blog di Andrea.Rastrello

Finora l’unico momento studiato è stato quello flettente. Con questa esercitazione entra in gioco anche il momento torcente.

La torsione esiste nel momento in cui due punti appartenenti all’elemento ruotano con velocità differenti intorno al proprio asse. 

L’elemento in questione reagirà in base alla rigidezza torsionale (Rt) data dalla geometria della sezione (momento polare d’inerzia Jt), dal materiale (modulo elastico tangenziale G) e dalla lunghezza.

Rt = (G * Jt) / l

M = Rt * φ

In questa esercitazione, come già detto, andremo a studiare una struttura che genera torsione.

La struttura è così semplificabile:

Questa struttura tridimensionale così semplificata è formata da 3 aste che, essendo nello spazio 3D, creano ognuna 6 GDV che sommati tra loro danno 18 GDV complessivi che, sottratti ai 6 GDL complessivi, generano una struttura 12 volte iperstatica.

Il momento, applicato nel nodo, genera nell’asta che si trova sulla sua linea d’asse deformazione di torsione mentre nelle altre genera flessione.

Questa risoluzione qualitativa è supportata da una serie di prove fatte in SAP2000 che hanno portato allo studio comparativo di varie sezioni in calcestruzzo e in acciaio che sono successivamente state tabellate per avere un semplice riscontro di quelli che sono i valori di spostamento e rotazione dell’asta che si torce. Ovviamente la sezione e il materiale delle due aste rimanenti è rimasto invariato con il valore di default in modo che i valori tabellati cambino solo in base alla sezione e materiale usato e non da agenti esterni.

In questa esercitazione dovremo analizzare un impalcato strutturale soggetto a forze orizzontali. Lo studio verterà sul calcolo della rigidezza traslante K_δ, della traslazione δ lungo la direzione della forza agente, sulla rigidezza rotazionale K_φ e quindi sulla rotazione φ intorno al centro delle rigidezze.

Questo impalcato è formato da 7 telai ognuno dei quali comprende pilastri di grandezza 30x20cm, da cui i momenti d’inerzia:

STEP 1

In questo step si tabellano i telai dando ad ognuno dei dati precisi che sono: modulo di Young (E), altezza H e i valori dei momenti d’inerzia per ogni pilastro in base all’asse di rotazione. Si può quindi procedere al calcolo della rigidezza traslante K_δ di ogni telaio.

K_δ = ΣK_δ                Κ = 12EI/h³

STEP 2

In questo step raccoglieremo tutte le informazioni analitiche delle distanze dei vari telai da un punto di origine O e i valori delle rigidezze traslanti dei telai.

STEP 3

Ora bisognerà trovare il centro delle masse. Il passaggio è abbastanza semplice: si divide la forma della pianta in forme semplici con cui abbiamo facilità nel trovare il baricentro, a questo punto si tratta solo di attuare una media ponderata tra le aree delle suddette forme semplici e moltiplicarle con le distanze dal punto di origine.

G_X = [(X₁*A₁)+ (X₂*A₂)] / A_TOT

G_Y = [(Y₁*A₁)+ (Y₂*A₂)] / A_TOT

STEP 4

Quindi ora si passa alla determinazione del centro delle rigidezze (C).

X_C = (∑_i K_iv * d_iv) / K_{v_tot}                       Y_C = (∑_i K_io * d_io) / K_{o_tot}

Una volta trovato il centro delle rigidezze si dovranno calcolare le distanze di ogni telaio da C. A questo punto siamo in grado di calcolare la rigidezza torsionale K_φ.

Kφ = ∑i Ki * ddi2

STEP 5

Si esegue ora l’analisi dei carichi sismici allo SLE (perché non viene tenuto in conto γ) tramite il carico permanente totale G (somma dei carichi per l’area dell’impalcato) ed il carico totale accidentale Q (carico accidentale per l’area). Ne consegue che vi possiamo determinare i pesi sismici W: W = G + (Q * y).          y=coefficiente di contemporaneità.

