Portale di Meccanica

Lo scopo dell'esercitazione è quello di introduzione all'uso del software per il calcolo strutturale agli elementi finiti SAP2000 (trascurerò i dettagli di dove andare esattamente a richiamare le funzioni, poichè già una gran quantità di colleghi mi ha preceduto e sia per la presenza di una dispensa gratuita davvero ben fatta nella sezione "downloads" di questo sito).

Per praticità, disegnamo il modello di trave spaziale in Rhino o AutoCAD in METRI, avendo l'accortezza di creare un nuovo livello, poichè SAP, per qualche esoterico motivo, non legge le informazioni sui livelli base di questi software. Una volta completao il disegno, composto esclusivamente da linee, e MAI polilinee (in questo caso SAP non sarebbe in grado di leggere le interruzioni nelle linee spezzate, e le considererebbe come una singola linea, credo...; ci proverò poi...), lo esporto o in DXF, o in IGES/IGS, dei formati ampiamenti supportati da SAP (figura sottostante).

Creiamo un nuovo documento di SAP impostando in basso a destra come unità di misura KN, m, C, e importiamo il modello precedentemente esportato. Tramite il comando "Restraints", imponiamo 3 vincoli , posizionati a caso e a naso (chiaramente secondo il criterio di un treppiede, non avrebbe senso metterli allineati, la trave non riuscerebbe ad essere in piano!); nel mio caso, 2 carrelli e 1 cerniera, ottenendo un modello IPERSTATICO (i gradi di vincolo sono maggiori dei gradi i libertà della trave). Successivamente, tramite le ozpioni di visualizzazione, per rendere più leggibile e fico il modello a video, attivo le etichette dei miei "frames" o "montanti/correnti/controventi/ecc...": ora sopra ad ognuno, ho il proprio numero di riferimento, in modo da individuarlo facilmente (figure sottostanti).

Passiamo ora ad assegnare, per ogni nodo superiore tramite il comando "joints" una forza puntuale di nostra scelta, per me di -40KN (negativa poichè verso il basso!). Ora, passo molto importante, essendo una trave reticolare, devo impostare che tutti i nodi vengano riconosciuti come cerniere interne! Per far ciò, dopo averli selezioni tutti, gli assegno tramite i menù il comando "Release", ossia "rilascia", impostanto il valore all'inizio e alla fine del momento 33(ossia considerando i tre assi x,y,z, uguale a ZERO (in quanto cerniera; in questo modo SAP anche se a video mi darà una rappresentazione "DIVISA" delle aste, considererà quei nodi come cerniere interne, sempre connesse) (figura sottostante).

PS: piccola paraculata che ci tornerà utile più avanti...impostiamo ORA l'unità di misura, in basso a destra, su N, mm, C! 

Ora la parte più "creativa"!!! Scegliamo il nostro materiale e la nostra sezione da assegnare contemporaneamente a tutte le aste!  ATTENZIONE: in queste fasi, non vogliamo che il software consideri il peso proprio delle aste nei calcoli, per questo creiamo un nuovo "pattern" che chiamerò NULL, con fattore di moltiplicazione ZERO, in modo da azzerare la massa dei singoli frames  (figure sottostanti).

E ora, pronti, partenza, VIA!!!  Lanciamo l'analisi! (ora il modello è abbastanza semplice, quindi possiamo lasciare che SAP faccia tutti e tre i tipi di analisi preimpostata, ma in caso di strutture più complesse, sarebbe l'ideale, per un risparmio di tempo, l'impostazione puntale delle analisi, mirate esclusivamente ai nostri interessi ).

...

...

Et voilà!!! Il diagramma degli sforzi NORMALI in ciascun frame, e il grafico delle deformazioni!!! (I valori li leggerete nella successiva tabella, le seguenti immagini le posto solo perchè sono fiche e fanno scena!! In realtà è anche utile avere dei riferimenti visivi... ).

Per concludere, ho raccolto e scremato per mia e vostra chiarezza i risultati ottenuti tramite SAP, aggiungendo per mia mano (semplice formula in EXCEL), come richiesto, i valori delle TENSIONI. (Come leggerete in tabella, i valori sono considerati nel punto medio delle aste, ma vi assicuro che sono identici per l'intera lunghezza! ).

