Portale di Meccanica

questa è la consegna delle due esercitazioni dell'arco e della capanna. sono uno zip, per ogni evenienza, mando una copia sull'e-mail di fabiana

posto l'esercitazione dell'arco ribassato. ma l'integrale non mi è uscito, dovrebbe essere circa 4 volte maggiore. ho controllato molte volte ma non capisco dov'è l'errore...

Posto la parte conclusiva dell'esercitazione sulla casetta che non ho consegnato ieri.

Remo Mundi

Che la rigidezza sia un concetto fumoso nella testa di molti, non vi è alcun dubbio.. lo sforzo della dispensa allegata, scritta e redatta da Fabiana Riparbelli lungo il corso di una serie di mie lezioni, è stato quello di definirla in un preciso contesto strutturale e di valutarne l'espressione analitica per comprendere da quali grandezze essa dipende..  adatta quindi ad un'analisi parametrica (quant'è di moda sta parola...) ..

Il contesto strutturale sono i telai, usati sia come elementi di sostegno verticale della struttura, ma anche come elementi di sostegno orizzontale (controventamento).

Beh, vi presento un telaio shear-type, ossia un ottimo elemento strutturale per effettuare azioni di controventamento di un edificio, se saggiamente dimensionato e se ben disposto in pianta.. Quello che segue è un suo collega molto più modesto...

e la sua modestia nasce dal fatto che l'elemento orizzontale che collega in sommità i ritti è troppo "debole".. stavo per dire "flessibile" ma flessibile è esattamente l'opposto di "rigido" ed io non ho neanche iniziato a spiegare cosa in meccanica strutturale si intenda per rigido.. insomma, mi sa proprio che questa dispensa dovrete studiarvela..

Perchè, direte voi?

Perchè, ad esempio, volete ripartire la forza del vento sui due controventi (telai) che reggono l'impalcato (leggi "solaio") in figura.. Anzitutto i due controventi dovete averceli sulla struttura (sapete che per controventare una struttura servono almeno tre controventi non paralleli, possibilmente non ammucchiati tutti in pianta?) e poi dovete valutare la forza F (in questo vi guidano le normative) e poi dovete pensare un modo per ripartire la forza F sui due controventi (che, non so se l'avete capito finora, costituiscono vincolo orizzontale all'impalcato)..

Insomma, per fare questo dovete cambiare abito mentale.. vedere l'impalcato come un corpo rigido dotato di massa ed i controventi come molle che lo vincolano a non spostarsi troppo...

e risolvere il problema del suo equilibrio con il "metodo delle rigidezze".. ed ancora una volta, fatalmente ed inevitabilmente, vi riporto alla dispensina allegata.. scialatevi (sapete che cos'è lo scialo?... :-))))

mi è venuto in mente che il gioco del castello di carte possa avere una qualche attinenza con il discorso che si faceva a lezione relativo agli archi a 3 cerniere, all'attrito e la spinta... devo rifletterci un po' ma volevo sapere se e quanto fosse realmente attinente la mia riflessione

Sfogliando riviste cercando spunti progettuali e chissà quali "illuminazioni", mi capita sotto gli occhi quest'opera su Casabella, per chi fosse interessato il n.777.

A prima vista una tenda, un velo pizzicato e tenuto su per le quattro punte da quattro appoggi massivi triangolari.

Ciò che mi colpisce di più, leggendo l'analisi che ne viene fatta sulla rivista, è la sagacia con cui l'architetto riesce a nascondere alla vista dello spettatore il vero corpo resistente della struttura.

Gli elementi principali sono questi:

- 4 travi reticolari longitudinali; mentre le due esterne visibili sono a 2 campate, su 2 appoggi, il cui funzionamento è quello di una catenaria (possibile perchè reggono solo metà peso dei carichi),  le due reticolari interne sono in realtà travi a 3 campate su 4 appoggi (2 setti portanti in c.a. posti ortogonalmente agli appoggi triangolari e le 2 reticolari trasversali esterne), che riducono quindi le luci (questo viene chiamato "sistema misto trave/catenaria");

- 15 reticolari secondarie trasversali, di cui le 2 esterne non gravano sulle longitudinali, ma sono collegate anch'esse sugli appoggi triangolari, collaborando alle sollecitazioni.

Mi è sembrato un bell' esempio di utilizzo consapevole di una buona conoscenza strutturale per garantire all'architettura la migliore "forma" ricercata, raggiungendo notevoli luci di appoggio e modesti spessori grazie a un tale sistema organico.

Impegnarsi a ripartire le forze orizzontali su di una struttura aiuta a comprendere molti concetti di meccanica strutturale.

