blog di niccolò.canulli

Graticcio di Travi

Un graticcio, al contrario di una gerarchia, è un modello composto da un sistema di travi ortogonali che collaborano tra loro reciprocamente.

Un parametro importante in un graticcio è la rigidezza torsionale (GJp/l) poichè la flessione in una direzione provoca inevitabilmente la torsione nella sua corrispettiva ortogonale.
Il termine Ip si riferisce al momento d'inerzia polare che varia a secondo della sezione presa in esame.

Mt = (GIp/l)ϕ

Il nodo ha 6 gradi di libertà: 3 traslazioni lungo i tre assi e 3 rotazioni intorno ai tre assi
In questo caso specifico avremo un abbassamento delle due travi che provocherà una rotazione nelle sezioni della trave AB che a sua volta provocherà una torsione della trave CD

Andiamo ad analizzare i due abbassamenti:

AB:

La forza F produce un abbassamento ᵟ della trave, conoscendo già i valori della rigidezza di una trave doppiamente appoggiata potremo ricavare gli sforzi di Taglio e Momento:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Ta= (324EJ/l³) ϭ               Tb= (81EJ/2l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Ma= (54EJ/l²) ϭ               Mb= (27EJ/2l²) ϭ

BC:

Anche il nodo dell'asta CD, sotto il carico della forza F si abbassa senza ruotare:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Tc= (96EJ/l³) ϭ               Td= (96EJ/l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Mc= (24EJ/l²) ϭ               Md= (24EJ/l²) ϭ

Ora andiamo ad analizzare la rotazione della sezione della trave AB:


Possiamo inserire i classici schemi notevoli già ricavati dalla questione della rigidezza flessionale per ricavare i momenti della trave:

 

MOMENTO: M= (4EJ/l) ϕ                 M= (2EJ/l) ϕ               

                  M1= (6EJ/l) ϕ               M2=Ma= (12EJ/l) ϕ

                  M3=Mb= (6EJ/l) ϕ         M4= (3EJ/l) ϕ

TAGLIO:     Ta= (54EJ/l²) ϭ             Tb= (27EJ/2l²) ϕLa rotazione della trave AB provoca una torsione della trave CD:

Il valore del momento torcente sarà:  (2GJp/l) ϕ

Conoscendo tutti i contributi degli sforzi di Taglio e Momento che agiscono sul nodo potremmo scrivere le due equazioni di equilibrio:

traslazione verticale:   ΣFz = 0     F= Taϭ- Taϕ+ Tcϭ+ Tbϭ+ Tbϕ+ Tdϭ          F= (1113EJ/2l³)ϭ- (81EJ/2l²)ϕ

equilibrio dei momenti:  ΣMy = 0     0=- Maϭ- Mbϭ + M2ϕ+ M3ϕ+ Mtϕ + Mtϕ          ϭ/2= ϕ[(38+8α)/81]

Sostituiamo ϭ/2 all'interno della prima equazione per trovare l'incognita rotazionale ϕ:

ϕ = Fl² / [EJ((1231/6)+(1484/27)α)]

 

 

Trave Vierendeel doppiamente appoggiata

Possiamo immaginare la nostra trave come una sequenza di cinque strutture shear-type unite insieme.
Un telaio shear-type prevede una trave infinitamente rigida che non si deforma con il deformarsi dei pilastri.

Per quanto riguarda i carichi immaginiamo di avere una sequenza di forze concentrate F sui nodi.

Prima di andare a calcolare tagli e momenti della struttura possiamo scinderla in due parti. Il comportamento sarà simmetrico
nelle due parti del telaio.

A questo punto vado a calcolare il taglio nelle tre aste (metà struttura):

T(0-1)=5F/4

T(1-2)=3F/4

T(2-3)=F/4

Faccio lo stesso per quanto riguarda il momento:

M(0-1)=5Fl/8

M(1-2)=3Fl/8

M(2-3)=Fl/8

Conoscendo tagli e momenti sarà ora possibile calcolare il momento in ogni singola trave dei vari telai shear-type che compongono la struttura.
Ogni asta è soggetta ai momenti dei due pilastri che la incontrano:

Asta(1) = [5Fl/8] + [3Fl/8] = Fl

Asta(2) = [3Fl/8] + [Fl/8]   = Fl/2

Asta(3) = Fl/8

Ora sapremo che nel calcolo dei tagli dei pilastri dovremo equilibrare i momenti agenti nei pilastri.

