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ESERCITAZIONE I: Struttura reticolare piana

Inviato da marco.neri il Gio, 04/04/2013 - 23:12

Data la trave reticolare piana in figura

Sono state riportate già due sezioni AA' e BB'. Queste, ancora prima della risoluzione in SAP2000, ci saranno utili per conoscere le reazioni delle aste impiegate nella trave attraverso il metodo delle SEZIONI DI RITTER.

AA'

EQL alla rotazione in 2

3/2 F l = N₁₃

EQL alla rotazione in 3
-N₂₄l + F l - 2^.2/3 F L
⇒N₂₄=2F

EQL alla traslazione vert.
√2 / 2 N₂₃- F + 3/2 F =0
⇒N₂₃= -√2 / 2 F

BB'

EQL alla rotazione in 4

- N35 l - 2F l + 9/2 F l =0
⇒N₃₅=5/2 F

EQL alla traslazion oriz.
√2 / 2 N₃₄+5/2 F - 2 F =0
⇒N₃₄= -√2 / 2 F

Per la simmetria della struttura avremo quindi

Verifichiamo ora il tutto per via digitale attraverso SAP2000

Possiamo importare una geometria direttamente da Autocad. Sarà necessario tuttavia disegnare la struttura come linee spezzate che dovranno essere assegnate a un livello diverso da quello 0 di default. Il file dovrà essere caricato in formato .dxf (2000) attraverso il menu File>Import>Autocad .dxf File.

Verificare le unità di misura fondamentali affinchè siano kN, m, C e che Z sia positivo quindi cliccare OK. Nella schermata successiva verificare che alla voce Frame sia selezionato il livello utilizzato per le travi (esistono anche altre caratteristiche assegnabili ma al momento non trattate)

Data la particolare struttura possiamo usare i template di SAP. Clicchiamo su File>New Model... Si aprirà la seguente schermata:

Si potrà accedere a diversi template. In questo caso è consigliabile utilizzare chiaramente 2D Trusses ma eventualmente anche Grid Only. In entrambi molto semplicemente si potranno inserire valori riguardo la spaziatura e il numero di linee/travi da inserire.

Realizzata la struttura reticolare (eventualmente disegnando trave per trave attraverso il pulsante Draw Frame/Cable sulla barra laterale, quarto pulsante) passiamo alla definizione di un Load Pattern che ignori il peso stesso della sua struttura. Quindi Define>Load Patterns e dopo aver scritto un nome identificativo in Load Pattern Name e 0 come Self Weight Multiplier premere OK.

Selezionare i punti sui quali far agire il carico e quindi Assign>Joint Loads ponendo attenzione nel selezionare il Pattern name creato e carico (se diretto verso il basso) negativo (Force Global Z).

Nelle cerniere interne il momento è sempre pari a 0. Questa condizione non è direttamente realizzata da SAP ma va attivata attraverso un "rilascio del momento". Dopo aver selezionato le travi cliccare quindi Assign>Frame>Release/Partial Fixity: nella finestra attivare il rilascio per Start e End della trave alla voce Moment 3-3.

Per il calcolo della σ successivamente richiesta assegniamo un profilo alla trave: le selezioniamo e con Assign>Frame>Frame section accediamo alla finestra per la sua attribuzione. Cliccare su Add new property... per assegnare sezione e materiale. Assegno in questo caso un Pipe con 0.15 m di diametro e 0.01 m di spessore.

Infine assegnamo nei punti scelti il carrello e la cerniera. Selezioniamo punto per punto e attraverso Assign>Joint>Renstraint assegniamo il vincolo scelto.

Possiamo avviare l'analisi attraverso il pulsante Run Analysis sotto forma di "Play". A fianco ad esso vi è un pulsante a forma di lucchetto: questo sbloccherà il modello una volta lanciata l'analisi e permetterà eventuali modifiche.

Una volta lanciata l'analisi si potranno scegliere i pattern per i quali effettuarla. Attraverso la selezione del pattern e la spunta Run/Do not Run case sarà possibile effettuare una selezione di cosa analizare o meno.

Svolta l'analisi attraverso il seguente pannello sarà possibile visualizzare rispettivamente:

1- la struttura
2- la deformata
3- informazioni riguardo Azioni interne/ Nodi etc

Cliccando infine su Display>Show Tables sarà possibile accedere ad una serie di dati tabellati dei quali sarà possibile selezionare specifiche colonne così da garantire una visualizzazione personalizzata. In questo caso il gruppo di dati da prendere in considerazione cade sotto la voce ANALYSIS RESULT.