Si procede dunque a trovare la forza sismica orizzontale F: F = W / c.    c=coefficiente di intensità sismica.

STEP 6-7

Siamo quindi in grado di quantificare la forza sismica orizzontale F lungo i due assi x/y per ogni controvento. Non essendo nello stesso punto il centro delle masse e il centro delle rigidezze il sistema ruoterà dando vita ad una traslazione δ ed una rotazione σ. Questa rotazione genera un momento torcente M che dovremo andare a calcolare.

Asse X:

M = F *(Y_c – Y_G)

F_oi = K_oi (u_x + dd_oi * φ)

F_vi = K_vi (dd_vi * φ)

Asse Y:

M = F *(X_c – Y_G)

F_oi = K_oi (dd_oi * φ)

F_vi = K_vi (u_y + dd_vi * φ)

Trave Vierendeel doppiamente incastrata:

Come accennato all’inizio dell’esercitazione la seconda parte è dedita allo studio della stessa struttura analizzata in precedenza, con l’unica differenza che non sarà più a mensola ma sarà doppiamente incastrata agli estremi. In questo caso possiamo sfruttare la simmetria della struttura.

Lavoriamo come nell’esercizio precedente e quindi andiamo a calcolare il taglio sulle travi. In questo caso però bisognerà stare attenti perché nel punto 4, baricentro della simmetria, avremo una forza suddivisa in F/2 a destra e F/2 a sinistra.

Dal valore del taglio ne deriviamo quello di momento (moltiplico il taglio per metà della luce):

M₄= F/4 * L/2 = FL/8

M₅= 3F/4 * L/2 = 3FL/8

M₆= 5F/4 * L/2 = 5FL/8

A questo punto possiamo riportare i momenti agenti sui pilastri, ricordandoci di unire il momento nel punto 4 a destra e a sinistra:

Ovviamente i punti 3 e 2 saranno gli opposti dei punti 5 e 6.

Ora, avendo i valori dei momenti, determiniamo il valore del taglio dei pilastri:

T₆ = (FL + FL) / L = 2F

T₅ = (FL/2 + FL/2) / L = F

Andiamo quindi a calcolare il valore degli spostamenti:

F/4 = T = 12EI/L³ * δ₄ --> δ₄ = FL³/48EI

F = T = 12EI/L³ * δ₅ --> δ₅ = FL³/16EI

3F/2 = T = 12EI/L³ * δ₆ --> δ₆ = 5FL³/48EI

Possiamo quindi disegnare la nostra deformata:

            Verifica in SAP2000

Come abbiamo fatto per l’esercizio precedente risolviamo la struttura in SAP, ricordandoci sempre di dare una rigidezza infinita ai pilastri:

Deformata:

Taglio:

Momento:

In questa esercitazione andremo a studiare il comportamento di vari telai Shear Type sovrapposti l’uno all’altro e ribaltati in modo da costituire un sistema di trave che per la sua conformazione avrà delle sollecitazioni inferiori rispetto ad un sistema standard.

Studieremo due casi: il primo quando la nostra trave sarà disposta a mensola mentre il secondo quando la trave sarà incastrata da ambedue le parti.

Trave Vierendeel a mensola:

Come abbiamo detto prima la trave Vierendeel è costituita da vari telai Shear Type (nel nostro caso 6) sovrapposti l’uno sull’altro, questo ci consente di usufruire del metodo di risoluzione sfruttato nell’esercitazione del telaio Shear Type.