So che la rigidezza è uguale in tutti i pilasti [(12EJ/l^3)*δ]  mentre a variare è il taglio.

T(0-1)= 5F/4 = (12EJ/l^3)*δ           F(0-1)= 48EJδ/5l³                    δ= 5Fl³/48EJ                                     

 

T(1-2)=3F/4 = (12EJ/l^3)*δ            F(1-2)= 16EJδ/l³                      δ= Fl³/16EJ

T(2-3)=F/4 = (12EJ/l^3)*δ             F(2-3)= 48EJδ/l³                       δ= Fl³/48EJ

 

 

 

Rigidezza torsionale

Andiamo ad analizzare la rigidezza torsionale in un sistema tridimensionale iperstatico.

La struttura è composta da una T con un braccio perpendicolare, la forza distribuita è applicata sul braccio privo di vincolo e l'azione può essere riassunta con il momento agente che va a provocare.

In una prima analisi isolo la struttura A-D-B e vado a calcolare i momenti agenti nei corpi A-D e B-D a causa del momento
ql²/2

Tramite l'integrazione della linea elastica ottengo i due momenti nei nodi: (4EI/l)φ

La rotazione della struttura provoca una torsione della asta D-C: (GJt/l)φ

Il momento agente viene ripartito nelle tre aste: M_tot= [(4EI/l)φ + (4EI/l)φ + (GJt/l)φ]* φ

A questo punto modello la struttura con sap inserisco i vincoli ed applico il momento agente

Vado a calcolare la deformata

E vado a visionare i tre diagrammi del: Taglio

Momento

e Torsione

Ora applico alla struttura due profili e materiali differenti
Il primo profilo è uno scatolare rettangolare in acciaio 0,3m * 0,15m con uno spessore di 0,006m

Il secondo profilo è un elemento 0,2m * 0,1m in cemento privo di ferri

 

Ripartizione forza sismica

Scelgo un impalcato di riferimento, nello specifico questo è composto da tre telai piani lungo l'asse x tra i nodi (1-2-5-7)(2-4-6-8)(9-10) e quattro telai piani lungo l'asse y tra i nodi (1-2)(3-4-9)(5-6-10)(7-8).
I vincoli della struttura vengono rappresentati come molle poichè, anche se il solaio è rigido, i controventi godono di una loro elasticità di base.

A questo punto devo scegliere un profilo in acciaio da adottare nella struttura: in questo caso ho preso una trave IPE 200

Scelto il profilo vado a calcolare, con l'ausilio della tabella excel tutti i telai che compongono la struttura
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y:

Una volta inseriti i dati dei miei telai e del profilo che vado ad utilizzare la TABELLA SINOTTICA CONTROVENTI E DISTANZE del mio foglio excel determina i valori delle rigidezze della struttura.

Nella fase successiva devo determinare il centro di massa del mio solaio, quindi divido la struttura in due corpi rettangolari e trovo geometricamente i loro centri

Ora so le coordinate dei due centri A (11;3) e B (13;11) rispetto al sistema cartesiano di riferimento che ho adottato ed inserendo le due aree e le coordinate posso ricavare il centro di massa dell'intera struttura C (11,63 ; 5,50)

La posizione del centro di massa dell'impalcato e i suoi valori di rigidezza mi permettono di determinare il centro delle rigidezze: il punto in cui si applica la risultante delle forze resistenti

A questo punto si va a calcolare il valore della spinta orizzontale esercitato dal sisma sulla mia struttura

I valori di sovraccarico permanente e accidentare ed il carico permanete sono normati e vengono analizzate sul telaio specifico nel calcolo del carico totale permanente ed accidenale.

