI UN GRATICCIO SEMPLICE MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

Possiamo parlare di graticcio quando vi è collaborazione tra due sistemi ortogonali di travi che non presentano strutture gerarchiche: ogni elemento strutturale (in ognuna delle 2 direzioni di orditura) ha la stessa valenza, e per questo le sezioni delle travi sono analoghe.

Un parametro che assume notevole importanza nel graticcio è la rigidezza torsionale, dal momento che avendo flessione in una direzione, inevitabilmente avremo torsione nell’altra. Nella rigidezza torsionale gioca un ruolo fondamentale il Momento d’inerzia Polare (Ip), un parametro legato alla geometria della sezione.

In questo esercizio si analizza un graticcio semplice, comparando i valori delle rotazioni indotte da una forza concentrata ottenuti associando diverse sezioni alla trave soggetta a torsione(al contrario di quanto si constata normalmente in strutture di questo tipo). Va ricordato, infatti, che la rotazione è indirettamente proporzionale alla rigidezza torsionale.

Il nodo ha 6 gradi di libertà: esso può traslare lungo i 3 assi x, y e z, inoltre può ruotare attorno agli stessi. In questo caso specifico la condizione di carico non genera traslazioni lungo x e lungo y, così come non vi sono rotazioni in x e in z, date le proporzioni dello schema strutturale.

Le incognite, dunque, sono soltanto due, ossia lo spostamento Delta(z) e la rotazione Fi(y).

Analizziamo le deformate delle due travi separatamente:

Sulla trave BD la forza F agisce esattamente al centro, quindi la deformata è simmetrica e in quel punto abbiamo uno spostamento δ, ma nessuna rotazione della sezione essendo un punto di tangenza orizzontale. Sulla trave AC, invece, F agisce ad un terzo della lunghezza e, sebbene il punto trasli della stessa quantità lungo z, stavolta non ci troviamo nel punto a tangenza orizzontale della deformata, quindi avremo anche una rotazione della sezione intorno all’asse y.

Per questo motivo separiamo idealmente le due incognite, facendole agire separatamente e sovrapponendo poi i loro effetti.

Analizziamo innanzitutto le due deformate prodotte dalla spostamento δ:

- deformazione dovuta solo allo spostamento δper la trave AC:

come detto in precedenza il punto soggetto alla forza F deve abbassarsi senza ruotare. Conoscendo già i valori della rigidezza in una trave doppiamente incastrata possiamo quantificare gli sforzi di Taglio e Momento flettente, concentrandoci in particolare su quelli che agiscono sul nodo:

Anche nell’asta BD soggetta alla sola traslazione il nodo si abbassa senza ruotare, quindi analogamente a quanto fatto in precedenza procediamo rapidamente al calcolo degli sforzi di Taglio e Momento Flettente, i quali per via della simmetria dello schema stavolta saranno identici:

(questi due momenti oltre ad elidersi perché uguali in valore assoluto e opposti nel verso, si riferiscono ad una rotazione attorno all’asse x, quindi non verranno presi in considerazione nell’equazione di equilibrio dei momenti)       

A questo punto analizziamo le deformate provocate dalla sola rotazione Fi(y):

-   deformazione dovuta solo alla rotazione Fi(y) per la trave AC:

la rotazione imposta al nodo prova un’inflessione nella trave AC e il punto stesso ruota intorno all’asse y. Anche in questo caso, come in precedenza, ci affidiamo a schemi notevoli dal momento che abbiamo già affrontato la questione della rigidezza flessionale e conosciamo i valori dei momenti agli estremi in una trave doppiamente incastrata:

La flessione della trave AC intorno all’asse y corrisponde inevitabilmente alla torsione di quella BD:

deformazione dovuta solo alla rotazione Fi(y) per la trave BD (TORSIONE):

il Momento Torcente agente sulla trave genera due momenti reagenti di verso opposto, cosa non trascurabile per determinare poi il segno di questi due contributi nell’equazione di equilibrio dei momenti:

A questo punto conosciamo tutti i contributi degli sforzi di Taglio e Momento Flettente agenti sul nodo e generati sia dalla traslazione Delta(z) che dalla rotazione Fi(y). Possiamo, quindi, scrivere le due equazioni di equlibrio:

VERIFICA DEL GRATICCIO SU SAP

Lo scopo di questo esercizio è di constatare le variazioni di abbassamenti e rotazioni del punto d’incontro delle 2 travi doppiamente incastrate al variare della luce e della sezione assegnate alla trave la cui rigidezza torsionale influenza il comportamento del sistema.

