blog di marco.neri

ABSTRACT: Argomento del post saranno particolari di strutture 2D che agiscono per forma. Già sono state trattate in tal senso le strutture reticolari, le quali forzano e canalano le forze in termini di sforzo normale consentendo un'ottimizzazione del materiale e costi minori. In questo caso osserveremo il comportamento degli archi, particolari strutture caratterizzate nella loro modellazione più semplice da una iperstaticità esterna compensata da una labilità interna che si verifica nella cerniera esterna che collega le due travi di cui si compone, rendendo complessivamente l'arco complessivamente isostatico. Si vedranno tre tipologie di archi (a tutto sesto, ribassato e parabolico) e come nelle esercitazioni precedenti il risultato algebrico verrà verificato e confrontato con l'analisi computazionale.

Comincio con l'analizzare una gerica struttura ad arco riguardo le sue solo reazioni vincolari: per semplicità confronterò prima un arco a tutto sesto poi due mensole su pilastri vincolati alla base su cerniere e uniti da una cerniera interna. Si verificherà che indipendentemente dalla geometria le reazioni vincolari non cambiano data una freccia f (altezza dalla base), la proiezione dell'arco a terra l e un carico uniformemente distribuito q.

Studiamo il primo caso. Possiamo spezzare la struttura come segue ponendo attenzione alla compatibilità cinematica della struttura: dobbiamo porre infatti due forze c e d tali da garantire che la cerniera interna che essa sia compatibile anche con la parte non analizzata.

d non può che essere nulla per simmetria della struttura perciò attraverso le 3 equazioni all'equilibrio possiamo risolvere il sistema nelle tre incognite a,b e c.

EQL alla traslazione verticale b-ql=0 ⇒ b=ql

EQL alla traslazione orizzontale a=c

EQL alla rotazione (rotazione in cerniera interna) a^.f-b^.l+ql²/2=0 ⇒ a=ql²/2f

Si osserva che i calcoli sono dipesi solo dai bracci d'applicazione perciò senza ripetere ridondanti conti possiamo dire di conoscere le reazioni vincolari attraverso  f, l e q.

Analizziamo ora i tre casi studio presentati.

ARCO A TUTTO SESTO

Dato un angolo α è possibile parametrizzare le sezioni dell'arco affinchè dipendano da esso. Per ogni sezione è così possibile scomporre nelle componenti verticali e orizzontali le azioni di contatto e conoscere l'entità agente del carico distribuito assegnato.

Se BC= l cos α e AB=AC-BC= l - cos α = l(1- cos α )f con α<π/2

EQL alla traslazione verticale N sinα- T cosα+ ql/2=0

EQL alla traslazione orizzontale N cosα+ T sinα+ ql - ql(1-cosα)=0

EQL alla rotazione M + ql²/2 sinα - ql l (1-cosα) - ql²(1-cosα)²/2=0

ARCO A SESTO RIBASSATO

I ragionamenti preliminari in questo particolare caso sono pressocchè analoghi ai precedenti se non per il fatto che α dovrà necessariamente essere maggiore di un α₀ di partenza (e chiaramente minore di π/2) e che il centro di rotazione delle sezione è decentrato verticalmente.

allora secondo il Teorema di Pitagora R²=(R-f)²+l² ⇒ R²=R² + f²-2Rf + l² ⇒ R = l² + f² / 2f 
e inoltre tg α₀ = R-f / l

La sezione così schematizzata avrà che:

HC = R cosα
BH = BH - HC = l - R cosα
SH = R sinα
AS' = SH - AB = R sinα- R + f = R(sinα- 1) + f

EQL alla traslazione verticale N sinα- T cosα+ ql²/2f=0

EQL alla traslazione orizzontale N cosα+ T sinα+ ql - q(l-Rcosα)=0

EQL alla rotazione M + ((ql²/2f) (R(sinα- 1) + f) ) - q(l - R cosα)²/2 + ql (l - R cosα) =0

ARCO PARABOLICO

In questo ultimo particolare caso i ragionamenti riguardo la scelta dei parametri addetti al controllo delle sezioni lungo la trave sono dettati non da ragionamenti trigonometrici ma geometrico-analitici.
Dati infatti tre punti è possibile conoscere l'equazione della parabola corrispondente: attraverso la derivata di questa equazione conosciamo la tangente punto per punto e quindi l'angolo ß per il quale scomporre i vettori N e T.