Il telaio Shear Type ci consente di avere un momento pari a 0 nella mezzeria del pilastro. Questo è un enorme aiuto nel caso si duplichi il telaio più volte dato che i vari segmenti sono disassociati l’uno rispetto all’altro e quindi i valori di momento e taglio diminuiscono ogni qual volta si studia il telaio successivo. Tutto questo ovviamente comporta che i vari segmenti siano della stessa sezione e materiale in modo che il coefficiente di rigidezza sia uguale per ogni segmento. Ciò comporta che ogni segmento abbia un taglio pari alla metà della forza agente. Ovviamente se nel telaio Shear Type si parlava di pilastri deformabili e travi non deformabili, nel sistema di trave Vierendeel sarà l’opposto.

Una volta saputo il taglio si può quindi procedere al calcolo del momento flettente massimo in corrispondenza degli incastri. Per far ciò è sufficiente moltiplicare il valore del taglio del segmento corrispondente per la metà del braccio, ossia L/2:

M₁= F/2 * L/2 = FL/4

M₂= F * L/2 = FL/2

M₁= 3F/2 * L/2 = 3FL/4

M₁= 2F * L/2 = FL

M₁= 5F/2 * L/2 = 5FL/4

M₁= 3F * L/2 = 3FL/2

Trovati i valori di momento sui segmenti di trave andiamo a vedere come gli stessi si trasmettono al pilastro indeformabile e quanto dovrà essere il momento contrastante di ogni pilastro:

Ne deriviamo cosi il diagramma degli sforzi di momento:

Una volta calcolati i momenti flettenti sul pilastro siamo pronti per calcolare il valore del taglio. Essendo ai due estremi del pilastro i valori del momento uguali possiamo sommare i valori tra di loro e dividerli per la luce in modo da avere il valore del taglio.

T₁ = (FL/4 + FL/4) / L = F/2

T₂ = (3FL/4 + 3FL/4) / L = 3F/2

T₃ = (5FL/4 + 5FL/4) / L = 5F/2

T₄ = (7FL/4 + 7FL/4) / L = 7F/2

T₅ = (9FL/4 + 9FL/4) / L = 9F/2

T₆ = (11FL/4 + 11FL/4) / L = 11F/2

Ora abbiamo il quadro completo. Tutte le forze e sollecitazioni sono state calcolate. Manca a questo punto solamente calcolare lo spostamento δ delle travi. Inizialmente avevamo imposto che tutte le travi avevano una sezione e un materiale uguale, questo implica che tutti i tratti di trave abbiano la medesima rigidezza che, come avevamo calcolato nell’esercizio del telaio Shear Type, ha un valore di 12EI/L³. Conoscendo, come già detto, il valore del taglio per ogni campata otteniamo:

F/2 = T = 12EI/L³ * δ₁ àδ₁ = FL³/24EI

F = T = 12EI/L³ * δ₂ àδ₂ = FL³/12EI

3F/2 = T = 12EI/L³ * δ₃ àδ₃ = FL³/8EI

2F = T = 12EI/L³ * δ₄ àδ₄ = FL³/6EI

5F/2 = T = 12EI/L³ * δ₅ àδ₅ = 5FL³/24EI

3F = T = 12EI/L³ * δ₆ àδ₆ = FL³/4EI

Da cui ne possiamo derivare la configurazione deformata:

            Verifica in SAP2000

Per la verifica in SAP2000 possiamo usare il modello “2D Frames”. Disegnamo la trave del nostro esercizio e impostiamo sezione e materiale. Per i pilastri però c’è bisogno di un coefficiente di rigidezza infinitamente elevato perché è indeformabile. Questo implica che il materiale assegnato ai pilastri sarà diverso rispetto a quello dato ai segmenti di trave. In questo modo sarà possibile determinare i valori giusti anche in SAP:

Deformata:

Taglio:

Momento:

Il telaio Shear Type indica la configurazione di una struttura di tipo “portale”. La caratteristica insita a questo telaio è l’indeformabilità della struttura orizzontale la quale fa si che il portale si possa deformare nei soli pilastri, che comunque hanno un movimento limitato dagli incastri alla base e al colmo degli stessi.

