Reference

1) Trave continua su 5 appoggi con carico uniformemente distribuito.
Struttura  IPERstatica   ---->   3N<M     nel nostro caso 3 volte iperstatica
2)La struttura presenta un asse di simmetria nel punto medio e per questa proprietà risulta essere 2 volte iperstaica e non 3.
3) Sostituisco la suddetta con uno schema simile ma isostatico e metto in evidenza le incognite iperstatiche.
4) Noto che le varie porzioni sono riconducibili a casi notevoli in precedenza studiati, ne scompongo le cause e mettondo in evidenza gli  effetti.
5) Utilizzo il metodo delle forze che mi consente di risolvere strutture IPERstatiche semplici attraverso l'utilizzo di equazioni cinematiche in quanto quelle statiche di equilibrio non sono sufficienti.
6) Nel nostro caso specifico la reazione vincolare incognita è parte del vincolo di continuità che prima teneva unite le due sezioni della trave.
7) La reazione vincolare coincide con il MOMENTO FLETTENTE (FORZA INTERNA) e per questo si rappresenta come due coppie uguali ed opposte. La presenza della coppia mi garantisce la continuità della trave.
8) L'effetto cinematico del momento flettente è quello di impedire la rotazione relativa delle sezioni su cui è applicato per questo dobbiamo imporre che :
       Δφ=0   da cui        Δφ= φs +  φd = 0
9) Per caso notevole notevole che vado a studiare devo imporre sempre la suddetta condizione anche nel caso in cui l'incognita iperstatica fosse lo spostamento verticale od orizzontale.
10) Risolvo l'esercizio  utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti.
 

1 - E' possibile risolvere una struttura Iperstatica con il METODO DELLE FORZE, riconducendo questa ad una struttura isostatica equivalente.

2 - Prendo come esempio la seguente struttura iperstatica con il suo schema equivalente:

3 - Applicando il taglio di Cauchy ci si rende conto di come i due vincoli in mezzeria si comportino in modo differente: il secondo schema infatti si tratta di una struttura discontinua con una cerniera interna la quale non fa passare il momento. 

3 - In base a quante volte la struttura è iperstatica "cambio" uno o più vincoli, in questo caso la struttura è una volta iperstatica e cambio il vincolo in mezzeria con una cerniera interna.

4 - La struttura può essere equivalente solo se introduco anche la cinematica relativa al vincolo in mezzeria, per questo motivo è stata applicata al vincolo interno una coppia di forze X (incognita iperstatica).

5 - Per studiare la struttura equivalente la frammento in due parti (2 travi appoggiate) ed essendo soggette a due carichi differenti se studio separatamente: 

6 - Essendo la prima struttura iperstatica devo considerare lo schema equivalente come un'unica struttura ed imporre la continuità:

7 - Traslazioni orizzontali: Ubs=Ubd quindi Ubs - Ubd = 0 

8 - Traslazioni verticali: Vbs=Vbd quindi Vbs - Vbd = 0

9 - Mi rendo conto che ciò che cambia sono le rotazioni. Impongo Rbs=Rbd, essendo la struttura iperstatica continua, ed ottengo Rbs - Rbd = 0

10 - Conoscendo i valori delle rotazioni e impondendo l'equazione Rbs - Rbd = 0 posso ricavarmi l'incognita iperstatica X affinchè la struttura semplice isostatica sia equivalente alla struttura iperstatica.

per risolvere una struttura iperstatica con metodo delle forze faccio i seguenti passaggi :

1.Declasso e faccio una struttura equivalente,relativamente statica

2.nel punto in cui ho declassato,creo una forza generalizzata(incognite X,Y,...dipende qnt volte è iperstatico il mio sistema ).

3.nel punto declassato pongo la rotazione/spostamento uguale a zero(la rotazione/spostamento sul lato destro deve essere uguale a quella sul lato sinistro)

4.il mio sistema va ricondotto ai corpi separati,per poter trovare le incognite con il principio di sovrapposizione degli effetti

5.trovo le mie incognite X,Y,... 

6.una volta che ho reso il mio sistema isostatico,vado a trovare le reazioni vincolari in questo sistema nuovo