A (0 , 0)
B (l , f)
C (2l , 0)

A, B, C ∈ P parabola di equazione generica ax²+bx+c=0

sostituendo i valori all'interno di P avremo 3 eqz in 3 incognite:

0=0+0+c
f=al2+bl+c
0=4al2+2bl+c

da cui ricaviamo mettendo a sistema l'equazione della parabola:

y= - fx²/l²+2fx/l

Calcoliamo ora la derivata y' per ottenere la tgßper ogni punto:

y'= tgß = - 2fx/l²+2f/l

Si nota che in x=0 tgß = 2f/l che è uguale al rapporto tra la componente verticale e orizzontale nel vincolo cerniera ql/ (ql²/2f) = tgα = 2f/l

NB in questo caso specifo il disegno per la scomposizione delle forze in quanto differente rispetto i casi precedenti

EQL alla traslazione verticale N cosß - T sinß+ ql²/2f=0

EQL alla traslazione orizzontale N sinß+ T cosß+ ql - qx=0

EQL alla rotazione -qlx +  ql²/2f y + qx²/2 + M =0

È dovuto fare un'importante osservazione. Verifichiamo il comportamento del taglio: esplicitiamo nella prima equazione N per sostituirlo alla seconda.

N cosß /  cosß = T sinß / cosß + ql²/2f ^. 1/ cosß = T tg ß + ql²/2f ^. 1/ cosß = 0

Sostituisco alla seconda equazione:

(T tg ß + ql²/2f ^. 1/ cosß) ^. sinß+ T cosß+ ql - qx = 0 ⇒
⇒ T (cosß + tg ß ^. sinß) - ql²/2f ^. (- 2fx/l²+2f/l) + ql - qx = 0
⇒ T (cosß + sinß ^. sinß / cosß) + qx - ql + ql - qx = 0
⇒ T (cosß² + sinß² )/ cosß = 0

⇒ T = 0 e quindi N =  - ql²/(2f cosß)

Anche per il momento accade un fenomeno particolare:

-qlx +  ql²/2f y + qx²/2 + M =0
⇒ ricordando che y=- fx²/l²+2fx/l ⇒ -qlx +  ql²/2f ^. (- fx²/l²+2fx/l) + qx²/2 + M =0 = 0
⇒- qlx - qx²/2 + qlx + qx²/2 + M = 0

⇒M = 0

Per verificare attraverso SAP i risultati ottenuti e ottenere dei riscontri numerici relativi alle azioni interne N,T e M disegniamo in Autocad le tre tipologie.

Se per disegnare arco ribassato e a tutto sesto si dispone degli appositi strumenti non è la stessa cosa per il disegno della parabola (NB spezzare gli archi in prossimità della chiave). Inoltre SAP non accetta curve parametriche propriamente dette ma solo sue approssimazioni quindi dovremo disegnare la parabola come una serie di spezzate.

Per farlo ci serviremo di un foglio di calcolo in Excel il quale per come è stato realizzato fornirà una colonna di dati da copiare e incollare nel prompt dei comando durante il disegno di una polilinea (che dovrà poi essere esplosa).

Disegnate gli archi in Autocad li importiamo in SAP con le metologie già illustrate. Analogamente all'esercitazione sulla trave reticolare nel nodo in chiave applichiamo un rilascio del Momento attraverso la selezione del punto quindi Assign->Frames->Release/Partial Fixity, Moment 3-3

Applico inoltre una sezione 40x40 in Calcestruzzo con le caratteristiche di Default e applico un carico distribuito di 10KN in questo caso ponendo attenzione sulla spunta Gravity Projected analogamente a quanto viene realizzato durante lo svolgimento dei comuni esercizi.

E qui i grafici dei risultati

DEFORMATA

SFORZO NORMALE

TAGLIO

MOMENTO

In allegato si può trovare la tabella relativa all'output delle azioni interne. Per capire a quale arco facesse riferimento i punti della tabella ho impostato diversi LoadPatterns e ho spuntato l'opzione Run uno alla volta.

Argomento di questo post sarà la descrizione della progettazione e verifica della struttura realizzata per l'edificio per uffici su via Ostiense, tema di laboratorio del corso Progettazione Architettonica 2M.

In particolare, senza entrare nel merito degli esiti del tema architettonico, saranno mostrate le modalità con le quali sono state portate avanti le diverse fasi progettuali relative alla struttura, i dimensionamenti e il disegno in pianta e prospetto.

L'intero post è realizzato (come specificato nel titolo) assieme a Giacomo Gasbarri.

A partire dall'impianto planimetrico è stata realizzata una griglia per stabilire quali dovessero essere i filidei pilastri (ipotizzando una ragionevole rastremazione) e come disporre i blocchi portanti per garantire luci sufficienti all'usufruibilità della particolare tipologia architettonica.

Noti dunque i carichi areali per i solai, le aree d'influenza a seconda se la trave sia principale o secondaria ed infine il numero di piani per blocco è stato possibile realizzare un utile foglio di calcolo (realizzato assieme a Fabio Liberati) per l'esecuzione di un dimensionamento a resistenza in tempo reale.

pianta quota +0,00

sezione L-L'

La tipologia strutturale è piuttosto standard ovvero una struttura a telaio in calcestruzzo armato con un blocco destinato al collegamento realizzato anch'esso a telaio ma in acciaio. Nello specifico del progetto è doveroso poi specificare che la struttura complessivamente si articola in 3 blocchi indipendenti così da sfavorire eventuali rotazioni dell'impalcato dovute a una sfavorevole posizione del centro delle rigidezze.

