blog di nicolas ombres

applichiamo il metodo delle rigidezze alla seguente struttura, conoscendo già i valori tipo siamo in grado di ricostruire tramite la deformata e questi valori il grafico dei momenti in funzione di alfa. Ciò che si fa è semplicemente l'equilibrio attorno al nodo sul quale insiste il momento dovuto al carico ( che in questo caso, bloccandolo e facendo agire il carico è quello di una trave doppiamente incastrata qL2/12 ) che viene equilibrato dai momenti che si generano in prossimità del nodo sulla trave che sono proporzionali alle rigidezze delle stesse ( da ricordare che la rigidezza dipende sia da E che da I; da l ma anche dal grado di vincolo a cui è sottoposta la struttura, mantenendo inalterati i primi 3 fattori, prenderà più momento e quindi aiuterà di più la struttura ad assorbire il carico quella parte di essa che è più vincolata, e quindi più rigida).    

possiamo quindi scrivere che M= m1 +m2 in questa equazione sostituiamo i valori tipologici che riutilizzeremo per qualsiasi situazione in cui è più conveniente utilizzare il metodo delle rigidezze.    ql2/12= (4EI/L)alfa + (3EI/L)alfa da cui ricavo alfa in funzione di M . Successivamente sostituisco alfa nei valori dei momenti e mi trovo i coefficienti numerici che moltiplicati per M mi determinano quanta parte del momento supporta ogni parte di trave.

conoscendo la funzione momento della struttura in esame, con la linea elastica siamo in grado di poter risalire alla funzione rotazione dell'asse ed infine alla funzione spostamento. In numero di costanti di integrazione saranno proporzionali al numero di condizioni al bordo o di continuità che mi descrivono lo stato cinematico della struttura (in questo caso non è necessario conoscere la statica della struttura in quanto le costanti di integrazione mi compaiono solo successiavamente). ma andiamo a vedere nel dettaglio come si calcola ad esempio lo spostamento nell'estremo libero:

come primo passo realizzo una superficie in rhinoceros con il comando patch, ne tronco la parte inferiore in modo tale successivamente da potervi applicare dei vincoli in sap, successivamente la semplifico riducendone la suddivisione.

Il cambio di tipologia da 2D a 3D lavora analizzando non più il singolo pezzetto di trave, ma bensì la singola superficie in cui è stata discretizzata quest'ultima lavorando come una membrana: mentre nel modello di trave venivano analizzate le sollecitazioni lungo un singolo asse di riferimanto ora l'analisi viene compiuta su tutte e 4 le facce di sezione della superficie stessa. nel caso specifico però l'analisi viene fatta su elementi trave, per poter esser effettuata su superfici dovrei suddividere la superficie in mesh triangolari; importare il file in cad rinominando il layer "shells"; esplodere le mesh (molto importante in quanto altrimenti non sarebbe possibile l'analisi dell'intera superficie nel sap); importo il file in dxf ed assegno il layer shells e concludo l'imporatzione. il computer riesce molto meglio a gestire singole superfici che elementi trave. Allo stesso modo assegno dei vincoli e mi studio le sollecitazioni sulla struttura.

Dal grafico degli sforzi flettenti notiamo come questi siano maggiori nelle zone in cui la pendenza è maggiore, mentre gli sforzi di trazione li abbiamo lungo gli assi principali.

Osservando il grafico del lavoro compiuto dalla struttura notiamo come le zone più distanti a sbalzo della struttuta si sforzino maggiormente rispetto a quelle con profilo ad arco per tenersi su. Daltronde questo era prevedibile in quanto la forza peso propria di questi sbalzi tende a far ribaltare questi ultimi verso l'esterno.

vogliamo comprendere quale sia in un arco ribassato la sezione più performante a parità di area. ovviamente cambiando la forma della stessa avremo momenti d'ierzia differenti, e con questi anche raggi d'inerzia diffrenti.

ora considerando le aree di cm 80x20 (1); 20x80 (2); 40x40 (3); 160x10 (4); 10x160(5) tutte di area 1600 cmq  calcoliamoci i momenti d'inerzia

I₁ = 1/12x20x40³ =106.666 cm⁴

I₂ = 1/12x80x10³ =6.666 cm⁴

I₃ = 1/12x40x20³ =26.666 cm⁴    

I₄ = 1/12x10x80³ =426.666 cm⁴

I₅ = 1/12x160x5³ =1.666 cm⁴

come risulta evidente i momenti d'ierzia baricentrici sono molto differenti tra di loro, ora vediamo se questo inficia nelle prestazioni dell'arco e quindi se l'arco sia più o meno spingente ( ovviamente più l'arco spinge più si comporta da arco, ovvero questo sta a significare che ha trasformato la flessione in spinta quindi distaccandosi da un comportamento a trave, infatti l'arco ribassato è " più arco" di un arco a tutto sesto). se si ritrova un momento flettente in sommità dell'arco quasto si sta comportando quasi come una trave ed andrà quindi a provocare lesioni in mezzeria (proprio come una trave), infatti è più comune trovare archi a tutto sesto con crepe in sommità piuttosto che archi ribassati con lo stesso tipo di lesione.

