blog di Maria Luisa Regalo

Questa quinta esercitazione vuole mettere in mostra il diverso comportamento di tre strutture ad arco che coprono la stessa luce ( L=10 m; FIG.01), aventi la stessa sezione (30 x 50 cm, FIG 03), di forma diversa sottoposte all'azione di un carico distribuito q= 100kN (FIG.02).

La prima è rappresentata da un arco circolare in cui la fraccia è uguale alla metà della luce: (f=L/2)

La seconda è rappresentata da un arco ribassato in cui la freccia è un quarto della luce (f=L/4)

L'ultima é un arco parabolico in cui la frecca è pari alla lunghezza della luce (f=L)

FIG.01

 

FIG.02

FIG.03

FIG.04

La loro deformata è simile ma le loro reazioni vincolari sono molto diverse. La FIG. 05 mostra come l'arco ribassato rappresenti la struttura più spingete di tutte tanto che la reazione vincolare orizzontale è pari a circa 500 kN, la metà della reazione vincolare dell'aco circolare (250 kN) ed un quarto della reazione vincolare dell'arco parabolico ( 125 kN).

FIG.05

I diagrammi dello sfrozo normale confermano quel che già era stato visto dalle reazioni vincolari e ci permettono di fare ulteriori ragionamenti riguardanti lo sfrozo normale. 

Nell'arco circolare in corrispondeza delle cerniere esterne l'arco arriva a tangente verticale, di conseguenza lo sfrozo normale sarà pari alla reazione vincolare verticale.

Nell'arco ribassato e nell'arco parabolico, lo sforzo normale è inclinato secondo l'asse dell'arco e le sue componenti orizzontali e verticali possono essere rintracciate nelle reazioni vincolari che si generano nella cerniera esterna.

N₁²=(500,44)²+(500)²=> N₁=702,68 kN

N₂²=(125)²+(500)²=> N₂=514,30 kN

 

FIG.06

La prima parte della quarta esercitazione analizza e mette al confronto il comportamento di una struttura simmetrica, sia dal punto di vista geometrico, che da quello meccanico, con una struttura simmetrica solo dal punto di vista geometrico.

STRUTTURA SIMMETRICA SIA GEOMETRICAMENTE CHE MECCANICAMENTE

La struttura costituita da travi e pilastri è vincolata a terra mediante degli incastri (FIG.01), le travi invece sono collegate ai pilastri con cerniere interne (FIG.02) e l'impalcato è rigido, in grado di ruotare solo intorno all'asse z (FIG.03).

Una volta che abbiamo assegnato la sezione (quindi anche il materiale) alle travi e ai pilastri, applichiamo una forza orizzontale pari a 100kN nel centro geometrico della struttura, che corrisponde anche al centro meccanico, poichè tutti i pilastri hanno la stessa rigidezza k=12EI_x/h³.

Dato che la forza è applicata sull'asse centrale delle rigidezze vi sarà una traslazione u che per la legge di Hooke è pari a u= F/k. (FIG.04) 

F=100/3 kN= 33,33

k= 12 24855578 0,000675/ 27=7456,67 KN/m

u= 33,33kN/7456,67 kN/m = 0,0045 m

STRUTTURA SIMMETRICA SOLO GEOMETRICAMENTE

La struttura in FIG.06 resta simmetrica da un punto di vista geometrico, ma non lo è più dal punto di vista meccanico poichè la rigidezza, che dipende dal momento di inerzia della sezione, è maggiore nei pilastri rossi rispetto alla rigidezza dei pilastri blu. Ciò comporta uno spostamento dell'asse delle rigidezza verso i pilastri rossi; in questo modo la forza non è più applicata nel centro delle rigidezze e ciò determina un momento esterno generato dalla forza orizzontale F.

La deformata  di questa struttura non sarà il risultato di una sola traslazione, ma dell'azione congiunta di una traslazione ed una rotazione (FIG.07).

