blog di lorenzo.procaccini

La TORSIONE in un elemento si verifica quando esso è soggetto a momenti uguali e opposti che agiscono all’estremità, paralleli al piano di sezione cioè intorno al suo asse longitudinale; l’elemento risponderà a tali sollecitazioni in base alla sua RIGIDEZZA TORSIONALE Rt data dalla geometria della sezione (MOMENTO D’INERZIA POLARE Jt), dal materiale (MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE G) e dalla LUNGHEZZA l dell’elemento stesso.

Questo ci interessa soprattutto nelle strutture tridimensionali poiché i momenti flettenti che agiscono su una trave generano MOMENTI TORCENTI Mt in quelle perpendicolari ad essa in base alla ROTAZIONE φcausata dall’inflessione della trave e a Rt della trave soggetta a torsione.

 

TELAIO 3D

Analizzeremo ora una struttura tridimensionale composta da travi e pilastri di lunghezza l pari a 3m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy, il carico uniformemente distribuito sulla mensola di l 1m è pari a 10 kN/m (q); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

Per prima cosa possiamo semplificare la struttura adottando un sistema equivalente, per farlo bisogna sostituire la mensola e il suo carico distribuito con il momento concentrato M al nodo pari a ql²/2 (ovvero pari all’azione del carico distribuito); questo momento che ruota intorno all’asse y genererà una flessione nella trave e nel pilastro posti nel piano xz e di conseguenza una torsione nella trave che giace nel piano yz.

 

Conoscendo la deformata possiamo ricavare il valore dei momenti flettenti e di quello torsionale in funzione della ROTAZIONE φ_a grazie agli schemi notevoli e fare così l’equilibrio alla rotazione nel nodo.

 

Possiamo indicare come rigidezza nel nodo A

 

                         

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. e successivamente verificare il risultato in SAP.

 

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Verifichiamo se l'equazione è soddisfatta:

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid applicando questa volta direttamente il momento concentrato equivalente all’azione del carico distribuito sulla mensola.

                   

Iniziamo verificando il comportamento della struttura con una sezione generica.

DEFORMATA

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

TORSIONE

Impostiamo ora la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A. e lanciamo il calcolo.

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_A = 6,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Osservando la tabella ed in particolare la rigidezza dell’asta 3 (quella soggetta a torsione) si può concludere che sezioni dello stesso materiale reagiscano meglio (cioè ricevono più carico) se hanno un profilo chiuso rispetto a quelle aperte; questo perché le tensioni  tangenziali, che aumentano all’aumentare della distanza dall’asse torsionale, riescono a distribuirsi ad una distanza media maggiore, ciò spiega perché il tubolare funzioni meglio dello scatolare e perché il profilo HEA invece sia il peggiore avendo l’asse dell’anima che passa per il centro torsionale e molta della sua area abbia una reazione molto piccola.

E’ interessante inoltre come profili in acciaio nonostante le dimensioni delle sezioni molto minori reagiscano meglio rispetto a sezioni piene in C.A., questo è dovuto al modulo di elasticità tangenziale che è circa 8 volte maggiore.

Nel complesso però bisogna ammettere che in questa struttura la sezione rettangolare in calcestruzzo è quella che garantisce una deformazione minore, questo si spiega perché il contributo dato dalla rigidezza torsionale nell’assorbimento del momento concentrato è molto minore rispetto a quello fornito dalla rigidezza flessionale data dal modulo di elasticità e dal momento d’inerzia (molto più elevati nel calcestruzzo e nella sezione rettangolare rispetto alle altre ipotesi fatte).

 

GRATICCIO

Analizzeremo ora un graticcio composto da due travi di lunghezza l totale pari a 6m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy (incastrandosi a l/2 di una trave e a l/3 dell’altra, questo causa un momento torcente in una delle travi); il carico concentrato nell’incastro tra le due travi è pari a 10 kN (F); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

 

Il nodo centrale oggetto di analisi ha 6 GDL ovvero 3 rotazioni e 3 traslazione possibili, la condizione di carico da noi studiata però non genera traslazione lungo l’asse x e y inoltre non ci sono rotazioni intorno ad x e z; rimangono da determinare quindi solo lo SPOSTAMENTO δ e la ROTAZIONE φ_y.

Otteniamo così le seguenti deformate:

Nella trave BD, in essa F agisce esattamente al centro quindi si avrà solamente uno spostamento δ dato che la tangente della deformata in quel punto è orizzontale e di conseguenza la rotazione è nulla.

Nella trave AC invece F agisce a l/3 questo comporta che a parità di spostamento δ ci sarà anche una rotazione, questo perché la tangente alla deformata non orizzontale e si avrà di conseguenza anche una rotazione φ_y.

Possiamo sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti separando le incognite in modo da poter analizzare gli effetti di ciascuna per poi sommarli.

Iniziamo con lo studio della deformata della trave BD dovuta allo SPOSTAMENTO δ, possiamo ricondurci agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata per conoscere i valori della rigidezza e ottenere così gli sforzi di TAGLIO e MOMENTO FLETTENTE.

Ripetiamo lo stesso procedimento studiando la deformata della trave AC dovuta solo allo SPOSTAMENTO δ.

Nella trave AC è presente anche la ROTAZIONE φ_y, possiamo quindi dalla deformata e dagli schemi notevoli ricavarci i valori del MOMENTO FLETTENTE e di conseguenza del TAGLIO.

 

La  ROTAZIONE φ_y nel nodo causa anche un MOMENTO TORCENTE nella trave BD, questo si ripartisce nelle  due campate con un momento proporzionale alla lunghezza di ciascuna campata e con verso opposto a quello della rotazione.

