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TRAVE 3 VOLTE IPERSTATICA

Ci si presenta una struttura 3 volte iperstatica costituita da una trave continua su più appoggi . La risolvo attraverso il METODO DELLE FORZE : uso un sistema isostatico equivalente di riferimento e considero la trave non come un unico corpo appoggiato, bensì come una serie di travi doppiamente appoggiate. Annullo quindi i tre gradi di vincolo ai tre carrelli centrali che mi rendono la struttura iperstatica, andandoli a sostituire con delle cerniere interne. Notiamo poi che la  struttura è SIMMETRICA: se traccio infatti  una linea a metà della struttura (in C) vedo che a destra e sinistra ho lo stesso carico (q) e la stessa luce (L) quindi avrò anche le stesse reazioni vincolari e azioni di contatto, potrò quindi andare a studiare solo metà struttura e specchiarla. Alla luce di queste considerazioni dovrò andarmi a calcolare 3 INCOGNITE X₁(B),X₂ (C),X₃ (dove X₁=X₃ per simmetria).

Ora devo far in modo di non ammettere rotazioni relative tra i corpi. Impongo perciò che le rotazioni in B,C,D siano uguali tra di loro e  nulle .

Stratigrafia solaio in legno

Qp (carichi permanenti)

·       Pavimento in cotto(1m) - 1,2 KN/m^2

·       Posato su malta di calce - 18 KN/m^2

·       controsoffitto in cartongesso - 7,8 KN/m^2

·       incidenza tramezzi - 1 KN/m^2

Qs (carichi strutturali)

·       pianelle in laterizio - 18 KN/m^2

·       travicelli  (6*6) - 6 KN/m^2

Qa (carichi accidentali)

·       destinazione d'uso Residenziale - 2 KN/m^2

analisi dei carichi

·       Qp=(1,2+0,72+0.078+1) KN/m^2 = 3,00 KN/m^2

·       Qs=[(6*6*2*6)+(18*0.02)] KN/m^2 = 0,4032 KN/m^2

·       Qa = 2 KN/m^2

Analisi di una trave iperstatica

Per risolvere una struttura iperstatica il primo passo è associarla ad una struttura isostatica di riferimento, in questo caso posso considerarla come una serie di travi appoggiate con una coppia di forze che bilanciano i momenti nei nodi interni

Ora vado ad analizzare le rotazioni nei nodi B, C, D. Visto che la struttura è simmetrica posso considerare i valori della coppia di momenti in B e in D equivalenti

ϕBs = (ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)
ϕBd = -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)

ϕBs =-ϕDd      ϕBd =-ϕDs      

Il termine +(x₂l / 6EI) che compare in ϕBd sta ad indicare la rotazione generata dal momento x₂ nel polo opposto a quello analizzato ma che incrementa ulteriormente la deformazione della trave ed assume un valore pari alla metà della rotazione generata dal momento x₂ nel suo polo di applicazione C

ϕCs  =  (ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)

ϕCd  = - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Ora andremo a stabilire l’uguaglianza tra le rotazioni per equilibrare i momenti e metteremo a sistema due coppie di rotazioni per ricavare le incognite

ϕBs =ϕBd     ϕDs =ϕDd     ϕCs  =  ϕCd     (considero ne sistema le coppie B e C)

(ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)  =  -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)
(ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)  =   - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Dalla prima ricavo x1:    -(2 x₁l / 3EI) = -(ql³ / 12EI) +(x₂l / 6EI)
x₁ = (ql²/8) – (x₂/4)

Ora sostituisco la x₁ trovata nella seconda equazione per trovare l’unica incognita x_2:
(ql³ / 24) = (7x₂l/12)       quindi    x2 = (ql²/14)

Conoscendo il valore di x₂ lo andrò a sostituire nuovamente per ricavare il valore di x₁
(ql³/12) – (ql³/21) = (x₁l/3)       quindi    x1 = (3ql²/28)

Ora sovrapponendo i due schemi potremo ricavare i valori delle forze agenti nei nodi

Conoscendo le forze agenti posso rappresentare il grafico del taglio e del momento

Metodo delle forze

Struttura tre volte iperstatica la studiamo come un corpo isostatico svincolando in B, in C e in D assegnando due momenti incogniti X₁ e X₂ in D sarà sempre X₁ poiche la trave è simmetrica, così da interrompere la trave e creare 4 pezzi di trave isostatica

Per risolvere il sistema parto dai tre momenti e come prima cosa imponiamo la congruenza e scriviamo che le nostre tre equazioni di congruenza siano uguali a zero. 