Intuitivamente immaginiamo che i pilastri più rigidi sviluppano una reazione vincolare più grande e di conseguenza assorbono una quantità maggiore della F ( =100kN) iniziale. Per sapere effettivamente come si riparte la forza nei diversi controventi, consideriamo la loro rigidezza k=12EI_x/h³. A parità di materiale (E) e di altezza del pilastro (h), il rapporto k₁/k₂ = I₁/I₂ 

I₁=0,000675

I₂=0,0052

I₁=0,13 I₂

_k1=0,13 k₂

F = 2 k₁ u + 1 k₂ u

F= u(0,26 k₂ + 1k₂)

F= 1,26k₂ u 

u= F/1,26k₂

F₁= 0,13 k₂ (F/1,26k₂)= 10,32 kN

F₂= k₂ (F/1,26k₂)= 79,36 kN

2F₁+1F₂=100kN

Perciò il telaio, con pilastri aventi sezione 50x50, si farà carico di quasi 4/5 della forza iniziale F, mentre agli altri telai, con pilastri aventi sezione 30x30, arriverà solo 1/10 della F iniziale.

La struttura in FIG.06 subisce la duplice azione di una traslazione e di una rotazione. Ciò è dovuto al fatto che il centro delle rigidezze non coincide più con i centro gerometrico della struttura.

FIG.08

Lo schema delle rigidezze della FIG.08 ed un foglio di calcolo Excel ci aiuteranno a calcolare la posizione precisa del centro delle rigidezze. 

STEP 1 | Sono stati individuati i telai che svolgono la funzione di controventi, i pilastri e le loro caratteristiche: E definito dal materiale, I definito dalla sezione, h l'altezza del pilastro. 

   FIG.09

STEP 2 | La tabella sinottica dei controventi e delle distanze indica quali sono i valori delle rigidezze di ogni talaio e la distanza di questo da un punto di origine arbitrariamente stabilito. In questo caso in corrispondenza del pilastro 1. 

 

STEP 3 | Si è voluto analizzare la struttura precedentemente studiata per le esercitazioni precedenti, che presenta una geometria molto semplice. Per questo motivo la ricerca del centro di massa non è particolarmente complicata. Nel caso in cui la struttura avesse presentato geometri più complesse, sarebbe stato necessario scomporre l'area iniziale in aree di base assimilabili a figure semplici, come ad esempio rettangoli, considerando il centro di ognuna di queste aree.  

CdM (  8  ;  4  )

STEP 4 | Per calcolare le coordinate del centro delle rigidezze è necessario moltiplicare la rigidezza di ogni telaio (orizzontale prima e verticale poi) per la distanza di questo dall'origine degli assi e una volta sommati tutti i valori ottenuti, si divide per la rigidezza totale (orizzontale prima e verticale poi). Una volta note le coordinate del centro delle rigidezze è facile ricavare la distanza di ogni controvento da questo.

Il centro delle rigidezze ha ascissa pari a quella del centro di massa perchè i controventi verticali presentano tutti e 4 la stessa rigidezza.

CdR (  8  ; 1,24  )

STEP 5-6-7 | Dai carichi permanenti ed accidentali si ricava la forza sismica orizzontale (STEP 5), che potremmo avere sia nella direzione x (STEP 6) che nella direzione y(STEP 7). Possiamo notare come la forza sismica lungo y sia completamente assorbita dai controventi verticali e come i controventi orizzontali non svolgano nessun ruolo particolare nei confronti di questa forza. Ciò è dovuto al fatto che il centro delle rigidezze ha in comune con il centro di massa l'ascissa, e così nel caso in cui la forza sismica arrivi lungo y la struttura traslerebbe senza ruotare.

 

 

 

  

                 Forza lungo y applicata nel centro di rigidezza             

                Forza lungo y applicata nel centro di massa  

  

 

                 Forza lungo y applicata nel centro di rigidezza

                 Forza lungo y applicata nel centro di massa

 

 

Con la terza esercitazione si vuole analizzare la deformabilità di una trave a sbalso incastrata del solaio di carpenteria in FIG.01 nelle tre tecnologie: legno; acciaio e cemento armato.

