Reference

1) Analizzo la struttura e valuto il grado di iperstaticità: se i gradi di vincolo sono maggiori dei gradi di libertà allora la struttura è iperstatica. Il grado di iperstaticità è la differenza tra i gradi di vincolo e i gradi di libertà.

2) Applico il metodo delle forze degradando uno o più vincoli al fine di ridurre I gradi di iperstaticità. In questo modo mi riconduco ad una struttura isostatica equivalente, che sopperisce al degrado vincolare attraverso l'esplicitazione delle azioni di contatto della trave o di una forza/coppia di forze. Queste sono chiamate variabili iperstatiche. Possono essere una o più di una a seconda dello schema strutturale.

3) Nel nostro esercizio abbiamo trasformato le cerniere dei carrelli da esterne a passanti e abbiamo esplicitato l'azione di contatto del momento ai margini dei carrelli, ovvero le variabili iperstatiche x e y. Lo schema generato è metà cinematico e metà statico inquanto sono presenti contemporaneamente vincoli e azioni di contatto. 

4) I carrelli nei nodi B e D sono in posizione speculare rispetto all'asse di simmetria della struttura, quindi la variabile iperstatica esplicitata è la stessa ( variabile X) diversamente da quella nel nodo C (variabile y).

5) Avendo però frazionato la trave in vari tratti, inserendo le cerniere interne, bisogna ristabilire la continuità della struttura iniziale iponendo che la rotazione relativa in corrispondenza dei carrelli sia pari a zero. In questo modo i cari tratti di trave, a destra e a sinistra dei carrelli, non possono ruotare liberamente tra loro, ma possono ruotare solo in maniera assoluta. La rotazione relativa in un punto si trova tramite la differenza tra la rotazione avvenuta nella porzione di trave immediatamente a sinistra del punto e quella a avvenuta a destra. Se la rotazione relativa è pari a zero i tratti di trave hanno ruotato come se fossero uniti.

6) Nel nostro esempio ci sono due incognite iperstatiche quindi devo scrivere due equazioni della rotazione realtiva: una in corrispondenza del carrello nel nodo C e una riguardante i carrelli nei nodi B e D, che sono omologhi.

7) Osservo che ora i vari tratti di trave possono essere ricondotti a schemi statici noti. In questo caso il modello conosciuto è la trave doppiamente appoggiata.

8) Attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti definisco quantitativamente le due equazioni cinematiche dele rotazioni relative pari a zero, che hanno per incognite proprio le variabili iperstatiche.

9) Nel nostro caso le cause che constribuiscono alle rotazioni nei carrelli sono il carico e la coppia (momento) esplicitata. Studio quindi separatamente gli effetti sulla rotazione dovuti a queste due componenti e poi li sommo, con attenzione ai versi e quindi ai segni delle rotazioni nei punti!

10) Mettendo a sistema le due equazioni delle rotazioni relative definiamo i valori delle incognite iperstatiche.

11) Note le incognite iperstatiche possiamo ora risolvere il problema isostatico  calcolando i valori delle reazioni vincolari, disegnando i diagrammi di sforzo normale, taglio, momento e definendo gli spostamenti.

1)  ANALIZZIAMO UNA TRAVE CONTINUA CON CARICO UNIFORMEMENTE DISTRIBUITO, CARATTERIZZATA DALLA PRESENZA DI CARRELLI CHE NON INTERROMPONO LA SUA CONTINUITà

2) IL SISTEMA è TRE VOLTE IPERSTATICO, MA PER SIMMETRIA POSSIAMO AFFERMARE CHE è DUE VOLTE IPERSTATICO CONSIDERANDONE UN SOLO TRATTO

3) IMMAGINIAMO LA STRUTTURA COME ISOSTATICA TRASFORMANDO I VINCOLI

4) PRENDIAMO IN CONSIDERAZIONE LA TRAVE CONTINUA CON FORZA CONCENTRATA E UNA TRAVE CON CARRELLO IN MEZZERIA CHE INTERROMPE LA CONTINUITà

5) EFFETTUANDO UN TAGLIO IN PROSSIMITà DEL CARRELLO NOTIAMO DUE DIVERSE RAPPRESENTAZIONI DELLE FORZE INTERNE

6) NEL SECONDO ESEMPIO NON SI HA LA CONTINUITà DEL MOMENTO POICHè TRATTO DESTRO E TRATTO SINISTRO SONO SEPARATI

7) A QUESTO PUNTO è NECESSARIO AGGIUNGERE UNA FORZA GENERALIZZATA: X

8) IMPONGO LA CONTINUITà AVENDO LA ROTAZIONE UGUALE A DESTRA E SINISTRA

9) POICHè IL MOMENTO IMPEDISCE LA ROTAZIONE RELATIVA, L'UNICA EQUAZIONE PER TROVARE X è LA ROTAZIONE RELATIVA UGUALE A ZERO

1- Riconosco che è una struttura di trave continua su più appoggi.

