Portale di Meccanica

#1_TRAVE RETICOLARE 3D(SAP)

Dopo aver disegnato una struttura reticolare in 3 dimensioni, avente modulo quadrato L x L, con L = 2 m, viene immessa nella in SAP, avendo l'accortezza di separare ogni singola ASTA dalle altre ed aver approssimato  l'errore nei nodi con uno scarto più basso possibile.

Si assegnano i tre vincoli in modo che non siano allineati:

Si definisce una sezione per le ASTE, in questo caso una sezione scatolare cilindrica d'acciaio di spessore 4 mm e diametro 15 mm:

s = 4 mm

d = 15 mm

Si assegnano le Forze puntuali di 40 KN su ogni nodo superiore della struttura e rilascia tutta la struttura dal momento e si elimina il perso proprio della struttura dall'equazione:

Una volta avviata l' analisi della struttura se ne ricavano i diagrammi della struttura DEFORMATA, e delle sollecitazioni di COMPRESSIONE e TRAZIONE in ogni asta

e i valori della TENSIONE interna alle aste:

#2_TRAVE RETICOLARE 2D (SAP+RITTER/NODI)

Una travatura reticolare si riconosce semplicemente se le aste hanno solo sforzo normale N di trazione (+) o compressione (-), ed è isostatica in quando è formata da triangoli.

La struttura reticola isostatica è simmetrica, quindi possiamo studiarne una metà, ne numeriamo i nodi e procediamo con lo studio degli sforzi normali all'interno di ogni asta:

N_9,7*L+F*L+F*2L+F*3L+F*4L-F*(9/2)*4L=0 -> N_9,7=8F

N_8,10*L+F*L+F*2L+F*3L-F*(9/2)*3L=0 -> N_10,8=F*(15/2)

N_7,10(√2/2)-N_9,7+N_{8,10=0 ->} N_7,10=F*(1/√2)

N_10,8=F*(15/2)

N_7,5*L+F*L+F*2L+F*3L-F*(9/2)*3L=0 ->N_7,5=F*(15/2)

-N_7,8-F-F-F+F*(9/2)=0 -> N_7,8=F*(3/2)

N_7,5=F*(15/2)

N6,8*L+F*L+F*2L-F*(9/2)*2L=0 ->N_6,8=6F

N_5,8(√2/2)-N_7,5+N_6,8=0->N_5,8=F*(3/√2)

N_5,3=6F

 

N_4,6*L+F*L-F*(9/2)*L=0 ->N_4,6=F*(7/2)

 

N_3,6(√2/2)-6F+F*(7/2)=0 ->N_3,6=F*(5/√2)

 

N_6,4=F*(7/2)

 

N_3,2*L+F*L-F*(9/2)*L=0 ->N_3,2=F*(7/2)

 

-N_3,4-F+F*(9/2)=0 ->N_3,4=F*(7/2)

N3,2=F*(7/2)

 

N1,4=0 

 

N2,4(√2/2)-F*(7/2)=0 ->N2,4=F*(7/√2)

 

N_3,2=F*(7/2)

 

N_1,4=0 

 

N_2,4(√2/2)-F*(7/2)=0 ->N_2,4=F*(7/√2)

 

N_1,2=F*(9/2)

 

Gli sforzi sulla trave sono:

                               

indicando in Blu i puntoni (compressi) e in Rosso i tiranti (tesi).

 

VERIFICA SU SAP

Imposto la trave reticolare in SAP con

L=2 m

F=10 KN

e una sezione cilindrica cava per le aste

                     

Sforzi assiali:

                    

Deformata:              

                     

 

N6,4=F*(7/2)

 

N4,6*L+F*L-F*(9/2)*L=0 ->N4,6=F*(7/2)

 

-N3,4-F+F*(9/2)=0 ->N3,4=F*(7/2)

RISOLUZIONE DI UN SISTEMA IPERSTATICO MEDIANTE L'INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Partendo da questo schema statico su cui è applicato un carico distribuito (q) è richiesto di trovare l'abbassamento massimo che da questo carico è provocato. Dato che il sistema è iperstatico per risolverlo non può essere usato il classico metodo dell'equilibrio dei corpi liberi per via delle troppe incognite (4) a fronte delle sole 3 equazioni necessarie a determinare l'equilibrio. Il metodo che l'esercizio stesso suggerisce di applicare è quello dell'integrazione della linea elastica.