Ora devo determinare come la spinta orizzontale del sisma si va ripartendo sui miei telai lungo le due direzioni x e y e come questa spinta provoca la rotazione della struttura:
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y:

Analisi di una trave iperstatica

Per risolvere una struttura iperstatica il primo passo è associarla ad una struttura isostatica di riferimento, in questo caso posso considerarla come una serie di travi appoggiate con una coppia di forze che bilanciano i momenti nei nodi interni

Ora vado ad analizzare le rotazioni nei nodi B, C, D. Visto che la struttura è simmetrica posso considerare i valori della coppia di momenti in B e in D equivalenti

ϕBs = (ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)
ϕBd = -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)

ϕBs =-ϕDd      ϕBd =-ϕDs      

Il termine +(x₂l / 6EI) che compare in ϕBd sta ad indicare la rotazione generata dal momento x₂ nel polo opposto a quello analizzato ma che incrementa ulteriormente la deformazione della trave ed assume un valore pari alla metà della rotazione generata dal momento x₂ nel suo polo di applicazione C

ϕCs  =  (ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)

ϕCd  = - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Ora andremo a stabilire l’uguaglianza tra le rotazioni per equilibrare i momenti e metteremo a sistema due coppie di rotazioni per ricavare le incognite

ϕBs =ϕBd     ϕDs =ϕDd     ϕCs  =  ϕCd     (considero ne sistema le coppie B e C)

(ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)  =  -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)
(ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)  =   - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Dalla prima ricavo x1:    -(2 x₁l / 3EI) = -(ql³ / 12EI) +(x₂l / 6EI)
x₁ = (ql²/8) – (x₂/4)

Ora sostituisco la x₁ trovata nella seconda equazione per trovare l’unica incognita x_2:
(ql³ / 24) = (7x₂l/12)       quindi    x2 = (ql²/14)

Conoscendo il valore di x₂ lo andrò a sostituire nuovamente per ricavare il valore di x₁
(ql³/12) – (ql³/21) = (x₁l/3)       quindi    x1 = (3ql²/28)

Ora sovrapponendo i due schemi potremo ricavare i valori delle forze agenti nei nodi

Conoscendo le forze agenti posso rappresentare il grafico del taglio e del momento

 

 

Dimensionamento di una trave in legno

Inizio analizzando la tessitura del mio solaio ed andando a dimensionare la trave maggiore e quindi più sollecitata

Per il solaio ho cosiderato un edificio residenziale multipiano, quindi il pacchetto è un interno-interno

Vado a calcolare i miei carichi

qs Carico strutturale (travetti; caldana; tavolato)

Prendo dei travetti in pioppo di dimensione 6cm * 8cm, considero che in un  metro quadro di solaio ne posso trovare due e li vado a calcolare per il peso specifico del materiale che è di circa 5,00 kN/m³

(5,00 kN/m³ * 0,08 m * 0,06 m * 1 m * 2)/1m²= 0,048 kN/m²

Ora devo aggiungere il peso degli elementi strutturali che compongono il pacchetto che ho scelto

Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Il totale dei mio qs è di 0,538 kN/m²

qp Carico permanente (isolante; massetto; paveimento; inc.tramezzi; inc.impianti)

Isolante fibra di legno _ 4 cm _ 0,0075 kN/m² 
Massetto _ 3 cm _ 0,54 kN/m²
Pavimento in Gres _ 1 cm _ 0,20 kN/m²

A questi carichi vado a sommare:
Incidenza degli impianti _ 1,00 kN/m²
Incidenza dei tramezzi _ 0,50 kN/m2

Il totale dei mio qp è di 2,2475 kN/m²

qa Carico accidentale (da normativa per la tipologia di edificio: ad uso residenziale)

Ambiente ad uso residenziale _ 2,00 kN/m²

Carico totale q

Grazie alla tabella excel vado a determinare il carico totale sommando i carichi qs, qp, qa e moltiplicandoli per l'interasse di influenza della trave (i) di 4m: 19,142 kN/m

Ora vado a calcolare il Mmax della trave moltiplicando il carico (q) ottenuto per il quadrato della luce della trave (l) e dividendoli per 8:    [q * (l)²]/8 = 86,139 kN/m