Questi sono i rispettivi diagrammi di Taglio, Momento flettente e Momento torcente.

Alla trave con luce costante è stata associata una sezione in acciaio di tipo scatolare, con spessori ridotti in modo da consentire abbassamenti sensibili che mettessero in evidenza il contributo dell’altra trave.

A quest’ultima  state messe a confronto 3 sezioni in 2 condizioni di luce distinte.

La prima è una sezione scatolare in acciaio.

La seconda è una sezione rettangolare con la base molto minore dell’altezza.

La terza e ultima è una sezione tubolare.

Le stesse sezioni sono state applicate dopo aver dimezzato la luce della trave.

Questi sono i rispettivi diagrammi di Taglio, Momento flettente e Momento torcente.

In questa tabella sono riassunti i dati esportati da SAP che descrivono l’abbassamento e la rotazione del punto in comune delle 2 travi, dove viene applicata la forza agente, nelle 2 condizioni di luce (le tabelle a sinistra fanno riferimento al caso di 6m di luce, a destra il caso di 3m di luce).

Come prevedibile, nei casi in cui alla trave soggetta a torsione sono stati associati profili chiusi (gli scatolari e i tubolari) essa ha garantito una maggiore rigidezza torsionale, limitando la rotazione del punto d’incontro delle travi. Gli abbassamenti dipendono da parametri diversi, come il Momento d'inerzia, di conseguenza essi non vanno di pari passo con le rotazioni. Per esempio il profilo rettangolare si comporta molto peggio degli altri a torsione, permettendo una rotazione maggiore. Anche a flessione risulta essere il peggiore, ma lo scarto dell'abbassamento rispetto agli altri profili è decisamente inferiore a quello della rotazione. questo per merito dell'altezza del profilo, che ne incrementa il momento d'inerzia.

RISOLUZIONE DI UNA TRAVE VIERENDEEL MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

Una trave Vierendeel è una somma di telai Shear Type, che sono strutturati in questo modo:

Gli elementi verticali sono incastrati a terra e la trave (che per definizione è indeformabile) è incastrata ai pilastri. L'insieme di questi elementi può essere considerato come telaio piano. Questo sistema ha un comportamento meccanico che gli consente di fare a meno di controventi, la resistenza ai carichi orizzontali (vento o sismi) è affidata ai pilastri, o meglio alla loro rigidezza.

Per evidenziarne i punti di forza di questo schema strutturale è utile confrontarlo con il portale con l'elemento di collegamento incernierato alla sommità dei pilastri.

In questo caso la rotazione dei pilastri non è in nessun modo vincolata nella parte sommitale, e tutto il momento flettente si concentra alla base dei pilastri, in corrispondenza dei vincoli. Sovrapponendo più telai di questo tipo (come nel caso di un edificio multipiano) e verificandone il comportamento meccanico all'applicazione di forze orizzontali si evidenzia come il momento si trasmette da piano a piano, crescendo esponenzialmente e scaricandosi nelle fondazioni. L'esempio, oltre a suggerire che questo tipo di portale non è adatto per strutture multipiano in zona sismica, mette in luce il comportamento sistemico delle strutture formate da più elementi.

