L'esercitazione ci richiede di risolvere una struttura iperstatica con il metodo della linea elastica e verificare i dati ottenuti con Sap.
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/trave linea.jpg)
Calcolare il valore dell'abbassamento massimo V ed il punto in cui si trova sulla seguente trave iperstatica.
Abbiamo a nostra disposizione 8 equazioni con 8 incognite, tra cui equazioni di bilancio, equazioni delle deformate, e legame costitutivo elastico.
![\left\{\begin{matrix}N=EA\varepsilon & & \\ M=EI\chi & & \end{matrix}\right.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}N=EA\varepsilon & & \\ M=EI\chi & & \end{matrix}\right.)
considerando solo l'abbassamento V possiamo combinare le varie equazioni:
![T=-\frac{dM}{ds}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?T=-\frac{dM}{ds})
![\frac{d^{2}M}{ds^{2}}=q_{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d^{2}M}{ds^{2}}=q_{2})
![\varphi =\frac{dv}{ds}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi =\frac{dv}{ds})
![M=EI\chi =EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M=EI\chi =EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}})
![\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2})
consideriamo EI=costante
EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA
Per trovare il valore di V(s) integriamo 4 volte l'equazione ottenuta
![\frac{d^{3}v}{ds^{3}}=\frac{q_{2}}{EI}s+C_{1}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d^{3}v}{ds^{3}}=\frac{q_{2}}{EI}s+C_{1})
![\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{2}}{2}+C_{1}s+C_{2}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{2}}{2}+C_{1}s+C_{2})
![\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{3}}{6}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{3}}{6}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3})
![v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4})
Si ottengono cosi quattro costanti che dipendono dai vincoli, andando ad applicare le condizioni ai bordi possiamo trovarci il valore di ognuna.
Nell'incastro s=0 abbiamo ABBASSAMENTO e ROTAZIONE nulli
v(0)=0 sostituendo nell'equazione v(s) otteniamo
![C_{4}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_{4}=0)
è la derivata prima dell'abbassamento, sostituendo in dv/ds otteniamo
![C_{3}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_{3}=0)
Nel carrello S=l non c'è ABBASSAMENTO ed ha MOMENTO nullo
v(l)=0 sostituendo in v(s)
![v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0)
il carico diventa negativo per la convenzione dei segni
![M=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M=\frac{d^{2}v}{ds^{2}})
![M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0)
sostituendo nel'abbassamento v(l)
![-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0)
![-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+ \frac{q_{2}l^{4}}{4EI}-C_{1} \frac{l^{3}}{2}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+ \frac{q_{2}l^{4}}{4EI}-C_{1} \frac{l^{3}}{2}=0)
![-\frac{q_{2}l^{4}+6q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}-3C_{1}l^{3}}{6}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\frac{q_{2}l^{4}+6q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}-3C_{1}l^{3}}{6}=0)
![\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}-\frac{C_{1}l^{3}}{3}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}-\frac{C_{1}l^{3}}{3}=0)
![C_{1}=\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}*\frac{3}{l^{3}}=\frac{5}{8}\frac{q_{2}l}{EI}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_{1}=\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}*\frac{3}{l^{3}}=\frac{5}{8}\frac{q_{2}l}{EI})
![C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI})
Trovate le costanti possiamo trovare l'abbassamento massimo richiesto dal problema. Siccome la rotazione è la derivata dello spostamento, in corrispondenza della rotazione nulla abbiamo l'abbassamento massimo
![\varphi =\frac{dv}{ds}=-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+_{2}s+C_{3}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi =\frac{dv}{ds}=-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3})
![\varphi =-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls^{2}}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}s}{8EI}=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi =-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls^{2}}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}s}{8EI}=0)
![\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right )](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right ))
Affinchè la rotazione sia nulla avremo
![s=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?s=0)
![s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}^{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}^{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}})
![S=0,57](http://latex.codecogs.com/gif.latex?S=0,57)
![v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI})
![l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI})
Considerando il valore di v(s) possiamo determinare il momento ed il taglio per ogni sezione ![M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8})
![M\left ( l \right )=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M\left ( l \right )=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8})
Il momento è nullo nei punti
![s_{2}=\frac{l}{4}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{2}=\frac{l}{4})
![T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8})
![T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l](http://latex.codecogs.com/gif.latex?T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l)
Il taglio è nullo nel punti
![T\left ( \frac{5}{8}l \right )=0](http://latex.codecogs.com/gif.latex?T\left ( \frac{5}{8}l \right )=0)
RISOLUZIONE IN SAP
Apriamo un nuovo file di tipo grid, con unità di misura kn, m, C, e GRIGLIA x=2 , Y= 1, Z=1 e spaziatura 1. Disegnare la struttura sulla griglia e posizionare un punto a 0.57, dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l’abbassamento massimo avviene in questo punto della struttura.
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/2_0.JPG)
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/1_0.JPG)
L'analisi è stata fatta su due sezioni differenti, una rettangolare in acciaio cavo di dimensoni 40x30x2, e l'altra in cemento armato.
I risultati della sezioni in acciaio
DEFORMATA
ù
REAZIONI VINCOLARI
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/4_0.JPG)
DIAGRAMMA DEL TAGLIO
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/5_0.JPG)
DIAGRAMMA DEL MOMENTO
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/6_0.JPG)
I risultati della sezioni in cemento
DEFORMATA
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/DEF CA.JPG)
REAZIONI VINCOLARI
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/REAZ VINC CA.JPG)
DIAGRAMMA DEL TAGLIO
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/TAG CA.JPG)
DIAGRAMMA DEL MOMENTO
![](http://design.rootiers.it/strutture/sites/default/files/users/francesca.marino/MOM CA.JPG)
In allegato ci saranno le tabelle dei risultati per entrambe le sezioni.
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