L'arco in questione ha una luce di 24 m ed una freccia di 3, con un carico distribuito di 20 KN/m

applichiamo in sap le varie sezioni all'arco e vediamo la spinta laterale.

l'arco è una volta iperstatico quindi la deformata prende una forma a campana con 2 punti di flesso simmetrici l'uno rispetto all'altro

ora analizziamo i valori riscontrati ovvero le spinte dell'arco ed i momenti massimi in sommità:

S₁ =485KN M₁ = 12KN          

S₂ =491KN M₂ = 3KN         

S₃ =489KN M₃ = 0,1KN  

S₄ =470KN M₄ =9KN

S₅ =491KN M₅ =60KN 

Per quanto riguarda le spinte dell'arco non si osservano differenze apprezzabili, ma nel momento in cui si analizzano i momenti in mezzeria allora osserviamo che la sezione con forma di trave (160x10) abbia un momento più alto comportandosi più come una trave che come arco, tant'è vero che lo sforzo alla base comunque risulta essere basso ( bisogna sempre ricordare che vi deve essere un equlibrio costante tra forze esterne e azioni interne, quello che non riesce a compensare la spinta di base lo deve equilibrare il momento in mezzeria per riavere equilibrio); 

in definitiva la sezione più spingente è la quinta (10x160), e fa si che l'arco ribassato si comporti più da arco rispetto agli altri.

prendiamo in esame tre tipologie strutturali differenti: una trave IPE, una travatura reticolare ed una trave Vierendeel, tutte con luce di 20m e densità di carico q= 20 KN/m  andandole a dimensionare ci si accorge di quanto sia differente la grandezza tra l'una e l'altra tipologia, considerando la sezione da utilizzare. la trave IPE avrà una sezione molto più grande e consistente della travatura reticolare asd esempio. Questo è dovuto al fatto che dovendole progettare entrambe usando lo stesso materiale, ovvero l'acciaio, la tensione sigma = N/A ; nella reticolare il momento esterno viene bilanciato proprio da N x il braccio h (l'altezza della reticolare), mentre nella trave IPE è T o C per il braccio h (2/3H) che bilancia il momento esterno. dovendo rimanere costante il rapporto ovvero la tensione sigma, all'aumenmtare di N dovrà aumentare anche A, ma se M=Nxh (a parità di M per entrambe le tipologie vistro che si deve equilibrare un momento esterno di ql²  /8 ) all'aumentare di h diminuisce N e con piccolo N abbiamo una A piccola.

ma andiamo a vedere nel dettaglio cosa avviene se si dimensionano le tre tipologie:verifico in sap i calcoli effettuati precedentemente. questa esercitazione ci vuole dimostrare come a seconda della luce debbano necessariamente cambiare anche le tipologie costruttive che impieghiamo. 

Per prima cosa mi determino la deformata ipotizzata in base alle forze in gioco, scegliendomi gli spostamentin relativi delta. Il secondo passo consiste nel fare un esploso della struttura che mi consideri tutte le reazioni agenti sui pilastri e sui traversi. di questi ultimi andremo a imporre l'equlilibrio ricordandoci che queste forze sono pari a 12EI/l³ x delta

In tal caso partendo dall'ultimo livello via via scendendo sino all'ultimo mi scrivo le equazioni di equilibrio tra le forze esterne e quelle di risposta agenti sui traversi in funzione dei rispettivi spostamenti delta che chiameremo d₁ d₂ e d₃

equazione 1: F - 12EI/h³ x d₃ x 4 = 0   F=48EI/h³ xd₃    d₃ = Fh³ /48EI

equazione 2: 2F+(48EI/h³ xd₃ = F) -12EI/h³ xd₂ x3 =0    2F+F -36EI/h³ xd₂ =0  3F=36EI/h³ xd₂  d₂ = Fh³ /12EI

equazione 3: -3F +36EI/h³ xd₂ +12EI/h³ xd₁ x2 +12EI/(h/2)³ xd₁ =0  -3F + 36EI/h³ xFh³ /12EI +24EI/h³ xd₁ +96EI/h³ xd₁    =0    -3F+3F +d₁x(120/h³ )=0   d₁ = 0

una volta ottenuti i valori di delta possiamo ridisegnare la deformata e sostituiti questi nei valori delle forze di taglio e momento determinare questi ultimi e tracciarne il grafico

