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TRAVE RETICOLARE 2D

Uno dei metodi per superare grandi luci è quello di utilizzare TRAVI RETICOLARI; tali strutture sono costituite da ASTE ognuna soggetta solamente a SFORZO ASSIALE (per avere tale condizione le forze esterne devono agire come carico concentrato nei nodi) e collegate per mezzo di CERNIERE INTERNE in modo da formare TRIANGOLI; la forma triangolare permette di creare strutture che non si deformano dove rimangono però 3 GDV liberi (GDL= 3x3=9  GDV=3x2=6) che devono essere assegnati a vincoli esterni (cerniera e carrello), per questo motivo la trave reticolare nel suo complesso può essere considerata come una trave appoggiata.

Analizziamo ora una trave reticolare composta da 8 campate con un carico concentrato pari a F in ciascuno dei nodi superiori.

Come abbiamo detto precedentemente la trave reticolare può essere ricondotta ad uno SHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE di trave doppiamente appoggiata in modo da ottenere le reazioni vincolari.

R_ua = 0                          R_ub = 0

R_va + R_vb = 9F => R_va = R_vb = 9F/2

Abbiamo quindi determinato le reazioni vincolari esterne, ora dobbiamo determinare le sollecitazioni su ciascuna asta e per farlo possiamo procedere in due modi o con il METODO DEI NODI o con il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER.

Il metodo dei nodi consiste nell’analizzare ciascun nodo e le aste ad esso collegate in modo da equilibrare tutte le forze che agiscono su di esso, il problema di tale metodo è che non si possono avere più di un’incognita nella stessa direzione (considerando anche le componenti di forze inclinate).

Il metodo delle sezioni di Ritter invece taglia la struttura in modo da analizzare al massimo tre aste incognite contemporaneamente, facendo attenzione che le aste sezionate non siano collegate allo stesso nodo; avremo a questo punto la trave reticolare divisa in due parti che devono essere in equilibrio, si procede perciò con l’equilibrio alla rotazione di una delle due parti facendo polo in uno dei nodi dove concorrono almeno due aste in modo da non considerare le loro incognite risolvendo un’asta per volta.

Una trave reticolare può essere risolta usando uno solo dei due metodi o entrambi questo permette a volte di velocizzare i passaggi.

Per risolvere questo esercizio possiamo applicare le sezioni di Ritter come in figura e il metodo dei nodi per il nodo 1 e 10 poiché presentando solo aste verticali e orizzontali risulta più immediato, inoltre essendo la struttura simmetrica basta analizzare solo una parte delle aste e poi per simmetria avremo ottenuto l’analisi completa.

Iniziamo dall’analisi del NODO  1, in esso è presente un’azione esterna verticale e nessuna forza orizzontale, poiché non sono non ci sono aste inclinate l’unica che concorre all’equilibrio è l’ASTA 1-2 che risulta COMPRESSA ed è quindi un PUNTONE mentre l’ASTA 1-3 risulta SCARICA.

 

Passiamo ora ad effettuare la prima sezione virtuale (sezione di Ritter) in questo caso la SEZIONE A-A’. Per prima cosa dobbiamo disegnare gli sforzi assiali N che agisco su ciascuna asta, imponendoli di VERSO USCENTE stiamo ipotizzando che le aste sia soggette a TRAZIONE e quindi siano dei TIRANTI, se dai calcoli le forze risultassero negative significa che il verso corretto sia ENTRANTE, che l’asta sia COMPRESSA e di conseguenza un PUNTONE. In questa sezione sappiamo già che l’asta 1-3 è scarica quindi ci concentreremo solo sulle altre due aste sezionate avendo come incognite N_2-3 e N_2-4.

Facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 3 (la forza N_2-3 ha braccio nullo quindi non sarà presa in considerazione) e potremmo ricavarci N_2-4.

N_2-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per conoscere N_2-3 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale, prima però dobbiamo scomporre la forza nei suoi 2 vettori componenti, in questo caso pari entrambi a N_2-3(√2/2)poiché l’asta è inclinata di 45°.

N_2-3 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

 

Continuiamo con la SEZIONE B-B’ questo risulta essere un caso particolare, per determinare N_3-5 potremmo fare sia l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 4 sia l’equilibrio alla traslazione orizzontale poiché è l’unica forza orizzontale incognita, optiamo per la seconda perché immediata.

N_3-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Per ottenere N_3-4 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_3-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Analizziamo ora la SEZIONE C-C’. Per ottenere N_4-6 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 5.

N_4-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_4-5 basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale come per il caso di N_2-3.

N_4-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE D-D’ possiamo scegliere, come nella sezione B-B’, indifferentemente come procedere; per ricavarci N_5-7 facciamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_5-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Con l’equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo N_5-6.

N_5-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE E-E’. Per ottenere N_6-8 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 7.

N_6-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_6-7  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_6-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE G-G’ per ricavare N_7-9 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_7-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

per ricavare N_7-8 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_7-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE H-H’. Per ottenere N_8-10 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 9.

N_8-10 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_8-9  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_8-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Abbiamo così risolto la parte sinistra della trave reticolare ed ora per simmetria possiamo conoscere gli sforzi assiali delle aste nella parte destra. Rimane da analizzare solo l’asta centrale e per comodità utilizzeremo il metodo dei nodi.

Osservando il NODO 10 possiamo vedere che l’unica forza incognita è N_9-10 che deve equilibrare la forza esterna F, l’asta sarà quindi un PUNTONE con N_9-10 = F.