La suddivisione dell'edificio avviene dunque per impalcati rettangolari dove la posizione dei controventi vuole porsi l'obiettivo di rendere quanto più baricentrico il centro delle rigidezze. Lo stesso blocco di collegamento in acciaio è agganciato in maniera da perdere il suo legame con quelli in cemento attraverso fusibili e avere un comportamento autonomo in caso di sisma.

Per quanto riguarda il blocco in acciaio sono stati necessari controventamenti che per il principio secondo il quale sia sufficiente lunga un fila e una riga rispettivamente in pianta e alzato sono stati lungo le campate meno a vista o comunque in modo che non causino intralcio all'utenza.

Infine data la forte ottimizzazione della sezione necessaria nelle strutture in acciaio viene eseguita una prova all'instabilità per il pilastro.

Per tutte le fasi di dimensionamento (combinazione dei carichi, verifiche a resistenza, stabilità etc) si fa capo al testo Norme Tecniche per le Costruzioni integrate con la Circolare Applicativa e alle procedure illustrate nelle dispense del corso consentendo un dimensionamento non fortemente ottimizzato ma capace di garantire resistenza più che sufficiente alla struttura.

Per via della complessità della modellazione delle lastre a livello algebrico-analitico (specie attraverso il calcolo manuale) viene realizzato un modello di impalcato attraverso il software SAP2000 per il piano commerciale.

Facciamo presente (e questo può essere un feedback utile per chi si cimenterà nella realizzazione del proprio) che la modellazione è stata realizzata attraverso SAP poichè abbiamo riscontrato diversi errori nell'importazione da .dxf

extrude view dell'impalcato

Attraverso l'extrude view si può osservare la gerarchia delle travi e la disposizione dei pilastri a seconda dell'appartenza all'impalcato. Per realizzare quest'ultima operazione si è realizzata una copia del profilo Pilastro e si sono invertiti i valori height e depth.

Nel foglio di calcolo e nel file .sap allegato sono presenti tutte le sezioni e gli interassi della struttura e dell'impalcato. Per una valutazione immediata eccoli qui elencati

- sezione pilastro CLS 40x120 cm
- sezione trave primaria CLS 40x70 cm
- sezione trave secondaria CLS 20x40 cm

- interasse pilastro 790 cm

Attraverso la selezione dei punti di colmo è stato aggiunto un Constraint di tipo Diaphraghm (Assign->Joint->Constraint->scegliere Diaphragm) per mezzo del quale sarà possibile assegnare un carico orizzontale che consentirà la valutazione della rotazione dell'impalcato.

Assegnato un carico orizzontale di 5000KN diretto verso Y (e poi verso X) la rotazione sul punto più esterno è dell'ordine di 10-5 unità, risultato che possiamo ritenere soddisfacente.

ABSTRACT: Nella seguente esercitazione verrà esposto il modello della struttura a graticcio e gli effetti provocati dall'assenza di gerarchia fra gli elementi lineari che lo compongono. Si risolverà una semplice struttura a graticcio caratterizzata da un nodo a incastro che salda 4 travi a loro volta incastrate. Questa sarà didatticamente utile a comprendere strutture più generiche e relativamente complesse come la seguente.

NB l'aggiunta di appoggi intermedi incrementa le potenzialità meccaniche tuttavia non è strettamente legata ad una disposizione necessariamente regolare

In questa esercitazione si risolverà come accennato nella premessa la seguente struttura:

È necessario precisare che sebbene il nodo sia spaziale (deformabile in tutte le direzioni) esso viene considerato indeformabile assialmente dunque v_x≡0 e v_y≡0 per definizione.

Un'analisi preliminare ci porta anche ad eliminare il contributo della rotazione attorno l'asse z. Non vi sono infatti forze capaci di generare un momento attorno a quest'asse (φ_z=0).

Continuando a osservare il nodo possiamo valutare le sue sezioni lungo i piani xz e xy. 

Da queste sezioni valutiamo che la rotazione lungo x per via della simmetria lungo il piano xz è φ_x=0. Al contrario si osserva la presenza di una freccia v_z≠0 e della rotazione lungo y φ_y≠0. Per semplicità d'ora in avanti chiamerò v_z=δ e φ_y=φ.

Noti gli schemi:

ed essendo il problema lineare, gli effetti possono essere sommati. Ragionando prima sulle azioni provocate dall'abbassamento e poi dalla rotazione del nodo saremo in grado di conoscere il comportamento complessivo ed individuare δ e φ.

ABBASSAMENTO

TORSIONE / ROTAZIONE

da queste l'equilibrio del nodo.

