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Soluzione di un telaio multipiano Shear Type attraverso il metodo delle rigidezze.

- Ipotizzo la deformata

- Attraverso l'equilibrio delle forze orizzontali del 3° traverso trovo lo spostamento relativo e i valori dei tagli

- Equilibrio delle forze orizzontali del 2° traverso

- Equilibrio delle forze orizzontali del 1° traverso, ricavo che lo spostamento è uguale a 0 

- Diagramma del Taglio e del Momento

- Deformata, Taglio e Momento con SAP

ESERCIZIO

Come primo passaggio ipotizzo la deformata, partendo sempre dal basso verso l’alto. Man mano che la disegno identifico δ sapendo che δ₁ deforma il piano terra, e trascina quelli sopra. Quindi δ₂ sarà la deformazione del primo piano mentre il terzo si sposta orizzontalmente di δ₁ + δ₂ e si deforma di δ₃.

Usando come modello di riferimento una trave doppiamente incastrata che ha un cedimento δ determino il taglio che agisce su ogni traverso.

Posso quindi definire le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale dei traversi:

1)    F = (4 x 12EI/h^3) x δ₃

Da cui ottengo δ₃ = Fh^3/48EI

E quindi T = 12EI/h^3 x Fh^3/48EI = F/4

2)    2F = (4 x –F/4) + [(3 x 12EI/h^3) x δ₂]

Da cui ottengo δ₂ = Fh^3/12EI

E quindi T = 12EI/h^3 x Fh^3/12EI = F

3)    -3F +3F = (2 x 12EI/h^3) x δ₁ + 12EI/(h/2)^3 x δ₁

Da cui ottengo δ₁ = 0

E quindi T = 0

Sapendo che per questo modello di trave il momento è M = 6EI/h^3 x δ ottengo i momenti:

1. M =6EI/h^3 x Fh^3/48EI = Fh/8
2. M = 6EI/h^3 x Fh^3/12EI = Fh/2
3. M = 0

Sap 2000

Imposto l'esercizio su Sap inserendo h=2m e F=100kN

Inserisco nuovamente la seconda esercitazione perchè si è cancellata dal blog.

ESERCIZIO 1

La struttura presa in esame è 2 volte iperstatica quindi per poterne studiare la deformazione le conferisco 2 GdL consentendo la rotazione relativa nei punti B e C. Così facendo posso trovare il valore dell’azione esercitata dai vincoli in B e C, rispettivamente x₁ e x₂.

Inoltre per semplificare il calcolo sostituisco la mensola con il momento da essa prodotto: q(l/2)^2/2 = ql^2/8 

Punto B: la rotazione relativa Δφ_B = Δφ_Bs - Δφ_Bd = 0

Δφ_B = ql^2/16 -2x₁/3 –x₂/6 = 0

Punto C:la rotazione relativa Δφ_C = Δφ_Cs – Δφ_Cd = 0

Δφ_C = ql^2/12 -x₁/6 –2x₂/3 = 0

Mettendo a sistema le equazioni delle rotazioni relative ottengo x₁ e x₂:

x1 = ql^2/15

x2 = 13ql^2/120

ESERCIZIO 2

La struttura presa in esame è 1 volta iperstatica quindi per poterne studiare la deformazione le conferisco 1 GdL sostituendo l’asta BD con x, supponendo l’asta tesa. In questo modo ottengo due strutture isostatiche: la mensola con carico distribuito q e forza concentrata all’estremo B, x, e la trave appoggiata con carico distribuito q e forza concentrata in mezzeria x.

Dobbiamo porre come condizione v_B = v_C poiché abbiamo eliminato l’asta ma teniamo in considerazione la sua azione: impedisce l’allontanamento e l’avvicinamento dei punti B e D.

Punto B:lo spostamento relativo v_B = v_B(q) + v_B(x)

v_B = ql^4/8EI – xl^3/3EI

Punto D: lo spostamento relativo v_D = v_D(q) + v_D(x)

v_D = 5ql^4/384EI + xl^3/48EI

Posto v_B = v_C ottengo: x = 43ql^2/136

Telaio multipiano Shear Type

TELAIO SHEAR TYPE

Date le forze agenti sul telaio, ipotizzo la deformata

L'esploso della struttura mi permette di mettere in evidenza le reazioni agenti su traversi e pilastri. Impongo quindi l'equilibrio delle strutture orizzontali partendo dall'ultimo livello e trovo il valore della deformata, il taglio e il momento.

__F = 4x(12EI/h³ x d₃ )  = 48EI/h³                       d₃ = Fh³ /48EI

   T₃ = 12EI/h³ x Fh³/48EI = F/4                           M₃ = 6EI/h³ x Fh³/48EI = Fh/8

__2F + 4x (F/4) - 36EI/h³ x d₂ = 0

     F= 12EI/h³ d₂                                                   d₂ = Fh³/12EI

   T₂ = 12EI/h³ x Fh³/12EI = F                               M₂ = 6EI/h³ x Fh³/12EI = Fh/2

__3F - 3F + 24 EI/h³ x d1 = 0                                d₁ = 0

   T₁ = 0                                                                 M₁ = 0

1)Ipotizzo una deformata del telaio partendo dal basso. Ogni forza applicata produce una deformata.

2) Bilancio le forze agenti su ogni traverso partendo da quello più alto e trovo:
la deformazione δ , il taglio T e il momento flettente M  per ogni piano

3)Disegno la deformata effettiva e il diagramma del momento.