                        

Conosciamo ora le azioni generate dallo in ciascuna trave SPOSTAMENTO δ e dalla ROTAZIONE φ_y e possiamo sommare i loro effetti e scrivere le equazioni di equilibrio.

 

 

Ora dobbiamo solamente mettere a sistema le due equazioni e ricavarci le incognite.

Risolvendo la prima equazione abbiamo:

Possiamo imporre che:             

Otteniamo così:

Risolvendo la seconda equazione otteniamo:

 

 

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. con F=10KN, l=6m e successivamente verificare il risultato in SAP.

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid impostando le condizioni di carico e vincolo come nella struttura sopra esaminata ricordiamoci inoltre di assegnare alle travi la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A.

Lanciamo il calcolo e otteniamo:

DEFORMATA

TAGLIO

MOMENTO FLETTENTE

MOMENTO TORCENTE

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_y = 2 * 10^{^-5}

SPOSTAMENTO δ = 5,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione e lo spostamento utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Dalla tabella ottenuta vengono confermate le osservazioni fatte per il telaio 3d.

Con la seguente esercitazione si vuole analizzare come un IMPALCATO STRUTTURALE, considerato come un CORPO INFINITAMENTE RIGIDIO alle azioni che agiscono lungo il suo piano, si comporti sotto l’effetto di FORZE ESTERNE ORIZZONTALI come ad esempio in questo caso il SISMA; il suo comportamento dipende:

- dai CONTROVENTI considerati VINCOLI ELASTICI CEDEVOLI, assimilabili a molle che reagiscono alle forze agenti lungo il loro stesso piano in proporzione della loro rigidezza;

- dalla distanza tra il CENTRO DELLE MASSE, baricentro geometrico dell’impalcato, e il CENTRO DELLE RIGIDEZZE, dato dalla risultante di tutte le rigidezze.

Questi due aspetti determinano infatti la RIGIDEZZA TRASLANTE K_δ e di conseguenza la TRASLAZIONE δ lungo la direzione della FORZA AGENTE e la RIGIDEZZA ROTAZIONALE Kφe di conseguenza la ROTAZIONE φintorno al CENTRO DELLE RIGIDEZZE.

 

Si è scelto di analizzare il seguente impalcato:

 

Esso è costituito da diversi telai indicati con delle molle K_V per quelli VERTICALI e K_O per quelli ORIZZONTALI.

Ciascun telaio e formato da PILASTRI in CALCESTRUZZO (E=21000 N/mm²) 20x40cm di base e alti 3,2m i cui MOMENTI D’INERZIA I_x = (B x H³)/12 e I_y = (H x B³)/12 sono rappresentati in figura:

 

STEP 1

Una volta noto il MODULO DI YOUNG (E), l’ALTEZZA DEL PILASTRO, i MOMENTI D’INERZIA (facendo attenzione di utilizzare quello reagente, ad esempio se analizziamo un telaio verticale cioè reagente lungo y dovremmo usare I_x) possiamo calcolare la RIGIDEZZA TRASLANTE K_δ del telaio dato dalla somma delle rigidezze di ciascun pilastro ovvero:

K = 12EI/h³                       K_δ= ∑ K_i

 

STEP 2

Possiamo ora raccogliere ciascuna rigidezza traslante e la rispettiva distanza dal centro O in una tabella.

 

STEP 3

Dobbiamo ora individuare il CENTRO DELLE MASSE, per farlo è consigliabile suddividere la pianta in aree geometriche semplici come ad esempio RETTANGOLI di cui siamo in grado di determinare il BARICENTRO; otteniamo così le coordinate del baricentro di ogni area, ora ci rimane di ottenere le coordinate del centro delle masse attraverso una MEDIA PONDERATA poiché nel nostro caso la superficie totale è stata divisa in 3 aree più piccole abbiamo:

x_{_G}= [(x₁* A₁) + (x₂* A₂) + (x₃* A₃)] / A_tot                    

y_{_G}= [(y₁* A₁) + (y₂* A₂) + (y₃* A₃)] / A_tot

 

STEP 4

Si passa ora alla determinazione del CENTRO DELLE RIGIDEZZE (C).

Per prima cosa dobbiamo sommare tutte le rigidezze verticali e poi quelle orizzontali; dopodiché dobbiamo fare una media ponderata dove abbiamo:

x_C = (∑_i K_iv * d_iv) / K_{v_tot}                       y_C = (∑_i K_io * d_io) / K_{o_tot}

Ora che il centro delle rigidezze è noto possiamo calcolare la distanza di ogni telaio da C; non rimane ora che calcolare la RIGIDEZZA ROTAZIONALE Kφche è data dalla sommatoria dei prodotti delle rigidezze traslanti di ciascun telaio per la distanza al quadrato di ognuno di essi rispetto a C.

Kφ = ∑_i K_i * dd_i²

 

STEP 5

Dobbiamo ora eseguire l’analisi dei carichi (allo stato limite di esercizio poiché non si tiene conto di γ), per farlo dobbiamo ottenere il CARICO TOTALE PERMANTE G (somma del carico strutturale e quello permanente, moltiplicata per l’area dell’impalcato) ed il CARICO TOTALE ACCIDENTALE Q (prodotto del carico accidentale per l’area); successivamente ci possiamo ricavare i PESI SISMICI W dalla seguente formula:

W = G + (Q * y)               dove y indica il COEFFICIENTE DI CONTEMPORANEITA’.