 

Possiamo ora verificare i nostri calcoli ricorrendo a SAP.

Per prima cosa dobbiamo crere un nuovo file per poter disegnare la trave reticolare in esame FILE > NEW MODEL > GRIND ONLY ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C).

Impostiamo 9 spazi lungo x e 2 lungo z, con una lunghezza L unitaria.

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di assegnare un carrello ed una cerniera in modo da ottenere un sistema isostatico.

Nella trave reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere e non incastri come da default di SAP, dobbiamo quindi rilasciare il momento a destra e a sinistra di ogni nodo, per farlo andiamo in ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNSe impostiamo come SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -10 KN.

Possiamo ora lanciare il calcolo e visionare il diagramma di SFORZO ASSIALE.

Possiamo constatare che i calcoli a mano risultano corretti.

 

 

 

TRAVE RETICOLARE 3D

Per aiutarci nella modellazione si è scelto di ricorrere ad Autocad.

Si è quindi disegnata una trave reticolare spaziale di lunghezza 3L, larghezza 2L e altezza L (con L=2m), con l’accortezza di non utilizzare polilinee (poiché il reticolo è composto da aste singole) e utilizzare un layer diverso da quello di default (che non viene letto da SAP). Dopodiché basta salvare in formato DXF 2000 (DXF più recenti non garantiscono la compatibilità).

Ora da SAP dobbiamo importare il DXF precedentemente creato. Per fa ciò dobbiamo utilizzare il comando FILE > IMPORT > AUTOCAD.DXF FILE ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C) e di impostare in Frames "cad" dal menù a tendina in modo che vengano lette le aste.

Fatto ciò selezioniamo l’intero reticolo ed usiamo EDIT > EDIT POINT  > MERGE JOINTS  >  MERGE TOLERANCE  >  0,01 (per  impostare un errore nella giunzione delle aste di 1 cm).

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di utilizzare cerniere e carrelli in modo che non giacciano sullo stesso asse.

Ora bisogna assegnare un materiale ed un profilo alle aste. Dopo aver selezionato tutte le aste, clicchiamo su DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS si è scelto di utilizzare un tubolare in acciaio da 100x5. Successivamente si devono selezionare tutte le aste e bisogna assegnargli il profilo precedentemente creato utilizzando il comando ASSIGN   > FRAME  > FRAME SECTIONS.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i 12 nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -40 KN (si è scelto questo valore tenendo conto dell’area di incidenza del solaio superiore e il segno negativo serve a dargli la direzione verso il basso).

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNS.

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 END 0 altrimenti verrebbero considerati incastri e ciè falserebbe i risultati.

Prima di lanciare il calcolo dobbiamo poter riconoscere le aste i cui valori verranno tabellati per far ciò andiamo in SET DISPLAY OPTIONS > FRAMES/CABLES/TENDONS >spuntiamo LABELS.

 

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

 

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

Per visualizzare le reazioni vincolari invece dobbiamo andare in SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Per visualizzare gli sforzi assiali (unici presenti) usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE.

Possiamo ottenere le tabelle con gli sforzi assiali nelle aste con il comando DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS > ELEMENT FORCES – FRAMES.

 

STRATI DELLA SEZIONE

1_ pavimento in parquet di quercia_ 8KN/mc (sp. 0,025 m)

2_allettamento_ 2KN/mc (sp. 0,015m)

3_massetto_ 20KN/mc (sp. 0,03m)

4_isolante termico_ 3KN/mc (sp. 0,03m)

5_lamiera grecata EGB 210con soletta in cls_ 2,50KN/mq

6_trave secondaria

7_trave principale

 

 

 

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE SECONDARIA

Analisi dei carichi:

            Carichi strutturali q_s:

                        _lamiera grecata EGB 210 con soletta in cls = 2,50KN/mq STRATI DELLA SEZIONE

 

Carichi permanenti q_p:

                        _ pavimento in parquet di quercia = 8KN/mc * 0,025 m = 0,2 KN/mq

            _allettamento = 2KN/mc * 0,015m = 0,03 KN/mq

            _massetto = 20KN/mc * 0,03m = 0,6 KN/mq

            _isolante termico = 3KN/mc * 0,03m = 0,09 KN/mq

            _tramezzi e impianti = 1,5 KN/mq

Carichi accidentale q_a:

                        _edificio adibito a civile abitazione = 2,00 KN/mq

Facciamo la somma dei carichi totali applicando ai carichi i coefficienti di sicurezza sfavorevoli:

Q_tot= (q_s * γ_s)+ (q_p * γ_p) + (q_a * γ_a)= (2,50KN/mq * 1,3) + (2,42 KN/mq * 1,5) + (2,00KN/mq * 1,5) = 9,88KN/mq

Avremmo :

• q_s = 3,25 KN/mq
• q_p = 3,63 KN/mq
• q_a = 3,00 KN/mq

Otteniamo un carico ripartito lineare moltiplicando il Q_tot per l’interasse così da ottenere Q_tot/lineare = 9,88 KN/m.

Con l'entrata in vigore del D.M. del 14 gennaio 2008 gli acciai da carpenteria devono appartenere al grado da S 235 a S 460. Scelgo per questa sezione la classe di resistenza Fe 360/S235.

Fatto questo andiamo ad inserire i valori trovati nel foglio exel

 

Inserito l’interasse e i carichi trovati e il carico lineare scriviamo il momento che è = (ql²)/8. Il momento trovato è pari a 44,46 KN*m. Scriviamo la tensione di snervamento caratteristica scelta e troviamo così W_x.