Tra gli altri, i seguenti:

1) che la struttura, comunque sia fatta, vive nel tridimensionale;

2) che non esistono solo le azioni (carichi) verticali, ma anche azioni orizzontali, qualunque sia la loro natura (azioni sismiche, vento, spinte della terra etc.)

3) che la struttura va progettata (anzi, concepita) tenendo conto anche di queste azioni orizzontali

4) che i medesimi elementi strutturali possono avere una doppia funzione, se adeguatamente disposti nello spazio. In particolare, che un insieme di travi e pilastri, se allineati in un piano verticale,  rappresentano allo stesso tempo una struttura che sopporta i carichi verticali ma anche le azioni orizzontali (controvento)

In particolare, se ci concentriamo sulla tipologia dell'edificio e se il solaio è abbastanza rigido nel suo piano, lo sforzo di ripartire le forze sismiche equivale ad un'applicazione del metodo delle rigidezze in un sistema meccanico composto da corpi rigidi e molle elastiche.

Tuttavia, la semplicità algebrica ha un prezzo concettuale. Bisogna conoscere il concetto di rigidezza (in particolare di rigidezza traslante di un telaio shear-type) e lo spostamento rigido infinitesimo di un corpo piano (formula di Eulero). E poi aver capito bene che nella risoluzione dei sistemi elastici iperstatici le equazioni si usano tutte (equilibrio, congruenza e legame costitutivo) ed in un ordine ben preciso, definito dal metodo utilizzato (metodo delle forze, metodo delle rigidezze etc.).

Ciò premesso, ecco il problema.  Abbiamo un edificio di un solo piano definito dal seguente impalcato (pianta strutturale):

in cui i solai sono orditi come indicato in figura ed i pilastri hanno le seguenti sezioni:

Dall'analisi dell'impalcato individuiamo sette telai piani, quattro lungo Y e tre lungo X. Questi hanno il compito, oltre che di portare il peso della costruzione (struttura, sovrastruttura, sovraccarico accidentale), anche di controventare la struttura intera, ossia di resistere a forze orizzontali (nel piano X-Y), comunque orientate.

Gli elementi distinguibili che compongono la struttura sono tutti piani, ma vivono in piani diversi. Il solaio vive nel piano X-Y, 4 controventi vivono in Y-Z e tre in X-Z. Il solaio è ipotizzabile rigido nel suo piano, mentre ai controventi viene riconosciuta un'elasticità. A questo livello di semplificazione, i controventi sono vincoli (del solaio) cedevoli elasticamente e rappresentabili nel piano dell'impalcato come molle di adeguata rigidezza.

La rigidezza di ogni controvento (modellato come un telaio shear-type) viene calcolata come segue:

Ovviamente, se il controvento ha quattro pilastri al posto di due, la somma indicata in figura si estende ai momenti di inerzia dei quattro pilastri. Il coefficiente K è detto rigidezza traslante del telaio shear-type ed è funzione dei  parametri meccanici e geometrici su indicati.

Questa premessa è di base per comprendere quanto contenuto nel file excel allegato,  che ripartisce una forza orizzontale (in particolare quella sismica) sui sette controventi, attribuendone ad ognuno una frazione, che è funzione della rigidezza del controvento e della sua distanza da un punto privilegiato (il centro delle rigidezze). Molti dei concetti sopra riassunti sono contenuti in altri allegati di post precedenti a questo. Anche l'algoritmo contenuto nel file excel si riferisce a post ed allegati precedenti. 

Questo algoritmo si compone di sette passi:

Passo 1: calcolo della rigidezza del singolo controvento (in figura la tabella del controvento 1)

Passo 2: tabella sinottica di rigidezze e distanze dal punto O (origine degli assi) di tutti i controventi.

Passo 3: calcolo del centro di massa.

Passo 4: calcolo del centro delle rigidezze

Passo 5: calcolo delle forze sismiche

Passo 6: ripartizione forza sismica lungo X

passo 7: ripartizione forza sismica lungo Y

In allegato trovate due file. L'uno contiene il file excel, l'altro il suo commento.

Il file excel è più generale di quanto si possa pensare. Anzitutto, la pianta può essere variata a piacimento, a patto che i telai rimangano diretti o lungo X o lungo Y.

Inoltre, se si effettua l'ipotesi che le sezioni dei pilastri non varino da piano a piano oppure che varino da un piano all'altro nelle medesime proporzioni, l'agoritmo di ripartizione può applicarsi anche ad un edificio multipiano, in quanto rimangono alterati sia il centro di massa sia il centro di rigidezza di ogni piano.

Ovviamente, va adeguata secondo normativa la valutazione ad ogni piano dell'azione sismica.