Come inizio niente male, vero? Al prossimo post! (tipo tra due minuti... )

- FL -

VERIFICA con SAP2000

Disegno un'asta lunghezza 5m, assegno i vincoli una cerniera a sinistra e carrello a destra

Assegnare alla trave una sezione e materiale

applicare il carico distribuito 10 KN

Run analysis

Con Travatura reticolare si intende un sistema di aste appartenenti allo stesso piano e vincolate  reciprocamente ai nodi attraverso cerniere interne (incastri) caricate esternamente in modo da costituire un elemento resistente e indeformabile.

Le aste sono soggette a solo sforzo normale se questo è di compressione allora l'asta si dice PUNTONE se invece esso è di trazione si dice TIRANTE. La travatura reticolareè formata da due elementi continui chiamati correnti, e da un'anima scomposta in elementi lineari. Gli elementi verticali vengono denominati montanti, quelli inclinati vengono chiamati diagonali. La travatura reticolare è tratta dalla necessità di utilizzare strutture leggere e che permettessero di raggiungere grandi luci.

Un primo aspetto da analizzare è il Problema dell' ISOSTATICITA'.

dove i gradi di libertà devono essere uguali ai gradi di vincolo. In un piano ogni corpo ha 3 gradi di libertà (traslazione verticale, orizzontale e rotazione). Il n0stro sistema è composto da 33 aste (33x3=9 gradi di libertà).

Per calcolare il grado di vincoli uso la seguente formula: 2(n-1) dove n= numero di aste che convergono in un nodo.

Nei nodi A e T confluiscono 2 aste: 2(2-1)=2 (ma il punto A è doppiamente vincolato dalla presenza della cerniera che ha 2 vincoli) quindi A= 4 vincoli invece il punto T ha un vincolo carrello quindi 1 vincolo sommando i due valori T = 3 vincoli

Nei nodi B,M,U confluiscono 3 aste: 2(3-1)=4vincoli ognuno

Nei nodi C,D,E,G,H,I,N,O,P,Q,R,S confluiscono 4 aste: 2(4-1)=6 vincoli ognuno

Nel nodo L confluiscono 5 aste: 2(5-1)=8vincoli ognuno

sommiamo:

4+3+(4x3)+(6x12)+8 = 99 vincoli

99 vincoli = 99 gradi di libertà

la travatura  è ISOSTATICA

 

I metodi principali di calcolo di una travatura reticolare isostatica sono principalmente due:

1. Metodo di equilibrio ai nodi (se la travatura è in equilibrio ogni nodo deve essere in equilibrio. Esso considere le forze concentrate sui nodi e sa che le aste sono soggette solo a sforzo normale; viene studiato un modello che utilizza la regola del palallelogramma per la scomposizione delle forze. Per ogni nodo le incognite risolvibili sono 2. Le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale)Perchè il nodo sia in equilibrio l risultante delle forze (verticale o orizzontale)deve essere uguale a zero.
2. Metodo della sezione di Ritter la sezione di Ritter è una sezione che divide (con un taglio virtuale) in due la struttura tagliando tre aste non convergenti nello stesso nodo. Una volta effettuato il taglio, si mettono in evidenza gli sforzi normali agenti sulle sezioni delle aste tagliate.

METODO DELLE SEZIONI DI RITTER 

I VINCOLI si ripartiscono il carico 9/2F a destra e a sinistra.

La struttura è isostatica e simmetrica e caricata simmetricamente, per questo dividiamo la struttura in due parti. Nel sistema isostatico si possono trovare le reazioni vincolari del carrello e cerniera esterni che vengono considerati come dati dal problema.

Effettuo il primo taglio virtuale di 3 aste, disegno le 3 forze N1, N2 e N3  uscenti dalla sezione (posso scegliere arbitrariamente il verso delle forze perchè verranno poi confermate o no in seguito dal risultato delle equazioni di equilibrio).