 

FIG.01

Osservando la struttura è evidente che la trave su cui grava più carico è quella centrale poichè la sua area di influenza è pari a 16 m², ossia 4 m di luce x 4 m di interasse. (FIG.02) 

FIG.02

LEGNO 

FIG.03

Supponendo un solaio in legno con un'orditura semplice (FIG.03) composto da: 

travetti con sezione 15X25 cm e con un peso specifico pari a 5 kN/m³

tavolato spesso 3,5 cm e con peso pari a 0,21 kN a m²

caldana alta 4 cm e con peso pari a 0,28 kN a m²

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

sottofondo alta 3 cm e con peso pari a 0,54 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travetti (0,15 x 0,25 x 1)m/m² x 5 kN/m³ = 0,0375 m³/m² x 5 kN/m³ = 0,19 kN/m²

tavolato 0,21 kN/m²

qs = (0,19+0,21)kN/m² = 0,40 kN/m²

 

caldana 0,28 kN/m²

isolante 0,0072 kN/m²

sottofondo 0,54 kN/m²

pavimento 0,20 kN/m²

qp = (0,28 + 0,0072 + 0,54 + 0,20 +1,00 + 0,50) kN/m² = 2,53 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

Tali valori possono essere ora inseriti in un foglio di calcolo excel che a partire dal qs, dal qp e dal qa ricaverà q (kN/m) tenendo conto di un fattore di accrescimento pari a 1,3 per i carichi permanenti strutturali e non strutturali (qs e qp) e 1,5 per i carichi accidentali (qa) e dell'interasse pari a 4m.

Conoscendo il carico gravante sulla trave e la luce di questa si può facilmente ricavare il momento che è pari a quello di una mensola (M = q x l²/2).

In fase progettuale viene scelto il tipo di legno che si vuole utilizzare, in questo caso è stato preso in considerazione un legno lamellare GL 24h la cui resistenza caratteristica f_m,k è pari a 24 MPa. Ora è possibile calcolare la tensione ammissibile sig_am e impostando la base b, ricavare l'altezza h, che ci permetterà di scegliere un altezza di progetto h_d. Ora è possibile ricalcolare il peso proprio della trave peso ed aggiungerlo alle q. V_max rappresenta l'abbassamento massimo della trave a sbalso, che si ha nel punto più lontano dall'incastro; il rapporto tra la luce l e l'abbassamento vmax deve essere l/v_max >= 250 (FIG.03)

FIG.03

La sezione 32 x 65 cm è stata verificata!

 

ACCIAIO

FIG.04

Supponendo un solaio in acciaio come in FIG.04 composto da: 

controsoffitto spesso 1 cm e con peso specifico pari a 13 kN/m³

travi secondarie (IPE 200) con peso specifico pari a 78,5 kN/m³, 

getto  di cls spesso 6 cm e con peso specifico pari a 24 kN/m³,

lamiera grecata h 75 mm con peso pari a 0,11 kN/m², 

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento  dello spessore di 1 cm e con peso pari a 0,2 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travi secondarie (0,00285 x 1)m³/m² x 78,5 kN/m³ = 0,224 kN/m²  

getto di cls  V x p= 0,035 m³/m² x 24 kN/m³ = 0,84 kN/m²

lamiera grecata 0,11 kN/m²

qs =  0,224 + 0,84 + 0,11 kN/m²=1,174 kN/m²

 

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

controsoffitto (0,02 x 1 x 1)m³/m² x 13 kN/m³ = 0,26 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,26) kN/m² = 2,61 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