M₃ = 6EI/h² x d₃ = Fh/8

M₂ = 6EI/h² x d₂ = Fh/2

T₃ = 12Ei/h³ x d₃ = F/4

T₂ = 12EI/h³ x d₂ = F

in allegato le immagini che graficizzano deformata, momentoe taglio

posto i grafici dello studio della struttura una volta iperstatica con il procedimento per trovare l'incognita iperstatica x verticale; trovata l'equazione dello spostamento che si basa sul principio che l'asta che collega le due strutture isostatiche è sottoposta solamente in quanto asta incernierata a sforzo nornmale e quindi non inflettendosi per M mantiene la sua lunghezza e quindi uno spostamneto costante lungo la verticale in questo caso. l'equazione trovata è : -(5ql⁴ )/384EI - Fl³ /48EI -ql⁴ /8EI +Fl³ /3EI =0 in quanto lo spostamento v_b = v_e   v_b =v_b(q) +v_b(x)  v_e =v_e(q) +v_e(x)
 e v_b(q) = ql⁴ /8EI  v_b (x) = Fl³ / 3EI   v_d (q) = -5ql⁴ /384EI  v_d (x) = -Fl³ /48EI  

considerando una trave con 4 appoggi cerniera a distanza L l'uno dall'altro, con mensola di lunghezza L/2 e densità di carico q analizzo la struttura togliendo 2 gradi di vincolo degli appoggi intermedi in modo da poterla considerare isostatica. in questo modo acrò due incognite iperstatiche x1 e x2, ovvero due rotazioni ciascuna delle quali uguale ed opposta alla sua gemella sull'altro lato della cerniera.

come seconda opereazione tolgo lo sbalzo tramutandolo in carico di influenza.

mi calcolo i8l momento agente sulla mensola: qL2/2 * L/4 = qL2/8 Nm che tende la fibre superiori.

nodo B

la rotazione in B dovuta al carico q (e quindi anche alla mensola ) e quella dovuta alla reazione che mi riporta la trave in posizione, x1 dev'esser pari a zero.

per questo devo conoscere le rotazioni relative nel punto B dovute a q ed quella di x1: (qL3 )/24EI-(-qL3 )/24EI = qL3 /12EI

il contributo della mensola è - mL/6EI   m =ql2 /8 quindi il contributo è di -qL3 /48

ora considero il riassestamento dovuto al momento x1 = -x1L/3EI -x1L/3EI = -2/3(x1L/EI) entrambe rotazioni adimensionali

l'equazione del primo nodo B: qL3 /12EI -1/48(qL3 /EI) - 2/3(x1 L/EI) -x2 L/6EI (in quanto infl. dal secondo nodo) =0

stessa procedura per quanto riguarda il nodo C la cui equazione risolutiva è: qL3 /12EI -2/3( x2L/EI) + x1 L/6EI =0

metto a sistema le due equazioni in due incognite e trovo x1=1/17(qL2 )  ed x2 = 19/136(qL2 )

questi due valori sono proprio i 2 momenti che cercavo e che mi riporterebbero al struttura in una condizione di iperstaticità.

senza densità di carico il taglio dovuto a x e costante mentre il momneto è lineare, ma formerà un punto angoloso in corrispondenza del nodo

sovrappongo i grafici dovuti a q ed ad x ed ottengo quello finale che tine conto del grafico del taglio laddove i punti a tangente nulla del momento sono i punti con valore nullo nel taglio.
 

le allego l'immagine con lo schema della struttura e le sezioni tipologiche

TRAVE ACCIAIO t  rave 1-4 L=3m

Qs= 1,5 KN/mq Qa= 5KN/mq (locale affollato, biblioteca)

