La struttura che ci troviamo a dover risolvere è una trave su più appoggi iperstatica, il metodo di risoluzione più adatto a questo tipo di trave è il MEDOTO DELLE FORZE, dove le incognite sono le FORZE, e verranno trovate attraverso le EQUAZIONI DI COMPATIBILITA' CINEMATICA.
Il metodo delle forze ci consente di risolvere strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti dove per ciascun GRADO DI IPERSTATICITA’ corrisponde una REZIONE VINCOLARE INCOGNITA.
Nel caso preso in esame sostituiamo i tre carrelli esterni con delle cerniere interne aggiungendo le reazioni vincolari rimosse, cioè la rotazione a destra e a sinistra del nodo. Quindi la struttura isostatica di riferimento sarà composta da una serie di travi doppiamente appoggiate con l'aggiunta di coppie di momenti in corrispondenza dei punti B, C, D.
Nella strruttura iperstatica non avviene nessuna rotazione nei suddetti punti, quindi per ognuna delle cerniere inserite il DELTA delle rotazioni è uguale a 0. Inoltre dobbiamo trovare le reazioni vincolari incognite X1 X2 X3 relative ai tre vincoli interni, poichèla struttura è simmetrca sappiamo che X1 = X3 quindi d’ora in poi utilizzeremo solo X1 e X2. Avremo due schemi che andremo a sommare con il principio della sovrapposizione degli effetti.
Le equazioni di compatibilità cinematica in grado di ripristinare il vincolo iperstatico sono:
Aiutandoci con gli schemi notevoli troviamo le rotazioni di ciascun tratto della trave
Mettendole a sistema possiamo così ottenere i valori di X1 eX2 (X1 = X3)
=\frac{ql^{2}}{2}-ql^{2}+8X_{2} "X_{2}=\frac{ql^{2}}{2}-4\left ( \frac{ql^{2}}{4}-2X_{2} \right )=\frac{ql^{2}}{2}-ql^{2}+8X_{2}")
Dopo aver trovato i valori delle incognite iperstatiche possiamo trovarci le reazioni vincolari con il metodo della sovrapposizione degli effetti, per il quale le reazioni finali sono la somma delle reazioni dovute al carico q e alle forze iperstatiche trovate. Le reazioni vincolari vanno determinate per ciascuna delle quattro campate della struttura isostatica di riferimento e vanno sommate quelle che si trovano sullo stesso vincolo.
Ora possiamo procedere col calcolarci il taglio ed il momento effettuando sezioni nelle varie campate e determinandone il valore per ognuna.
TAGLIO
Primo tratto
=-\frac{11}{28}ql+qs "T\left ( s \right )=-\frac{11}{28}ql+qs")
=-\frac{11}{28}ql "T\left ( s=0 \right )=-\frac{11}{28}ql")
=-\frac{11}{28}ql+ql=\frac{17}{28}ql "T\left ( s=l \right )=-\frac{11}{28}ql+ql=\frac{17}{28}ql")
Secondo tratto
=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql+qs)
=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql+ql=-\frac{15}{28}ql "T(s=l)=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql+ql=-\frac{15}{28}ql")
=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql+2ql=\frac{13}{28}ql "T(s=2l)=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql+2ql=\frac{13}{28}ql")
Terzo tratto
=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql-\frac{13}{14}ql+qs "T(s)=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql-\frac{13}{14}ql+qs")
=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql-\frac{13}{14}ql+2ql=-\frac{13}{28}ql "T(s=2l)=-\frac{11}{28}ql-\frac{8}{7}ql-\frac{13}{14}ql+2ql=-\frac{13}{28}ql")
MOMENTO
Primo tratto
=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}qls "M\left ( s \right )=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}qls")
=0 "M\left ( s=0 \right )=0")
=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql^{2}=-\frac{3}{28}ql^{2} "M\left ( s=l \right )=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql^{2}=-\frac{3}{28}ql^{2}")
=-\frac{q\left ( \frac{11}{28}l \right )^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql\left ( \frac{11}{28}l \right ) "M\left ( s=\frac{11}{28}l \right )=-\frac{q\left ( \frac{11}{28}l \right )^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql\left ( \frac{11}{28}l \right )")
=-\frac{121}{784}ql^{2}\frac{1}{2}+\frac{121}{754}ql^{2}=\frac{121}{1568}ql^{2} "M\left ( s=\frac{11}{28}l \right )=-\frac{121}{784}ql^{2}\frac{1}{2}+\frac{121}{754}ql^{2}=\frac{121}{1568}ql^{2}")
Secondo tratto
=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}qls+\frac{8}{7}ql\left ( s-l \right ) "M\left ( s \right )=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{11}{28}qls+\frac{8}{7}ql\left ( s-l \right )")
=-2ql^{2}+\frac{11}{28}2ql^{2}+\frac{8}{7}ql^{2}=-2ql^{2}+\frac{11}{14}ql^{2}+\frac{8}{7}ql^{2}=-\frac{ql^{2}}{14} "M\left ( s=2l \right )=-2ql^{2}+\frac{11}{28}2ql^{2}+\frac{8}{7}ql^{2}=-2ql^{2}+\frac{11}{14}ql^{2}+\frac{8}{7}ql^{2}=-\frac{ql^{2}}{14}")
=\frac{q\left ( \frac{43}{28}l \right )^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql\left ( \frac{43}{28}l \right )+\frac{8}{7}ql\left ( \frac{15}{28}l \right ) "M\left ( s=\frac{43}{28}l \right )=\frac{q\left ( \frac{43}{28}l \right )^{2}}{2}+\frac{11}{28}ql\left ( \frac{43}{28}l \right )+\frac{8}{7}ql\left ( \frac{15}{28}l \right )")
=\frac{1849}{784}ql^{2}\frac{1}{2}+\frac{473}{784}ql^{2}+\frac{120}{196}ql^{2}=\frac{57}{1568}ql^{2} "M\left ( s=\frac{43}{28}l \right )=\frac{1849}{784}ql^{2}\frac{1}{2}+\frac{473}{784}ql^{2}+\frac{120}{196}ql^{2}=\frac{57}{1568}ql^{2}")
SdC(b)
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