L’ultima forza da ricavare è la FORZA SISMICA ORIZZONTALE F data dal rapporto tra i pesi sismici e il COEFFICIENTE DI INTENSITA’ SISMICA c (dipende dalla zona sismica).

 

STEP 6-7

Arriviamo infine a quantificare la ripartizione della FORZA SISMICA ORIZZONTALE Flungo l’asse x e lungo l’asse y per ognuno dei controventi.

Poiché il nostro centro delle masse (dove si applica la forza sismica) non coincide con il centro delle rigidezze il sisma genera sia una TRASLAZIONE δ (una volta u_{_x} lungo l’assex e una voltau_{_y} lungo l’asse y in base alla direzione del sisma) ed unaROTAZIONE φ (anche questa diversa in base alla direzione del sisma).

Dobbiamo quindi calcolare il MOMENTO TORCENTE M, per l’asse x abbiamo M = F *(Y_{_c} – Y_{_G}) mentre per l’asse y abbiamo M = F *(X_{_c} – X_{_G}).

Successivamente possiamo ricavarci la TRASLAZIONE ORIZZONTALE u_{_x} = F / K_{o_tot} , TRASLAZIONE VERTICALE u_{_Y} = F / K_{V_tot} e la ROTAZIONE φ una volta per il sisma in direzione x e una volta per quello in direzione y (φ = M / Kφ facendo attenzione nell’utilizzare il rispettivo momento torcente).

In conclusione possiamo conoscere la ripartizione della forza sismica sia quando agisce lungo x sia quando agisce lungo y per ciascun controvento.

ASSE X:

        F_oi = K_oi (u_{_x} + dd_oi * φ)

        F_vi = K_vi (dd_vi * φ)

ASSE Y:

        F_oi = K_oi (dd_oi * φ)

        F_vi = K_vi (u_{_y}  + dd_vi * φ)

Possiamo indicare come RIGIDEZZA (K) il rapporto tra la FORZA (F) necessaria per imprimere uno spostamento e lo SPOSTAMENTO (δ).

F = k x δ

TELAIO SHEAR TYPE

Con questo modello possiamo indicare uno dei due comportamenti limite di un portale. La caratteristica principale di tale modello è che la trave viene considerata come un CORPO RIGIDO ovvero indeformabile. Questo permette negli incastri (tra trave e pilastro) di avere solo uno spostamento orizzontale (δ) della trave poiché gli unici elementi deformabili sono i pilastri. Come abbiamo accennato precedentemente una volta nota F lo spostamento dipende dalla rigidezza dei pilastri.

 

Analizzando i pilastri li possiamo osservare come una struttura 3 volte iperstatica (essendo doppiamente incastrato). Dobbiamo quindi imporre un CEDIMENTO a ridosso della trave ottenendo di conseguenza una DEFORMATA.

Passando all’INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA abbiamo:

  in assenza di carico si ha perciò 

Dalle CONDIZIONI AL BORDO sappiamo che:

                                      

                             

Ottenute le equazioni dello SPOSTAMENTO v e della ROTAZIONE φ, derivando quest’ultima ricaviamo la CURVATURA χe di conseguenza il MOMENTO FLETTENTE ed il TAGLIO.

                                     

                                     

Possiamo ora diagrammare i due sforzi:

Ovviamente le REAZIONI VINCOLARI ottenute si trasmettono dal PILASTRO alla TRAVE.

Facendo ora l’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE  della trave possiamo ottenere il valore di δ.

 

Di conseguenza la rigidezza complessiva è paria a:

 

 

TRAVE VIRENDEEL A MENSOLA

La TRAVE VIRENDEEL è costituita dalla sovrapposizione di più TEALI SHEAR TYPE e quindi possiamo ricorrere al modello precedentemente studiato per poterla analizzare.

In questo esercizio la Virendeel è disposta come una mensola ed composta da 6 telai. Il vantaggio di utilizzare la trave Virendeel è che per ogni campata il momento flettente deve essere pari 0 al centro e questo permette di avere valori minori nelle reazioni agli incastri.

Poiché nel nostro esercizio la struttura è ruotata è più corretto dire che ciò che prima era stato indicato con pilastri ora li identificheremo con travi e viceversa (abbiamo quindi in questo caso dei PILASTRI INFINITAMENTE RIGIDI e delle TRAVI DEFORMABILI). Come abbiamo visto precedentemente la FORZA agente sulla struttura si ripartisce in valori di TAGLIO nei pilastri (in questo caso travi) proporzionali alla loro rigidezza. Essendo quindi le nostre travi di pari luce, materiale e sezione avranno anche la stessa rigidezza.

Ciò comporta che ciascuna trave ha un taglio pari alla metà della forza agente sommata al taglio che proviene dalla trave precedente.

Da tali valori di taglio possiamo ottenere di conseguenza i MOMENTI FLETTENTI moltiplicando il valore del taglio per metà della luce della trave.

                       

    

Possiamo ora analizzare come il momento in ciascun nodo si trasmetta dalla trave al pilastro (grazie all’equilibrio dei momenti nei nodi).

Otteniamo così il seguente diagramma.

Una volta noti i momenti in ciascun pilastro dobbiamo ora ottenere i valori di TAGLIO, per farlo dobbiamo equilibrare a rotazione il pilastri, sommiamo i momenti e dividiamoli per la luce del pilastro.

Otteniamo così il seguente diagramma.

Ora rimane da determinare di quanto si deformi ogni campata ovvero a quanto equivale il suo abbassamento (δ), sappiamo che la rigidezza nel telaio shear type simmetrico è pari a 12EI/L³ per ciascuna trave, conoscendo il taglio in ciascuna campata otteniamo:

 

Otteniamo così la seguente DEFORMATA COMPLESSIVA.