In seguito determino i valori di N1, N2 e N3 (le incognite sono tre e tre sono le equazioni di bilancio). La regola che viene suggerita è quella di scrivere tre equazioni di equilibrio a rotazione rispetto a un nodo in cui convegono 2 delle 3 aste che non sono l'asta incognita che si sta cercando.

Iniziamo con il primo taglio:

 

 

 

 

VERIFICA SU SAP2000 TRAVE RETICOLAE 2D

 

Esercitazione 2

Soluzione di una struttura iperstatica tramite le equazioni della linea elastica

 

Dato che la struttura ha un grado di iperstaticità, mi accingo a risolverla per mezzo della soluzione della linea elastica. 

Questa viene ottenuta (usando il modello di trave di Eulero-Bernoulli) tramite la messa in relazione di quelle cinque equazioni che riguardano il taglio e il momento nei tre sistemi de

• le equazioni di equilibrio
• le equazioni di compatibilità
• i legami costitutivi

ovvero:

⎧(dT/ds) + q₂ = 0

⎪(dM/ds) + T = 0

⎨M = EJχ

⎪χ = (dφ/ds)

⎩φ = (dv/ds)

 

N.B. le altre tre equazioni riguardano i carichi e le sollecitazioni assiali.

 

Questo sistema ha cinque equazioni e cinque incognite, tutte tra l’altro legate da rapporti di derivazione:

ciò permette di esprimere tali incognite tutte come derivate della legge dello spostamento verticale.

 

v(s) = ( q₂ s⁴ / 24 EJ) + c₁ (s³ / 6) + c₂ (s² / 2) + c₃ s + c₄

 

A questa equazione si giunge attraverso una progressiva integrazione a partire dall’equazione che descrive il carico, ovvero:

 

q(s) = (d⁴v/ds⁴) EJ 

 

Supponendo infatti la legge del carico una funzione lineare costante, possiamo giungere a descrivere la legge v(s) come un polinomio del tipo:

 

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ 

 

(compatibile con la funzione espressa in precedenza)

 

Si noti che per arrivare alla legge di v(s) è stata fatta un’altra ipotesi, ovvero quella di considerare costante il prodotto EJ: ciò equivale a considerare costanti la dimensione, la forma ed il materiale delle sezioni lungo l’asse della trave. 

 

Incognite del nostro sistema sono divenute ora le quattro costanti di integrazione presenti nella legge dello spostamento verticale. Per rendere il sistema risolvibile, serve quindi ora analizzare i caratteri dei vincoli della struttura per avere alcune informazioni sulle condizioni al bordo.

 

Da osservazioni sui vincoli deduco infatti alcuni fatti certi:

• lo spostamento verticale in 0 e in l sono nulli dato che si è in presenza di un incastro e di un carrello orizzontale

v(0) = 0

v(l) = 0

da cui si deduce che il coefficiente c₄ è anch’esso nullo

 

c₄ = 0

 

• In 0, dato che siamo in presenza di un incastro, avremo una rotazione nulla

φ(0) = 0

 

da ciò deduciamo che anche il coefficiente c₃ è nullo

 

c₃ = 0

 

• In l, dato che siamo in presenza di un carrello, sappiamo che la sollecitazione a momento (e quindi anche χ) sarà nulla.

(d²v/dv²)(l) = 0

 

Siamo ora a conoscenza di sufficienti informazioni per impostare un sistema in due equazioni con c₁ e c₂ come incognite:

 

⎧v(l) = ( q₂ l⁴/24 EJ) + c₁ (l³/6) + c₂ (l²/2) = 0

⎨

⎩(d²v/dv²)(l) =  (q₂ l²/2 EJ) + c₁s + c₂ = 0

 

da cui si ottiene che :

c₁ = -5 ql/8 EJ

c₂ = ql/8 EJ

 

Ora, l’esercitazione richiedeva di individuare il valore dello spostamento verticale massimo della trave. Questo si troverà sicuramente dove la curva della deformata avrà un minimo, ovvero dove φ = 0.

