SdC(b) (LM PA)

Esercizio 1

ESERCIZIO 2

La struttura è due volte iperstatica e scelgo come incognita il valore di x, cioè la forza di trazione o compressione cui è sottoposta l’asta BD.

Le due strutture isostatiche che analizzerò sono la mensola con carico distribuito q e forza concentrata xsull’estremo libero e la trave appoggiata con carico distribuito q e forza concentrata xin mezzeria.

Lo spostamento dei punti B e D deve essere lo stesso, quindi V(B) = V(D).

Nel punto B V(B) è dato dalla somma del contributo del carico q e quello della forza concentrata x.

V(B)  = ql^4/8EI- xl³/3EI

Nel punto D lo spostamento V(C) è dato dal contributo del carico q e dalla forza concentrata x.

V(D)  =5ql^4/384EI- xl³/48EI

Il diagramma del momento è dato dalla sovrapposizione del momento della mensola con carico distribuito e di quella con forza concentrata sull’estremo libero. Lo stesso vale per la seconda struttura isostatica: il momento della iperstatica è somma del momento della trave appoggiata con carico distribuito e quello della trave con carico concentrato in mezzeria.

Ho analizzato su SAP la struttura con luce l=3, carico distribuito q=100 KN/m e forza concentrata

x =(43*100*3)/136 = 94,86 KN. I calcoli sono corretti.

La prima esercitazione l’ho postata il 3/04/2011 come commento al mio primo intervento sul blog, perché ancora non avevo capito come postare sul sito.

ESERCIZIO 1

La struttura è due volte iperstatica, quindi devo considerare la rotazione relativa nei punti B e C per trovare i valori delle incognite iperstatiche x1e x2, corrispondenti al valore dell’azione di contatto momento in quei punti.

Per semplificare i calcoli, sostituisco lo sbalzo della mensola con il momento corrispondente ql²/8 (sarebbe ql²/2, ma la luce è l/2).

Nel punto B la rotazione relativa Δφ(B)è data dal contributo di rotazione φdato dal carico q, dal momento della mensola, dalla rotazione x’  in B e x”in C e deve risultare nulla.

Δφ(B) =ql³/12EI – ql³/48EI– 2x’l/3EI– x”l/6EI= 0

Nel punto C la rotazione relativa Δφ(C)è data dal contributo di rotazione φdato dal carico q, dalla rotazione x’  in B e x”in C e deve risultare nulla.

Δφ(C) =ql³/12EI– 2x’l/3EI– x”l/6EI= 0

Dalla formula di Δφ(C) ricavo x’, lo sostituisco inΔφ(B) e trovo il valore dix”.

A questo punto posso disegnare il diagramma del momento come somma di due strutture: la prima con le cerniere e il carico, la seconda con i momenti sugli appoggi senza carico.

Ho verificato la correttezza dei calcoli si SAP definendo una struttura con luce l=3m e carico q=100 KN/m. I calcoli e i diagrammi risultano giusti.

Qui sopra ho riportato lo svolgimento del secondo esercizio verificato con saap

posto i grafici dello studio della struttura una volta iperstatica con il procedimento per trovare l'incognita iperstatica x verticale; trovata l'equazione dello spostamento che si basa sul principio che l'asta che collega le due strutture isostatiche è sottoposta solamente in quanto asta incernierata a sforzo nornmale e quindi non inflettendosi per M mantiene la sua lunghezza e quindi uno spostamneto costante lungo la verticale in questo caso. l'equazione trovata è : -(5ql⁴ )/384EI - Fl³ /48EI -ql⁴ /8EI +Fl³ /3EI =0 in quanto lo spostamento v_b = v_e   v_b =v_b(q) +v_b(x)  v_e =v_e(q) +v_e(x)
 e v_b(q) = ql⁴ /8EI  v_b (x) = Fl³ / 3EI   v_d (q) = -5ql⁴ /384EI  v_d (x) = -Fl³ /48EI  

considerando una trave con 4 appoggi cerniera a distanza L l'uno dall'altro, con mensola di lunghezza L/2 e densità di carico q analizzo la struttura togliendo 2 gradi di vincolo degli appoggi intermedi in modo da poterla considerare isostatica. in questo modo acrò due incognite iperstatiche x1 e x2, ovvero due rotazioni ciascuna delle quali uguale ed opposta alla sua gemella sull'altro lato della cerniera.

come seconda opereazione tolgo lo sbalzo tramutandolo in carico di influenza.

mi calcolo i8l momento agente sulla mensola: qL2/2 * L/4 = qL2/8 Nm che tende la fibre superiori.

nodo B

la rotazione in B dovuta al carico q (e quindi anche alla mensola ) e quella dovuta alla reazione che mi riporta la trave in posizione, x1 dev'esser pari a zero.

per questo devo conoscere le rotazioni relative nel punto B dovute a q ed quella di x1: (qL3 )/24EI-(-qL3 )/24EI = qL3 /12EI

il contributo della mensola è - mL/6EI   m =ql2 /8 quindi il contributo è di -qL3 /48

ora considero il riassestamento dovuto al momento x1 = -x1L/3EI -x1L/3EI = -2/3(x1L/EI) entrambe rotazioni adimensionali

l'equazione del primo nodo B: qL3 /12EI -1/48(qL3 /EI) - 2/3(x1 L/EI) -x2 L/6EI (in quanto infl. dal secondo nodo) =0

stessa procedura per quanto riguarda il nodo C la cui equazione risolutiva è: qL3 /12EI -2/3( x2L/EI) + x1 L/6EI =0

metto a sistema le due equazioni in due incognite e trovo x1=1/17(qL2 )  ed x2 = 19/136(qL2 )

questi due valori sono proprio i 2 momenti che cercavo e che mi riporterebbero al struttura in una condizione di iperstaticità.

senza densità di carico il taglio dovuto a x e costante mentre il momneto è lineare, ma formerà un punto angoloso in corrispondenza del nodo

sovrappongo i grafici dovuti a q ed ad x ed ottengo quello finale che tine conto del grafico del taglio laddove i punti a tangente nulla del momento sono i punti con valore nullo nel taglio.