Prima di tutto però è bene definire il concetto di rigidezza (k) in quanto è il valore più influente per definire lo spostamento (δ).  La rigidezza è una costante derivata dal materiale che indica la quantità di forza necessaria ad imprimere una deformazione di spostamento unitario, difatti: F=k*δ . Quindi, maggiore è la rigidezza e maggiore dovrà essere la forza impressa per deformare il corpo.

Abbiamo detto dunque che la trave è indeformabile e che vi è mancanza di rotazione  agli estremi quindi và da se che la trave si muove con atto di moto rigido e le deformazioni sono insite nei soli pilastri. Essendo alla base ancorati al terreno, nel caso ci sia (come nel nostro caso) una forza orizzontale spingente (di cui tra l’altro si conosce il valore), l’unico spostamento sarà nel colmo del pilastro e sarà, per tutto quello che abbiamo detto prima, uguale a quello dell’altro pilastro. Lo spostamento derivato definirà il valore δ e darà vita a deformazione di curvatura χ e conseguente momento M, a prescindere dalla quantità del carico.

Tramite l’integrazione della linea elastica:

Essendo in questo caso in assenza dicarico:

Analizziamo le condizioni al bordo:

ESTREMO BASE

ESTREMO COLMO

Possiamo quindi riportare le equazioni di spostamento e rotazione:

Derivando la rotazione si avrà la curvatura e quindi il momento flettente M e il taglio T.

Da queste si possono diagrammare gli sforzi.

Qui sopra si possono vedere i valori delle reazioni vincolari nel pilastro, ma essendo strettamente collegate alla trave sappiamo che i valori vengono trasmessi all’interno della stessa:

Calcoliamo ora lo spostamento d tramite l’equilibrio alla traslazione orizzontale del corpo rigido (trave):

L’esercitazione questa volta richiede di risolvere un sistema iperstatico e quindi di trovare i valori di Momento e Taglio per ogni sezione della struttura in studio.

L’iperstaticità indica che un corpo ha più vincoli rispetto ai suoi gradi di libertà. Per risolvere una struttura del genere si può usare un metodo chiamato “delle forze”, in cui si trasformano i vincoli in modo da riportare l’asta ad un sistema isostatico e restituendo i vincoli levati sottoforma di forza contrastante il movimento che il vincolo bloccava.

I vincoli perciò devono essere declassati. Ma come riconoscere i vincoli da declassare e quali no? In base alla conoscenza acquisita riguardo ai valori di abbassamento e rotazione nelle condizioni di carico si capisce quale è il vincolo da dover togliere in modo che il movimento dell’asta potrà essere riconducibile a quello di una struttura isostatica. Nel nostro caso il sistema migliore è quello di cambiare i 3 vincoli interni da cerniera esterna a cerniera interna a B, C e D. 

Il sistema ora è diventato isostatico ma differisce rispetto a quello di partenza. Per riportarlo allo stato originario ma mantenendo il nuovo vincolo dato basta aggiungere una reazione di momento, che chiameremo x₁ x₂ x₃, alle cerniere interne in modo da ristabilire il vincolo che indica che la parte a destra e a sinistra della cerniera non ruotino ma rimangano come un singolo elemento.

In questo caso noi siamo già a conoscenza del valore di rotazione dell’asta isostatica quindi è abbastanza agevole la risoluzione del sistema.

Grazie alla simmetria della struttura posso porre x₁=x₃.

A questo punto sappiamo che la rotazione nelle cerniere deve essere uguale a zero e possiamo quindi scrivere l’equazione di compatibilità cinematica: 

Sostituendo i valori dei momenti ai nodi nell’equazione e mettendo a sistema le corrispondenti equazioni contenenti x1 e x2 otterròi due risultati:

eguaglio

Una volta saputi i valori di x₁ ed x₂ applico il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi studio la struttura dividendola in due schemi: uno dipendente dal carico q e l’altro dipendente dalle reazioni vincolari x.

q)

x)

In tutti e due i casi posso scomporre la struttura in 4 aste isostatiche doppiamente appoggiate e andare a studiare le reazioni vincolari e quindi sommarli tra loro.

q)

x)

Dopo aver trovato finalmente le reazioni vincolari sovrappongo i due sistemi di reazioni e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra trave iperstatica di partenza.