7.una volta trovate tutte le incognite,posso disegnare i miei diagrammi

Metodo delle Forze

1_Utilizzando il metodo delle forze si può risolvere un qualsiasi tipo di struttura iperstatica, riconducendoci a strutture semplicissime, passando da una struttura iperstatica a strutture isostatiche equivalenti.
2_ Nel caso di una struttura simmetrica per geometria, carico e vincoli, posso procedere ad analizzarla considerando solo una porzione.
3_ Per ottenere questo passaggio di tipologia strutturale, bisogna declassare uno o più vincoli a seconda di quante volte la prima struttura è iperstatica, senza però dimenticare di introdurre la cinematica relativa al vincolo dell'iperstatica poichè, se omessa, non risulterebbe equivalente al vincolo di partenza.
4_Ottengo coì un'incognita iperstatica X (forza generalizzata) e una struttura che presenta contemporanemente fozse isostatiche e iperstatiche (forze interne/esterne e agenti/reagenti): questo fa si che si avrà bisogno di un numero di equazioni di carattere cinematico ( relative agli spostamenti) pari al numero di vincolo, in qaunto si deve trovare la perfetta equivalenza tra le due strutture.
5_Queste equazioni ci consentiranno di trovare le incognite iperstatiche X per l'equivalenza tra gli schemi e rappresentano due forze uguali e opposte come forze interne/azioni di contatto e forze esterne.
6_Consideriamo ad esempio questa trave, messa a confronto con il suo schema equivalente

Il carrello presente in mezzeria nella prima struttura iperstatica è passante, ciò permette di mantenere la continuità nella trave e nelle forze generale; la seconda struttura, quella "equivalente" presenta un carrello con cerniera che invece frammenta in due porzioni la struttura, spezzando la continuità della trave. 
7_Eseguendo i tagli alla Cauchy e analizzando le sezioni dello schema in mezzeria possiamo vedere i diversi comportamenti che hanno i due vincoli sulla stessa trave: le due strutture non si equivalgono poichè la struttura di partenza, iperstatica, non trova la sua continuità nella struttura equivalente.
8_Lo schema iperstatico implica che tutte le forze di contatto si trasferiscano su tutta la lunghezza della trave; nello schema isostatico questa continuità viene bloccata dalla presenza della cerniera interna che, oltre a generare due tratti (destro e sinistro rispetto il vincolo di mezzeria), impedisce la trasmissione della continuità del momento.
9_Devo quindi aggiungere una coppia di forze intorno al vincolo della struttura isostatica (cerniera interna) che mi garantirà di determinare l'incognita iperstatica prima citata.

10_ Dovendo arrivare ad una equivalenza allora devo considerare l'elemento come unico (basandomi sulla struttura iniziale di carattere iperstatico) e cercare una continuità in termini cinematici:

• lo spostamento orizzontale di destra è uguale a quello di sinistra
  Ubs=Ubd, ovvero che Ubs - Ubd = 0 (traslazione orizzontale relativa è nulla)
• lo spostamento trasversale di sinistra è uguale a quello di destra
  Vbs=Vbd, ovvero che Vbs - Vbd = 0
• la terza relazione che dobbiamo imporre è che la rotazione nel vincolo B deve essere = 0, il che si traduce che l'equazione della rotazione a destra e a sinistra devono essere = 0 per la continuità della struttura, ma avendo una cerniera interna si può generare una rotazione relativa

11_All'incognita iperstatica stabilita come momento di contatto bisogna associare l'equazione cinematica relativa allo spostamento a cui questa incognita si oppone e che è quindi in grado di rigenerare l'effetto del vincolo di partenza. E' proprio per questo che impongo la rotazione relativa = 0

12_Proprio con questa equazione posso determinare il valore dell'incognita X posta in partenza, in modo da poter risolvere la struttura isostatica, ora equivalente alla struttura iperstatica iniziale.

1) Prendo in considerazione la struttura, e noto che si tratta di una struttura 4 volte iperstatica (essendo una trave unica con due cerniere e 3 carrelli

2) L'intera struttura è simmetrica (geometria, vincoli, carico). Posso quindi studiarla più semplicemente analizzandone solo una parte.

3) La metà della struttura che prendo in esame è quindi non più 4 volte iperstatica, ma 1 volta iperstatica (1 cerniera e 2 carrelli).

4) Trasformo la struttura, che prima era unica, in aste distinte. (Non si tratta più di una trave continua).
Questo implica l'inserimento di rotazioni interne sulle cerniere, per ripristinare le condizioni cinematiche.

5) Analizzo il punto B. La rotazione relativa deve essere pari a zero. Φb (d) = Φb (s)

6) Analizzo il tratto AB. Posso studiare la struttura, tramite il principio della sovrapposizione, in un primo momento visualizzandola come trave doppiamente appoggiata con carico distrubuito, e poi come una trave doppiamente appoggiata con momento applicato nel vincolo B.

7) Risolvo la struttura doppiamente appoggiata trovando i valori di N,T,M

8) Trovo il valore di X sfruttando il metodo della linea elastica. X= ql²/8. Il valore di X corrisponde alla rotazione relativa Φb (s)

9) Svolgo il procedimento analogo per il tratto BC

10) Trovo il valore di Y sfruttando il metodo della linea elastica.