2- Riconosco la simmetria della struttura:
   -vincoli
   -trave
   -geometria
simmetria perfetta: nonostante a sinistra ci sia una cerniera, la struttura risulta simmetrica in quanto non è presente forza assiale.
(la cerniera si comporta come un carrello )

3- Visto che è simmetrico, non è iperstatico 3 volte ma 2.

4- Riconduco la struttura a sottostrutture note ( in questo caso a trave doppiamente appoggiata).

5- Per avere una struttura equivalente trasformo le cerniere passanti del carrello in cerniere interno ed aggiungo una coppia di forze concentrare ristabilendo dunque la continuità del momento.

6- Devo imporre che la rotazione relativa di ogni cerniera interna, sia equivalente a zero.
   - ΔΨ=0 
   - ΔΨ= (Ψs)-(Ψd)

7- Prendo in considerazione il tratto AB (trave doppiamente appoggiata)
   per trovare (ΨBs) ed applico il principio della sovrapposizione degli effetti (non è un principio perchè è dimostrabile).

8- Studio l'effetto del carico(q) e la Forza concentrata X per trovare    (ΨBs)

9- Ripeto lo stesso procedimento nel tratto BC, dove si aggiunge la    componente (y), alla fine ottengo una equazione contenente 2 incognite    (X e Y) ovvero l'equazione ΔΨBs).

10- Rifaccio gli stessi passaggi per ottenere ΔΨc, in cui
    compaiono sempre le incognite (X e Y), studiando il tratto BC,CD.

11- Metto a sistema le 2 equazioni trovate, per poi ricavare i valori 
    di X e Y, in questo modo ho i valori delle incognite iperstatiche e posso procedere con lo studio della struttura.

METODO DELLE FORZE

Per risolvere le strutture iperstatiche semplici possiamo utilizzare il metodo delle forze.

Individuo quante volte la struttura è iperstatica.

Esempio:

     Trave continua su tre appoggi, una volta iperstatica

Per risolvere questo esercizio utilizziamo il metodo delle forze, riportandola a una struttura isostatica. Declasso il carello in B, portando la trave continua a diventare due travi appoggiate, rompendo la continuità della trave andrò a interrompere il passaggio delle forze di contatto.

A questo punto devo aggiungere l’incognita iperstatica cioè la coppia di forze (X), poiché non avendo più una trave continua è permessa la rotazione relativa, pongo la rotazione = 0 in modo che sia a destra e a sinistra della cerniera B la rotazione sia uguale.

Bisogna separare la struttura secondo il principio di sovrapposizione degli effetti per calcolare l’incognita (X).

Si andrà a risolvere la struttura isostatica disegnando i grafici e calcolando le reazioni vincolari.

1. Noto che si tratta di una struttura che presenta iperstaticità per quattro volte lungo la trave

2. Si tratta di una struttura simmetrica. Considero la simmetria (geometrica, vincoli, carico) della struttura che ci permette di studiarla semplificandola

3. Analizzo e studio metà struttura e la definisco una volta iperstatica.

4. Trasformo la struttura unica in aste distinte

5. Per ottenere una situazione analoga dal punto di vista cinematico devo introdurre delle rotazioni interne

6. Introduco le rotazioni nel punti B e C, così che φ_bds = φ_bdx

7. Studio il tratto AB

8. Applico la sovrapposizione degli effetti

9.Studio il comportamento dell’asta soggetta a carico verticale e al momento x, indipendenti

10. Utilizzo la linea elastica per trovare il valore di x. x= (ql²) / 8

11. Svolgo lo stesso procedimento per gli altri tratti della struttura

1 _ il metodo delle forze si usa per risolvere le strutture iperstatiche semplici:</p>

2 _ controllare di quanti gradi la struttura è iperstatica;

3 _ ricondurre la struttura iperstatica ad una isostatica riducendone la rigidezza e esplicitando dove necessario alcune reazioni vincolari incognite;

4 _ studiare la struttura asta per asta, nei punti in cui abbiamo liberato la rotazione, tramite schemi notevoli cinematici e statici sommati per trovarci i valori delle rotazioni incognite;

5 _ mettere a sistema tutte le incognite riguardanti un nodo, tenendo conto di eguagliare a zero le rotazioni relative poichè siamo partiti da una situazione di rigidezza nel nodo