FIG.05

I risultati restituiti dalla tabella excel riportano un valore del modulo di resistenza W_x pari a 905,75 cm³, basterebbe scegliere un profilo IPE 400 in cui W_x è pari a 1160 cm³., ma così facendo il rapporto tra la luce libera di inflessione e il abbassamento massimo risulterebbe minore di 250, perciò si è preferito selezionare un profilo IPE 450, il cui modulo di resistenza W_x pari a 1500 cm³

Anche per la trave in acciaio è opportuno calcolare nuovamente il carico q aggiungendo il peso proprio della trave (peso)

Trave IPE 450 con sezione pari a 98,80 cm², e peso specifico dell'acciaio pari a 78,5 kN/m³. 

p = (98,80 x 10^-4 x 1) m³/m x 78,50 kN/m³ = 7,76 kN/m

Nonostante il carico q sia stato aggiornato con l'aggiunta del peso p della trave, il rapporto tra la luce di libera inlfessione e l'abbassamento massimo è maggiore di 250

Il profilo IPE 450 è stato verificato!

CLS  

FIG.06

Supponendo un solaio in latero-cemento come in FIG.06 composto da: 

intonaco spesso 1 cm e con peso specifico pari a 18 kN/m³

pignatte n° 2 di dimensioni 8x40x25 cm e con peso pari a 1,32 kN a m²

cls armato con una sezione pari a 840 cm² in un metro e con peso pari a 25 kN/m³

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

pignatte 1,32 kN/m²

cls armato ( 0,084 x 1) m³/m² x 25 kN/m³ = 2,10 kN/m²  

qs =  1,32 kN/m² + 2,10 kN/m² = 3,42 kN/m²

 

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

intonaco (0,01 x 1 x 1)m³/m² x 18 kN/m³ = 0,18 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,18) kN/m² = 2,56 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

 

FIG.07

Come si può apprezzare dalla FIG.07, scegliendo un acciaio per le armature con una resistenza caratteristica f_y pari a 235 MPa e un calcestruzzo con resistenza a compressione f_ck pari a 40 MPa e impostando la base b della nostra trave su i 25 cm, avremo un altezza utile h pari a 49,34 cm, che diventa H = 54,34 cm aggiungendo il delta = 5 cm.  Arrotondiamo a 55 cm per una sezione finale della trave in cemento armato pari a 25 x 55 cm. 

Come per la trave in legno e per quella in acciaio è opportuno calcolare il carico q aggiungendo il peso proprio della trave p,moltiplicato per un fattore pari a 1,3.

p = (0,25 x 0,55 x 1)m³ x 25 kN/m³= 3,44 kN/m

Nonostante il carico q sia stato aggiornato con l'aggiunta del peso p della trave, il rapporto tra la luce di libera inlfessione e l'abbassamento massimo è maggiore di 250.

La sezione 25 x 55 cm è stata verificata!

FIG. 01

La FIG. 01a mostra una trave 2 volte iperstatica soggetta ad un carico q, distribuito e costante, e la sua deformata. Aggiungendo 2gdv (cioè posizionando una cerniera al centro della trave) si ottiene una trave 4 volte iperstatica. Osservando le due deformate, si può intuire come la cerniera sviluppi una reazione vincolare F_By che tende a riportare la deformata (a) verso l'alto (b).  

La struttura, essendo iperstatica, non consente di calcolare immediatamente le reazioni vincolari, che si sviluppano in corrispondenza dei vincoli, con le sole equazioni di equilibrio, come si potrebbe fare in presenza di una struttura isostatica. Per arrivare a delle soluzioni quantitative sarà necessario ricorrere al metodo della linea elastica.

Per ora possiamo solo fare alcuni ragionamenti di tipo qualitativo, che saranno poi verifiati dai calcoli successivi.

La struttura è soggetta ad un carico distribuito di natura costante -> Taglio=lineare | Momento=parabolico

La deformata presenta 3 punti di flesso-> il momento si annullerà 3 volte in corrispondenza dei flessi

Vincolo di incastro -> rotazione nulla

Vincolo di cerniera -> momento nullo 

Queste informazioni insieme all'analisi dei tratti in cui le fibre superiori o inferiori sono tese ci permettono di suppore ed immaginare un diagramma dei momenti e del taglio come in FIG. 02

FIG. 02

Per studiare la struttura iperstatica della FIG. 01b è necessario applicare 2 volte il metodo degli spostamenti, poichè la struttura presenta una singolarità. In tal modo si avrà un'equazione della linea elastica per il primo tratto lungo L (che indicheremo con i pedici ₁) e un'altra equazione della linea elastica per il secondo tratto lungo sempre L (che indicheremo con i pedici ₂).

Nel caso specifico q₂= -q ed il modulo di elasticità E con il momento d'inerzia J, assumono lo stesso valore, trattandosi del medesimo materiale e della stessa sezione. Si ricavano le seguenti equazioni:

Abbiamo perciò 8 incognite, 4 per il primo tratto e altre 4 per il secondo tratto. Le prime vengono individuate con la lettera c e le seconde con la lettera d. Sarà necessario definire 8 condizioni al bordo, utili per ricavare le 8 incognite. 

Di conseguenza il punto A fornisce 2 informazioni che corrispondono alle 2 equazioni:

Il punto B fornisce 4 informazioni che corrispondono alle 4 equazioni:

Il punto C fornisce 2 informazioni che corrispondono alle 2 equazioni:

Le soluzioni che si ricavano da queste 8 equazioni sono:

Questi risultati li sostituiremo nelle equazione iniziali ottenendo v₁(s₁) e v₂(s₂):

 v₁(s₁) e v₂(s₂) forniscono tutte le informazioni necessarie a ricavare i diagrammi delle sollecitazioni, dai quali si possono ricavare le reazioni vincolari.

Iniziando dalle sollecitazioni di taglio, si va a calcolare il T₁(s₁) e T₂(s₂)in s=0 e in s=L, poichè in questo caso il Taglio è una funzione lineare bastano 2 valori per definirne il grafico:

Il momento invece è descritto da una funzione di secondo grado quindi è rappresentato da una parabola che per essere disegnata ha bisogno di tre valori. 

Una volta ricavati i valori possiamo disegnare i diagrammi:

Dai diagrammi ricaviamo le reazioni vincolari:

La seconda esercitazione prevede il dimensionamento della trave più sollecitata del telaio in FIG.01 nelle tre tecnologie: legno; acciaio e cemento armato.

 

FIG.01

Osservando la struttura è evidente che la trave su cui grava più carico è quella centrale poichè la sua area di influenza è pari a 32 m², ossia 8 m di luce x 4 m di interasse. (FIG.02) 

FIG.02

LEGNO 

FIG.03

Supponendo un solaio in legno con un'orditura semplice (FIG.03) composto da: 

travetti con sezione 15X25 cm e con un peso specifico pari a 5 kN/m³

tavolato spesso 3,5 cm e con peso pari a 0,21 kN a m²

caldana alta 4 cm e con peso pari a 0,28 kN a m²

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

sottofondo alta 3 cm e con peso pari a 0,54 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travetti (0,15 x 0,25 x 1)m/m² x 5 kN/m³ = 0,0375 m³/m² x 5 kN/m³ = 0,19 kN/m²

tavolato 0,21 kN/m²

qs = (0,19+0,21)kN/m² = 0,40 kN/m²

 

caldana 0,28 kN/m²

isolante 0,0072 kN/m²

sottofondo 0,54 kN/m²

pavimento 0,20 kN/m²

qp = (0,28 + 0,0072 + 0,54 + 0,20 +1,00 + 0,50) kN/m² = 2,53 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

Tali valori possono essere ora inseriti in un foglio di calcolo excel che a partire dal qs, dal qp e dal qa ricaverà q (kN/m) tenendo conto di un fattore di accrescimento pari a 1,3 per i carichi permanenti strutturali e non strutturali (qs e qp) e 1,5 per i carichi accidentali (qa) e dell'interasse pari a 4m.

Conoscendo il carico gravante sulla trave e la luce di questa si può facilmente ricavare il momento della trave appoggiata (M = q x l²/8).

In fase progettuale viene scelto il tipo di legno che si vuole utilizzare, in questo caso è stato preso in considerazione un legno lamellare GL 24h la cui resistenza caratteristica f_m,k è pari a 24 MPa. Ora è possibile calcolare la tensione ammissibile sig_am e impostando la base b, ricavare l'altezza h. (FIG.04)

FIG.04

Non avendo considerato il peso proprio della trave è opportuno sovradimensionare la sezione scegliendo un profilo 35 x 60 cm.

A questo punto si reputa opportuno dimensione il carico dovuto al peso proprio della trave p e aggiungerlo nella tabella excel per verificare se effettivamente la trave dimensionata con una sezione 35 x 60 cm risulta adeguata. 

p = (0,35 x 0,60 x 1)m³/m x 7 kN/m³ = 1,47 kN/m

FIG.05

Il peso p moltiplicato del fattore di sicurezza 1,3 è stato aggiunto nella casella E3 dei carichi q [kN/m] (FIG.05). Il nuovo carico, comprensivo anche del peso proprio della trave, può essere assorbito da una trave con h = 54,94 cm. Considerando che una trave con una sezione 35 x 55 cm avrà un peso p sicuramente inferiore a quello di una trave con sezione 35 x 60 cm, possiamo concludere il capitolo di questa esercitazione sul legno, notando un eccessivo sovradimensionamento iniziale e scegliendo un profilo rettangolare 35 x 55 cm per la nostra trave in legno lamellare.

La sezione 35 x 55 cm è stata verificata!

 

ACCIAIO

FIG.06

Supponendo un solaio in acciaio come in FIG.06 composto da: 

controsoffitto spesso 1 cm e con peso specifico pari a 13 kN/m³

travi secondarie (IPE 200) con peso specifico pari a 78,5 kN/m³, 

getto  di cls spesso 6 cm e con peso specifico pari a 24 kN/m³,

lamiera grecata h 75 mm con peso pari a 0,11 kN/m², 

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento  dello spessore di 1 cm e con peso pari a 0,2 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travi secondarie (0,00285 x 1)m³/m² x 78,5 kN/m³ = 0,224 kN/m²  

getto di cls  V x p= 0,035 m³/m² x 24 kN/m³ = 0,84 kN/m²

lamiera grecata 0,11 kN/m²

qs =  0,224 + 0,84 + 0,11 kN/m²=1,174 kN/m²

 

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

controsoffitto (0,02 x 1 x 1)m³/m² x 13 kN/m³ = 0,26 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,26) kN/m² = 2,61 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

FIG.07

I risultati restituiti dalla tabella excel riportano un valore del modulo di resistenza W_x pari a 1059,73 cm³, è perciò opportuno selezionare come profilo un IPE 400 in cui W_x è pari a 1160 cm³.

Anche per la trave in acciaio è opportuno calcolare nuovamente il carico q aggiungendo il peso proprio della trave p, maggiorato di un fattore pari a 1,3.

Trave IPE 400 con sezione pari a 84,50 cm², e peso specifico dell'acciaio pari a 78,5 kN/m³. 

p = (84,50 x 10^-4 x 1) m³/m x 78,50 kN/m³ = 0,663 kN/m

FIG.08

Dalla FIG.08 possiamo notare come nonostante nel primo predimensionamento non era stato considerato il peso proprio della trave, il profilo scelto sarebbe risultato comunque idoneo per coprire la luce di 8 metri, supponendo un solaio come quello della FIG.06 .

Il profilo IPE 400 è stato verificato!

CLS  

FIG.09

Supponendo un solaio in latero-cemento come in FIG.09 composto da: 

intonaco spesso 1 cm e con peso specifico pari a 18 kN/m³

pignatte n° 2 di dimensioni 8x40x25 cm e con peso pari a 1,32 kN a m²

cls armato con una sezione pari a 840 cm² in un metro e con peso pari a 25 kN/m³

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

pignatte 1,32 kN/m²

cls armato ( 0,084 x 1) m³/m² x 25 kN/m³ = 2,10 kN/m²  

qs =  1,32 kN/m² + 2,10 kN/m² = 3,42 kN/m²

 

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

intonaco (0,01 x 1 x 1)m³/m² x 18 kN/m³ = 0,18 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,18) kN/m² = 2,56 kN/m²

 

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

 

FIG.10

Come si può apprezzare dalla FIG.10, scegliendo un acciaio per le armature con una resistenza caratteristica f_y pari a 450 MPa e un calcestruzzo con resistenza a compressione R_ck pari a 50 MPa e impostando la base b della nostra trave su i 30 cm, avremo un altezza utile h pari a 43,42 cm, che diventa H = 48,52 cm aggiungendo il delta = 5 cm.  Arrotondiamo a 55 cm per una sezione finale della trave in cemento armato pari a 30 x 55 cm. 

Come per la trave in legno e per quella in acciaio è opportuno calcolare il carico q aggiungendo il peso proprio della trave p,moltiplicato per un fattore pari a 1,3.

p = (0,35 x 0,55 x 1)m³ x 25 kN/m³= 4,125 kN/m

FIG.11

Dalla FIG.11 possiamo notare come aggiungendo il peso proprio della trave p ai carichi q la sezione predimensionata con un profilo 30 x 55 cm risultati idonea per coprire la luce di 8 metri, supponendo un solaio come quello della FIG.09.

La sezione 30 x 55 cm è stata verificata!

La seconda parte della prima esercitazione prevede l’analisi di una trave reticolare nelle tre dimensioni. Nella prima parte avevamo introdotto come questo sistema strutturale fosse largamente usato nell’ambito dei ponti, per questo si è cercato di riprodurre un modello virtuale che potesse essere ricondotto ad una struttura esistente (almeno nelle intenzioni). La struttura, o meglio l’infrastruttura, selezionata è il Ponte dell’Industria non molto lontano dalla facoltà. (FIG.01)

FIG.01

Originariamente chiamato Ponte San Paolo, dalla vicina Basilica sulla Via Ostiense, oggi il ponte prende il nome dalla vecchia area industriale adiacente. Fu costruito nel 1863 come ponte ferroviario per unire la linea proveniente da Civitavecchia con la Stazione Termini. La struttura originaria era costituita da due arcate in ferro e ghisa appoggiate su quattro piloni centrali in mezzo al fiume; la parte centrale era mobile per permettere il passaggio delle imbarcazioni alberate che transitavano sul fiume. Quando nel 1911 fu costruito l’adiacente ponte ferroviario in muratura, il ponte fu restaurato così come lo vediamo oggi, adibito a traffico veicolare, nonché utilizzato per il passaggio del gasdotto. 

Il ponte è suddiviso in 3 campate due laterali costituite da arcate ed una centrale lineare. Supponendo che ogni campata presa singolarmente rappresenti una struttura isostatica, per l'analisi con SAP2000 è stata selezionata solo quella con l'arcata (FIG.02)

.

FIG.02

La costruzione tridimensionale della trave non è molto diversa da quella bidimensionale; infatti dopo aver disegnato la trave con Rhinoceros e averla importata su SAP2000 anche qui è stato necessario introdurre una cerniera interna in corrispondenza di ogni nodo, trattandosi di una struttura reticolare soggetta a solo sforzo normale(FIG.03).  

FIG.03

In un secondo tempo sono state assegnate delle forze concentrate nei nodi superiori (FIG.04) e grazie al software abbiamo potuto apprezzare la deformata della trave(FIG.05),  l’andamento dello sforzo normale (FIG.06) e i valori nella tabella excel (FIG.07).

FIG.04

FIG.05

FIG.06

FIG.07

Trattandosi però di un ponte, o meglio di una parte di esso, il carico maggiore sarà quello trasmesso dall’impalcato su cui si svolge il transito carrabile, il quale trasmetterà tale carico sotto forma di forze concentrate nei nodi (FIG.08).

FIG.08

Confrontando le due situazioni possiamo notare come l’unica differenza notevole sia nei montanti che diventeranno tutti tiranti a causa della forza  agente sull’estremo inferiore di ognuno di essi, mentre prima le forze venivano completamente assorbite dagli elementi superiori.

 

FIG.09

L'argomento della prima esercitazione riguarda la TRAVE RETICOLARE, una struttura composta da aste in acciaio, la cui origine scaturisce dalla necessità di creare strutture sempre più leggere che superassero luci sempre più grandi. Proprio per questo motivo le travature reticolari ebbero una diffusione amplissima per la realizzazione dei ponti.

L'ingegnere inglese Alfred Henry Neville fu il primo che brevettò il ponte a travatura reticolare nel 1838, il primo ponte realizzato con questo sistema sembra essere quello sul canale principale nel parco reale di  Racconigi, costruito su commissione di Carlo Alberto.

Più che un ponte, quello di Neville sembra essere un paradigma statico di ferro e ghisa, Neville sfruttava a pieno il principio statico della forma triangolare e la direzione assiale delle forze lungo le aste per ridurre ai minimi termini le dimensioni della struttura.¹

Per la prima esercitazione, attraverso l'uso del programma SAP2000, sono state analizzate le forze interne generate dalle forze concentrate agenti  sui nodi della trave reticolare presa ad oggetto.

Nella FIG.02 osserviamo una struttura reticolare simmetrica con 5 divisori che compongono il corrente inferiore, di lunghezza pari a 6 m ed elementi diagonali inclinati di 45°.

FIG.02

Il vantaggio delle struttre reticolari, come è stato già accennato, sta nel fatto che i suoi elementi sono soggetti solo a forze interne di tipo assiale lungo la direzione dell'asta; per tal motivo è necessario intordurre delle cerniere interne nei nodi, in modo tale che non si generino dei momenti interni( FIG.03).

FIG.03

Nel momento in cui vengono applicate delle forze concentrate nei nodi del corrente superiore pari a 100 KN ( FIG.04 ), nei vincoli si generano le reazioni vincolari pari a 100KN x 5 nodi = 500 KN :2 componenti verticali = 250 KN (FIG.05)

 FIG.04

FIG.05

SAP ci permette di apprezzare la deformata (FIG.06) e calcola i valori dello sforzo normale su ogni singola asta, individuando con il segno negativo (e con il colore rosso) le aste compresse, ossia i puntoni; e con il segno positivo ( e con il colore blu) le aste tese, ossia i tiranti. (FIG.07)

FIG.06

FIG.07

Il diagramma dello sforzo Normale ci trasmette numerose informazioni; prima fra tutte ci mostra come ad una struttura simmetrica corrispondaa un diagramma delle forze SIMMETRICO. Inoltre ci permette di apprezzare quale siano le aste più sollecitate, possiamo notare infatti come i valori dello sforzo normale aumentino dall'esterno verso il centro nei correnti e come diminuscano invece nelle diagonali.

Attraverso l'esportazione dei singoli valori relativi ad ogni asta in una tabella excel, possiamo avere una visione quantitativa più dettagliata.  Ad ogni asta sarà assegnato un numero dal programma che ci permetterà di distinguerla dalle altre  e associarla ai valori ecxel (FIG.08 e FIG.09); confermando quanto detto precedentemente osservando il diagramma dello sforzo normale.

FIG.08

FIG.09

Sulla stessa tabella della FIG.09 abbiamo messo in evidenza come effettivamente momento e taglio siano nulli (FIG.10).

FIG.10

¹ Tratto da: La cultura architettonica nell'età della restaurazione  a cura di Giuliana Ricci, Giovanna D'Amia