11) Metto a sistema le due equazioni e mi trovo i valori di X e Y. Posso quindi risolvere la struttura iperstatica.

11 CLICK

-Verifico grado di iperstaticità, in quanto il numero di quante volte la struttura è iperstatica ci indica quante incognite di iperstaticità dovremmo trovare per risolvere la struttura con il metodo delle forze.

-Nell'esempio riportato abbiamo una struttura 3 volte iperstatica, in quanto se la considerassimo come corpo rigido (indeformabile) allora mi basterebbero solo una cerniera e un carrello (GDL=GDV). Tenendo conto delle deformazioni questo non è possibile avendo così una struttura per cui i GDL<GDV, in questo esempio in particolare 3 gradi di iperstaticità = 3 incognite di iperstaticità.

-Il “Metodo delle forze” si basa sul riportare una struttura iperstatica alla condizione isostatica + le forze contatto (interno e/o esterno) che la equilibrano degradando un vincolo o e/o come in questo caso interrompendo la continuità della trave inserendo una cerniera interna a cui applico una coppia di momenti uguali che altro non rappresentano le azioni di contatto  in quel punto della trave continua.

-Posso semplificare  ulteriormente il calcolo tenendo conto della specularità della struttura in quanto il passo (l) e uguale, la trave ha stessa sezione e stesso materiale, stesso carico uniformemente ripartito e non ci sono forze orizzontali che fanno nascere una reazione vincolare orizzontale in a (ua=0). Quindi posso supporre che le incognite di iperstaticità in B e D sono uguali.

-Imposto le equazioni della cinematica che mi permettono di espletare le incognite di iperstaticità. Nel nostro caso sono quelle di rotazione relativa:

-Riconosco la natura della struttura potendo descriverla come una serie di travi su due appoggi sottoposta ad un carico uniforme sulle quali agisce un momento (incognita di iperstaticità) in uno o entrambi gli estremi (a seconda del tratto che si sceglie).

-Per la sovrapposizione degli effetti posso considerare qualsiasi tratto come una su cui agisce solo un carico uniformemente ripartito + una (medesima) su cui agisce un momento. Questo perché sono situazioni notevoli delle quali io conosco già il valore della rotazione (f).

-Mi calcolo la rotazione relativa in B e C.

-Pongo a sistema le due equazioni che mi rappresentano le rotazioni relative nei punti ed esplicito le due incognite.

-Note queste reazioni sono in grado di conoscere le restanti reazioni vincolari, N,T,M e spostamenti.

1) Usiamo il metodo delle forze per risolvere una qualsiasi struttura iperstatica semplice, procedo immaginandola come una struttura isostatica, dunque semplifico i vincoli aggiungendo una reazione (per esempio l'incastro viene semplificato in una cerniera con momento), o sostituisco il vincolo con la reazione (il carrello viene semplificato con una reazione verticale).

2) Lo scopo della semplificazione è ottenere una struttura isostatica. Da non dimenticare, dunque, che nella struttura "diventata" isostatica ci sarà comunque un vincolo cinematico relativo alla iperstatica che sarà uguale a zero (nullo). Questo perchè, se così non fosse, non verrebbe rispettata la natura del vincolo iniziale. 

3) Introduco quindi un'incognita iperstatica che corrisponde alla reazione nata dalla semplificazione.

4) Prendendo come esempio l'esercizio svolto in aula sulla trave continua, posso affermare che la semplificazione migliore e più veloce, non è quella di trasformare gli appoggi intermedi in reazioni verticali (poichè dovrei analizzare ogni incognita singolarmente per vedere come reaggisce la trave cinematicamente), bensì è quella di trasformare gli appoggi in cerniere interne aggiungendo dunque ad essi una coppia di momenti interna.

5) Difatti, il vincolo intermedio (appoggi della trave continua) permette di far passare N, T ed M indistintamente, come anche riesce così la cerniera interna (una volta semplificata la struttura) grazie all'aggiunta della coppia dei momenti. Se la coppia non ci fosse stata, la trave risulterebbe discontinua e di conseguenza permetterebbe attraverso la cerniera la continuità di N e T, ma non del Momento flettente. 

6) So per certo che negli appoggi (anche nel caso della cerniera interna con la coppia dei momenti) avrò il momento continuo poichè i carrelli (appoggi) corrispondono a forze concentrate che generano una discontinuità solo nel Taglio (derivata di M) e non nel Momento. Negli appoggi so che il Momento avrà un punto angoloso, di conseguenza posso anche dire che la coppia di momenti che ho inserito, è composta da due reazioni uguali e opposte.

7) Il passaggio successivo è quello di cercare di dividere la struttura per analizzarla parte per parte, risolvendola grazie ai risultati notevoli ove è possibile. Per fare ciò usiamo il metodo della sovrapposizione degli effetti.