Anche nel caso del portale con trave incastrata il momento cresce man mano che ci si avvicina alle fondazioni, ma la presenza delle travi infinitamente rigide, incidendo fortemente sulla deformata dei pilastri per via del vincolo che le collega ad essi, interrompe la continuità del momento provocando un comportamento diverso da quello del telaio precedentemente descritto. A parità di piani, di carichi applicati e di proporzioni della struttura adottando questo tipo di schema strutturale il momento che giunge alle fondazioni è nettamente inferiore rispetto al caso precedente, nonostante la rigidezza dei pilastri sia analoga.

La trave Vierendeel dell'esercizio è doppiamente incastrata. La deformazione del singolo portale sottoposto a un carico perpendicolare ai pilastri è qualitativamente così:

La trave è per definizione infinitamente rigida, di conseguenza non può che traslare o ruotare. I pilastri presentano solo deformazioni flessionali e non assiali. La forza F si ripartisce egualmente nei pilastri che presentano un taglio costante pari a F/2, che è scaricato negli incastri come reazione vincolare.

La trave è incastrata ai 2 pilastri e quindi trasla senza ruotare dato che essi hanno la stessa rigidezza e sono per definizione indeformabili assialmente, quindi presentano la stessa deformata flessionale. Essa è determinata dalle loro condizioni di vincolo: essendo doppiamente incastrati non possono ruotare agli estremi, la parte superiore presenta una traslazione δ, la cui entità è inversamente proporzionale alla rigidità dei pilastri.

Note queste informazioni è facile prevedere il comportamento sistemico della trave Vierendeel doppiamente incastrata. Ogni portale presenta un abbassamento δ, che in termini relativi sarà maggiore in corrispondenza dei vincoli e minore al centro della campata.

Considerata la simmetria di carichi, vincoli e struttura si può affermare che la deformata stessa sarà simmetrica, con l'asse di simmetria verticale al centro del sistema. Il comportamento del lato opposto a quello analizzato sarà anch'esso simmetrico.

Procedendo a partire dal telaio più lontano dagli incastri si ricava facilmente il taglio nelle travi (gli elementi orizzontali), che cresce di telaio in telaio (aumentando i carichi che si trasmettono attraverso di essi per giungere al vincolo).

Altrettanto semplice è determinare il momento flettente nelle travi, che si ottiene moltiplicando il taglio (che in ogni portale ha andamento costante) per L/2. Esso avrà andamento lineare, sarà zero al centro delle travi, dove la deformata presenta un flesso (dove la curvatura e di conseguenza il momento sono nulli).

Il momento flettente dei pilastri è ricavato mediante l'equilibrio dei momenti in ogni singolo nodo, dovendo il momento del pilastro bilanciare i 2 momenti concordi dei pilastri che nel suo estremo si incontrano.

Ovviamente la presenza di momento nei pilastri presuppone che ci sia anche il taglio. Esso viene ricavato altrettanto facilmente sommando i momenti agenti sulle travi che sono collegati al pilastro in questione e dividendoli per la lunghezza dello stesso.

Analizzando esclusivamente metà struttura il pilastro centrale risulterebbe essere sollecitato sia a taglio che a momento flettente, ma per il principio di sovrapposizione degli effetti quando esplicita la simmetria rappresentando la struttura per intero le sollecitazioni di quell'elemento strutturale sono opposte come in ogni pilastro e il suo corrispettivo simmetrico, con la differenza che in questo caso ci si trova proprio sull'asse di simmetria. Per questo le sollecitazioni si annullano, facendo risultare l'elemento scarico.

La verifica su SAP si mette in pratica modellando la struttura partendo da una semplice grid, l'accortezza sta nell'assegnare le sezioni corrette agli elementi strutturali: i pilastri infatti devono essere infinitamente rigidi, di conseguenza ad essi è stata associata una sezione composta da un materiale a cui è stato notevolmente aumentato il modulo di Young, rendendo infinitesime così le deformazioni anche in presenza di tensioni molto alte. 

Usando carichi più pesanti è stata riscontrata una rotazione dei pilastri, incoerente con il modello di telaio Shear Type precedentemente descritto. Questa rotazione è data dal fatto che in sap non è stata inserita la condizione di indeformabilità assiale delle travi.