 

Possiamo ora verificare la struttura in SAP, disegniamo un MODELLO 2D FRAMES identico a quello del nostro esercizio.

L’unica differenza rispetto agli esercizi che sono stati fatti finora è nell’assegnazione dei materiali: dobbiamo infatti assegnare un materiale qualsiasi ed un profilo qualsiasi alle travi, mentre per i pilastri che devono essere INFINITAMENTE RIGIDI possiamo agire sulla sezione (cambiando così il momento d’inerzia) oppure sul materiale (cambiando il modulo elastico). In questo caso si è scelto di assegnare direttamente un modulo elastico “estremamente elevato” ed abbiamo ottenuto così i seguenti diagrammi e deformata.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

Possiamo notare delle differenze tra il modello ideale ed il risultato ottenuto dalla verifica in SAP. Questo è dovuto al fatto che SAP considera le travi rigide anche se di un valore molto piccolo e di conseguenza il momento nella struttura si distribuisce in maniera diversa. Per ovviare a ciò ed ottenere un risultato il più vicino possibile al modello ideale dobbiamo assegnare alle travi delle sezioni molto piccole o un modulo elastico molto minore, con questa piccola accortezza otteniamo i seguenti risultati.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

 

TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

Anche in questo esercizio possiamo fare riferimento al TEALIO SHEAR TYPE, con la differenza che la struttura questa volta non rimanda ad una mensola bensì ad una trave doppiamente incastrata, visto che abbiamo due incastri anche nel lato destro; questo ci permette di sfruttare il CONCETTO DI SIMMETRIA.

Iniziamo come nell’esercizio precedente calcolando i diversi valori del TAGLIO facendo però attenzione al pilastro centrale dove agisce una forza F/2 a destra e una forza F/2 a sinistra (perché per il concetto di simmetria lo abbiamo immaginato diviso in 2).

Dai valori del taglio ricaviamo quelli del MOMENTO (sempre moltiplicando il taglio per metà della luce della trave).

 

            

Ora possiamo ottenere i momenti agenti nei pilastri grazie all’equilibrio dei momenti ai nodi, dobbiamo  ricordarci di unire il momento del nodo Ds con quello del nodo Dd che precedentemente avevamo considerato separati per poter applicare il concetto di simmetria.

Sempre come nell’esercizio precedente dai valori dei momenti possiamo ricavarci quello del taglio nei pilasti.

Rimane ora da determinare gli abbassamenti (δ) come abbiamo fatto precedentemente e otteniamo:

 

Otteniamo così la seguente DEFORMATA COMPLESSIVA

 

Possiamo ora verificare la struttura in SAP, disegnando un MODELLO 2D FRAMES identico a quello del nostro esercizio e ripetendo i passaggi dell’esercizio precedente.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

 

Con il METODO DELLE FORZE è possibile risolvere le strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti. Per farlo dobbiamo rispettare la condizione di COMPATIBILITA’ CINEMATICA ovvero la congruenza degli spostamenti e delle rotazioni in ciascuna delle strutture isostatiche di rifermento.

Analizzeremo ora una TRAVE CONTINUA SU PIU’ APPOGGI.

 

 Analizzando la struttura abbiamo:

GDL = 3

GDV = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

Ci sono 3 INCOGNITE IPERSTATICHE. Dobbiamo quindi impostare una struttura isostatica equivalente in cui per ciascun GRADO DI IPERSTATICITA’ corrisponda una REZIONE VINCOLARE INCOGNITA in modo da avere una struttura corrispondente a quella iperstatica.

Possiamo quindi sostituire le 3 cerniere esterne delle campate centrali con delle cerniere interne permettendo la rotazione a destra e a sinistra di ciascuna cerniera. Poiché nella struttura iperstatica non avviene nessuna rotazione sappiamo che per ognuna delle cerniere inserite il DELTA delle rotazioni è uguale a 0. Inoltre dobbiamo inserire le reazioni vincolari vincolari incognite ottenendo X₁ X₂ X₃, per il principio di simmetria sappiamo che X₁ = X₃ quindi d’ora in poi utilizzeremo solo X₁ eX₂.

Una volta inserite le reazioni incognite, dobbiamo scrivere le equazioni di compatibilità cinematica in grado di ripristinare il vincolo iperstatico, dato che abbiamo sostituito un grado di iperstaticità con una reazione incognita.

∆φ_B= φ_Bs- φ_Bd =0

∆φ_C= φ_Cs- φ_Cd =0

∆φ_D= φ_Ds- φ_Dd =0

Per il principio di simmetria abbiamo :

φ_Ds= - φ_Bd

φ_Dd= - φ_Bs

Ora dobbiamo sostituire nelle equazioni di compatibilità cinematica i rispettivi valori dati dalle rotazioni in ciascuna cerniera.

            

            

            

             

             

             

Mettendole a sistema possiamo così ottenere i valori di X₁eX₂ ricordandoci che X₁ = X₃.

Ora che le incognite X₁ eX₂ sono note possiamo applicare il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI secondo cui l’azione delle forze sulla struttura è uguale alla somma dell’effetto di ciascuna forza.

 

Analizziamo quindi la struttura isostatica equivalente una volta sotto l’effetto del CARICO q e una volta sotto l’effetto delle REAZIONI VINCOLARI X; ricordandoci di determinare le razioni vincolari per ciascuna campata (dato che la struttura è assimilabile a 4 travi doppiamente appoggiate) e sommando quindi quelle che insistono sullo stesso vincolo.