Vado a calcolare la mia ϭ max, che equivale alla mia resistenza di progetto, moltiplicando il valore di resistenza tipica del materiale (fm,k) che nel legno equivale a 24 N/mm² per il coefficiente di degrado (kmod) che nel legno ha un valore di 0,6 e divido per il coefficiente di sicurezza 1,45:  (fm,k*kmod)/1,45 = 9,93 N/mm²

Ricavato il vaore del ϭ ammissibile determino una trave di base 25 cm e vado a ricavare l'altezza con la tabella excel

La trave ottenuta ha una b = 25cm e una h = 48cm, ora andremo a verificare la struttura aggiungendo ai carichi strutturali qs anche il peso della trave ricavata
Per prima cosa ricavo il peso proprio della trave:  (4,00 kN/m³ * 0,25m * 0,48m * 1m)/ 1m² = 0,48 kN/m²
Ora vado ad inserire il peso della mia trave nei carichi strutturali e ripeto il procedimento di prima

qs Carico strutturale (TRAVE; travetti; caldana; tavolato)

TRAVE _ 25cm*48cm*100cm _ 0,48 kN/m²
Travetti _ 8cm*6cm*100cm _ 0,048 kN/m²
Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Totale qs = 1,018 kN/m²

Inserisco nuovamente i miei valori nella tabella excel e lasciando invariata la dimensione della base (25cm) verifico che l'altezza di 48cm che ho preso sia sufficiente

Il valore dell'altezza è inferiore ai 48cm quindi posso utilizzare una trave di 25cm*48cm

 

Risoluzione di una struttura iperstatica

Per risolvere questo tipo di trave andiamo ad analizzare i tre gruppi di equazioni della trave di Eulero Bernoulli (equazioni di equilibrio, legami costitutivi, equazioni di compatibilità)

Potremmo escludere da questi tre gruppi tutte le equazioni contenenti i termini  u, N e ε (poichè non abbiamo uno spostamento orizzontale) ed accorpare le rimanenti equazioni in un unico sistema

Ora vado ad unire T'+q2=0 con M'+T=0 :           -[(d²M)/(dS²)]+q2=0
Posso unire anche anche χ = ϕ’ con ϕ = v’ :       χ= d²v/dS²

Grazie all’ultima componente del sistema (M = E I χ) potrò formulare un unica equazione che contiene tutte le altre:    EI*(d⁴v/dS⁴)=q2

Ora vado a derivare l’equazione differenziale imponendo il termine q2 come costante

Ora posso ottenere il valore dello spostamento (v) andando a ricavare le incognite c.
Le incognite possono essere ricavate ponendo il valore di s=l e s=0

Ottenuto il sistema vado a ricavare le uniche incognite rimaste (c1;c2)

Conoscendo ora tutte le incognite (c1;c2;c3;c4) posso sostituirle in v(s) per trovare il valore di s

Il primo risultato che troviamo è s=0 per gli altri due risultati applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ottenendo i due risultati:

s = +0,57 l     s = +1,513 l

Di questi due valori prenderemo solo il primo (s= +0,57 l) poichè la trave ha una lunghezza:  0 < l < 1

A questo punto inserisco il vaore di s in v(s) =>   v(0,57) ed ottengo la distanza s in cui il momento è massimo:

s = 0,57

Risoluzione della struttura in SAP 2000

Per prima cosa disegno la struttura, definisco l'unità di misura (KN,m,C), ed assegno i carichi

Poi assegno un carico distribuito di 10 N/m su tutta la struttura

Associo alla trave un profilo rettangolare in calcestruzzo (Assign->Frame->Frame Sections)

Questo profilo (probabilmente eccessivo) determina una deformata in cui l'inflessione è così impercettibile che il software non la mostra

Ripeto il passaggio precedente associando alla struttura un profilo tubolare in acciaio

Avvio il calcolo della struttura (Run Analysis)

Dal diagramma del monmento posso verificare che il momento massimo (0,67) si trova esattamente ad una distanza pari a 0,57

Risoluzione di una Trave reticolare con il metodo di Ritter

Per risolvere questa trave reticolare posso utilizzare il metodo di Ritter che prevede l'analisi dello sforzo normale di tre aste tagliate da una sezione 

