SdC(b) (LM PA)

Introduzione

Fino ad ora abbiamo sempre visto le strutture sottoposte ai carichi verticali perchè nel nostro immaginario sono le forze che riusciamo subito a vedere e capire. Ma nella progettazione delle strutture dobbiamo tener conto delle forze orizzontali che sono rappresentate dal vento e dal sisma. Perciò dovremmo progettare strutture che siano controventate per rispondere ai carichi orizzontali.

Step 1_Impalcato

Sottoponiamo la struttura in figura ad una forza orizzontale F che simuli l'effetto del sisma.

I pilastri 1-2-11-12 sono 70x50 mentre i restanti sono quadrati 70x70. Calcoliamo i momenti di inerzia (cm⁴)

Step 2_Rigidezza dei Telai

Tramite un foglio Excel ci calcoliamo la rigidezza dei telai che è data dalla somma delle rigidezze dei singoli pilastri.

Adesso ricapitoliamo le rigidezze dei telai con le distanze dal punto perchè ora calcoleremo il centro delle rigidezze e il centro delle masse.

Step 3_Centro delle Masse

Suddividendo l'impalcato in aree calcoliamo il centro delle masse. 

Step 4_Centro delle Rigidezze

Il centro delle rigidezze non dipende dalla geometria dell'impalcato ma dal posizionamento dei controventi. Per determinarne la posizione dobbiamo moltiplicare la rigidezza di ogni telaio per una distanza da un punto scelto e poi dividendo per la rigidezza totale.

Step 5_Analisi dei Carichi Sismici

Step 6_Verifica della distribuzione dei carichi sismici

Introduzione

Fino ad ora abbiamo visto solamente strutture bidimensionali e non abbiamo mai tenuto conto degli effetti dei momenti flettenti sulla terza dimensione. Vogliamo quindi capire cosa accade se abbiamo una struttura che si sviluppa in X,Y,e Z come quella mostrata in figura.

Step_1: Struttura Equivalente

Dal momento che applichiamo un carico distribuito sulla mensola a sbalzo potremo semplificare il modello eliminando lo sbalzo e applicando al nodo un momento pari a qL²/2 e uno sforzo assiale pari a qL. 

Dal momento che il pilastro è molto più rigido assialmente possiamo non tener conto della deformazione assiale ma solo di quella flessionale. Quindi la deformazione sarà uguale in entrambe le aste soggette allo stesso sforzo flessionale. 

Step_2: Calcolo del Momento al nodo

Ora abbiamo le travi nel piano XZ che subiscono una flessione dal momento applicato che ruota intorno all'asse Y. Per calcolare il momento al nodo, avendo un momento applicato, utilizziamo il metodo delle rigidezze. Infatti una trave doppiamente incastrata con cedimento angolare come abbiamo studiato si comporta cosi:

Essendo le due aste di uguale materiale, forma, lunghezza e rigidezza avremo che: 

Step_4: Analisi della Torsione

Fin qui abbiamo studiato cosa succede al nodo nel piano XZ senza contare la terza asta che subisce una torsione.

Il momento torcente è = 

Perciò ora riscriveremo l'equilibrio al nodo aggiungendo il momento torcente:

Step_5: Verifica SAP

Su SAP ricostruiamo il modello e verifichiamo il comportamento a torsione dell'asta ipotizzandola con varie sezioni a parità d'area.

5.1 SEZIONE IPE

5.2 SEZIONE SCATOLARE

5.3 SEZIONE CIRCOLARE CAVA

Introduzione

Il metodo delle rigidezze è un metodo per risolvere strutture iperstatiche ed in particolare abbiamo studiato tale metodo per calcolare portali, telai, telai shear type e travi Virendeel.

Come sappiamo la rigidezza è la forza necessaria a produrre uno spostamento unitario. 

Per questa esercitazione vogliamo applicare il metodo delle rigidezze ad una trave Virendeel.

Step_1: Deformata 

Conoscendo la deformata di una trave incastro-incastro con cedimento strutturale, o il comportamento deformativo di un telaio shear type possiamo facilmente dedurre la deformata di una Virendeel.