Disegnamo ora i grafici di Taglio e Momento.

Per questa esercitazione ci è stato richiesto di fare il dimensionamento della trave in legno lamellare più sollecitata di un solaio tipo.

Questo è il solaio preso in considerazione e evidenziata la trave più sollecitata.

Innanzitutto quello che si dovrà andare a fare è il calcolo dei pesi gravanti sulla struttura i quali si dividono in tre categorie: Qs-Carichi strutturali (il peso della struttura atta a ripartire le forze che arrivano su di essa), Qp-Carchi permanenti (tutti quei carichi che pesano sulla struttura ma che non saranno mai levati o spostati), Qa-Carichi accidentali (in base alla destinazione d’uso dell’edificio il valore cambierà da tabella).

Calcolati i pesi li andremo a sommare tra loro e li moltiplichiamo per l’interasse di influenza in modo da sapere quanto sarà la forza che la trave dovrà reggere. A questo punto, una volta calcolati i carichi, si potrà calcolare il momento flettente. In questo caso io mi trovo davanti ad una trave doppiamente appoggiata e quindi il momento massimo si troverà in mezzeria con un valore pari a: ql^2/8, dove q sono i carichi e L la luce della trave.

Si inseriscono in tabella i valori del valore di resistenza a flessione caratteristica (che sarà diviso per il coefficiente di sicurezza gamma) e il coefficiente riduttivo kmod che ci daranno la nostra sigma (tensione) ammissibile 

Ora si può quindi procedere al calcolo dell’altezza della trave scegliendo a piacere la grandezza della base. Tramite la formula di Navier riusciamo infatti a ricavarci il Modulo di restenza W e quindi l’altezza della trave.

Una volta calcolata l’altezza della trave devo ripetere tutto in quanto il procedimento mancava appunto del peso proprio della trave che però ora, in quanto so la grandezza, conosco quindi devo procedere ad aggiungerla alla somma dei carichi strutturali e riposizionare i nuovi valori in tabella. Mi verrà quindi una trave con una altezza maggiore visto l’aumento della tensione massima a cui la trave dovrà resistere e quindi, come nel mio caso, se la trave calcolata regge un peso minore di quello che in realtà ci serve, dovrò ripetere una terza volta il processo.

h=45cm

altezza trave 50cm

Per questa esercitazione è stata chiesta la modellazione di una travatura reticolare in SAP2000 importando un modello effettuato con un software di disegno come Autocad o come Rhinoceros.

Per travatura reticolare si intende una struttura formata da soli triangoli che hanno come caratteristica quella di reagire solo a sforzo normale. Questa inoltre è condizione necessaria per la definizione di una travatura reticolare isostatica.

Questa trave, quando è fatta in autocad, deve essere composta da tutte linee singole su un layer diverso dal layer 0. La grandezza della travatura è: 3L di lunghezza, 2L di larghezza e L di altezza. Salviamo nel formato DXF.

Entriamo in SAP  e importiamo il file dopo aver creato un nuovo progetto. Sciegliamo l’importazione da file di Autocad.dxf. Le unità di misura saranno (KN, m, °C). Selezioniamo l’intero reticolo e andiamo su EDIT àEDIT POINT àMERGE JOINTS à MERGE TOLERANCE e impostiamo 0,01che ci permette di tollerare un errore nella giunzione delle aste fino ad 1cm, valore tollerabile ai fini dei calcoli.