Questi sono i diagrammi delle sollecitazioni risultato delle analisi, qualitativamente coerenti con quelli ottenuti mediante il calcolo manuale.

RISOLUZIONE DI UN SISTEMA IPERSTATICO MEDIANTE IL METODO DELLE FORZE

Per la risoluzione dello schema statico qui rappresentato verrà applicato il metodo delle forze, che prevede di declassare vincoli fino a raggiungere l'isostaticità e sostituendoli con forze incognite, che corrispondono alle reazione che i vincoli appena esclusi fornirebbero come risposta ai carichi agenti.

La scelta dei vincoli da declassare è dettata dalla conoscenza del valore di abbassamenti e rotazioni nelle condizioni di carico e schema strutturale che si presenta. In questo caso trasformare le cerniere esterne in cerniere interne aggiungendo dei momenti agenti a destra e a sinistra risolve il problema agevolmente: i momenti infatti ripristinano la condizione di vincolo esclusa, garantendo la simmetria delle rotazioni a destra e a sinistra della cerniera interna appena inserita. Inoltre è noto il valore della rotazione in quell'ambito. Al contrario, declassando la reazione verticale dei carrelli e sostituendola con delle forze verticali, per risolvere il problema sarebbe stato necessario conoscere gli abbassamenti della trave non solo in mezzeria, ma anche a ¼L (valore valido anche a ¾ della lunghezza per simmetria di condizioni di carico e vincolo). Per arrivare a queste informazioni sarebbe stato necessario applicare il metodo della linea elastica, grazie al quale sono note le informazioni riguardo i valori delle rotazioni e abbassamenti nelle condizioni che si presentano in questo caso. Nel caso del momento applicato all'estremo è importante considerare che non imprime solo una rotazione nel punto in cui è applicato, ma anche una rotazione di entità dimezzata all'altro estremo.

Questo è lo schema alternativo, risultato dell'applicazione del metodo delle forze.

I momenti aggiunti in seguito al declassamento dei vincoli sono ovviamente incogniti. Per trovarne il valore bisogna eguagliare le rotazioni a destra e a sinistra della cerniera, eguaglianza che questi stessi momenti assicurano. Sempre grazie alla simmetria delle condizioni di carico e di vincolo è possibile considerare X₁ = X₃.

Per trovare il valore di X₁ ed X₂ è sufficiente mettere a sistema 2 equazioni ottenute eguagliando le rotazioni a destra e a sinistra dei punti B e C.

trovato il valore dei momenti è possibile calcolare le reazioni vincolari dei 2 sistemi, quello con i momenti e quello con il carico ripartito, considerando la trave sempre come discontinua.

La somma delle reazioni, per il principio di sovrapposizione degli effetti, darà come risultato quelle della struttura obbiettivo dell'esercizio.

Ora è possibile disegnare i grafici del Taglio e del Momento flettente lungo la trave.

RISOLUZIONE DI UN SISTEMA IPERSTATICO MEDIANTE L'INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Partendo da questo schema statico su cui è applicato un carico distribuito (q) è richiesto di trovare l'abbassamento massimo che da questo carico è provocato. Dato che il sistema è iperstatico per risolverlo non può essere usato il classico metodo dell'equilibrio dei corpi liberi per via delle troppe incognite (4) a fronte delle sole 3 equazioni necessarie a determinare l'equilibrio. Il metodo che l'esercizio stesso suggerisce di applicare è quello dell'integrazione della linea elastica.

Questo metodo collega i 3 gruppi di equazioni che descrivono il comportamento meccanico del modello strutturale in esame, che presenta le caratteristiche della trave di Eulero-Bernoulli (trave sintetizzata come asse rispetto al quale ogni sezione è perpendicolare, carichi spostamenti e deformazioni nel piano). Esse sono:

L'incognita principale è lo spostamento verticale, e non ci sono carichi orizzontali agenti sulla struttura (di conseguenza nemmeno reazioni vincolari orizzontali ne sollecitazioni assiali), quindi possiamo escludere 3 di queste 8 equazioni, ottenendo questo sistema:

Procedendo per sostituzione e integrando si risale ad un equazione utile a ricavare lo spostamento verticale v in funzione di s.