Calcolo del Qp (carico permanente non strutturale)

peso specifico intonaco: 2000Kg/mc  spessore: 0.02m  Qintonaco: 2000x0,002=0,4KN/mq

                       pavimentazione: 4000Kg/mc  spessore: 0,01m Qpav: 4000x0,01=0,4KN/mq

                       massetto: 1800Kg/mc  spess. :0,05m Qmassetto: 1800x0,05=0,9KN/mq

incidenza tramezzi (tompagni di bordo)

                       tamponatura forati: 600kg/mc spess. 0,1m Qtamp: 600x0,1=0,6KN/mq

                       tamponatura intonaco  2000kg/mc     spess 0,01mx2  2000x0,02=0,4KN/mq

                       tot incidenza tramezzi: (0,4+0,6)KN/mq x H/i = 1KN/mq x 2,7m/1,5m = 1,8KN/mq

tot Qp: 0,4+0,4+0,9+1,8= 3.5KN/mq

Q = (Qa + Qs + Qp)KN/mq x i = (5+1,5+3,5)KN/mq x 1,5m =15KN/m

Mmax= (QL² )/8 = 15x3² /8 = 16,88 KNm

utilizzo FE360/S235

F_adm =F_yk /gamma_c =235Mpa/1.15= 204,35

W= M/F_adm = 16,88KNm/204,35N/mmq x10³ x 10³ = 82603,4 mm³ =82,6 cm³ W=109 Ipe 160

vado sul sagomario IPE e trovo che il peso al m della trave è di 15,8Kg/m vale a dire 0,158Kn/m

aggiungo il peso proprio della trave a q e lo rinserisco nel file excel per verificare che il W trovato in precedenza verifichi anche quello dovuto a Q=15,158Kn/m  da cui Mmax = 17,052KNm  e W di 83,45cmc

W IPE 160 =109 cmc       verificata

TRAVE CALCESTRUZZO

trave 5-9  L=5m

i=(5/2+3/2)m = 4m

Q_a =5KN/mq  calcolo Q_s

Qs pignatta : peso spec pignatta: 600kg/mc  h_pignatta   =0,2m   600Kg/mc x 0,2m x 0,8m/1m =0,96KN/mq

Qs travetto : p spec cemento: 2500Kg/mc h_travetto  =0,2m   L_travetto =0,1m  2500Kg/mc x 0,2m x 0,2m/1m =1KN/mq

Qs massetto: h_massetto =0,05m 2500Kg/mc x 0,05m = 1,25KN/mq

Q_stot    = (0,96+1+1,25)KN/mq=3,21KN/mq

calcolo Q_p carichi permanenti non strutturali

p.sp. intonaco 2000Kg/mc  sp: 0,02m 2000Kg/mc x 0,02m = 0,4KN/mq

p.sp massetto pendenze 1800Kg/mc sp:0,03m 1800Kg/mc x 0,03m = 0,54KN/mq

p.sp mattonelle 4000kg/mc sp:0,01 4000kg/mc x 0,01m =0,4KN/mq

incidenza tramezzi 0,6KN/mq

Q_ptot    = (0,4+0,4+0,54+0,6)KN/mq= 1,94 circa 2KN/mq

Q= (Qa+Qs+Qp)KN/mq x i = (5+3,21+2)KN/mq x 4m= 40,84KN/m

M_max = 127,625KNm

R_ck =40      F_ck = 32  B=30cm H=27,87=30cm   copriferro: 3cm     peso trave 2,09KN/m

Q_tot = (40,84+2,09)KN/m=42,93=43KN/m  M_max =134,375KNm   H:28,52cm =30 cm OK

TRAVE LEGNO trave 5-6 L=5m i=1,5m

Q_s =0,5KN/mq  Q_a = 5KN/mq

calcolo carichi permanenti non strutturali Q_p

Qp massetto: peso specifico massetto: 1800Kg/mc   sp: 0,05m   1800kg/mc x 0,05m = 0,9KN/mq

allego immagine della struttura

Qp mattonelle: p.sp mattonelle: 4000kg/mc   sp: 0,01m 4000kg/mc x 0,01m = 0,4KN/mq

incidenza tompagni di bordo:

Qforati p.sp forati 600Kg/mc sp: 0,1m 600kg/mc x 0,1m 0,6KN/mq

Qintonaco p.sp intonaco 2000kg/mc sp: 0,01 x 2=0,02m 2000kg/mc x 0,02m = 0,4KN/mq

Qtompagno= (0,6+0,4)KN/mq x 2,7m/1,5m = 1,8KN/mq

Qp_tot = (1,8+0,4+0,9)KN/mq= 3,1KN/mq

Q= (Qa + Qs + Qp)KN/mq x i = ( 5+0,5+3,1)KN/mq x 1,5m= 8,6KN/mq x 1,5m= 13KN/m

Mmax= 42KNm    F_mk = 24 N/mmq

B= 20cm

H_trave = L(3Q/4Bsigma_adm )^1/2 = 26,18cm=27cm

p.sp legno: 350Kg/mc     area sezione : 0,054mq    350kg/mc x 0,054mq = 0,2KN/m

Q_tot = (13+0,2)KN/m = 13,2KN/m  H= 26,38 = 27 OK

eccola