L'esercitazione ci richiede di risolvere una struttura iperstatica con il metodo della linea elastica e verificare i dati ottenuti con Sap.
Calcolare il valore dell'abbassamento massimo V ed il punto in cui si trova sulla seguente trave iperstatica.
Abbiamo a nostra disposizione 8 equazioni con 8 incognite, tra cui equazioni di bilancio, equazioni delle deformate, e legame costitutivo elastico.
considerando solo l'abbassamento V possiamo combinare le varie equazioni:
+q_{2}=0 "\frac{d}{ds}\left ( -\frac{dM}{ds} \right )+q_{2}=0")
=\frac{d^{2}v}{ds^{2}} "\chi =\frac{d}{ds}\left ( \frac{dv}{ds} \right )=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}")
=q_{2} "\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2}")
consideriamo EI=costante
EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA
Per trovare il valore di V(s) integriamo 4 volte l'equazione ottenuta
=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4} "v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}")
Si ottengono cosi quattro costanti che dipendono dai vincoli, andando ad applicare le condizioni ai bordi possiamo trovarci il valore di ognuna.
Nell'incastro s=0 abbiamo ABBASSAMENTO e ROTAZIONE nulli
v(0)=0 sostituendo nell'equazione v(s) otteniamo
=0 "\varphi \left ( 0 \right )=0")
è la derivata prima dell'abbassamento, sostituendo in dv/ds otteniamo
Nel carrello S=l non c'è ABBASSAMENTO ed ha MOMENTO nullo
v(l)=0 sostituendo in v(s)
=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0 "v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0")
il carico diventa negativo per la convenzione dei segni
=0 "M\left ( l \right )=0")
=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0 "M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0")
sostituendo nel'abbassamento v(l)
\frac{l^{2}}{2}=0 "-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0")
l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} "C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI}")
Trovate le costanti possiamo trovare l'abbassamento massimo richiesto dal problema. Siccome la rotazione è la derivata dello spostamento, in corrispondenza della rotazione nulla abbiamo l'abbassamento massimo
 "\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right )")
Affinchè la rotazione sia nulla avremo
*\frac{3EI}{q_{2}} "s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}^{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}}")
=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI} "v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI}")
=-0,00536\frac{q_{2}}{EI} "l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI}")
Considerando il valore di v(s) possiamo determinare il momento ed il taglio per ogni sezione 
=-\frac{q_{2}l^{2}}{8} "M\left ( 0 \right )=-\frac{q_{2}l^{2}}{8}")
=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8} "M\left ( l \right )=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}")
Il momento è nullo nei punti
=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8} "T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8}")
=-\frac{5q_{2}l}{8} "T\left ( 0 \right )=-\frac{5q_{2}l}{8}")
=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l "T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l")
Il taglio è nullo nel punti
=0 "T\left ( \frac{5}{8}l \right )=0")
RISOLUZIONE IN SAP
Apriamo un nuovo file di tipo grid, con unità di misura kn, m, C, e GRIGLIA x=2 , Y= 1, Z=1 e spaziatura 1. Disegnare la struttura sulla griglia e posizionare un punto a 0.57, dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l’abbassamento massimo avviene in questo punto della struttura.
L'analisi è stata fatta su due sezioni differenti, una rettangolare in acciaio cavo di dimensoni 40x30x2, e l'altra in cemento armato.
I risultati della sezioni in acciaio
DEFORMATA
ù
REAZIONI VINCOLARI
DIAGRAMMA DEL TAGLIO
DIAGRAMMA DEL MOMENTO
I risultati della sezioni in cemento
DEFORMATA
REAZIONI VINCOLARI
DIAGRAMMA DEL TAGLIO
DIAGRAMMA DEL MOMENTO
In allegato ci saranno le tabelle dei risultati per entrambe le sezioni.