EQL ALLA TRASLAZIONE

F - 12EIδ/(l/2)³ - 12EIδ/(l/2)³ - 12EIδ/(l/3)³ - 24EIδ/(2l/3)³ -  6EIφ/(l/3)² + 6EIφ/(2l/3)²= 0

EQL ALLA ROTAZIONE

6EIδ/(2l/3)² - 6EIδ/(l/3)² + 4EIφ/(l/3) +4EIφ/(2l/3) + GI_tφ/(l/2) + GI_tφ/(l/2) = 0

Razionaliziamo quest'ultima equazione:

φ(12EI/l + 6EI/l + 4GI_tφ/l ) + δ(-54EI/l² - 27/2 ^. EI/l²) = 0
⇒φ(18EI + 4GI_tφ )^.(EI/EI)/ l + δEI/l²(-81/2) = 0
⇒φ(18+ 4GI_tφ/EI )EI + δEI/l(-81/2) = 0, α = GI_t/EI ⇒ φ(18+ 4α ) = 81/2 ^. δ/l

⇒δ/l=φ(36+8α)/81

Mentre la prima:

F - 192 EIδ/l³ - 324 EIδ/l³ - 81/2 ^. EI δ/l³ - 27/2 ^. EI φ/l² + 54 EI φ/l²= 0
⇒Fl²/EI- 192 δ/l - 324 δ/l - 81/2 ^. δ/l - 27/2 ^. φ + 54 φ= 0
⇒Fl²/EI- 1113/2 ^. δ/l - 81/2 ^. φ = 0 ⇒Fl²/EI- 1113/2 ^. φ(36+8α)/81 - 81/2 ^. φ = 0

⇒Fl²/EI = 371/27 ^. (18+4α)φ - 81/2 ^. φ = φ (371^.18/26 - 81/2 + 371^.4/27α )

⇒ φ (1241/6 + 1486/27 GI_tφ/EI )= Fl²/EI
⇒ φ = Fl² / (1241/6 EI + 1486/27 GI_t )

Mentre:

δ= (Fl³ (36+8GI_t/EI ) ) / (1241/6 EI + 1486/27 GI_t )

con un profilo IPE200 e F=10KN, l=1m

h=0,2 m b=0,1 m
a=0,0056 m e=0,0085 m
I= 1,42 10^-6 m⁴
I_t=5,164 10^-8 m⁴
E=2,1 10⁸ KN/m²
G=8 10⁷ KN/m²

δ= 7.2 10^-5 m, φ =1.6 10^-4

Dalla deformata e i dati esportati da SAP2000 è così convalidata la bontà dei risultati:

ABSTRACT: La seguente esercitazione si occuperà di analizzare attraverso il calcolo manuale gli effetti della torsione all'interno di una semplice struttura iperstatica in 3 dimensioni e la verifica del risultato all'interno di SAP2000. La torsione nasce quando momenti uguali e opposti agiscono su piani di sezione presi lungo l'asse della trave: l'effetto sarà per l'appunto una deformazione torcente della trave stessa, la quale risponde a tale deformazione attraverso la sua rigidezza torsionale Rt che dipende dal modulo di elasticità tangenziale G, dalla lunghezza l della trave e dal momento d'inerzia torsionale I_t.

L'esercitazione consisterò proprio nel valutare gli effetti di Rt=G ^. I_t / l

ma ricordiamo che per il modello di
trave adottato non abbiamo
deformabilità assiale perciò

Ricordando lo schema noto

e la resistenza alla torsione come Rt=G ^. I_t / l e il momento torcente come M= Rt φ

Se la deformata per le travi sul piano ZY incastrate è la seguente

allora l'equilibrio al nodo sarà

la cui equazione è ql²/18 = (4EI/l + 4EI/l + GI_t/l) φ
⇒ φ=ql²/18R con R=4EI/l + 4EI/l + GI_t/l

Per le travi dunque si avrà che i momenti flettenti sono per quelle inflesse M=4EI/l ^. 1/R ^. ql²/18
mentre per quella soggetta a momento torcente M_t=GI_t/l ^.1/R ^. ql²/18
(che rispettivamente per la scelta della struttura con travi di uguale lunghezza diventano M=2/9EI ^.1/R ^. ql e Mt=GIt/18 ^.1/R ^. ql)

Assegnazione di profili e verifica su SAP2000

luce travi l = 1m

q=18 KN/m ⇒ q(l/3)²/2 = 18 ^. 1/9 ^. 1/2= KN m

NB le misure sono espresse in KN e m per un confronto più rapido con SAP

Scatolare in acciaio h=b=0,2 m=a t=0,007 m I=bh3/12-b(h-t)3/12= = 3.359 10-4 m4 It=4Ω2s / lm= =4(a2)2 s / 4a = a3s = =5.032 10-5m4  E=2,1 108 KN/m2 G=8 107 KN/m2 M=0.457 KN m Mt=0.085 KN m	IPE200 h=0,2 m b=0,1 m a=0,0056 m e=0,0085 m I= 1,42 10-6 m4 It=5,164 10-8 m4 E=2,1 108 KN/m2 G=8 107 KN/m2 M=0.4991 KN m Mt=0.0017 KN m	Profilo in CLS(valori SAP) h=b=0,2 m I=1.333 10-4 m4 It=2.253 10-4 m4 E=2,485 107 KN/m2 G=1.035 107 KN/m2 M=0.5000 KN m Mt=0.0801 KN m