 

 

Rimane ora da determinare il diagramma del taglio e del momento.

TAGLIO

Primo tratto

secondo tratto 

terzo tratto

MOMENTO

Primo tratto

secondo tratto

L’obbiettivo dell’esercitazione è il dimensionamento della trave più sollecitata dopo aver effettuato l’analisi dei carichi del solaio, ripendo l’operazione per un solaio in legno, uno in acciaio ed un in calcestruzzo armato.

Per prima cosa dobbiamo determinare quale sia la trave soggetta a maggior carico e di conseguenza al maggior momento flettente, questo è dato dal prodotto del PESO a metro quadro del solaio per l’AREA D’INFLUENZA della trave data dal prodotto della LUCE per l’INTERASSE.

Q_trave = A x Q_t

Dalla pianta possiamo vedere la trave con la maggiore area d’influenza pari a 24 mq (A = L x I = 6 x 4 = 24mq).

Dobbiamo ora analizzare i carichi per ciascuna tipologia di solaio.

Per aiutarci nel calcolo possiamo ricorrere ad un foglio Excel nel quale determiniamo per ciascun MATERIALE il PESO SPECIFICO (KN/mc) ed il VOLUME (LUNGHEZZA x ALTEZZA x LARGHEZZA) dobbiamo anche inserire l’INTERASSE nel caso in cui il materiale non sia presente su tutta la superficie come ad esempio un travetto che va considerato N volte al metro. Aggiungiamo poi la SUPERFICIE ANALIZZATA (1 mq) .

Ora per ottenere il CARICO DISTRIBUITO (KN/mq) di ciascun materiale impostiamo le seguenti operazioni:

Nel caso il materiale sia distribuito su tutta la superficie analizzata:

( PESO SPECIFICO x VOLUME ) /SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Nel caso in cui sia presente una sezione che si ripete ad un determinato interasse:

[ PESO SPECIFICO x VOLUME x ( LUNGHEZZA ANALIZZATA/INTERASSE) ] / SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Non rimane ora che sommare i diversi carichi distribuiti (Q) in base alla loro classificazione:

Q_s = CARICO STRUTTURALE dato dal peso proprio della struttura.

Q_p = CARICO PERMANENTE non strutturale dato da tutti gli elementi permanenti perciò si deve aggiungere al carico di quelli che compongono il solaio, il carico dato dai tramezzi pari a 1KN/mq e quello dato dagli impianti 0,5 KN/mq.

Q_a = CARICO ACCIDENTALEviene dato dalla normativa in base allo destinazione d’uso degli ambienti, per la destinazione residenziale è pari a 2 KN/mq.

Solaio in LEGNO.

 

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Per prima cosa inseriamo l’INTERASSE dell’area d’influenza della trave (4m) inseriamo poi i diversi carichi per ottenere:

Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE

Inseriamo ora la LUCE in modo da ottenere il MOMENTO controllando che sia dato da qL²/8 (ovvero il momento dato dal sistema statico equivalente ad una trave doppiamente appoggiata).

Ora dobbiamo inserire le caratteristiche del materiale per ottenere la TENSIONE sig_am, questa dipende dal tipo di legno scelto ed è data dal prodotto del COEFFICIENTE RIDUTTIVO k_mod che tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto e della RESISTENZA A FLESSIONE CARATTERISTICA fm,k, che viene ulteriormente ridotta dal COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari nel legno lamellare a 1,45.

sig_am = (fm,k / γ) x k_mod

Per concludere inseriamo il valore della BASE che ipotizziamo per la nostra trave e attraverso la formula di Navier otteniamo l’altezza che cerchiamo poiché:

sig_am = ( M / I_X ) x Y _max

W_X = I_X / Y _max

Y _max = h /2

Sapendo che per una sezione rettangolare W_X =Bh² /6 abbiamo W_X = M / sig_am = Bh² /6

Da qui si hah = √(6M / sig_am x B )

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Avendo scelto una sezione in legno 30x50cm la trave è VERIFICATA.

Solaio in ACCIAIO.

In questo caso per aiutarci nel calco si è scelto di utilizzare per il carico di un solaio in lamiera grecata un valore tabellato, in modo da evitare il calcolo del volume di getto in C.A. in ciascuna greca.

Nel caso del TRAVETTO IPE 100 poiché il peso a ml è tabellato per ottenere il carico che genera basta fare:

Q = PESO al ml x L x ( 1 / INTERASSE dei travetti) / SUPERFICIE

 

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Nel caso dell’acciaio il valore della RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k, dipende dal tipo di acciaio utilizzato (nel nostro caso abbiamo usato un acciaio con classe di resistenza pari a 275). La TENSIONE sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k divisa per il  COEFFICIENTE DI SICUREZZA γ, pari a 1,15.

sig_am = (fm,k / γ)

L’ultimo passaggio consiste nello scegliere un profilo (in questo caso IPE) che abbia un MODULO DI RESISTENZA W_X  (valore tabellato) maggiore di quello che si ottiene dalla tabella grazie alla formula di Navier.

Dove :      sig_am = ( M / I_X ) x Y _max        e     W_X = I_X / Y _max    quindi      W_X = M / sig_am

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto il modulo di resistenza della trave risultante sia inferiore da quello da noi scelto.

Per farlo dobbiamo dividere il PESO LINEARE(KN/ml) delPROFILO per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO LINEARE / INTERASSE

 

Avendo scelto una profilo IPE 300 (Wx = 557 cm³) la trave è VERIFICATA.

Solaio in C.A.

