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STUDIO DI UNA STRUTTURA IPERSTATICA CON IL METODO DELLE FORZE.

1) Analizzare la struttura e assicurarsi che i gradi di vincolo siano maggiori dei gradi di libertà.

2) Interrompere la continuità della trave in modo da riportare il sistema ad uno isostatico equivalente.

3) Esplicitare le incognite iperstatiche, riconducibili al vincolo di continuità che teneva insime le 2 travi , sotto forma di momenti interni.

4) Analizzare le parti riconducibili a schemi notevoli di cui conosciamo abbassamento e rotazione.

5) Imporre che la rotazione relativa nelle 2 parti sia nulla così da ripristinare la continuità della trave.

6) ricavare le incognite tramite l'equazione cinematica che annulla la rotazione relativa.

7) Determinare quindi le reazioni vincolari delle due parti e con il principio di sovrapposizione trovare le sollecitazioni di normale taglio e momento della struttura iperstatica.

METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE

Il metodo delle forze è uno dei possibili metodi risolutivi per strutture iperstatiche semplici.

In generale, possiamo riassumere il suo svolgimento nel seguente modo: scegliamo, tra i possibili schemi notevoli, una struttura isostatica di riferimento equivalente alla struttura iperstatica data.

L'isostatica equivalente si ottiene degradando nella struttura iperstatica di partenza i vincoli (interni o esterni) in maniera opportuna affinché il sistema non diventi labile.

La struttura isostatica ottenuta risulta quindi essere soggetta, oltre ai carichi esterni, alle reazioni vincolari dovute ai vincoli soppressi; tali reazioni vincolari prendono il nome di incognite iperstatiche e il loro numero corrisponde al grado di iperstaticità.

Le incognite iperstatiche vengono determinate a partire dalle equazioni di congruenza (con le quali imponiamo il rispetto delle condizioni cinematiche relative ai vincoli soppressi) e attraverso l'applicazione del metodo di sovrapposizione degli effetti.

Infine una volta individuato il valore delle incognite iperstatiche si può procedere alla definizione delle reazioni vincolari per la struttura isostatica e alla determinazione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.

Risolviamo ora il seguente esercizio attraverso il metodo delle forze esplicitando i passaggi:

1. analizzando qualitativamente la struttura notiamo che si tratta di una trave continua con carico uniformemente distribuito. Inoltre il sistema è 3 volte iperstatico, ma poiché si tratta di una struttura simmetrica per geometria, carichi e vincoli anche la sua soluzione sarà simmetrica: possiamo quindi considerarne una sola porzione (tratto AB e BC) e dire che per simmetria la struttura è 2 volte iperstatica.

2. Individuiamo la struttura isostatica di riferimento: scomponiamo la trave continua in una serie di travi appoggiate, degradando la cerniera passante in una serie di cerniere interne.

3.  Mettiamo in evidenza il momento flettente incognito sulle cerniere interne per garantire l'uguaglianza della cinematica tra l'isostatica e la struttura iperstatica di partenza.

4. Dobbiamo determinare il valore di X e Y, attraverso il sistema delle equazioni di congruenza:

                                          ∆ φ_B = 0

                                          ∆ φ_C = 0

5. Applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti nei due tratti in esame per poter risolvere il sistema delle equazioni

6. Determinati ∆ φ_B e ∆ φ_C , risolviamo il sistema:

                                         ql² – 8X – 2Y = 0

                                         ql² – 4X – 8Y = 0

7. da cui ricaviamo il valore delle due incognite X e Y che ripristinano la continuità della trave:

8. A questo punto per completare l'esercizio si può proseguire con calcolo delle reazioni vincolari e la determinazione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.

1- Noto che corrisponde a una trave continua su più appoggi.

2- La struttura è simmetrica per vincoli (la cerniera posso considerarla un carrello non essendo presente una forza assiale), geometria e carichi.

3- Data la simmetria la struttura non è iperstatica 3 volte ma 2.

4- Passo da questa struttura iperstatica ad una sottostruttura nota: trave doppiamente appoggiata.

5- Introduco le cerniere interne aggiungendo una coppia di forze concentrate per ottenere una struttura equivalente. Attraverso questa coppia ristabilisco la continuità del momento.

6- Faccio in modo che si annulli la rotazione relativa delle cerniere interne

  - Δ(Φ)=0

  - Δ(Φ)=(Φs)-(Φd)

7- Per trovare (Φbs) considero il tratto della trave doppiamente appoggiata AB ed applico il principio della sovrapposizione degli effetti

8- Studio l'effetto del carico q e la forza concentrata X per trovare (Φbs)

9- Faccio lo stesso nel tratto BC ottenendo un'equazione contenente le incognite X e Y (l'equazione di Δ(Φb))

10- Ripeto il procedimento per ottenere Δ(Φc), studiando il tratto BC,CD.

11- Metto a sistema le due equazioni trovate e ricavo X e Y

Per risolvere strutture iperstatiche semplici si può ricorrere al metodo delle forze. 

La struttura iperstatica può essere semplificata e risolta trasformandola in una struttura isostatica equivalente. 