NB una volta inseriti i valori metrici base delle sezioni le informazioni su quelli derivati e sui materiali sono visualizzabili dai pannelli contestuali di SAP attraverso le schermate Section Properties e il + vicino il pannello Material

RISULTATI SAP

Come conclusione dell'Esercitazione I: Struttura reticolare piana realizziamo una struttura reticolare spaziale. Sebbene la struttura che andrò a disegnare sarebbe facilmente disegnabile con SAP mi servirò di Autocad per realizzarla.

Questo mi permetterà di presentare una delle procedure per l'importazione di dati da software esterni. Infatti SAP è in grado di importare svariati formati di file tra cui il .dxf (nativo di Autocad); come accennato a lezione però quello con il quale dialoga meglio, soprattutto per le superfici, e quello .igs che Rhinoceros è in grado di realizzare come altri programmi per la progettazione di oggetti non necessariamente destinati all'edilizia come SolidWorks.

In questo caso semplice il comune formato .dxf è più che sufficiente.

Cominciamo disegnando un reticolo 3x2 uguale a quello riportato in figura attraverso dei segmenti di LINEA (non Polilinea) di lunghezza 1.

Prima di continuare con la realizzazione del reticolo 3D creare un livello con un nome a piacere: è importante che tutte le aste siano su un livello diverso da quello 0 perchè altrimenti la struttura non sarà importabile.

Nel nostro caso lo chiameremo Aste

Premendo Shift+il tasto centrale del mouse e trascinando sullo schermo saremo in grado di ruotare la camera.

Così facendo sarà possibile effettuare una copia della nostra base di una unità verso l'asse Z.

Uniamo quindi ogni vertice del reticolo superiore al corrispettivo inferiore; a questo punto disegnamo un'asta diagonale per ogni quadrato prodotto dalla passaggio precedente.

Dopo aver verificato che ogni asta sia un oggetto di tipo LINE separato l'uno dall'altro e salviamo in formato DXF 2000. Apriamo SAP e quindi File→Import→Autocad .dxf file:

- scegliamo l'asse Z positivo e unità di misura kN,m,C
- scegliamo sotto la voce Frames il livello dove sono collocate le aste

L'importazione è così avvenuta. Impostiamo la struttura affinchè possa essere avviata la simulazione.

1. selezionare l'intera struttura e applicare un Rilascio del Momento così da simulare il comportamento di una cerniera interna (a meno di questa operazione nonostante le aste siano state disegnate separatamente SAP implicitamente le considera legate ad incastro, e quindi continue alle azioni di contatto). Per farlo clicchiamo su Assign→Frame→Releases/Partial Fixity. Abilitiamo Start e End per Moment 33 (Major)

2. Per vincolare la struttura al suolo applichiamo tre cerniere in 3 punti non allineati sulle aste a terra (click su 3 punti Assign→Joint→Restraints quindi cliccare sull'icona corrispondente)

3. Eliminare le forze dovute al peso della struttura attraverso Define→Load Patterns. Scrivere il nome del pattern in Load Pattern Name, assegnare 0 a Self weight multiplier e cliccare Add new Load Pattern.

4. Assegnare dei profili alle aste. Ci serviremo per semplicità di profili già esistenti: basta selezionare tutte le aste quindi Assign→Frame sections e dal menu contestuale Add new Property. Come facilmente visualizzabile esistono diversi profili già esistenti per diversi materiali: scegliamo una sezione tubolare metallica con diametro 15 cm e spessore 7 mm.

5. Per pplicare dei carichi selezioniamo, trascinando il mouse, tutti i punti (è indifferente che siano selezionate anche le aste) del piano superiore. Click su Assign→Joint Loads, e assegnare un carico negativo sull'asse Z (verso il basso): nella fattispecie assegnerò per ciascun punto un carico di 50 KN.

Avviare la simulazione eliminando il contributo di DEAD e MODAL attraverso Run / Do not run cases.

ABSTRACT: La seguente esercitazione prenderà in analisi una pianta strutturale di un edificio a un piano. Attraverso la modellizzazione del solaio come impalcato infinitamente rigido orizzontalmente (una modellazione analoga è già stata incontrata per i telai shear-type della trave Vieerendel http://design.rootiers.it/strutture/node/954) si analizzeranno gli effetti di una forza orizzontale valutando le rigidezze dei suoi controventi, necessari a impedire la rotazione lungo l'asse z.