Questo metodo collega i 3 gruppi di equazioni che descrivono il comportamento meccanico del modello strutturale in esame, che presenta le caratteristiche della trave di Eulero-Bernoulli (trave sintetizzata come asse rispetto al quale ogni sezione è perpendicolare, carichi spostamenti e deformazioni nel piano). Esse sono:

L'incognita principale è lo spostamento verticale, e non ci sono carichi orizzontali agenti sulla struttura (di conseguenza nemmeno reazioni vincolari orizzontali ne sollecitazioni assiali), quindi possiamo escludere 3 di queste 8 equazioni, ottenendo questo sistema:

Procedendo per sostituzione e integrando si risale ad un equazione utile a ricavare lo spostamento verticale v in funzione di s.

È necessario precisare che la trave ha sezioni uguali in ogni punto ed è composta di un materiale uniforme, di conseguenza E ed I sono costanti lungo tutto l'intervallo di s, come lo è q. Questo semplifica notevolmente il procedimento di integrazione.

Integrando si generano delle costanti, che non sono però incognite: esse assumono un valore a seconda delle condizioni di vincolo al bordo, il punto di partenza per la risoluzione dell'esercizio.

Sono necessarie 4 equazioni con risultato noto per trovare le 4 costanti d'integrazione, si esaminano quindi i vincoli dati dall'esercizio per capire cosa è noto:

• Per s = 0 abbiamo lo spostamento verticale e la rotazione nulle (v=0 e φ=0). Da questo deriva che c₃ e c₄ hanno valore nullo (per sostituzione nell'equazione di v(s)).

• Per s = L abbiamo che lo spostamento verticale è sempre nullo (v=0), è consentita la rotazione che però è ignota, quindi si considera l'equazione del momento. È noto che in cerniera esso è nullo, e di conseguenza la stessa curvatura ha valore nullo (Χ=0):

Svolgendo i calcoli si determinano i valori di c₁ e c₂:

L'equazione di v è espressa in funzione di s, che varia da 0 ad L. Per conoscere il valore di s che corrisponde all'abbassamento massimo (che corrisponde al punto di minimo, con tangenza orizzontale quindi) è sufficiente risolvere v'(s)= 0.

L'equazione è di terzo grado e presenta 3 soluzioni. Una è maggiore di L (quindi da scartare), la seconda è 0 e la terza è 0,578L, l'obiettivo del calcolo.

A questo punto si torna all'equazione di v(s), che non presenta più incognite. Sostituendo i valori di c₁, c₂ ed s si ottiene il valore dell'abbassamento in funzione di L, E, I e q. Questi dipendono dalle condizioni di progetto e di carico (L e q), dalla geometria della sezione scelta (I, il momento d'inerzia) e dal materiale utilizzato (E, il modulo elastico).

È possibile determinare qualitativamente i diagrammi di taglio e momento flettente.

Il taglio presenta un andamento lineare, con valore negativo all'incastro e positivo sul carrello, e si azzera a 5/8L.

Il momento flettente presenta quindi un andamento parabolico con un valore massimo positivo nell'incastro, è nullo in corrispondenza del carrello e il vertice della parabola in questione è situato in corrispondenza del punto in cui il taglio è nullo. 