           

Utilizzo il punto 5 come centro di rotazione di N46:             - N46*l - 9/2 F *2l + F*l + F*2l = 0          N46 = - 6 F

Utilizzo il punto 4 come centro di rotazione di N35               + N35*l - 9/2 F*l + F*l = 0                       N35 = 7/2 F

L'asta obliqua è inclinata di 45° rispetto alla trave e al montante quindi dovrò utilizzare il seno o il coseno di 45 ( √2/2) 
 
N45 * √2 /2 + 7/2 F - 6F     N45 = 5 √2 /2 F

Con lo stesso metodo trovo le sezioni delle aste di metà trave (l’altra metà sarà simmetrica)

- N24*l - 9/2 F*l + F*l = 0                        N24 = - 7/2 F
+ N13*l = 0                                              N13 = 0 (asta scarica)
+ N23√2 /2 - 7/2 F = 0                             N23 = 7 √2 /2 F
- N68*l - 9/2 F*3l + F*6l = 0                     N68 = - 15/2 F
+ N57*l - 9/2 F*2l + F*3l = 0                    N57 = 6 F
+ N67√2 /2 - 15/2 F + 6 F = 0                  N67 = 3 √2 /2 F
- N810*l - 9/2 F*4l + F*10l = 0                 N810 = - 8 F
+ N79*l - 9/2 F*3l + F*6l = 0                    N79 = 15/2 F
+ N89 √2 /2 + 15/2 F - 8 F = 0                  N89 = √ 2 /2 F

Per i montanti verticali eseguo sempre una sezione di Ritter su tre aste per ricavarne la normale

+ N12 + F + 7  2 /2 *  2 /2 F = 0                             N12 = - 9/2 F
+ N34 - F + 9/2 F = 0                                              N34 = - 7/2 F
+ N56 - 2F + 9/2 F = 0                                            N56 = - 5/2 F
+ N78 - 3 F + 9/2 F = 0                                           N78 = - 3/2 F
+ N910 + F  = 0                                                      N910 = - F 

A questo punto ho tutti gli sforzi normali di metà trave che si ripeteranno simmetricamente sulla seconda metà consentendomi di disegnare il diagramma dello sforzo normale di tutta la trave reticolare

Ho assegnato alla lunghezza delle aste l = 1m e alla forza applicata sui nodi F = 100 N

Risoluzione della struttura in SAP 2000

Stabilisco l’unità di misura (KN,m,C), disegno la trave ed associo il peso proprio della struttura pari a 0 (Define -> Load Patterns)

 

Ora inserisco i due vincoli ai vertici della struttura (Assign -> Joint -> Restraints) ed inserirsco le cerniere interne alle aste assegnando un rilascio (Assign -> Frame -> Releases/Partial Fixity)   

Devo assegnare un profilo alle varie aste quindi scelgo un tubolare in acciaio (Define -> Section Properties -> Frame Sections) definendone il diametro e lo spessore. Dopo aver definito il profilo posso associarlo alle aste della struttura reticolare (Assign -> Frame -> Frame Sections)

A questo punto vado ad inserire le mie forze di F = 100 N applicate sui nodi nella parte alta della trave (Assing -> Joint Loads -> Forces). Le forze dovranno riportare segno negativo poichè orientate verso in basso con verso opposto alla Z del sistema di riferimento

      

La mia struttura a questo punto ha sia vincoli che forze applicate e può essere calcolata (Run Analysis). Visto che è una struttura reticolare avrà solo sforzi normali che posso visualizzare nel diagramma della normale (Show Forces/Stresses ->Frames/Cables -> Axial Force)   

Ora vado a visualizzare le tabelle relative al calcolo della struttura (Display -> Show Tables -> [Joint Output; Element Output; Structure Output] -> Element Forces/Frames) poi esporto la tabella in Excel (File -> Export Current Table -> To Excel) la pulisco dai valori nulli di taglio e momento lasciando solo gli sforzi normali (KN), l'area della sezione del tubolare (mm2) ed il valore di sigma (Mpa)