È necessario precisare che la trave ha sezioni uguali in ogni punto ed è composta di un materiale uniforme, di conseguenza E ed I sono costanti lungo tutto l'intervallo di s, come lo è q. Questo semplifica notevolmente il procedimento di integrazione.

Integrando si generano delle costanti, che non sono però incognite: esse assumono un valore a seconda delle condizioni di vincolo al bordo, il punto di partenza per la risoluzione dell'esercizio.

Sono necessarie 4 equazioni con risultato noto per trovare le 4 costanti d'integrazione, si esaminano quindi i vincoli dati dall'esercizio per capire cosa è noto:

• Per s = 0 abbiamo lo spostamento verticale e la rotazione nulle (v=0 e φ=0). Da questo deriva che c₃ e c₄ hanno valore nullo (per sostituzione nell'equazione di v(s)).

• Per s = L abbiamo che lo spostamento verticale è sempre nullo (v=0), è consentita la rotazione che però è ignota, quindi si considera l'equazione del momento. È noto che in cerniera esso è nullo, e di conseguenza la stessa curvatura ha valore nullo (Χ=0):

Svolgendo i calcoli si determinano i valori di c₁ e c₂:

L'equazione di v è espressa in funzione di s, che varia da 0 ad L. Per conoscere il valore di s che corrisponde all'abbassamento massimo (che corrisponde al punto di minimo, con tangenza orizzontale quindi) è sufficiente risolvere v'(s)= 0.

L'equazione è di terzo grado e presenta 3 soluzioni. Una è maggiore di L (quindi da scartare), la seconda è 0 e la terza è 0,578L, l'obiettivo del calcolo.

A questo punto si torna all'equazione di v(s), che non presenta più incognite. Sostituendo i valori di c₁, c₂ ed s si ottiene il valore dell'abbassamento in funzione di L, E, I e q. Questi dipendono dalle condizioni di progetto e di carico (L e q), dalla geometria della sezione scelta (I, il momento d'inerzia) e dal materiale utilizzato (E, il modulo elastico).

È possibile determinare qualitativamente i diagrammi di taglio e momento flettente.

Il taglio presenta un andamento lineare, con valore negativo all'incastro e positivo sul carrello, e si azzera a 5/8L.

Il momento flettente presenta quindi un andamento parabolico con un valore massimo positivo nell'incastro, è nullo in corrispondenza del carrello e il vertice della parabola in questione è situato in corrispondenza del punto in cui il taglio è nullo. 

VERIFICA SU SAP DEI DATI OTTENUTI CON APPLICAZIONE DI 2 DIVERSE SEZIONI

Per rappresentare lo schema statico su SAP viene aperto un nuovo file di tipo GRID, con unità di misura convenzionali (kN, m, °C). Impostati i parametri di spaziatura di modo che L sia pari ad 1, impostata correttamente la vista, si (piano XZ) disegna un punto P di coordinate (0.578, 0, 0), ovvero il punto ricavato mediante il calcolo manuale in cui l'abbassamento è massimo, e si disegna una trave usando 2 segmenti, che condividono un estremo proprio in quel punto. Il programma non li leggerà come 2 elementi distinti, ma come un unico elemento strutturale.

Successivamente vengono impostati i vincoli (incastro e carrello) e il carico associato a un corretto load pattern con peso proprio degli elementi strutturali nullo (carico distribuito, di 100kN/m).

Manca unicamente di impostare un tipo di sezione alla trave.

Qui si aprono 2 possibilità: l'esercizio deve essere svolto con sezione rettangolare in CLS non armato (0.20x0.40m) e con sezione rettangolare cava in acciaio (0.10x0.15m, con spessore di 0.004m).

Dopo aver assegnato a entrambi i segmenti le sezioni precedentemente impostate va svolta l'analisi per i carichi assegnati, escludendo l'analisi modale.