 

Qui abbiamo un ulteriore eccezione nell’analisi dei carichi poiché la PIGNATTA ha un PESO PER ELEMENTO e non un peso specifico, quindi per ottenere il suo carico distribuito dobbiamo vedere quante pignatte ci sono in metro quadrato:

Poiché le dimensioni sono h 12cm, b 40 cm , l 25cm sappiamo che abbiamo 2 file di pignatte (dato che la base del travetto in C.A. è 10cm abbiamo 1 / ( 0,4  + 0,1 ) = 2 )in un metro ciascuna composta da 4 elementi ( 1 / 0,25 = 4 ), 8 in totale perciò:

Q = PESO ELEMENTO x 8 / SUPERFICIE

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Per quanto riguarda la tensione per il calcestruzzo avremo una TENSIONE sig_ca data dalla RESISTENZA CARATTERISTICA fy, moltiplicata per un COEFFICIENTE RIDUTTIVO α_cc  pari a 0,85 e divisa per il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_ca = (fm,k / γ ) x α_cc

Mentre per i ferri in acciaio che devono resistere a trazione si la TENSIONE sig_fe è data dal rapporto tra la RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k e il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_fe = (fm,k / γ )

L’ultimo passaggio deve tener conto che la sezione è composta da 2 materiali: il calcestruzzo che resiste a compressione e l’acciaio che resiste a trazione. Per farlo dobbiamo tenere conto di un COEFFICIENTE DI OMOGENIZZAZIONE n dato dal rapporto dei due moduli elastici (n = E_fe / E_ca ) si assume però pari a 15 a vantaggio della sicurezza.

Dopo aver quindi omogenizzato le tensioni (sig_fe /n) dobbiamo porle uguali alla tensione ammissibile ed esplicitiamo la distanza dal bordo compresso all’asse neutro X_cin funzione della nostra incognita h_u (altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo) grazie alle proprietà dei triangoli simili.

Abbiamo quindi:

sig_ca = E_ca x ε_ca      e        sig_fe = E_fe x ε_fe       sapendo che        n = E_fe / E_ca

X_c = h_u x [ sig_ca / ( sig_ca + sig_fe / n ) ] = h_u x α

Sappiamo che il momento flettente M è dato da una coppia: la compressione C relativa al calcestruzzo e la trazione T relativa all’armatura d’acciaio; e che il braccio tra queste due forze è b*, eguagliando i momenti di ciascuna forza per il braccio b* possiamo ricavarci l’altezza h_u.

M = C x b* = T x b*           sapendo che b* = h_u x ( 1 – α /3)

H_u = √ { 1 / [sig_ca /2 x α x ( 1 – α / 3 )] x √ ( M / b* = r x √ ( M / b*

Ora per ottenere l’altezza totale della trave basta sommare ad h_u il DELTA ovvero lo spessore del copriferro:

h = h_u + DELTA

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_sche abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Potremmo utilizzare quello che ci viene fornito dalla tabella ma quel valore viene dato considerando l’area minima della trave che risulta dal calcolo e non quella che scegliamo noi.

Avendo scelto una sezione in C.A. 20x40cm la trave è  NON VERIFICATA.

Si procede nuovamente al calcolo del peso proprio della trave ipotizzando una sezione in C.A. 20x45cm, questa volta la trave è VERIFICATA.

Per risolvere questa trave iperstatica si ricorre al metodo d’integrazione della linea elastica che ci permette di ottenere l’incognita richiesta, cioè lo spostamento verticale massimo vs  della deformata.

Iniziamo analizzando le 8 equazioni fondamentali:

- 3 eq. di EQUILIBRIO

- 3 eq. di CONGRUENZA

-2 eq. del LEGAME COSTITUTIVO

Si prendo in analisi le 5 equazioni che sono legate allo spostamento vs  che sono:

⎧(dT/ds) + q₂=0

⎢(dM/ds) + T=0

⎨M=E*I*χ

⎢χ=(dφ/ds)

⎩φ=(dv/ds)

 

Ora bisogna ottenere da queste equazioni v in funzione di s, per far ciò bisogna eseguire i questi passaggi:

 

 

sapendo che:

        e        

sostituendo otteniamo:

                                                       

sapendo che:

                                 

sostituendo otteniamo:

                                                   

otteniamo così l'EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

 

Svolgiamo ora le opportune integrazioni:

 

Passiomo ora ad analizzare le condizioni al bordo dalle quali si ottiene:

- nell'incastro all'estremo sinistro dove s=o si ha v(0)=0 e   da cui si ricava C₃=0 e C₄=0

- nel carrello all'estremo destro dove s=l si ha:

    -            da cui si ottiene                          

    -          sapendo che M=E*I*χ; possiamo cosiderare solo la curvatura perchè E ed I sono costanti

     

Mettendo quindi a sistema queste due equazioni e risolvendo si ha:

 

Ora dobbiamo determinare per quale valore di s si ha v_max. Sapendo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave è sufficiente, quindi, derivare la funzione v_(s) e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

Si ottiene un'equazione di 3° grado dove dobbiamo sostituire i valori di C ottenuti precedentemente.

 

si ha quindi come prima soluzione

Ipotizzando una trave di lunghezza unitaria (l=1) e risolvendola otteniamo s=1,296 (non accettabile poichè esterno alla trave) e s=0,5784.

Possiamo ora calcolarci lo spostamento massimo:

Utilizzando le equazioni studiate all'inizio possiamo ottenere i valori di taglio e momento in punti noti:

                     

 

                         

Rimangono ora i diagrammi:

- Il diagramma del taglio ha un andamento lineare e si ha un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel carrello destro mentre l’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s=0,578.