Il profilo corrispondente al valore di 217,57 cm³ è la sezione IPE 220 che ha un valore di W_x pari a 252,0 cm³ . Non potevamo prendere la sezione IPE 200 poiché il valore di W_x è più piccolo.

 

PRIMA VERIFICA

Peso della trave = 26,2 Kg/m (valore tabellato) calcolato al metro lineare àcorrisponde a 0,26 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s = 3,51 KN/mq

 

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 220 è verificata poiché avendo inserito il peso proprio della trave il W_x è rimasto inferiore a quello della sezione.

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PRINCIPALE

Analisi dei carichi:

            Carichi strutturali q_s:

                        _lamiera grecata EGB 210 con soletta in cls = 2,50KN/mq

                        _trave secondaria = 0,22 KN/mq

            Carichi permanenti q_p:

                        _ pavimento in parquet di quercia = 8KN/mc * 0,025 m = 0,2 KN/mq

            _allettamento = 2KN/mc * 0,015m = 0,03 KN/mq

            _massetto = 20KN/mc * 0,03m = 0,6 KN/mq

            _isolante termico = 3KN/mc * 0,03m = 0,09 KN/mq

            _tramezzi e impianti = 1,5 KN/mq

Carichi accidentale q_a:

                        _edificio adibito a civile abitazione = 2,00 KN/mq

Facciamo la somma dei carichi totali applicando ai carichi i coefficienti di sicurezza sfavorevoli:

Q_tot= (q_s * γ_s)+ (q_p * γ_p) + (q_a * γ_a)= (2,72KN/mq * 1,3) + (2,42 KN/mq * 1,5) + (2,00KN/mq * 1,5) =10,17 KN/mq

Otteniamo un carico ripartito lineare moltiplicando il Q_tot per l’interasse così da ottenere Q_tot/lineare = 61,02 KN/m.

Anche per questa trave scegliamo il fattore di snervamento pari a S235 N/mm² e li andiamo ad inserire nel foglio exel.

 

Inserito l’interasse e i carichi trovati e il carico lineare scriviamo il momento che è = (ql²)/8. Il momento trovato è pari a 488,16 KN*m. Scriviamo la tensione di snervamento caratteristica e troviamo così W_x.

Il profilo corrispondente al valore di 2388,87 cm³ è la sezione IPE 550 che ha un valore di W_x pari a 2668,0 cm³ .

PRIMA VERIFICA

Peso della trave = 106,0 Kg/m (valore tabellato) calcolato al metro quadrato àcorrisponde a 1,04 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s = 4,55 KN/mq

 

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 550 non è verificata poiché la sezione ha un valore minore di W_x rispetto a quello trovato. Scegliamo così la sezione successiva di IPE 600 con valore di W_x pari a 3070,0 cm³ .

SECONDA VERIFICA

 

Peso della trave = 122,0 Kg/m àcorrisponde a 1,19 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s = 4,7 KN/mq

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 600 è verificata poiché la sezione ha un valore minore di W_x rispetto a quello tabellato.

Abbiamo trovato le sezioni delle due travi per una luce di 8 m.

 

Obiettivo dell’esercitazione è il dimensionamento di massima di una trave soggetta a momento flettente M, ovvero il calcolo dell’altezza della sezione, fatto per 3 diversi tipi di materiali: legno, acciaio e cemento armato.

 

Prima di tutto è opportuno sottolineare i 2 concetti chiave di questo procedimento, ossia il PESO e la TENSIONE. Il primo inteso non solo come carico effettivamente gravante sulla struttura (che come vedremo andrà calcolato), ma anche come parametro di riferimento imprescindibile in un processo che punta all’ottimizzazione del materiale prescelto in un’ottica di rapporto qualità-prezzo del nostro prodotto. Il secondo, invece, costituisce sostanzialmente la chiave di ogni nostra considerazione, in quanto il dimensionamento si basa su un assunto: la tensione massima riscontrabile nella trave può essere al massimo pari a quella ritenuta convenzionalmente ammissibile per quel determinato materiale.

 

Passando alla parte operativa, il dimensionamento riguarderà il solaio rappresentato in figura e in particolare la trave più sollecitata, ossia quella con la maggiore area di influenza. Per poter fare un raffronto circa l’incidenza di quest’ultimo parametro si procederà anche al calcolo dell’altezza per una sezione con area di influenza minore e l’intero iter verrà ripetuto per i 3 diversi materiali.

LEGNO

 

• ANALISI DEI CARICHI

Il legno rappresenta il caso più semplice dei 3. Il primo passo consiste nella definizione del pacchetto che compone il solaio e nell’analisi dei carichi che la trave dovrà sopportare. Ogni strato è caratterizzato da un materiale e dal relativo Peso Specifico (KN/m³). Dal momento che il risultato che cerchiamo è un carico distribuito (KN/m²), moltiplichiamo il peso specifico per la lunghezza e la larghezza considerate, oltre che per lo spessore del singolo strato. Infine, dividiamo per la superficie analizzata.

Una volta ottenuto il peso di ognuno degli strati componenti il solaio, li combino per avere il carico totale q, dato dalla somma dei carichi strutturali q_s, dei carichi permanenti non strutturali q_p(ai quali aggiungiamo sempre 1 KN/m²per gli impianti e 0,5 KN/m² per i tramezzi) e dei carichi accidentali q_a, relativi alla destinazione d’uso degli ambienti (nel nostro caso 2 KN/m² destinazione residenziale), tutti moltiplicati per l’interasse i legato all’area d’influenza della trave.