Il programma mostra direttamente la deformata, che conferma la correttezza (con un certo grado di approssimazione) del calcolo manuale utilizzato per il posizionamento del punto a 0,578l.

Posizionando il cursore su tale punto, che graficamente sembra essere proprio sul minimo della deformata, viene rivelato l'abbassamento (che varia in base alla Section Property associata alla trave) e le rotazioni della sezione. Essa, nella direzione di nostro interesse, è prossima allo zero: infatti nel punto di minimo è per definizione nulla, essendo la tangente in quel punto orizzontale.

Verificati e confrontati i grafici di T ed M rappresentati al livello qualitativo alla fine dell'esercizio manuale con quelli che il programma fornisce si visualizzano ed esportano su excel le tabelle per arrivare ai valori precisi di reazioni vincolari e sollecitazioni. Eseguendo l'analisi per ognuna delle 2 sezioni precedentemente impostati si arriva ad ulteriori dati, gli abbassamenti e le rotazioni.

TABELLE CON RISULTATI

MODELLAZIONE E VERIFICA DI UNA STRUTTURA RETICOLARE TRIDIMENSIONALE

L'obiettivo dell'esercizio è quello di modellare una struttura reticolare tridimensionale per poi inserirla in SAP verificandone il comportamento strutturale.

Per la modellazione ho scelto Rhinoceros 5, che mi permette di esportare il disegno nel formato “IGES”, compatibile con SAP2000.

La struttura consiste in 2 telai reticolari orizzontali di 3 per 2 campate sovrapposti e collegati con altri segmenti che vanno a completare la struttura facendo particolare attenzione a controventare ogni campata, sapendo che poi i nodi che verranno impostati nell'incontro di questi elementi saranno cerniere, e che quindi non controventando si otterrebbero strutture labili.

Le aste sono tutte di 2.0m di lunghezza, i controventi di conseguenza sono inclinati di 45° rispetto agli elementi del telaio che irrigidiscono.

Tutta la struttura è modellata con segmenti che iniziano e finiscono nei punti d'incontro, in accordo con le proprietà delle strutture reticolari.

Come anticipato in precedenza, completata la fase di modellazione si esporta il file in formato *.igs, per poterlo aprire e leggere con SAP2000.

Importato il file, per prima cosa si stabilisce l'unità di misura (KN, m, °C), in seguito bisogna definire i vincoli, associare dei carichi e una sezione specifica agli elementi strutturali, al fine di far svolgere l'analisi al software, che fornirà dei risultati in formato grafico e numerico, grazie a delle tabelle esportabili su Excel o Acces.

Prima di procedere all'applicazione di vincoli e carichi è opportuno ricordare quali proprietà deve soddisfare ogni elemento strutturale modellato per far si che nel complesso la struttura possa essere definita reticolare:

• ogni elemento deve avere l'asse rettilineo (condizione soddisfatta in fase di modellazione);

• ogni vincolo interno ed esterno non deve impedire la rotazione;

• i carichi devono essere applicati solo sui nodi.

Iniziando dal definire le condizioni di vincolo considero la struttura come un elemento intero da vincolare con il suolo. Per fare questo è sufficiente porre almeno 3 vincoli non allineati. Questo perchè per definizione nessuno di essi può vincolare la rotazione, e quindi solo evitando di disporli sulla stessa retta si ottiene una condizione di isostaticità.

I vincoli scelti sono una cerniera, che vincola la traslazione nelle 3 direzioni, e 2 carrelli, che di per se vincolano solo la traslazione in una direzione, ma che posti come spiegato in precedenza impediscono al corpo di ruotare in 2 delle 3 direzioni possibili. Inspiegabilmente SAP considera il corpo come vincolato alla rotazione anche nel piano XY, nonostante l'unico vincolo che reagisca a tale forza sia la cerniera. A rigor di logica un corpo tridimensionale così vincolato è libero di ruotare, mantenendo come asse di rotazione la retta verticale passante per la cerniera.