- Il diagramma del momento ha un andamento parabolico, con un massimo negativo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello mentre si ha il momento massimo positivo ad s=0,578.

 

VERIFICA IN SAP

 

Iniziamo creando un nuovo file selezioniamo il preset GRIND ed impostiamo 2 sul numero di assi della griglia lungo x ed e 1 come GRIND SPACING lungo x (in modo da ottenere una trave di lunghezza unitaria come si era ipotizzato nell’esercizio precedente).

Ora si deve disegnare la trave di lunghezza AB ed aggiungere il punto a 0,5784 clicchiamo sul comando DRAW SPECIAL JOINT, selezioniamo il punto A ed impostiamo una distanza 0,5784 sull’offset x.

Si passa all’assegnazione dei vincoli, dopo aver selezionato il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > scegliere il tipo di vincolo ( incastro nel nodo a sinistra, carrello in quello a destra).

Dobbiamo ora togliere il contributo del peso proprio della trave dai carichi, andiamo in DEFINE > LOAD PATTERNS > SELF WEIGHT MULTIPLER = 0 > assegnargli un nome (peso_nullo) > ADD NEW LOAD PATTERN.

Si deve ora assegnare il carico uniformemente distribuito, selezioniamo l’asta  ed andiamo in ASSIGN > FRAME LOADS > DISTRIBUTED > selezioniamo la nostra trave di peso nullo ed impostiamo l’unità di misura voluta (nel nostro caso N, m, °C) > nella casella UNIFORM scrivere il carico (-10 KN, negativo poiché verso il basso).

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

 

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

 

Per visualizzare il TAGLIO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 2/2.

 

Per visualizzare il MOMENTO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 3/3.

Dobbiamo ora definire il profilo in ACCIAIO d’assegnare alla trave.

Iniziamo impostando uno scatolare cavo 40x30cm spessore 2mm, andiamo in DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS ed impostiamo i nostri parametri. Successivamente si deve selezionare l’asta e assegnargli il profilo appena creato utilizzando il comando ASSIGN   > FRAME  > FRAME SECTIONS.

Fatto ciò possiamo lanciare nuovamente il calcolo e d esportarci le tabelle che si ottengono dall’analisi per farlo andiamo in DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS.

Ottengo così le seguenti tabelle:

Ripetiamo la stessa procedura, questa volta assegnamo alla trave un profilo in CALESTRUZZO ARMATO h=50cm b=25cm.

TRAVE RETICOLARE 2D

Uno dei metodi per superare grandi luci è quello di utilizzare TRAVI RETICOLARI; tali strutture sono costituite da ASTE ognuna soggetta solamente a SFORZO ASSIALE (per avere tale condizione le forze esterne devono agire come carico concentrato nei nodi) e collegate per mezzo di CERNIERE INTERNE in modo da formare TRIANGOLI; la forma triangolare permette di creare strutture che non si deformano dove rimangono però 3 GDV liberi (GDL= 3x3=9  GDV=3x2=6) che devono essere assegnati a vincoli esterni (cerniera e carrello), per questo motivo la trave reticolare nel suo complesso può essere considerata come una trave appoggiata.

Analizziamo ora una trave reticolare composta da 8 campate con un carico concentrato pari a F in ciascuno dei nodi superiori.

Come abbiamo detto precedentemente la trave reticolare può essere ricondotta ad uno SHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE di trave doppiamente appoggiata in modo da ottenere le reazioni vincolari.

R_ua = 0                          R_ub = 0

R_va + R_vb = 9F => R_va = R_vb = 9F/2

Abbiamo quindi determinato le reazioni vincolari esterne, ora dobbiamo determinare le sollecitazioni su ciascuna asta e per farlo possiamo procedere in due modi o con il METODO DEI NODI o con il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER.

Il metodo dei nodi consiste nell’analizzare ciascun nodo e le aste ad esso collegate in modo da equilibrare tutte le forze che agiscono su di esso, il problema di tale metodo è che non si possono avere più di un’incognita nella stessa direzione (considerando anche le componenti di forze inclinate).

Il metodo delle sezioni di Ritter invece taglia la struttura in modo da analizzare al massimo tre aste incognite contemporaneamente, facendo attenzione che le aste sezionate non siano collegate allo stesso nodo; avremo a questo punto la trave reticolare divisa in due parti che devono essere in equilibrio, si procede perciò con l’equilibrio alla rotazione di una delle due parti facendo polo in uno dei nodi dove concorrono almeno due aste in modo da non considerare le loro incognite risolvendo un’asta per volta.

Una trave reticolare può essere risolta usando uno solo dei due metodi o entrambi questo permette a volte di velocizzare i passaggi.

Per risolvere questo esercizio possiamo applicare le sezioni di Ritter come in figura e il metodo dei nodi per il nodo 1 e 10 poiché presentando solo aste verticali e orizzontali risulta più immediato, inoltre essendo la struttura simmetrica basta analizzare solo una parte delle aste e poi per simmetria avremo ottenuto l’analisi completa.

Iniziamo dall’analisi del NODO  1, in esso è presente un’azione esterna verticale e nessuna forza orizzontale, poiché non sono non ci sono aste inclinate l’unica che concorre all’equilibrio è l’ASTA 1-2 che risulta COMPRESSA ed è quindi un PUNTONE mentre l’ASTA 1-3 risulta SCARICA.