 

(disegno deformata)

 

risolvendo questa equazione di terzo grado 

 

φ = dv/ds = (q₂ s³/6 EJ) + c₁(s²/2) + c₂ s = 0

 

Dato che in tutti i termini è presente s, come prima soluzione avrà per certo s=0, come era facilmente deducibile dalla presenza dell’incastro.

Le altre due soluzioni si ottengono mediante formula risolutiva. 

Cadendo una delle due soluzioni fuori dal tratto della trave, l’unica soluzione accettabile risulta:

s = 0,578 ql

ovvero lo spostamento verticale massimo si verificherà poco più a destra della metà della trave.

 

N.B. si può notare che la presenta del vincolo a momento generato dall’incastro a sinistra sposti dal centro verso destra il punto di vmax, che in un sistema isostatico di trave appoggiata si sarabbe trovato perlappunto in l/2. 

 

Possiamo ora esplicitare il valore di vmax come v(0,578ql) = 0,0054 (q²l⁴/EJ) 

 

Si possono graficare ora le leggi del taglio e del momento in modo qualitativo, usando le informazioni ottenute nell’esercizio, ovvero che il taglio è nullo, e quindi la parabola del momento ha un minimo, nel punto 0,578 l. 

 

 

N.B. i diagrammi delle sollecitazioni della struttura iperstatica possono essere visti come sovrapposizione (o somma) di due diagrammi di strutture isostatiche (trave appoggiata con carico uniformemente distribuito + trave incastrata con carico puntuale in corrispondenza del carrello) per il principio di sovrapposizione degli effetti. 

 

Ora si può assegnare una lunghezza alla trave e una densità di carico, nonché un materiale (E), una dimensione ed una forma (J) alla sezione e verificare il risultato ottenuto sul software SAP2000.

 

Verifica_SAP2000

 

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell'asta:

FILE>NEW MODEL

 

QUICK GRID LINES > impostare due assi lungo la direzione x, uno lungo y e uno in direzione z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave.

                   

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

Disegnare un'asta seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

assegnare i vincoli:

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene.

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra.

assegnare un carico uniformemente distribuito:

selezionare l'asta > ASSIGN > FRAME LOADS > DISTRIBUTED > impostare l'unità di misura voluta (nel nostro caso N,m, °C) > nella casella UNIFORM scrivere (ad es.) - 10 KN (carico verso l'alto considerato positivo)

rendere visibile il carico impostato:

DISPLAY > VIEW LOADS

eliminare il contributo del peso proprio della struttura dall'analisi:

DEFINE > LOAD PATTERNS > SELF WEIGHT MULTIPLER = 0 > nominare il load pattern "peso_nullo" > ADD NEW LOAD PATTERN

eliminare MODAL dall'analisi:

selezionare il load pattern MODAL > se nella colonna ACTION c'è RUN, premere il pulsante RUN/DO NOT RUN CASE per disattivare l'analisi

visualizzare la curva della deformata e confrontarla qualitativamente con quella ipotizzata:

RUN ANALYSIS

visualizzare le reazioni vincolari:

RUN ANALYSIS > JOINT REACTIONS

visualizzare il grafico del taglio e confrontarlo qualitativamente con quello ipotizzato:

RUN ANALYSIS > SHEAR 2-2

visualizzare il grafico del momento e confrontarlo qualitativamente con quello ipotizzato:

RUN ANALYSIS > MOMENT 3-3 > spuntare START e END

impostare il materiale, la forma e la dimensione della sezione:

ASSIGN > FRAME > FRAME SECTION > (nel nostro caso impostare acciaio a doppia T > impostare le misure desiderate (nel nostro caso quelle di una IPE500) > rinominare la sezione

visualizzare le tabelle relative ai dati dell'analisi:

DISPLAY > SHOW TABLES > spuntare la parte ANALYSIS RESULTS

visualizzare gli spostamenti dovuti alle deformazioni per confrontare quello verticale con quello ottenuto nell'esercizio:

dal menù a tendina scegliere JOINT DISPLACEMENT > trovare il dato in R2

esportare i dati in formato EXCEL per riorganizzarli:

finestra delle tabelle > FILE > EXPORT > EXCEL FILE > SAVE