Nei punti in cui abbiamo inserito le congruenze avremo due equazioni in cui una guarda a destra e una a sinistra. Le eguagliamo e mettendole a sistema andremo a trovare le nostre incognite X₁ e X₂.

Disegno le reazioni vincolari trovate dalla congruenza assegnata e le reazioni date dal carico distribuito

Faccio la sovrapposizione degli effetti sommando i due schemi per trovare le reazioni vincolare della struttura iperstatica. nel primo diagramma ci sono le congruenze.

Nel secondo vediamo le reazioni dovute al carico distribuito

E questa è la sovrapposizione dei due schemi delle reazioni vincolari

Ora possiamo calcolarci i diagrammi delle sollecitazioni di Taglio e del Momento

L’esercitazione presenta una struttura tre volte iperstatica costituita da una trave continua su appoggi. La risoluzione è ottenuta attraverso il METODO DELLE FORZE.

 Si procede nel seguente modo:

1. Si sceglie la struttura isostatica di riferimento  più conveniente ponendo delle  incognite iperstatiche, il cui numero è pari al grado di iperstaticità della struttura. Nel nostro caso, da una trave continua si passa a staccare la struttura in più travi appoggiate-appoggiate. La reazione vincolare incognita che andiamo a scegliere coincide con il momento flettente ed il suo effetto cinematico è quello di evitare la rotazione relativa delle sezioni su cui agisce.

Inoltre ci troviamo di fronte ad una simmetria. Infatti dividendo la struttura a metà (Punto C) notiamo che nella parte destra e nella parte sinistra è presente lo stesso carico distribuito (q) e la stessa luce (l).  Per cui è possibile studiare solamente metà della struttura, perché successivamente avrò le stesse reazioni vincolari e azioni di contatto specchiandola.

Si ricercano quindi solo le incognite x1 (B) e x2 (C) . 

2. Si scrivono le equazioni di compatibilità cinematica che ripristinano i vincoli cinematici soppressi dalla trasformazione del vincolo cinematico in reazione vincolari. In questo caso impongo che le rotazioni a destra e a sinistra rispettivamente dei punti B e C siano uguali in quanto la rotazione relativa deve essere nulla.

3. Si risolve il sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche x1 e x2.

4. Indico le reazioni vincolari e si procede con l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

5. I conseguenti diagrammi del taglio e del momento.

Nel metodo delle forze, le incognite sono le reazioni vincolari iperstatiche e le equazioni risolutive sono equazioni algebriche, che hanno il significato meccanico di equazioni di vincolo. La difficoltà sta nel riuscire a scegliere bene la struttura isostatica equivalente e nella capacità di applicazione sistematica del principio di sovrapposizione degli effetti.

Risoluzione di una struttura iperstatica attraverso il METODO DELLE FORZE

Ho una struttura 3 volte iperstatica

La risolvo con il metodo delle forze

1)Definisco la STRUTTURA ISOSTATICA DI RIFERIMENTO

2)EQUAZIONI di COMPATIBILITÁ CINEMATICA

Δϕ(B)=0 

ma dato che la struttura è simmetrica sappiamo che  Δϕ(B)= Δϕ(D)=0

PUNTO B

ϕ(Bs)=ql³/24EI-X₁l/3EI

ϕ(Bd)=-ql³/24EI+X₁l/3EI +X₂l/6EI

PUNTO C

ϕ(Cs)=ql³/24EI-X₂l/3EI- X₁l/6EI

ϕ(Cd)=-ql³/24EI+X₂l/3EI +X₁l/6EI

ϕ(Bs)= ϕ(Bd)    ql³/24EI-X₁l/3EI=-ql³/24EI+X₁l/3EI +X₂l/6EI

X₁=ql²/8- X₂/4

ϕ(Cs)= ϕ(Cd)     ql³/24EI-X₂l/3EI- X₁l/6EI=-ql³/24EI+X₂l/3EI +X₁l/6EI

X₂= ql²/8- X₁/2

Andando poi a sostituire X₁=ql²/8- X₂/4 in X₂= ql²/8- X₁/2       X₁=3ql²/28

E poi   X₁=3ql²/28 in  X₂= ql²/8- X₁/2 ottengo                              X₂=ql²/14

3)CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Trovate le incognite iperstatiche procedo con il calcolo delle reazioni vincolari applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.

STRUTTURA CONSIDERANDO IL CARICO q

STRUTTURA CONSIDERANDO X₁,X₂

4)SOMMO LE REAZIONI VINCOLARI

5)DISEGNO i diagrammi del TAGLIO e del MOMENTO