Il controvento è un vincolo cedevole con rigidezza K (kN/m) visualizzabile come una molla elastica poichè capace di reagire a trazione e compressione solamente lungo il proprio proprio asse.
L'impalcato ha rigidezza proporzionale alla distanza dal centro delle rigidezze. Se gli assi (x e y) del centro delle rigidezze e del centro delle masse coincidono allora il solaio non sarà in grado di ruotare.

Considerato il telaio in figura si assegnano pilastri con la seguente sezione.

il momento di inerzia del pilastro è dunque dato da I=bh³/12 ⇒

I=40 cm^.40³/12=213333 cm⁴

Il telaio dunque assume in pianta, secondo il modello adottato, la seguente configurazione:

Dove la rigidezza di ogni controvento (modellato come un telaio shear-type) viene calcolata come segue (in modo analogo al post http://design.rootiers.it/strutture/node/151):

F= (12EI_1B/h³ + 12EI_2B/h³ + 12EI_3B/h³ + 12EI_4B/h³ + 12EI_5B/h³ ) δ⇒

⇒ F= k δ  ⇒ k= 12E/h³ (I_1B+I_2B+I_3B+I_4B+I_5B)

NB come esemplificazione è stata presa la sezione lungo B

Esempio di tabella per il calcolo delle rigidezza dei telai (per visualizzare tutti i calcoli scaricare il file .xls allegato)

I telai per i quali calcolare k dunque saranno A,B, 1C-2C e 3C-4C orizzontalmente e 1,2,3,4 e 5 verticalmente.

Individuiamo quindi il centro di massa cdm dividendo la struttura nelle seguenti porzioni di area e sfruttiamo il foglio excel per il calcolo delle sue coordinate.

Attraverso il foglio di calcolo (sempre opportunamente adattato al telaio in questione) si trova il centro delle rigidezze CK

I due centri sono traslati l'uno rispetto l'altro ci si aspetta dunque che su ogni "molla" agisca una forza diversa da 0 in grado di contrastare l'effetto della rotazione.

I valori di tale forze sono opportunamente evidenziati sul foglio Excel.

Anzitutto si osserva che la trave Vieerendel può essere vista può essere vista come un telaio con travi ShearType le cui proprietà sono note e verificate.

Prima di elencarle è necessario precisare che la risoluzione totale di un telaio ShearType attraverso metodi analitici base può avvenire quando esso si appoggia su due incastri: in questo caso la struttura ha un'ulteriore iperstaticità conferita dal doppio incastro aggiuntivo che come vedremo impedirà la determinazione dello sforzo Normale, in realtà anche a causa del modello stesso che prevede il ritto come infinitamente rigido.

Per via delle sua trave indeformabile lo spostamento in una trave ShearType non può essere diverso da quello rappresentato in figura poichè le travi in generale si ammettono indeformabili assialmente.

La struttura si deforma per assecondare la sua iperstaticità esattamente come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vincolare sull'incastro.

Il cedimento vincolare genera tensioni, figlie in questo caso della forza applicata orizzontalmente.

L'integrazione della linea elastica avviene a partire dall'equazione EIv^IV + q= 0 ma q=0.

φ(s) = 1/2 c₁s² + c₂s + c₃
v(s) = 1/6c₁s³ + 1/2c₂s² + c₃s + c₄

φ(0)=0, φ(l)=0, v(0)=0, v(l)=-δ ⇒ c₁=12/l³ δ , c₁=6/l² δ

χ(s)=φ'(s)= 12/l³ δs - 6/l² δ, M(s)=EIχ=12EI/l³ δs - 6EI/l² δ
⇒ -M'=T ⇒ T(S)=-12EI/l³ δ

F = 2T = 24EI/l³ δ ⇒ δ = Fl³/24EI

Iterando il modello su un telaio ShearType semplice su due incastri con forze F orizzontali agenti su ogni asta orizzontale si può facilmente verificare che:

- il taglio a partire dall'alto verso il basso per ogni asta verticale è F/2 più tutto il contributo in termini di Forze agente sopra di esso
- il momento è il taglio di quell'asta per la metà del braccio (il pilastro nel telaio ShearType)

Il telaio è stato ruotato a rappresentare una Vieerendel aggettante (il funzionamento è il medesimo)

Tornando alla Vieerendel doppiamente appoggiata può essere utile (data la simmetria della struttura) raffigurarla secondo la seguente logica:

Considerando l e F valori parametrici sostituibili al processo generale illustrato precedentemente (non all'esempio!) facilmente troviamo:

T_CD=F/4 = 12EI/l³ δ ⇒ δ = Fl³/48EI
T_BC=F/4 + F/2 = 3/4 F = 12EI/l³ δ ⇒ δ = 3Fl³/48EI
T_AB=3F/4 + F/2 = 5/4 F = 12EI/l³ δ ⇒ δ = 5Fl³/48EI

Sull'incastro invece per la rigidità dei ritti e la simmetria della struttura la forza totale agente (5/4F) si ripartisce sui 4 incastri.