Per quanto riguarda i vincoli interni SAP considera gli elementi incastrati tra loro nella condizione iniziale di importazione, bisogna quindi impostare un rilascio (Releases/Partial fixity). Imponendo  che il momento  all'inizio e alla fine di ogni elemento strutturale sia uguale a  zero equivale a dire che esso non è vincolato alla rotazione. In questo modo è soddisfatta la condizione secondo cui nelle strutture reticolari sono vincolate solo da cerniere interne e vincoli esterni che non impediscono la rotazione.

Vincolata la struttura si crea un tipo di carico (Load Pattern) che consideri nullo il peso proprio della struttura, e secondo questo pattern si associano dei carichi (puntuali) su tutti i nodi della parte superiore della struttura.

Per determinare l'entità di questi carichi bisogna capire da cosa derivano. Si parte da una densità di carico generica di 10kN/m², che rappresenta i pesi che la struttura dovrà portare (la normativa impone valori standard in base alla funzione svolta nel locale che vi grava se si sta progettando un solaio, o in base all'area geografica e alla praticabilità se si tratta di una copertura). Sapendo che le campate sono di 2m si risale facilmente alle aree di influenza che corrispondono ai nodi. I più caricati risultano essere quelli centrali, con 4m² di superficie da sostenere.

Moltiplicando la densità di carico per l'area d'influenza si ottiene il valore della forza puntuale che agirà su quel nodo, ovvero 40KN, ovviamente con direzione e verso concordi con la forza di gravità. Per una maggiore messa in sicurezza si applica tale carico anche ai nodi su cui, per via di una più ristretta area d'influenza, grava un peso minore.

Non rimane altro che definire una sezione da assegnare agli elementi strutturali. La scelta ricade sul classico tubolare cavo (Pipe) in acciaio molto usato nelle strutture reticolari, soprattutto perchè permette di usare profili con uno spessore maggiore nei punti più sollecitati, fornendo un'adeguata capacità resistente senza dover modificare l'aspetto esterno.

Si definisce quindi una nuova Frame Property, scelti materiale e forma generica della sezione si entra nello specifico precisando quale acciaio usare (in questo caso quello di default di SAP, il A992Fy50) e le dimensioni del tubolare (0,1m di diametro esterno con 0,004m di spessore).

Si selezionano tutti gli elementi strutturali e si assegna loro la sezione appena definita.

Ora è possibile svolgere l'analisi, che fornirà una serie di risultati numerici tra cui gli sforzi normali che caratterizzano ogni asta.

Per ricondurre facilmente gli sforzi normali (elencati in una tabella) ai rispettivi elementi strutturali è necessario visualizzare i nomi che SAP associa automaticamente a ogni segmento, tramite la finestra Set Display Options.

Eseguendo il comando Run si apre una finestra che permette di scegliere quale tipo di analisi eseguire. Imponendo di ignorare l'analisi modale, non utile in questo contesto, si risparmia tempo di calcolo.

Svolta l'analisi si possono facilmente visualizzare la deformata della struttura (che il software accentua per una più chiara visualizzazione) e il grafici delle normali per ogni elemento strutturale, direttamente in situ.

Dal menù Display, selezionando l'opzione Show tables si può accedere ai dati di cui si necessita.

Gli sforzi normali riferiti a ogni asta si trovano nella tabella nominata Element Forces – Frames, che dopo essere esportata e pulita permette un confronto diretto degli sforzi assiali nei diversi elementi strutturali. Esso ha valore positivo per gli elementi tesi e negativo per quelli compressi.

Dopo aver esportato la tabella in Excel epurandola dei dati inutili si può procedere con ulteriori considerazioni. Calcolando l'area della sezione precedentemente determinata è possibile conoscere la tensione in ogni asta, applicando la formula σ = N/A.

Riconosciuta la σ_max (in valore assoluto) è possibile scegliere l'acciaio da utilizzare in questa struttura, con un valore di fyd (tensione di snervamento di progetto, per il progetto e la verifica allo stato limite ultimo) superiore alla σ_max .