ESERCITAZIONE 5

PIASTRA O GRATICCIO?

DESCRIZIONE DEL CASO

Nella seguente esercitazione porto come caso studio una parte del progetto che sarà presentato all’esame. Nello specifico si tratta di un area interrata adibita a parcheggio (23.63m *17m), per questo ho la necessita di trovare una risposta strutturale che mi permetta di coprire luci che iniziano ad essere importanti lasciandola l’area sottostante libera dai pilastri.

L’interogativo, che è lo stesso a qui siamo posti per questa esercitazione è:

“Per risolvere strutturalmente la copertura uso una piastra o un graticcio di travi?”

RIFLESSIONE

Benché entrambe strutturalmente potrebbero essere la soluzione al problema, i parametri che variano sono molteplici e non rivestono solo l’ambito del comportamento meccanico. A parità di carico, un piastra pesa di più di un graticcio di travi (in funzione dell’interasse di quest’ultimo, ovvio che più la maglia di quest’ultimo sarà stretta, più questo sarà paragonabile ad una piastra). Da un punto di vista cantieristico la realizzazione di una piastra è più semplice di quella di un graticcio( dato il montaggio delle casseforme), ma analogamente il dispendio di materiale è superiore incidendo sull’ economia del progetto).

ANALISIDEI CARICHI

I carichi agenti sulla copertura del parcheggio sono quelli dovuti al metro di terreno di riporto sulla sommità e quello accidentale delle persone che ci camminano sopra( per quest’ultimo si è considerato come  una zona soggetta a grande affollamento come caso estremo).

RIPARTIZIONE DEI CARICI NELLA PIASTRA

Per quanto riguarda la modellazione in SAP2000 si è preso arbitrariamente una sezione di altezza 0.6m per la piastra. Quest’ultima è stata modellata suddividendola in sottomultipli delle dimensione del parcheggio.

I carichi possono essere considerati puntuali nei nodi in cui ho diviso la piastra ( n.b. potrei considerarli anche distribuiti calcolando le singole aree di influenza). La  regola rimane che i nodi al centro si prenderanno il l’intero quantitativo del carico al mq derivante dall’analisi dei carichi (diviso il numero dei nodi), quelli al bordo ½ e quelli agli angoli ¼.

Caricata la struttura posso leggere i valori del momento flettente e dell’abbassamento. Si nota che i valori più rilevanti, riguardo il momento si hanno sul appoggio con i pilastri di bordo. La disposizione di questi, nello specifico la loro inerzia influenza la flessione della piastra.( n.b. i pilastri  dovrebbero sempre garantire  il momento d’inerzia superiore offerto dalla sua sezione,  in asse con la flessione della piastra).

E’ QUI CHE AVVIENE LO SWITCH!

Riprendendo la domanda principale, “piastra o graticcio?”, prendo il valore massimo di Momento Flettente e predimensiono un’ipotetica trave che abbia come base lo spessore della piastra. Se l’altezza utile è molto inferiore o superiore allo spessore della piastra si innesca un processo di iterazione dove gradualmente diminuendo o aumentando lo spessore della mia piastra verifico questa.(n.b. questo processo di iterazione può comportare  la definizione di piastre con spessori tali che non sono plausibili, dato che si arriverà a casi dove il peso stesso della piastra svilupperà reazioni esagerate che richiedono una grande dimensione degli appoggi). Se da questo predimensionamento non si hanno drastiche differenze geometriche con lo spessore scelto, si può anche ipotizzare di convertire la piastra in un graticcio di travi.

RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEL GRATICCIO

Nota la  campata tra gli appoggi al bordo, posso suddividerla in sottocampate che saranno gli assi delle travi del mio graticcio.

Mi calcolo il Momento d’Inerzia di una fascia di piastra, di dimensioni analoghe all’area di influenza delle travi del graticcio. Lo scopo è quello di dimensionare delle travi che garantiscono la stessa inerzia flessionale della piastra. Per fare questo ipotizzo una base per la trave del mio graticcio e tramite la formula inversa mi ricavo l’altezza utile necessaria.

I=1/12 bh^3

h=(12I/b)^1/3

Anche qui si innesca un processo di iterazione per il quale variano le dimensioni del pilastro o diminuendo le dimensioni della maglia riesco a garantire lo stessa inerzia.

Nel caso riportato ho suddiviso le campate tra i singoli appoggi in 3 parti uguali. Questo mi ha permesso di ottenere delle travi di dimensione 300x500mm per il mio graticcio.

La ripartizione dei carichi ora è analoga a quanto già fatto per la piastra.

Avviata l’analisi posso verificare l’abbassamento e la pressoflessione dei pilastri.