Essendo una trave Virendeel una sovrapposizione di telai shear type possiamo disegnare la deformata.

Step_ 2: Calcolo Taglio e Momento nelle travi

Dallo studio dello shear type sappiamo che il taglio si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Perciò ogni pilastro contrasterà metà del carico. 

_Tp1= F/2 

T_p2= F 

_Tp3= 3F/2

_Tp4= 2F 

_Tp5= 5F/2 

_Tp6= 3F 

Per il calcolo del momento agli incastri basterà moltiplicare il taglio per metà della luce:

M_p1= F/2 * L/2 = FL/4

 M_p2= F * L/2 = FL/2

M_p3= 3F/2 * L/2 = 3FL/4

M_p4= 2F * L/2 = FL

M_p5= 5F/2 * L/2 = 5FL/4

M_p6= 3F * L/2 = 3FL/2

Step_3: Equilibrio al nodo di incastro

Per verificare il comportamento delle travi infinitamente rigide dobbiamo innanzitutto verificare l'equilibrio ai nodi.

Step_4: Momento nella Trave

Ora possiamo facilmente disegnare il diagramma dei momenti sulle travi.

Step_5: Taglio della Trave

Essendo il momento della trave lineare, avremo un taglio costante che sarà dato dalla somma dei momenti ai bordi diviso la luce della trave.

T_t1 = (FL/4 + FL/4)/H = FL/2H

T_t2= (3FL/4 + 3FL/4)/H = 3FL/2H

T_t3= (5FL/4 + 5FL/4)/H = 5FL/2H

T_t4= (7FL/4 + 7FL/4)/H = 7FL/2H

T_t5= (9FL/4 + 9FL/4)/H = 9FL/2H

T_t6= (11FL/4 + 11FL/4)/H = 11FL/H

Step_6: Verifica su SAP

Per la verifica su SAP costruisco un "2D Frames" con la stessa geometria di cui sopra.

Per simulare la rigidezza infinita bisogna impostare un materiale che abbia o altezza infinita o modulo di elasticità infinito.

DEFINE-FRAME-FRAME SECTION-ADD NEW PROPERTY-NEW MATERIAL 

Importante: in LOAD PATTERN ricordarsi di mettere al carico DEAD il SELF MULTIPLIE WEIGHT pari a O.

A questo punto possiamo far partire l'analisi (RUN NOW)

Finora l’unico momento studiato è stato quello flettente. Con questa esercitazione entra in gioco anche il momento torcente.

La torsione esiste nel momento in cui due punti appartenenti all’elemento ruotano con velocità differenti intorno al proprio asse. 

L’elemento in questione reagirà in base alla rigidezza torsionale (Rt) data dalla geometria della sezione (momento polare d’inerzia Jt), dal materiale (modulo elastico tangenziale G) e dalla lunghezza.

Rt = (G * Jt) / l

M = Rt * φ

In questa esercitazione, come già detto, andremo a studiare una struttura che genera torsione.

La struttura è così semplificabile:

Questa struttura tridimensionale così semplificata è formata da 3 aste che, essendo nello spazio 3D, creano ognuna 6 GDV che sommati tra loro danno 18 GDV complessivi che, sottratti ai 6 GDL complessivi, generano una struttura 12 volte iperstatica.

Il momento, applicato nel nodo, genera nell’asta che si trova sulla sua linea d’asse deformazione di torsione mentre nelle altre genera flessione.

Questa risoluzione qualitativa è supportata da una serie di prove fatte in SAP2000 che hanno portato allo studio comparativo di varie sezioni in calcestruzzo e in acciaio che sono successivamente state tabellate per avere un semplice riscontro di quelli che sono i valori di spostamento e rotazione dell’asta che si torce. Ovviamente la sezione e il materiale delle due aste rimanenti è rimasto invariato con il valore di default in modo che i valori tabellati cambino solo in base alla sezione e materiale usato e non da agenti esterni.