L'esercitazione si conclude con la stampa, la pulizia della tabella e il calcolo della σ. Il file excel è qui allegato.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

NeriEs1.xls

TRAVE RETICOLARE PIANA

Inviato da gaia.valeroni il Gio, 04/04/2013 - 23:11

TRAVE RETICOLARE PIANA a mano.jpg

TRAVE PIANA SAP.jpg

LINEA ELASTICA

Inviato da gaia.valeroni il Gio, 04/04/2013 - 23:07

linea elastica a mano bis.jpg

LINEA ELASTICA SAP bis.jpg

TRAVE RETICOLARE TRIDIMENSIONALE

Inviato da gaia.valeroni il Gio, 04/04/2013 - 23:00

trave ret 3d 1.jpg

trave ret 3d 2.jpg

Esercitazione Trave Reticolare

Inviato da matteo.polci il Gio, 04/04/2013 - 22:53

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

EsercitazioneTRAVERETICOLARE.pdf

Esercitazione reticolare.jpg

tabella excell es trave reticolare.pdf

Esercitazione 1_ Trave reticolare 2D e 3D

Inviato da paola.lenzonimilli il Gio, 04/04/2013 - 22:50

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Struttura reticolare 3d_Tabelle.xls

esercitazione struttura reticolare

Inviato da ilaria.verrengia il Gio, 04/04/2013 - 22:20

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

EsercitazioneTRAVERETICOLARE.pdf

tabella excell es trave reticolare.pdf

esercitazione struttura reticolare

Inviato da ilaria.verrengia il Gio, 04/04/2013 - 22:19

tabella excell es trave reticolare.pdf

EsercitazioneTRAVERETICOLARE.pdf

Esercitazione sulla Trave Reticolare Piana

Inviato da letizia.gagliardi il Gio, 04/04/2013 - 21:45

LA TRAVE RETICOLARE

Le strutture reticolari sono strutture che hanno il vantaggio di essere leggere e utilizzabili per grandi luci. Sono costituite da aste, che possono essere tese (tiranti) oppure compresse (puntoni) collegate tra loro tramite cerniere interne, i nodi. La struttura presenta un corrente superiore, uno inferiore, aste diagonali e montanti verticali. E' composta da una serie di trinagoli e risulta isostatica in quanto i gradi di libertà sono uguali ai gradi di vincolo. Per calcolare il grado di vincolo di ogni asta utilizzo la seguente formula:2(n – 1) dove n = numero di aste che confluiscono nel nodo.

Solitamente nelle strutture reticolari il corrente superiore è teso, quello inferiore compresso e i montanti quasi sempre compressi. Dopo aver trovato le reazioni vincolari, due sono i metodi per analizzare una struttura reticolare:

METODO DEI NODI e METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Per quanto riguarda il METODO DEI NODI è fodamentale capire l'ordine con cui si decide di risolvere la struttura. Generalmente si sceglie il nodo con 2 aste e 1 forza applicata e di seguito si risolvono gli altri nodi. E' necessario fare l'equilibrio al nodo considerando anche il contributo orizzantale o verticale dato dalla scomposizione delle aste inclinate.

esempio

Per quanto riguarda invece il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER si sceglie di dividere via via la struttura con una sezione di ritter appunto, ovvero tagliando 3 aste convergenti nello stesso nodo. In tal modo avremo 3 equazioni in 3 incognite che saranno gli sforzi normali delle aste tagliate. La regola consiste nello scrivere le equazioni di equilibrio a rotazione, cambiando ogni volta il polo. Inizialmente nell'equazione di equilibrio del momento viene scelto il punto di incontro di 2 delle 3 aste in modo da avere una sola forza incognita. Successivamente sposto il polo e trovo la seconda incognita e infine per la terza posso applicare l'equazione alla traslazione verticale o orizzontale nel nodo. Qualora il risultato delle incognite sia positivo allora l'asta sarà un tirante, negativo sarà un puntone.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

esercizio trave reticolare piana su sap.pdf

LINEA ELASTICA

Inviato da francesca.marino il Gio, 04/04/2013 - 21:41

L'esercitazione ci richiede di risolvere una struttura iperstatica con il metodo della linea elastica e verificare i dati ottenuti con Sap.