TAGLIO

MOMENTO

Anche i ritti posseggono un loro equilibrio al momento che è nella fattispecie risolvibile attraverso l'equilibrio nel nodo. Il momento rimane lineare e i picchi, che si hanno nei punti estremi della trave, sono la somma dei valori (tenendo conto dei segni) del momento sulle sezioni di trave orizzontale collegate al nodo.

MOMENTO NEI RITTI

Verifichiamo dunque la validità dei risultati su SAP2000.
Una volta disegnata la struttura assegnamo alle travi e ai ritti sezioni diverse sezioni e al loro incrocio un carico verticale di 10KN con un LoadPatterns con Weight Multiplier = 0.

Con sezioni quadrate di 40cm per lato indistintamente dalla sua posizione l'esercizio non sembra essere coerente ai risultati ottenuti. Questo perchè i ritti hanno un fattore EI non sufficiente a rendere quanto più indeformabile la trave.

Il modello scelto consente infatti una valutazione bonaria delle azioni di contatto ma lontana dalla realtà. Infatti per avere risultati efficaci (senza modificare le proprietà del materiale) bisogna assegnare una sezione di 3x3m.

Qui di seguito i grafici con le sezioni così assegnate.

TAGLIO

MOMENTO

SFORZO NORMALE

A partire dal precedente schema strutturale iperstatico si vuole ottenere l'andamento di Momento e Taglio per ogni sezione di esso. Partiamo anzitutto riducendo la struttura ad una isostatica sostituendo per ciascun vincolo incognito una forza, intesa come ente dinamico capace di generare spostamento, tale che per l'intorno del punto in cui viene applicata la situazione cinematica rimanga inalterata.

Questo algoritmo prende il nome di Metodo delle Forze.

Si vuole ridurre il grado di vincolo del carrello in modo tale che esso consenta la rotazione relativa delle aste da esso collegate.

Per ripristinare la continuità sarà necessario dunque applicare un momento tale da ripristinare la continuità:

Per porre dei riferimenti sulla trave indichiamo con le seguenti lettere i punti di discontinuità della trave:

Ricordiamo inoltre i seguenti schemi noti riguardo le rotazioni generate su trave appoggiata rispettivamente da un carico distribuito e da un momento applicato su uno dei carrelli terminali:

Essendo la struttura simmetrica possiamo analizzare la struttura fino al punto C sapendo che Taglio e Momento rispettimente saranno antisimmetrico e simmetrico.

Δφ_B=0 così come Δφ_C=0 inoltre agli estremi di B e C i comportamenti delle sezioni di frontiera saranno diversi quindi vanno studiati e analizzati

φ_Bsx = ql³/24EI - X₁l/3EI, φ_Bdx = -ql³/24EI + X₁l/3EI + X₂l/6EI
φ_Csx = ql³/24EI - X₂l/3EI - X₁l/6EI, φ_Cdx = -ql³/24EI + X₂l/3EI + X₁l/6EI

ql³²/24EI - X₁l/3EI = -ql³²/24EI + X₁l/3EI + X₂l/6EI
ql³²/24EI - X₂l/3EI - X₁l/6EI = -ql³²/24EI + X₂l/3EI + X₁l/6EI

ql²/4 - 2X₁ - X₂/2 = 0
ql²/4 - 2X₂ - X₁ = 0 ⇒ X₁ = ql²/4 - 2X₂

ql²/4 - 2ql²/4 +4X₂ - 2X₂/2  ⇒ X₂ = ql²/14

X₁ = ql²/4 - 2ql²/14 ⇒ X₁ = 7ql²-4ql²/28 ⇒ X₁ = 3ql²/28

Poniamo in equilibrio le singole aste e quindi ricaviamo l'equilibrio per l'asta isostatica sottoposta a momenti flettenti in A,B,C

+

=

Le funzioni che descrivono il Taglio sono:

T_AB(s) = 11/28ql - qs ⇒ T_AB(l) = -17/28ql
T_BC(s) = -17/28ql + 8/7ql - qs ⇒ T_BC(0) = 15/28ql,  T_BC(l) = 13/28ql

e poichè dM/ds = - T ⇒ M(s) = - ∫T(S) le equazioni del Momento saranno (tenendo conto del valore del momento generato dall'eventuale asta precedente):

M_AB(s) = -11/28qls - qs²/2 ⇒ M_AB(l) = 3/28ql² ,  M_AB(11/28l) = 121/1568ql²
M_AB(s) = -15/28qls - qs²/2 +3/28ql²⇒ M_BC(l) = 1/14ql² ,  M_BC(15/28l) = 57/1568ql²

ABSTRACT: Obiettivo dell'esercitazione è la progettazione di un solaio con stratigrafia affine a quella tradizionale romana. Approntato un semplice progetto strutturale in pianta relativo a una superficie di 80mq, saranno valutati i carichi per area di influenza della trave soggetta a maggiore sforzo. Infine sarà effettuato il dimensionamento della trave in legno e un confronto con la corrispettiva in acciaio e cemento.