 

Passiamo ora ad effettuare la prima sezione virtuale (sezione di Ritter) in questo caso la SEZIONE A-A’. Per prima cosa dobbiamo disegnare gli sforzi assiali N che agisco su ciascuna asta, imponendoli di VERSO USCENTE stiamo ipotizzando che le aste sia soggette a TRAZIONE e quindi siano dei TIRANTI, se dai calcoli le forze risultassero negative significa che il verso corretto sia ENTRANTE, che l’asta sia COMPRESSA e di conseguenza un PUNTONE. In questa sezione sappiamo già che l’asta 1-3 è scarica quindi ci concentreremo solo sulle altre due aste sezionate avendo come incognite N_2-3 e N_2-4.

Facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 3 (la forza N_2-3 ha braccio nullo quindi non sarà presa in considerazione) e potremmo ricavarci N_2-4.

N_2-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per conoscere N_2-3 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale, prima però dobbiamo scomporre la forza nei suoi 2 vettori componenti, in questo caso pari entrambi a N_2-3(√2/2)poiché l’asta è inclinata di 45°.

N_2-3 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

 

Continuiamo con la SEZIONE B-B’ questo risulta essere un caso particolare, per determinare N_3-5 potremmo fare sia l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 4 sia l’equilibrio alla traslazione orizzontale poiché è l’unica forza orizzontale incognita, optiamo per la seconda perché immediata.

N_3-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Per ottenere N_3-4 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_3-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Analizziamo ora la SEZIONE C-C’. Per ottenere N_4-6 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 5.

N_4-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_4-5 basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale come per il caso di N_2-3.

N_4-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE D-D’ possiamo scegliere, come nella sezione B-B’, indifferentemente come procedere; per ricavarci N_5-7 facciamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_5-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Con l’equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo N_5-6.

N_5-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE E-E’. Per ottenere N_6-8 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 7.

N_6-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_6-7  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_6-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE G-G’ per ricavare N_7-9 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_7-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

per ricavare N_7-8 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_7-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE H-H’. Per ottenere N_8-10 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 9.

N_8-10 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_8-9  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_8-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Abbiamo così risolto la parte sinistra della trave reticolare ed ora per simmetria possiamo conoscere gli sforzi assiali delle aste nella parte destra. Rimane da analizzare solo l’asta centrale e per comodità utilizzeremo il metodo dei nodi.

Osservando il NODO 10 possiamo vedere che l’unica forza incognita è N_9-10 che deve equilibrare la forza esterna F, l’asta sarà quindi un PUNTONE con N_9-10 = F.

 

Possiamo ora verificare i nostri calcoli ricorrendo a SAP.

Per prima cosa dobbiamo crere un nuovo file per poter disegnare la trave reticolare in esame FILE > NEW MODEL > GRIND ONLY ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C).

Impostiamo 9 spazi lungo x e 2 lungo z, con una lunghezza L unitaria.

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di assegnare un carrello ed una cerniera in modo da ottenere un sistema isostatico.

Nella trave reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere e non incastri come da default di SAP, dobbiamo quindi rilasciare il momento a destra e a sinistra di ogni nodo, per farlo andiamo in ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNSe impostiamo come SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -10 KN.

Possiamo ora lanciare il calcolo e visionare il diagramma di SFORZO ASSIALE.

Possiamo constatare che i calcoli a mano risultano corretti.

 

 

 

TRAVE RETICOLARE 3D

Per aiutarci nella modellazione si è scelto di ricorrere ad Autocad.

Si è quindi disegnata una trave reticolare spaziale di lunghezza 3L, larghezza 2L e altezza L (con L=2m), con l’accortezza di non utilizzare polilinee (poiché il reticolo è composto da aste singole) e utilizzare un layer diverso da quello di default (che non viene letto da SAP). Dopodiché basta salvare in formato DXF 2000 (DXF più recenti non garantiscono la compatibilità).

Ora da SAP dobbiamo importare il DXF precedentemente creato. Per fa ciò dobbiamo utilizzare il comando FILE > IMPORT > AUTOCAD.DXF FILE ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C) e di impostare in Frames "cad" dal menù a tendina in modo che vengano lette le aste.

Fatto ciò selezioniamo l’intero reticolo ed usiamo EDIT > EDIT POINT  > MERGE JOINTS  >  MERGE TOLERANCE  >  0,01 (per  impostare un errore nella giunzione delle aste di 1 cm).

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di utilizzare cerniere e carrelli in modo che non giacciano sullo stesso asse.

Ora bisogna assegnare un materiale ed un profilo alle aste. Dopo aver selezionato tutte le aste, clicchiamo su DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS si è scelto di utilizzare un tubolare in acciaio da 100x5. Successivamente si devono selezionare tutte le aste e bisogna assegnargli il profilo precedentemente creato utilizzando il comando ASSIGN   > FRAME  > FRAME SECTIONS.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i 12 nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -40 KN (si è scelto questo valore tenendo conto dell’area di incidenza del solaio superiore e il segno negativo serve a dargli la direzione verso il basso).

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNS.

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 END 0 altrimenti verrebbero considerati incastri e ciè falserebbe i risultati.

Prima di lanciare il calcolo dobbiamo poter riconoscere le aste i cui valori verranno tabellati per far ciò andiamo in SET DISPLAY OPTIONS > FRAMES/CABLES/TENDONS >spuntiamo LABELS.

 

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

 

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

Per visualizzare le reazioni vincolari invece dobbiamo andare in SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Per visualizzare gli sforzi assiali (unici presenti) usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE.

Possiamo ottenere le tabelle con gli sforzi assiali nelle aste con il comando DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS > ELEMENT FORCES – FRAMES.