Portale di Meccanica

Nella progettazione delle opere di architettura è importante saper valutare spostamenti e deformazioni, in modo da poterne verificare, oltre che la resistenza, anche la funzionalità.

Abbiamo una trave iperstatica, così definita perchè il numero dei vincoli è maggiore dei gradi di libertà, e ne vogliamo determinare il massimo spostamento, nel punto C. La mia ultima incognita è quindi v_(s), e la calcolo attraverso il metodo dell'integrazione della linea elastica, una curva che rappresenta la forma assunta dall’asse della trave a deformazione avvenuta.

1) DIMOSTRO COME ARRIVO ALL'EQUAZIONE DELLO SPOSTAMENTO VERTICALE DELLA LINEA ELASTICA

2) ESPLICITO RICORDANDOMI: CHE EI = costante, DELLA CONVENZIONE POSITIVA DEI SEGNI, E CHE q₂ = costante

3) PER TROVARE v_(s) DEVO INTEGRARE 4 VOLTE

1° integrazione

2° integrazione

3° integrazione

4° integrazione

4) INSERISCO I VINCOLI

INCASTRO

CARRELLO

So che nel carrello il MOMENTO è NULLO!

Le mie due equazioni sono quindi:

5) PER TROVARE v_(s) SOSTITUISCO I VALORI c₁, c₂, c₃, c₄ CHE HO TROVATO

6) VOGLIAMO ORA DETERMINARE LA LUNGHEZZA s DOVE v_(s) È MASSIMO

Nei punti di MASSIMO o di MINIMO ha la retta tangente alla curva parallela all'asse x. Azzero quindi la derivata per trovare s.

7) DETERMINO LE REAZIONI VINCOLARI E GLI SFORZI M e T

M lo posso calcolare attraverso:

     1) STUDIO IL MOMENTO AGLI ESTREMI

      2) PER SAPERE DOVE M è max DEVO AZZERARE LA DERIVATA

sostituisco nella funzione-momento

      3) TROVO IL SECONDO PUNTO DOVE SI ANNULLA IL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

      4) PER TROVARE IL TAGLIO LA SUA RELAZIONE COL MOMENTO

      5) ESSENDO LINEARE STUDIO LA FUNZIONE SOLO AGLI ESTREMI

          (so già infatti che si annulla dove M = max, a 5/8 L)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

      6) LE REAZIONI VINCOLARI SONO PROPRIO

8) CONFRONTO CON SAP2000

ESERCITAZIONE SULL'EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Quando ci troviamo di fronte ad una struttura iperstatica, ovvero il numero dei gradi di libertà è inferiore al numero dei gradi di vincolo (nl<nv), non è facile determinare nè le reazioni vincolari nè le azioni di contatto poichè le incognite sono superiori al numero di equazioni di bilancio. Si ricorre quindi a metodi come quello degli spostamenti o equazione della linea elastica.

Partendo da tutte le equazioni del modello di trave di Bernoulli, le distinguiamo in 3 gruppi:

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO (mostrano il legame tra carichi esterni e sollecitazioni)

EQUAZIONI DI CONGRUENZA (mostrano il legame tra deformazioni e spostamenti)

LEGAME COSTITUTIVO (mostrano il legame tra deformazioni e sollecitazioni)

Ci concentriamo successivamente sul problema flessionale, distinguendolo da quello assiale e di conseguenza ci occuperemo solo delle seguenti grandezze e relative equazioni:

φ, ν, χ, M, T

Nel metodo della linea elastica le incognite sono le funzioni spostamento e rotazione della trave e gli strumenti risolutivi sono equazioni differenziali dove bisogna effettuare successive operazioni di integrazione. La diffcicoltà è nel riconoscere le condizioni al bordo.

Ammetto di essere rimasta schiacciata da SAP più volte stile porta girevole nascondiglio segreto e che dopo aver realizzato che un bel "RIMETTA A POSTO LA CANDELA!" non bastava a ribaltare la situazione, con un po' di esercizi sembra che stiamo riuscendo ad andare abbastanza d'accordo.

Ad ogni modo allego le 2 esercitazioni  sull'equazione della linea elastica e sul calcolo della travatura reticolare.

Alice