PIANTA

STRATIGRAFIA

dal Manuale del Recupero di Roma p. 216

Chiaramente le travi con un'area di influenza con intensità maggiore sono le 1,2-5 e 2,3-5 perciò il carico distribuito sulla trave sarà 5.8 KN/m2 x 3.3 m = 19.14 KN/m

Possiamo dunque realizzare il progetto a momento flettente per una trave doppiamente appoggiata con carico distribuito noto.

Il momento flettente massimo è ql²/8: ne segue che M_max = 86.13 KN*m

Contrariamente a quanto suggerito dal Manuale del Recupero si opta per una più tecnologica trave lamellare il cui coefficiente di sicurezza fm,k è 24 N/mm². Alla struttura viene assegnato un coefficiente di kmod variabile di media durata pari a 0.6.

Attraverso questi dati è possibile ricavare l'altezza della trave con un processo progettuale a ritroso dove fm,k viene opportunamente ridotto di un coefficiente ɣ_m 1.45 è funge da valore di resistenza massimo.

Il momento d'inerzia per una trave a sezione rettangolare e bh³/12 e attraverso Navier  σ_max= M_MAX/W_x da cui segue W_x= I  / (h/2)

Assegnamo alla trave una base di 25cm e σ_max = fm,k

h=√(6 ql²/ (8*b*σ_max) ) = √( 6 ^. 5.8 KN/m^2 . 36m² / (8*0.25m*9.93/1000 KN/m²))=
= 0.4516 m

Il che vuol dire che dobbiamo aumentare ragionevolmente la sua altezza. Scegliamo una sezione con altezza 50cm

Osserviamo che il coefficiente ɣ_m 1.45 aggrava molto la scelta della trave: come già accennato a lezione nei paesi nordici dove la tradizione del legno è più consolidata esso è 1.1-1.2 KN/m² che porta a ridurre l'altezza della trave (in questo caso) a 40-45 cm.

Attraverso il foglio di calcolo fornito effettuiamo dei confronti sulle altezze dei profili per valutare le differenze sulle sezioni così come la normativa consente di calcolarle.

Con logica analoga a quella del calcolo svolto (con le dovute differenze, specialmente nel calcolo del cemento armato) e attraverso l'inserimento di valori di resistenze caratteristiche di materiali mediamente prestazionali giungiamo ai seguenti risultati (a parità di carico):

ACCIAIO fy,k  = 235 N/mm² ⇒ W_{x min}=749.31 cm3 ⇒ IPE 360
CLS fy 450 N/mm², Rck 40 N/mm², b=25cm , copriferro = 5cm⇒H _min=32.82 cm ⇒ H=35cm

NB In allegato possiamo trovare la risoluzione della seguente struttura iperstatica svolta in maniera analitica attraverso l'integrazione della linea elastica

Oltre le dovute considerazioni del caso riguardo il calcolo dello spostamento trasversale si potranno trovare i risultati per x (frazione di l) e v_max per generici q, l, E e I.

Per consentire un confronto tra il calcolo e SAP è stato assegnato al profilo della trave uno scatolare in acciaio con E=1.999 10⁸ KN/m² (ho impostato il sistema in KN,C,m e preso il valore di default di SAP) e sezione rettangolare alta 20cm e larga 10cm con spessore 0.5 cm (I=1.524 10^-5 m⁴). Il carico distribuito q assegnato è di 10 KN/m mentre la lunghezza l è di 1m.

Ne segue che:
v_max = 2 10^-5 m
x = 0.578 m

Per verificare la bontà dei dati anzitutto ricreiamo la struttura sul software con le procedure già evidenziate dal post precedente http://design.rootiers.it/strutture/node/777

Per valutare la deformazione nel punto x lo inseriamo attraverso il pulsante Draw Special Joint nella barra a sinistra: comparirà una finestra segnando il valore di x per l'appunto nella casella Offset X e cliccando sull'origine ecco che avremo il nostro segnaposto aggiunto.

Eseguiamo l'analisi e confrontiamo i dati.

Osserviamo da R2 che non essendo la rotazione esattamenente uguale a 0 il punto scelto non è esattamente quello esatto, ma verosimilmente gli si avvicina con un'approssimazione accettabile. Anche il valore dello spostamento verticale è abbastanza simile anche se dovendo fare una stima si discosta da esso di circa il 30%.

Con buona probabilità il metodo analitico "manuale" ha compromesso la totale validità dei dati probabilmente a causa delle varie approssimazioni di volta in volta eseguite durante i calcoli. SAP che chiaramente ha un'affidabilità maggiore da questo punto di vista ha portato ha valori discostanti da quelli calcolati a penna.