Calcolare il valore dell'abbassamento massimo V ed il punto in cui si trova sulla seguente trave iperstatica.

Abbiamo a nostra disposizione 8 equazioni con 8 incognite, tra cui equazioni di bilancio, equazioni delle deformate, e legame costitutivo elastico.

$\left\{\begin{matrix}N'+q_{1}=0 & & \\ T'+q_{2}=0 & & \\ M'+T=0 & & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}\varepsilon=u' & & \\ \varphi =v' & & \\ \chi =\varphi ' & & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}N=EA\varepsilon & & \\ M=EI\chi & & \end{matrix}\right.$

considerando solo l'abbassamento V possiamo combinare le varie equazioni:

$\frac{dT}{ds}+q_{2}=0$ $T=-\frac{dM}{ds}$

$\frac{d}{ds}\left ( -\frac{dM}{ds} \right )+q_{2}=0$ $-\frac{d^{2}M}{ds^{2}}+q_{2}=0$ $\frac{d^{2}M}{ds^{2}}=q_{2}$

$\chi =\frac{d\varphi }{ds}$ $\varphi =\frac{dv}{ds}$

$\chi =\frac{d}{ds}\left ( \frac{dv}{ds} \right )=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$ $M=EI\chi =EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$

$\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2}$

consideriamo EI=costante

$EI\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=q_{2}$ $\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=\frac{q_{2}}{EI}$ EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Per trovare il valore di V(s) integriamo 4 volte l'equazione ottenuta

$\frac{d^{3}v}{ds^{3}}=\frac{q_{2}}{EI}s+C_{1}$

$\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{2}}{2}+C_{1}s+C_{2}$

$\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{3}}{6}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3}$

$v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}$

Si ottengono cosi quattro costanti che dipendono dai vincoli, andando ad applicare le condizioni ai bordi possiamo trovarci il valore di ognuna.

Nell'incastro s=0 abbiamo ABBASSAMENTO e ROTAZIONE nulli

v(0)=0 sostituendo nell'equazione v(s) otteniamo

$C_{4}=0$

$\varphi \left ( 0 \right )=0$ $\varphi$ è la derivata prima dell'abbassamento, sostituendo in dv/ds otteniamo

$C_{3}=0$

Nel carrello S=l non c'è ABBASSAMENTO ed ha MOMENTO nullo

v(l)=0 sostituendo in v(s)

$v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0$

il carico diventa negativo per la convenzione dei segni

$M\left ( l \right )=0$ $M=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$

$M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0$

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l$ sostituendo nel'abbassamento v(l)

$-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+ \frac{q_{2}l^{4}}{4EI}-C_{1} \frac{l^{3}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}+6q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}-3C_{1}l^{3}}{6}=0$

$\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}-\frac{C_{1}l^{3}}{3}=0$

$C_{1}=\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}*\frac{3}{l^{3}}=\frac{5}{8}\frac{q_{2}l}{EI}$

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI}$

Trovate le costanti possiamo trovare l'abbassamento massimo richiesto dal problema. Siccome la rotazione è la derivata dello spostamento, in corrispondenza della rotazione nulla abbiamo l'abbassamento massimo

$\varphi =\frac{dv}{ds}=-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+_{2}s+C_{3}$

$\varphi =-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls^{2}}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}s}{8EI}=0$

$\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right )$

Affinchè la rotazione sia nulla avremo

$s=0$

$s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}^{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}}$

$S=0,57$

$v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI}$

$l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI}$

Considerando il valore di v(s) possiamo determinare il momento ed il taglio per ogni sezione $M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

$M\left ( 0 \right )=-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$ $M\left ( l \right )=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

Il momento è nullo nei punti

$s_{1}=0$

$s_{2}=\frac{l}{4}$

$T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8}$

$T\left ( 0 \right )=-\frac{5q_{2}l}{8}$ $T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l$

Il taglio è nullo nel punti

$T\left ( \frac{5}{8}l \right )=0$

RISOLUZIONE IN SAP

Apriamo un nuovo file di tipo grid, con unità di misura kn, m, C, e GRIGLIA x=2 , Y= 1, Z=1 e spaziatura 1. Disegnare la struttura sulla griglia e posizionare un punto a 0.57, dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l’abbassamento massimo avviene in questo punto della struttura.