VERIFICA SU SAP DEI DATI OTTENUTI CON APPLICAZIONE DI 2 DIVERSE SEZIONI

Per rappresentare lo schema statico su SAP viene aperto un nuovo file di tipo GRID, con unità di misura convenzionali (kN, m, °C). Impostati i parametri di spaziatura di modo che L sia pari ad 1, impostata correttamente la vista, si (piano XZ) disegna un punto P di coordinate (0.578, 0, 0), ovvero il punto ricavato mediante il calcolo manuale in cui l'abbassamento è massimo, e si disegna una trave usando 2 segmenti, che condividono un estremo proprio in quel punto. Il programma non li leggerà come 2 elementi distinti, ma come un unico elemento strutturale.

Successivamente vengono impostati i vincoli (incastro e carrello) e il carico associato a un corretto load pattern con peso proprio degli elementi strutturali nullo (carico distribuito, di 100kN/m).

Manca unicamente di impostare un tipo di sezione alla trave.

Qui si aprono 2 possibilità: l'esercizio deve essere svolto con sezione rettangolare in CLS non armato (0.20x0.40m) e con sezione rettangolare cava in acciaio (0.10x0.15m, con spessore di 0.004m).

Dopo aver assegnato a entrambi i segmenti le sezioni precedentemente impostate va svolta l'analisi per i carichi assegnati, escludendo l'analisi modale.

Il programma mostra direttamente la deformata, che conferma la correttezza (con un certo grado di approssimazione) del calcolo manuale utilizzato per il posizionamento del punto a 0,578l.

Posizionando il cursore su tale punto, che graficamente sembra essere proprio sul minimo della deformata, viene rivelato l'abbassamento (che varia in base alla Section Property associata alla trave) e le rotazioni della sezione. Essa, nella direzione di nostro interesse, è prossima allo zero: infatti nel punto di minimo è per definizione nulla, essendo la tangente in quel punto orizzontale.

Verificati e confrontati i grafici di T ed M rappresentati al livello qualitativo alla fine dell'esercizio manuale con quelli che il programma fornisce si visualizzano ed esportano su excel le tabelle per arrivare ai valori precisi di reazioni vincolari e sollecitazioni. Eseguendo l'analisi per ognuna delle 2 sezioni precedentemente impostati si arriva ad ulteriori dati, gli abbassamenti e le rotazioni.

TABELLE CON RISULTATI

Risoluzione di una struttura iperstatica

Per risolvere questo tipo di trave andiamo ad analizzare i tre gruppi di equazioni della trave di Eulero Bernoulli (equazioni di equilibrio, legami costitutivi, equazioni di compatibilità)

Potremmo escludere da questi tre gruppi tutte le equazioni contenenti i termini  u, N e ε (poichè non abbiamo uno spostamento orizzontale) ed accorpare le rimanenti equazioni in un unico sistema

Ora vado ad unire T'+q2=0 con M'+T=0 :           -[(d²M)/(dS²)]+q2=0
Posso unire anche anche χ = ϕ’ con ϕ = v’ :       χ= d²v/dS²

Grazie all’ultima componente del sistema (M = E I χ) potrò formulare un unica equazione che contiene tutte le altre:    EI*(d⁴v/dS⁴)=q2

Ora vado a derivare l’equazione differenziale imponendo il termine q2 come costante

Ora posso ottenere il valore dello spostamento (v) andando a ricavare le incognite c.
Le incognite possono essere ricavate ponendo il valore di s=l e s=0

Ottenuto il sistema vado a ricavare le uniche incognite rimaste (c1;c2)

Conoscendo ora tutte le incognite (c1;c2;c3;c4) posso sostituirle in v(s) per trovare il valore di s

Il primo risultato che troviamo è s=0 per gli altri due risultati applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ottenendo i due risultati:

s = +0,57 l     s = +1,513 l

Di questi due valori prenderemo solo il primo (s= +0,57 l) poichè la trave ha una lunghezza:  0 < l < 1

A questo punto inserisco il vaore di s in v(s) =>   v(0,57) ed ottengo la distanza s in cui il momento è massimo:

s = 0,57

Risoluzione della struttura in SAP 2000

Per prima cosa disegno la struttura, definisco l'unità di misura (KN,m,C), ed assegno i carichi