Per quanto riguardal'abbassamento ho invece:

ESERCITAZIONE 4

COME FUNZIONA UNA VIERENDEEL

Ipotizzo una trave Vierendeel doppiamente appoggiata secondo lo schema presentato.

Dal punto di vista statico posso considerarla come la composizione di tanti telai SHEAR-TYPE rovesciati. Quindi come un elemento dove il componente TRAVE è caratterizzato da un elevata RIGIDEZZA FLESSIONALE e i componenti PILASTRI come INFINITAMENTE RIGIDI ASSIALMENTE. La rigidezza (K) è esprimibile come il rapporto tra una forza (F) e  lo spostamento (δ).

K=F/δ
F=Kδ

Secondo quanto appena detto la struttura sottoposta ad una forza F si deforma come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vicolare elastico all’incastro.

Tramite le equazioni della linea elastica posso ricavarmi i valori di rotazione, spostamento, moment flettente e taglio.

EI dv⁴/ds + q=0

ν(s)=(12/l³)δ(s³/3)-(6/l²)δ(s²/2)

φ(s)=(12/l³)δs²/2-(6/l²)δs

χ(s)=12/l³δs-6/l²δ

M(s)=EIχ(s)=12EI/l³ δs- 6EI/l² δ

T(s)=-dM/ds=-12EI/l³ δ

Ritornando all’ipotesi presentata, i pilastri hanno tutti la stessa rigidezza, di conseguenza la forza F viene ripartita secondo uno schema prevedibile dato che la struttura presenta sia una simmetria geometrica che di carico.

TAGLIO NELLE TRAVI*

T_CD=-F/4=-T_DE

T_BC=-F/4-F/2=-3/4F=-T_EF

T_AB=-F/4-2/2F=-5/4F=-T_FG

MOMENTO FLETTENTE NEI NODI

M=T*h/2

M_A=5/4F*h/2=5/8Fh=M_G

M_B=3/4F*h/2=3/8Fh=M_F

M_C=F/4*h/2=Fh/8=M_E

EQUILIBRIO AI NODI

Tramite l’equilibrioai nodi mi trovo TAGLIO e MOMENTO dei PILASTRI.

(astaB)
M=3/8Fh+Fh/8=Fh/2
T=(Fh+Fh)/l=2Fh/l

(astaC)
M=5/8Fh+3/8Fh=Fh
T=(2Fh/2)/l=Fh/l

(astaD)
M=Fh/8-Fh/8=0
T=0

SPOSTAMENTI

(tratto CD)

F/2=2T       F=4T          F=4 *12EI/h^{3 *} δ₃     δ₃=Fh³/48EI

(tratto CD)

F+2F/4=2T     F=4/3T     F=4/3*12EI/h^{3 *} δ₂     δ₂=Fh³/16EI

(tratto AB)

F+2*3/4F=2T     F=4/5T     F=4/5*12EI/h^{3 *} δ₁    δ₁=5/48 * Fh³/EI

VERIFICA IN SAP2000

Tutto ciò è possibile verificarloin Sap attribuendo agli elementi "pilastri" della nostra struttura una sezione estremamente grande (agendo sull momento d'inerzia) o un  materiale con un modulo elastico estremamente grande per esprimere il concetto dell' INFINITAMENTE RIGIDO. Avviando l'analisi osserviamo che deformate e digrammi corrispondono a quanto precedentemente visto.

N.B.:La seguente esercitazione riprende la precedente postata il 24/11/2020 (http://design.rootiers.it/strutture/node/2836)

Dalla presente esercitazione siamo arrivati a definire quelle che sono le dimensioni dei elementi principali della struttura:

Tab.1-Dimensioni delle Travi

Tab. 2-Dimensioni dei Pilastri

Il primo passo e quello di calcolare le rigidezze traslanti dei controventi.

Tab.3 - Tabella dei controventi

Lo Step successivo è quello di tradurre in SAP2000 tutto il ragionamento sulle rigidezze fino ad ora affrontato. Conosciamo la posizione del Centro delle Rigidezze

sul quale posizioniamo le forze sismiche trovate. In SAP2000 possiamo definire il nostro centro di regidezza tramite un JOINT, applicandolo nelle coordinate trovate. Per garantire la rigidezza di piano applichiamo a titti i JOINTS del piano un DIAPHRAM che granatisca questa rigidità di piano.

Applicate le forze sismiche al punto delle rigidezze. Definisco una combinazione dei carichi e faccio partire l'analisi.

Con i nuovi valori di Momento e Sforzo Normale ripeto come nell'esercitazione precedente la verifica a presso-flessione dei pilatri.