Per prima cosa ricavo i gradi di iperstaticità dalla struttura di partenza, questo numero corrisponderà al numero di incognite iperstatiche e di conseguenza al numero di equazioni cinematiche di cui ho bisogno per trasformare la struttura in isostatica e risolverla. Il metodo delle forze, infatti, consiste proprio nel porre come incognite del problema alcune reazioni vincolari.

Le incognite iperstatiche possono essere forze concentrate oppure coppie di forze, e possono essere forze esterne o forze interne/azioni di contatto, che si generano nel momento in cui declasso uno o più vincoli. Affinché la struttura isostatica sia equivalente, dovrò porre ogni tipo di spostamento (verticale, orizzontale o rotazione) uguale a zero.

Nella Fig. 1.1 possiamo vedere un esempio di struttura una volta iperstatica, le due immagini successive Fig. 1.2 e 1.3 raffigurano due diverse rappresentazioni isostatiche equivalenti della stessa struttura iperstatica, in cui x è sempre l’incognita iperstatica.

In entrambi i casi si generano forze esterne, ma nel primo caso è una forza concentrata, mentre nel secondo caso una coppia di forze. Questo dipende da quale vincolo decido di declassare.

Un altro esempio è la trave continua su tre appoggi (Fig. 1.12), anch’essa una volta iperstatica, seguita da due diverse rappresentazioni isostatiche (a, b). In entrambi i casi l’incognita iperstatica x è una forza interna o azione di contatto, nel caso (a) una forza concentrata, nel caso (b) due coppie di forze uguali ed opposte.

In questo esempio vediamo bene come il declassare il carrello abbia portato ad avere una trave non più continua come quella di partenza, perciò è permessa la rotazione relativa ed il momento non è più trasmesso in tutta la trave, ma vi sono due diverse situazioni a destra e sinistra di B, che posso studiare eseguendo un taglio di Cauchy.

Una volta trovata l’incognita iperstatica grazie all’equazione cinematica imposta possiamo proseguire con il disegno dei diagrammi.

Queste strutture possono essere studiate come due strutture diverse secondo il principio di sovrapposizione degli eventi. Si può, cioè, studiare per parti la stessa struttura, in una considerando la struttura con carico distribuito agente e nell’altra considerando la stessa struttura solo con la forza generalizzata agente. 

Risolte queste strutture semplificate, posso sommare le reazioni vincolari e/o i diagrammi e trovare la soluzione per la struttura iniziale.

1. Una volta che ho capito il grado di iperstaticitá della struttura per applicare il metodo delle forze, vado a declassare. 

2. Creo una struttura equivalente rappresentando l’iperstatica come isostatica mettendo le forze generalizzate (per esempio X e Y) nei punti che ho declassato. 

3. Nei punti che ho declassato devo avere spostamenti / rotazioni nulle per l’equilibrio delle forze nel sistema. In altre parole il corpo deve rimanere in equilibrio anche in seguito al declassamento.

4. Per trovare le mie incognite applico il”principio di separazione delle cause e sovrapposizione degli effetti”.

5. Una volta trovato le incognite ottengo il  sistema relativamente isostatico noto e le reazioni vincolari. 

6. Una volta trovato tutte le reazioni vincolari, disegno i diagrammi delle sollecitazioni interne. 

7. A questo punto disegno la deformata.

1.         1.      analizzo il tipo di struttura che ho davanti: se è iperstatica (gradi di vincolo > gradi di libertà) posso utilizzare il metodo delle forze, che serve per risolvere strutture iperstatiche semplici.
2. individuo una struttura isostatica equivalente, trasformando uno dei vincoli da cinematico (es. carrello) a statico (es. una forza, rappresentata da una freccia che avrà verso opposto a quello del carico a cui è soggetta la struttura).
   • Questa forza generalizzata è un’incognita iperstatica (che chiamerò X,Y, etc.); questa può essere sia una forza esterna che una forza interna, a seconda della struttura equivalente che ho deciso di considerare.
   • Avrò tante incognite iperstatiche quanti sono i gradi di iperstaticità della struttura, e tante equazioni cinetiche del vincolo soppresso. 
3. devo trovare il valore di X tale per cui la struttura isostatica sia uguale a quella iperstatica di partenza.
4. utilizzo il principio di sovrapposizione degli effetti: scindo la struttura isostatica equivalente in due strutture uguali in cui:
   • su una è rappresentato il carico (uniforme o puntuale che sia)  
   • sull’altra l’incognita iperstatica (forza).
5. calcolo le reazioni vincolari (casi notevoli) e quindi il valore degli spostamenti cinematici delle 2 strutture.
6. a questo punto con i valori trovati devo devo risolvere l’equazione che ripristini la continuità della trave - ref. punto 3 (es. il differenziale tra il valore della rotazione del punto B a sinistra e quello a destra dovrà essere =0). Risolvendo questa equazione troverò  il valore della/e incognita/e iperstatica/che X,Y, etc. 
7. posso trovare reazioni vincolari e  disegnare diagrammi delle sollecitazioni (N, T, M) del sistema isostatico equivalente.