NB:dopo aver dimensionato una prima volta la trave calcolo anche il suo peso proprio, ottenendo un carico strutturale q_s* maggiore di quello precedente per il quale ridimensiono la trave ottenendo un’altezza h maggiore.

 

• CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Ottenuto il carico totale q, sono in grado di calcolare il momento flettente M agente sulla trave, considerando il sistema statico equivalente ad una trave doppiamente appoggiata con momento flettente massimo pari a ql²/8. L ovviamente si riferisce alla luce della trave presa in esame.

Per quanto riguarda la tensione sig_am, questa dipende dal tipo di legno scelto e, più in generale, è data dal prodotto del coefficiente riduttivo k_mod (normato, tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto)e della resistenza a flessione caratteristica fm,k, ulteriormente ridotta dal coefficiente di sicurezza gamma (nel legno lamellare pari a 1,45).

L’ultimo passaggio sfrutta la Formula di Navier, in quanto da essa possiamo ricavarci il modulo di resistenza W e, dopo aver posto la tensione sigma massima pari a quella ammissibile, anche l’altezza h che cercavamo.

NB:I primi 2 valori di h si riferiscono rispettivamente alla trave più sollecitata (i = 4,5 m) e ad una qualsiasi (i = 2,25 m), con il carico strutturale q_s ; mentre gli altri 2 sono riferiti alle medesime travi, ma con un carico strutturale q_s* che tiene conto del peso proprio della trave.

ACCIAIO

• ANALISI DEI CARICHI

Per quanto concerne l’acciaio la prima parte relativa all’analisi dei carichi è identica a quella precedente. Si procede sempre alla definizione della stratigrafia e al calcolo del peso totale di ogni strato, al fine di sommarli poi per ottenere il carico totale q.

NB:dopo aver dimensionato una prima volta la trave calcolo anche il suo peso proprio, ottenendo un carico strutturale q_s* maggiore di quello precedente per il quale ridimensiono la trave ottenendo un’altezza h maggiore.

 

• CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Anche il calcolo del momento flettente M non riporta differenze rispetto al calcolo precedente.

Lo stesso non si può dire per la tensione: nel caso dell’acciaio abbiamo differenti valori di resistenza caratteristica fy,k, a seconda del tipo di acciaio utilizzato (nel nostro caso abbiamo usato 3 diversi acciai con fy,k pari 235, 275 e 355). La tensione sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k ridotta dividendo per il solito coefficiente di sicurezza gamma, il quale per l’acciaio da carpenteria è pari a 1,15.

Il passo finale si fonda sempre sulla Formula di Navier, ma paradossalmente è più semplice rispetto al legno: è sufficiente porre sempre la tensione sigma massima uguale a quella ammissibile e ricavarsi il modulo di resistenza W_x minimo; successivamente occorre cercare sul profilario il primo profilo con modulo di resistenza superiore a quello trovato.

NB:I primi 3 valori di W_x con relativo profilo IPE si riferiscono alla trave più sollecitata (i = 4,5 m), con il carico strutturale q_s e tensioni fy,k crescenti; mentre i successivi 3 sono riferiti ad una trave qualsiasi (i = 2,25 m), sempre un carico strutturale q_s e tensioni crescenti; i 3 seguenti si riferiscono alla trave più sollecitata, con carico strutturale q_s* che tiene conto del carico proprio della trave, e gli ultimi 3 ad una trave qualsiasi sempre con carico strutturale q_s*.

CEMENTO ARMATO

• ANALISI DEI CARICHI

Anche per il cemento armato la parte relativa alla stratigrafia del solaio e all’analisi dei carichi non subisce variazioni.

NB:dopo aver dimensionato una prima volta la trave calcolo anche il suo peso proprio, ottenendo un carico strutturale q_s* maggiore di quello precedente per il quale ridimensiono la trave ottenendo un’altezza h maggiore.

• CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Anche il calcolo del momento flettente M non riporta differenze rispetto al calcolo precedente.

Per quanto riguarda la tensione, a seconda del cls precelto, avremo una tensione sig_ca data dalla resistenza caratteristica fy, moltiplicata per un coefficiente riduttivo alfa_cc  pari a 0,85 e divisa per il coefficiente riduttivo gamma pari a 1,5.

L’ultimo passaggio in questo caso è più complicato poiché bisogna tener conto del fatto che il materiale non è omogeneo, ma è composto da due materiali diversi (cls e acciaio) con tensioni e deformazioni differenti. Il tutto va, quindi, “omogeneizzato”, mediante un coefficiente di omogeneizzazione n.

Una volta omogeneizzati i materiali e le rispettive tensioni, poniamo queste uguali alla tensione ammissibile e esplicitiamo x_c in funzione della nostra incognita h, sfruttandoproprietà dei triangoli simili. Così facendo ci imbattiamo in un altro parametro fondamentale, ossia alfa.

A questo punto sappiamo che il momento flettente M è dato da una coppia: la compressione C relativa al calcestruzzo e la trazione T relativa all’armatura d’acciaio.

Eguagliando i momenti dati dal prodotto di queste due forze con il braccio b* possiamo esplicitare l’altezza h (h_u nell’immagine sopra) che stiamo cercando.

NB:I primi 3 valori di H si riferiscono alla trave più sollecitata (i = 4,5 m), con il carico strutturale q_s e tensioni Rck crescenti; mentre i successivi 3 sono riferiti ad una trave qualsiasi (i = 2,25 m), sempre un carico strutturale q_s e tensioni crescenti; quello seguente si riferisce alla trave più sollecitata, con Rck pari a 50 e carico strutturale q_s* che tiene conto del carico proprio della trave, mentre l’ultimo ad una trave qualsiasi sempre con carico strutturale q_s* e Rck 50.

 

 

 

 

 

Saper fare un dimensionamento di massima di una trave soggetta a MOMENTO FLETTENTE è basilare ai fini della progettazione; il dimensionamento infatti serve a stabilire se la struttura riesce a resistere ai carichi a cui è sottoposta.

La resistenza si misura in TENSIONE, motivo per cui nelle tabelle finali si verificherà che le tensioni di progetto siano inferiori a quelle cosiddette ammissibili.

1) PIANTA:

Il dimensionamento riguarderà il solaio rappresentato in figura e in particolare la trave più sollecitata

Luce 7m _ Interasse 5 m

2) SEZIONE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) ANALISI DEI CARICHI:

4) -Dimensionamento trave maggiormente sollecitata:

Ho inserito nel foglio elettronico i carichi precedentemente calcolati e la misura della base ipotizzata.

 

ottengo un hmin = 53.43 cm;

per stare in sicurezza e adattarmi ai formati commerciali prendo una sezione 35x55 cm.

Aggiungo ora al calcolo precedentemente effettuato il peso proprio della trave:

Vediamo nel riquadro rosso a sfondo verde che la trave non è verificata; provo allora adottando una trave 35x60 cm e vedo, nell'ultima riga sopra allegata, che questa soddisfa la verifica.

 

SOLAIO IN ACCIAIO

Carichi permanenti strutturali (qs):

 

-       Soletta in CLS

 

Volume/mq = 0,1m x 1,0m x 1,0m = 0,1 mc/mq

Peso specifico:  2300 kg/mc   à    23 kN/mc

Peso soletta al mq:  0,1mc/mq x 23 kN/mq = 2,3 kN/mq

 

-       Rete elettrosaldata

 

Diametro: 5mm,  Maglia: 100mm x 100mm

Peso al mq:  3,1 kg/mq    à    0,03 kN/mq

 

-       Lamiera grecata

Spessore: 1,0mm

Peso al mq:  9,58 kg/mq    à    0,09 kN/mq

 

qs = 2,42 kN/mq

 

 

Carichi permanenti non strutturali (qp):

 

-       Pavimento(parquet in rovere)

Spessore: 2cm = 0,02m

Peso specifico:  720 kg/mc   à    7,2 kN/mc

Volume/mq = 0,02m x 1,0m x 1,0m = 0,02 mc/mq

Peso pavimento al mq:  0,02mc/mq x 7,2 kN/mq = 0,14 kN/mq

 

-       Massetto

 

Spessore: 4cm = 0,04m

Peso specifico:  2300 kg/mc   à    23 kN/mc

Volume/mq = 0,04m x 1,0m x 1,0m = 0,04 mc/mq

Peso pavimento al mq:  0,04mc/mq x 23 kN/mq = 0,92 kN/mq

 

 

-       Impianti

 

0,2 kN/mq

 

-       Controsoffitto

Spessore: 15mm

Peso specifico:  17 kg/mq   à    0,17 kN/mq

 

-       Tramezzi

 

0,2 kN/mq

 

qp = 2,23 kN/mq

 

 

 

Carichi accidentali (qa):

 

Per edifici per uffici chiusi al pubblico:  2,0 kN/mq

 

qa = 2,0 kN/mq

 

 

 

Inserendo i valori di carico ottenuti, le caratteristiche del tipo di acciaio scelto (specificandone la resistenza fy,k) nel foglio excel, ottengo un valore Wx(max) = 347,61 cm^3.

Scelgo quindi di utilizzare una trave IPE 270, con Wx = 428,9 cm^3 > 347,61 cm^3.

 

Ora devo effettuare un’ulteriore verifica inserendo il peso proprio della trave IPE scelta all’interno dei carichi permanenti strutturali.

 

Peso trave al mq = 42,2 Kg/m /  4,0m (interasse) = 10,55 Kg/mq   à    0,1 kN/mq

 

         qs’ = (2,42 + 0,1) kN/mq = 2,51 kN/mq

 

 

 

Sostituendo ora il valore qs con il valore qs’ nel foglio excel, ottengo un valore Wx(max) = 352,84 cm^3.

 

Quindi la sezione IPE 270 è verificata in quanto Wx = 428,9 cm^3 > 352,84 cm^3.

 

Dimensionamento di una trave in legno

Inizio analizzando la tessitura del mio solaio ed andando a dimensionare la trave maggiore e quindi più sollecitata

Per il solaio ho cosiderato un edificio residenziale multipiano, quindi il pacchetto è un interno-interno

Vado a calcolare i miei carichi

qs Carico strutturale (travetti; caldana; tavolato)

Prendo dei travetti in pioppo di dimensione 6cm * 8cm, considero che in un  metro quadro di solaio ne posso trovare due e li vado a calcolare per il peso specifico del materiale che è di circa 5,00 kN/m³

(5,00 kN/m³ * 0,08 m * 0,06 m * 1 m * 2)/1m²= 0,048 kN/m²

Ora devo aggiungere il peso degli elementi strutturali che compongono il pacchetto che ho scelto

Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Il totale dei mio qs è di 0,538 kN/m²

qp Carico permanente (isolante; massetto; paveimento; inc.tramezzi; inc.impianti)

Isolante fibra di legno _ 4 cm _ 0,0075 kN/m² 
Massetto _ 3 cm _ 0,54 kN/m²
Pavimento in Gres _ 1 cm _ 0,20 kN/m²

A questi carichi vado a sommare:
Incidenza degli impianti _ 1,00 kN/m²
Incidenza dei tramezzi _ 0,50 kN/m2

Il totale dei mio qp è di 2,2475 kN/m²

qa Carico accidentale (da normativa per la tipologia di edificio: ad uso residenziale)

Ambiente ad uso residenziale _ 2,00 kN/m²

Carico totale q

Grazie alla tabella excel vado a determinare il carico totale sommando i carichi qs, qp, qa e moltiplicandoli per l'interasse di influenza della trave (i) di 4m: 19,142 kN/m

Ora vado a calcolare il Mmax della trave moltiplicando il carico (q) ottenuto per il quadrato della luce della trave (l) e dividendoli per 8:    [q * (l)²]/8 = 86,139 kN/m

Vado a calcolare la mia ϭ max, che equivale alla mia resistenza di progetto, moltiplicando il valore di resistenza tipica del materiale (fm,k) che nel legno equivale a 24 N/mm² per il coefficiente di degrado (kmod) che nel legno ha un valore di 0,6 e divido per il coefficiente di sicurezza 1,45:  (fm,k*kmod)/1,45 = 9,93 N/mm²

Ricavato il vaore del ϭ ammissibile determino una trave di base 25 cm e vado a ricavare l'altezza con la tabella excel

La trave ottenuta ha una b = 25cm e una h = 48cm, ora andremo a verificare la struttura aggiungendo ai carichi strutturali qs anche il peso della trave ricavata
Per prima cosa ricavo il peso proprio della trave:  (4,00 kN/m³ * 0,25m * 0,48m * 1m)/ 1m² = 0,48 kN/m²
Ora vado ad inserire il peso della mia trave nei carichi strutturali e ripeto il procedimento di prima

qs Carico strutturale (TRAVE; travetti; caldana; tavolato)

TRAVE _ 25cm*48cm*100cm _ 0,48 kN/m²
Travetti _ 8cm*6cm*100cm _ 0,048 kN/m²
Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Totale qs = 1,018 kN/m²

Inserisco nuovamente i miei valori nella tabella excel e lasciando invariata la dimensione della base (25cm) verifico che l'altezza di 48cm che ho preso sia sufficiente

Il valore dell'altezza è inferiore ai 48cm quindi posso utilizzare una trave di 25cm*48cm

 

 

Dimensionamento Trave in un solaio in Legno

1.       Disegnare il solaio:

Dimensionare il solaio con interasse trave 3 m

Scegliere l’orditura del solaio

 

2.       Trovare la trave più sollecitata e la rispettiva area di influenza dei carichi

 

3.       Solaio in legno sistema a secco con riscaldamento (porzione di 1m)

 

Calcolare i pesi agenti sulla trave

4.       qs Peso di 1mq di solaio Lamellare conifero

·         Peso di 2 Travetti  (b=0.08m  h=0.1m)    γ = 6 kn/mc   V=0.008mc  P=γ *V

                                  P1=0.048 kn/mq*2=0.096 kn/mq

·         Peso di 20 Tavole (b=0.1m  h=0.03m)    γ = 6 kn/mc   V=0.003mc  P=γ *V

                                 P2=0.018 kn/mq*20=0.36 kn/mq

Qs=P1+P2=0.456 kn/mq

5.       qp Sovraccarico permanente di 1 mq

·         Sottofondo di riempimento a secco con graniglia di marmo γ = 1.4 kn/mc  P=γ *Spessore

          P3= 1.4 kn/mc * 0.05 m= 0.07kn/mq

·         Isolante termico-acustico in fibra di legno  γ = 0.5 kn/mc  P=γ *Spessore

         P4= 0.5 kn/mc * 0.02 m= 0.01kn/mq

·         Lastra di fibrogesso   γ = 0.35 kn/mc  P=γ *Spessore

         P5= 0.35 kn/mc * 0.03 m= 0.01kn/mq

·         Pavimento in ceramica  γ = 20 kn/mc  P=γ *Spessore

         P6= 20 kn/mc * 0.015 m= 0.3 kn/mq

·         Avendo il riscaldamento a pavimento il peso degli impianti è maggiore di 0.5 kn/mq e diventa             P7= 0.8 kn/mq

·         Tramezzi P8=1 kn/mq

QP=P3+P4+P5+P6+P7+P8=2.19 kn/mq

6.     Qd Carico accidentale

·         Ambienti ad uso residenziali  P9=2 kn/mq

Qd= 2 kn/mq

7.       Una volta trovati i carichi agenti nella trave più sollecitata si inseriscono i dati sul foglio Excel

i=6 metri

qs=0.456 kn/mq           qp=2.19 kn/mq          qd= 2 kn/mq

q= somma de carichi*i

luce=lunghezza trave

M=momento pari a ql²/8

Fm,k= resistenza a flessione del legno lamellare  classe GL 24c pari a 24 N/mm²

Kmod=coefficiente correttivo che tiene conto dell’effetto della durata del carico sia dell’umiduta della struttura                      poichè ho scelto un legno lamellare incollato EN 14080 classe 2 il Kmod permanente è 0.6

γ_amm= sigma ammissibile 

b=la base della trave la dimensioniamo noi, io ho impostato b=18 cm

 

Dai calcoli effettuati la dimensione della trave viene  b=18cm   h=22.93cm ma poiché la dimensione delle travi lamellari sono multiplo di 4 cm la trave ultima è di  b=18cm   h=24 cm

 

 

 

 

 

 

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE in CEMENTO ARMATO

 Disegno un telaio strutturale, avente :

Interasse (I)= 5m

Luce(L)=6m

Vado ad analizzare la trave più sollecitata

 

Ho deciso di adottare una solaio misto  in latero cemento ipotizzando un’altezza H>L/25  perciò H>0.24m

 

 

ANALISI DEI CARICHI

1)CARICHI STRUTTURALI  Qs

peso di tutti gli elementi   strutturali=TRAVETTO-PIGNATTA-SOLETTA

Per trovare il qs al mq di ogni elemento faccio:

larghezza x altezza x profondità x peso specifico materiale

 -TRAVETTI  :

peso specifico del cemento =25 KN/ m³  

0,1 x 0,18 x 1 x 25 = 0,45 x 2 = 0,9 KN/ m²  

-PIGNATTE :

peso specifico mattoni forati =8    KN/m³

0,40 x 0,18 x 1 x 8 KN/m³  = 0,576 KN/m²x 2 = 1,152 KN/m²       

-SOLETTA:

Peso specifico delcemento 25 KN/ m³

1 X 1 X 0,06 X 25 =  1,5  KN/ m²          

 qs TOT = 1,152+0,9+1,5 = 3,552 KN/ m²

 2)CARICHI  PERMANENTI Qp

peso dei carichi permanenti dei restanti  elementi (dunque non strutturali) che compongono il pacchetto solaio =Massetto—isolante-piastrelle

 -MASSETTO

peso specifico materiale calcestruzzo sabbia 18 KN/ m³

0,05 x 1 x 1 x 18 = 0,9 KN/ m²  

-ISOLANTE

peso specifico fibre minerali 0,5 KN/ m³

1 x 1 x 0,04 x 0,5 = 0,02 KN/ m²       

-PIASTRELLE

Peso specifico gres porcellanato 23 KN/ m³

1 x 1 x 0,02 x 23 = 0,46 KN/ m²            

-INTONACO SOFFITTO

peso specifico materiale (malta di calce 18 KN/ m³)

0,015 x 1 x 1 x 18 = 0,27 KN/ m²              

-INCIDENZA IMPIANTI  :  0,5 KN/ m²               

-INCIDENZA TRAMEZZI  : 1,60 KN/ m²

 qp TOT =  0,27+0,02+0,9+0,46 = 3,75 KN/ m²

 3)CARICHI ACCIDENTALI Qa

Dipende dalla funzione dell’edificio in quanto si considera la variazione dei carichi che può gravare o meno sul solaio

Ipotizzando che la destinazione d’uso di questo edificio sia un ambiente a uso residenziale,normativa prevede  Qa  =2 KN/m²

sommatoria dei carichi:

Q TOT = Qs +Qp + Qa = 3,552 + 3,75 + 2 = 9,30 KN/ m²

INSERISCO I VALORI TROVATI SULLA TABELLA EXEL

Interasse=3,5525 KN/ m²  

Qp=3,75 KN/ m²  

QS=2 KN/ m²  

moltiplicando la somma dei carichi per l’interasse I ottengo il q =  46,51kN/m

 

 

 

Essendo la trave doppiamente appogiatae avente una Luce =6m, ottengo il Momento flettente massimo (qL ²/ 8) = 209,295 KN*   m

Definisco la  classe di resistenza dell’acciaio da  armatura B450C deve essere 450MPa.

Inserisco fy (Limite di snervamento)Dividendo fy per un coefficiente di sicurezza pari a 1,15 ottengo così anche sig_fa ( la resistenza di calcolo dell’acciaio che è riferita alla tensione di snervamento)

Definito un Rck (la resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 giorni) uguale a 35 sig_ca = Rck  x 0,85 (il coeffciente riduttivo per le resistenze di lunga durata)/1,5 (il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo)

Ottengo così l’altezza della traveH =48, 62 cm

 

La tecnologia scelta per la struttura di questa pianta a uso residenziale è quella del legno, un materiale leggero perché ricco di acqua e resina e che allo stesso tempo presenta un ottimo rapporto resistenza/peso specifico (= 5KN/m³).                                                                                                                                             Vediamo sul disegno della pianta una zona tratteggiata che evidenzia l’area di influenza  della trave soggetta a maggior sforzo, scelta in base proprio alla misura dell’area di influenza e alla sua lunghezza.

In particolare la scelta è ricaduta sul pioppo, tra i legni “poveri” uno di quelli che rispondono meglio alle necessità strutturali.

Il solaio presenta gli elementi basilari per una struttura del genere, arrivando a uno spessore di 29 cm circa escluso quello della trave che dobbiamo ancora dimensionare.

 

Nonostante abbiamo a disposizione un foglio excel che può supportare i seguenti calcoli, proviamo a eseguirli ugualmente a mano per poi confrontarli e verificarli con la tabella excel .

Iniziamo con l’analisi dei carichi strutturali, permanenti e accidentali.

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Carichi strutturali qs, che comprendono il peso degli elementi portanti

Travetti in pioppo

Peso specifico = 5KN/m³

Volume = 0,08 x 0,1 x 1 = 0,008m³

Peso al m² = 5 x 0,08 x 0,1 x 2 = 0,08KN/m²     è moltiplicato per due perchè secondo l’interasse tra i travetti  possiamo dedurre che ogni metro ci sono sicuramente due travetti

 

Tavolato in pioppo

Peso specifico = 5KN/m³

Volume = 0,035 x 1 x 1 = 0,035m³

Peso al m² = 5 x 0,035 = 0,175KN/m²  

Caldana

Peso specifico = 18KN/

Volume = 0,05 x 1 x 1 = 0,05m³

Peso al m² = 18 x 0,05 = 0,9 KN/m²

Totale qs = 1,15KN/m²

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Carichi permanentiqp, cioè quegli elementi di sovraccarico che gravano costantemente, permanentemente sugli elementi strutturali

Pavimento parquet in rovere

Peso specifico = 7KN/m³

Volume = 0,015 x 1 x 1 = 0,015m³

Peso al m² = 7 x 0,015 = 0,1KN/m²  

Massetto in cls alleggerito

Peso specifico = 4,7KN/m³

Volume = 0,04 x 1 x 1 = 0,04m³

Peso al m² = 4,7 x 0,04 = 0,2KN/m²  

Isolamento in fibra di legno

Peso specifico = 2,1KN/m³

Volume = 0,05 x 1 x 1 = 0,05m³

Peso al m² = 2,1 x 0,05 = 0,1KN/m²  

Incidenza impianti = 1KN/m²

Incidenza tramezzi = 1KN/m²

Muro di tamponamento  = 2KN/m²

Totale qp = 4,4 KN/m²

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Carichi accidentali qa, cioè quelli dovuti all’uso dell’ambiente. Nel nostro cosa, come abbiamo scritto precedentemente, si tratta di un uso residenziale

Totale qa = 2 KN/m² (da normativa)

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TOTALE CARICHI

qs + qp + qa = 1,15 + 4,4 + 2 =7,55KN/m²

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Avendo il valore totale dei carichi, ora possiamo calcolare il valore del carico distribuito sulla trave presa in esame, moltiplicando la somma dei carichi per il valore i, cioè l’ampiezza dell’area di influenza degli stessi carichi sulla trave.

Q = (qL²)/2 x i = 7,55 x 4 = 30,2KN/m²

Ora calcoliamo il momento massimo che insiste sulla trave, valutata come una trave appoggiata con un carico distribuito. L è l’altra dimensione dell’area di influenza

 

abbiamo ottenuto una trave in legno con dimensioni 200x550mm

andiamo a verificare con il foglio excel se i nostri calcoli sono giusti.

i dati calcolati con excel corrispondono a quelli svolti a mano! 

ma cosa succederebbe se considerassimo anche il peso della trave stessa?                                                                          sommiamo ai carichi strutturali quello della trave appena calcolata

 

Trave in pioppo

Peso specifico = 5KN/m³

Volume = 0,2 x 0,55 x 1 = 0,11m³

Peso al m² = 5 x 0,11 = 0,55KN/m²

Totale qs = 1,15 + 0,55 =1,7 KN/m²

notiamo che l'altezza della trave è cambiata, pertanto le dimensioni sarebbero 200x600mm (arrotondando sempre per eccesso)

 

 

Voglio Dimensionare le travi di un solaio in legno per una sala di 8x5m di una biblioteca.

 

 

 

 

Luce delle travi : L = 5 m

Interasse i = 4 m

Per prima cosa analizzo i carichi che la trave dovrà sostenere e tramite cui potrò poi progettare l'altezza della stessa.

 

     

 

A) CARICHI STRUTTURALI

Pianelle in laterizio (10 kN/m3) s= 5 cm  >  10x0,05 = 0,5 kN/m2

Travicelli (6 kN/m3) 8x8 cm (3 ogni m2) >6x3x0,08x0,08 = 0,11 kN/m2

 

Totale carichi permanenti = 0,61  kN/m2

 

B) CARICHI PERMANENTI

Pavimento in gres  (21 kN/m3)  s = 1,5 cm  > 21x0,015 = 0,31 kN/m2

Strato di allettamento in malta di calce (18 kN/m3)  s = 3 cm  > 18x0,03 = 0,54 kN/m2

Tramezzi (considerati carichi distribuiti secondo nuova NTC) = 1,00 kN/m2
 

Totale carichi permanenti =  2,85  kN/m2

 

C) CARICHI VARIABILI

Destinazione d'uso: Biblioteca = 6,00  kN/m2

 

Totale carichi = 8,46 kN/m2

 

 

Analisi dei carichi sulle travi portanti

Carico agente sulla trave : q = qs + qp + qa  x Area d'influenza

Le travi A,C  hanno un area di influenza uguale a 2 m > 8,46x2 = 16,92 kN/m

 

La trave B ha un area di influenza uguale a 4 m > 8,46x4 = 33,84 kN/m

 

Progetto a momento flettente una trave doppiamente appoggiata > M = ql2/8

 

il momento massimo si ha in mezzeria = 2,5 m

 

Travi A,C > 16,92x2,52/8 = 13,22 kN/m

 

Trave B > 33,84x2,52/8 = 26,43 kN/m

 

Scelgo delle travi in legno lamellare incollato GL24 con peso specifico 5,00 kN/m2 e kmod per classe di durata del carico permanente di 0,5 in classe di servizio 3.

 

Tramite l'inserimento dei dati trovati e scegliendo una base di 25 cm nel foglio excel trovo le altezze:

 

 Trave B  >  58,56 cm che per ragioni di sicurezza vado ad aumentare a 60cm.

 

 Trave A,C  >  41,41 cm che per ragioni di sicurezza vado ad aumentare a 45cm.