Poi assegno un carico distribuito di 10 N/m su tutta la struttura

Associo alla trave un profilo rettangolare in calcestruzzo (Assign->Frame->Frame Sections)

Questo profilo (probabilmente eccessivo) determina una deformata in cui l'inflessione è così impercettibile che il software non la mostra

Ripeto il passaggio precedente associando alla struttura un profilo tubolare in acciaio

Avvio il calcolo della struttura (Run Analysis)

Dal diagramma del monmento posso verificare che il momento massimo (0,67) si trova esattamente ad una distanza pari a 0,57

 La Cacciata di Adamo ed Eva dal Giardino del Paradiso - Alexandre Cabanel

Chissà a che livelli arrivò la frustrazione di Adamo ed Eva nell'ascoltare la sentenza di Dio, riguardante il loro definitivo allontanamento dal Paradiso Terrestre. Allora erano forse inconsapevoli del fatto che, a causa di quel gesto di superbia, avevano perduto per sempre i doni preternaturali, i quali, tra le altre cose, li mettevano al riparo da ignoranza e inettitudine. Sicuramente non immaginavano di aver abbandonato, col loro atto, una parte del genere umano alle frustrazioni causate dal burrascoso rapporto con la meccanica e la statica. Diverse generazioni di studenti di architettura hanno convissuto con lo spauracchio degli esami di queste due discipline. Spauracchio che puntualmente si acuiva nel momento in cui venivano pronunciate due parole: LINEA ELASTICA.

Nonostante il senso di inquietudine che ancora mi pervade, proverò in questo post a spiegare come affrontare un sistema iperstatico, tramite l'utilizzo, appunto, dell'equazione della linea elastica. Iniziamo.

Questo era il sistema iperstatico assegnato, in cui dovevamo trovare il valore dello spostamento verticale v e ricavare un disegno della deformata, da verificare poi in SAP2000.

Scriviamo innanzitutto le equazioni relative al modello della trave di Bernoulli.

Equazioni differenziali di bilancio:

Equazioni del legame costitutivo:

Equazioni di congruenza:

Eliminiamo dal sistema le equazioni relative allo sforzo normale, dato che non prendiamo in considerazione l'analisi della deformata assiale, e mettiamo a sistema le rimanenti:

Partiamo dalla 2° equazione:

Sostituendo nella precedente:

Imponiamo che q2 sia costante, e,integrando 4 volte l'equazione differenziale ottenuta qui sopra, possiamo ricavare l'equazione esplicitata in v(s), che ci permetterà poi di ricavare tutte le altre incognite:

Scriviamo quindi le condizioni al bordo nei punti s=0 e s=L, per trovare i valori delle varie costanti c.

Per s=0:

Per la condizione s=L, mettiamo a sistema le 2 equazioni:

Sapendo che lo spostamento v ha un massimo o un minimo dove la pendenza della tangente alla deformata è nulla, poniamo l'equazione della rotazione pari a 0, per trovare un valore accettabile di s:

Supponiamo inoltre che la sezione della trave sia costante e dello stesso materiale, cosicchè possiamo sostituire ad I la formula del momento di inerzia di una sezione generica:

Consideriamo solo s=0,57, in quanto s<1, e lo andiamo a sostituire nell'equazione differenziale precedente per trovare v(s):

Disegniamo i diagrammi del taglio e del momento, da confrontare poi con quelli di SAP2000, impostando q₂=-q e calcolando i relativi valori:

Per le condizioni al bordo, M è nullo in:

Troviamo anche i valori del taglio, sapendo che esso è la derivata del momento, consapevoli del fatto che nel punto in cui il taglio è nullo, il momento è invece massimo:

Dopo la parte dei calcoli manuali (poco piacevole, a dir la verità), portiamo il tutto su SAP2000, verificando di non aver sbagliato nulla.

Apriamo innanzitutto un nuovo file basato su griglia e andiamo nella vista 2D xz. Tramite lo strumento POINT inseriamo un punto in corrispondenza del vmax che usciva fuori dai precedenti calcoli (0,57L), e, grazie allo snap dei 3 punti, disegniamo la nostra trave (DRAW-FRAME):

Ora assegniamo una sezione generica IPE alla trave in acciaio (DEFINE-SECTION PROPERTIES-FRAME SECTIONS):

Dopo  aver assegnato i vincoli e rimosso l'analisi del carico proprio della struttura, come al solito, impostiamo la densità di carico q₂ per la trave:

Ora non ci resta che avviare l'analisi della deformata, ricordandoci prima di rimuovere dall'analisi il MODAL:

In ultimo, lasciamo che SAP2000 ci calcoli i diagrammi del momento flettente e del taglio, per verificare di averli disegnati correttamente in precedenza:

Milstein Hall at Cornell University - OMA

Inauguro il blog con una fotografia della Milstein Hall, progettata dalla sezione newyorkese dello studio OMA, che, rimanendo sempre fedele alla metafisica progettuale del suo fondatore (Rem Koolhaas), ha incentrato la progettazione dell'edificio su mastodontiche travi reticolari.

Cercherò quindi in questo primo post di spiegare come è possibile calcolare le sollecitazioni a cui è soggetta una trave di questo tipo, dapprima secondo il metodo manuale delle sezioni di Ritter, e poi verificando il tutto su SAP2000. Iniziamo.

Prendiamo come esempio questo semplice sistema isostatico di trave reticolare:

Essendo una struttura simmetrica caricata uniformemente, procediamo sezionando la trave in due punti e nel nodo 1, così da avere tutte le informazioni necessarie (gli sforzi normali delle aste) per studiare l’intero comportamento della struttura. Affinché una sezione di Ritter sia valida, occorre sezionare al massimo 3 aste per volta.

Inoltre, essendo la trave reticolare in questione assimilabile ad una trave doppiamente appoggiata, conosciamo già le reazioni vincolari nel nodo 1 e 7:

Si inizia dalla sezione AA':

Per trovare N₂₃  invece dobbiamo scomporre la forza e trovare l'equilibrio alla traslazione verticale:

Passiamo alla sezione BB':

Scomponiamo N₃₄ ,come fatto in precedenza, e troviamo l'equilibrio alla traslazione orizzontale:

Infine analizziamo il nodo 1, per trovare il valore dello sforzo normale dell'asta N₁₂, facendo l'equilibrio alla traslazione verticale:

I valori degli sforzi normali dell’intera trave risultano essere quindi:

dove i valori negativi rappresentano dei puntoni, mentre i positivi dei tiranti.

Ora non rimane che verificare l’analisi della deformata su SAP2000 e ricavare le tabelle di tutte le aste che compongono la trave reticolare.

Per prima cosa disegno su SAP2000 la trave precedentemente studiata, applicando un carrello e una cerniera come vincoli della trave e scegliendo il numero dei correnti e delle aste diagonali:

Assegniamo, quindi, alle aste la sezione relativa, scegliendo, in questo caso, dei tubolari d’acciaio uguali per tutti gli elementi (DEFINE-SECTION-PROPERTIES-FRAME SECTION):

Comunichiamo a SAP2000, inoltre, che le aste sono collegate da cerniere interne, proprio perché, come sappiamo, non ci interessa che nei nodi di una qualsiasi trave reticolare venga impedita la rotazione (nelle reticolari spaziali questo è sottolineato dalla presenza nei nodi di una “pallina” in acciaio):

Non ci resta che aggiungere i carichi puntuali sui nodi della struttura (seleziono i nodi, poi ASSIGN-JOINT LOADS-FORCES), dopo aver precedentemente rimosso il carico proprio della struttura, al fine di analizzare solo la sollecitazione dei carichi esterni (DEFINE-LOAD PATTERNS):

Verifichiamo in ultimo lo schema della deformata (RUN) e il diagramma delle sforzo normale:

SAP2000 ci conferma quindi quanto calcolato a mano, con la sola presenza di sforzi assiali.