Impostiamo quindi i vincoli che dovranno essere almeno 3 per vincolare i gradi della struttura isostatica, facendo attenzione che si trovino tutti sfalzati rispetto agli altri.

Si imposta quindi il materiale che ci permette di dare un valore al modulo elastico E. DEFINE àMATERIALSe scegliamo “A992Fy50”. Questo materiale è quello corrispondente all’acciaio con una E=200000

Possiamo quindi definire la sezione delle aste scegliendo delle aste tubolari cave tramite il comando DEFINE àSECTION PROPERTIES àFRAME SECTIONS. Definita la sezione la dobbiamo quindi assegnare alle aste percio le selezioniamo tutte e andiamo su ASSIGN àFRAME àFRAME SECTIONS.

Selezionando i 12 nodi superiori dobbiamo quindi assegnare una forza che grava sulla travatura. Impostiamo una forza puntuale negativa (ossia che va verso il basso) di 40KN. Una per ogni nodo:ASSIGN àJOINT LOADS àFORCES

Bisogna ovviamente ricordarsi di togliere il peso proprio della struttura dal calcolo assegnando in “load patterns” il valore 0 in “self weight multiplier”.

Essendo tutte queste aste legate da una cerniera interna si dovrà quindi imporre la mancanza di momento all’inzio e alla fine delle aste impostando il “rilascio del momento” tramite: ASSIGN àFRAME àRELEASES àMOMENT 33 (MAJOR) àSTART 0 – END 0.

Siamo quindi in grado ora di avviare l’analisi e di vedere i grafici e le tabelle inerenti alla struttura. Nel caso delle travature reticolari la tabella ci consente di individuare immediatamente i tiranti e i puntoni, in quanto i primi hanno valore di N > 0, mentre i secondi hanno N < 0.

In allgato lascio il file pdf con la lista delle forze agenti su ogni asta.

Per questa prima esercitazione abbiamo dovuto calcolare, tramite la linea elastica, lo spostamento massimo a cui viene sottoposta una trave iperstatica appoggiata da una parte su un carrello e incastrata dall’altra e, successivamente, verificare in SAP2000 se i calcoli fatti a mano coincidono con i calcoli effettuati dalla macchina.

Inizialmente ho effettuato il calcolo a mano che ripropongo qui postando la scansione dell’esercitazione.

Successivamente si è passati sul programma SAP2000 dove si è verificato il lavoro svolto a mano.

SAP non è un programma difficile ma è importantissimo che ogni passaggio sia svolto nel modo giusto se si vuole avere un risultato attendibile. Innanzitutto si apre il programma e si apre un nuovo file. Compare quindi una schermata in cui viene richiesto che tipo di modello si deve usare. Impostiamo il “Grid Only”

e, secondo i diversi utilizzi che si devono fare si imposta la quantità di linee della griglia che ci servono. Nel nostro caso saranno 2 in direzione x, 1 in y e 1 in z.

Si procede quindi con l’inserimento di una linea che andrà dal punto 1a al punto 1b che starà a rappresentare la nostra trave e con l’inserimento dei vincoli di incastro e carrello.

Si inserisce quindi il peso della struttura stessa che per i nostri calcoli azzereremo.

Alla nostra trave abbiamo imposto che deve sopportare un peso distribuito  di 10KN.

Visto che avevo già eseguito i calcoli a mano ho inserito un punto a distanza (come si vede dai fogli scansionati ) 0,5775 in direzione x dove si dovrebbe avere il punto di massimo spostamento, con T=0 e M=max.

A questo punto faccio partire l’analisi e per prima cosa mi fa vedere la deformata.

Procedo quindi allo studio del momento e del taglio:

M:

T:

Fatto ciò, come richiesto, dò una forma alla linea, che indica la mia trave, pensandola in acciaio rettangolare cavo e in calcestruzzo armato rettangolare a cui poi ho richiesto al programma di calcolarsi gli sforzi.

Calcestruzzo armato:

Acciaio: