SdC(b) (LM PA)

DESCRIZIONE:

Con questa esercitazione studieremo gli effetti che la torsione genera su un telaio iperstatico 3D e verificheremo, in seguito, attraverso SAP2000 , come varia la rigidezza torsionale di un telaio in base alle scelte progettuali che decideremo di adottare, quali il materiale e la sezione.

OSSERVAZIONI:

Qualsiasi forza esterna, che insiste sulla struttura, si ripartisce su di essa proporzionalmente alla rigidezza dei sui elementi, possiamo dire che il comportamento strutturale è un gioco di squadra dove il singolo ha un ruolo ben specifico ma il risultato finale che si considera è quello del gruppo!!!

Nell’analizzare questo telaio ci renderemo conto che il momento applicato, agente sul nodo 3D, viene trasmesso alla struttura in parte come momento flettente (asse y ed x), in parte in momento torcente (asse z).

Quindi, sul asse (z)  perpendicolare al piano (xy) dove agisce il momento esterno, l'effetto prodotto sarà una deformazione torcente della trave stessa, che reagirà  attraverso la sua rigidezza torsionale Rt che dipende da:

- modulo di elasticità tangenziale G

-  lunghezza l della trave

-  momento d'inerzia torsionale I_t.

La rigidezza torsionale Rt è:

-Rt=G ^. I_t / l

RISOLUZIONE:

Il telaio in esame è composto da tre aste alle cui estremità sono presenti dei vincoli ad incastro ed un’asta a sbalzo sulla quale è presente un carico distribuito “q”. Tutte le aste hanno la stessa lunghezza pari ad “L”.

Il carico ripartito “q” genera un inflessione delle aste nel piano xy, ed una torsione dell’aste perpendicolare al piano xy.

La struttura complessivamente è iperstatica perche in 3D ogni incastro ha un numero di gradi di vincolo pari a 6 ed i g.d.l di un corpo sono 6, quindi la struttura è 12 volte iperstatica.

Lo sbalzo invece, preso singolarmente, risulta essere isostatico, quindi può essere risolto isolatamente.

Per risolvere l’esercitazione partiremo proprio risolvendo l'unico sisteme isostatico, lo sbalzo, cosicchè potremo avvalerci di un sistema equivalente dove saranno presenti nel nodo le sollecitazioni trasmesse alla struttura dallo sbalzo su cui insiste il carico ripartito “q” dove:

- il  corrispondente momento flettente vale ql²/2

- il carico verticale ql, che diventa sforzo normale sul pilastro, può essere trascurato in quanto la rigidezza assiale è maggiore rispetto a quella flessionale. => u_x=0 u_y=0 u_z=0

Sulla struttura, in conclusione agirà solamente un momento pari a ql²/2 che provocherà una rotazione φ_y; (unica incognita)

Di seguito sono riportati la graficizzazione della deformata ed il grafico dei momenti ricavati grazie allo schema noto del metodo delle rigidezze. (unica incognita)

-Scriviamo l'equilibrio al nodo:

ql²/2 = (4EI/L+ 4EI/L + GI_t/L) φ con R= rigidezza del nodo= 4EI/L+ 4EI/L + GI_t/L

dunque:

- φ=ql²/2R  

- M=4EI(ql²)/L(2R)  

- M_t=GI_t(ql²)/L(2R)

VERIFICA IN SAP2000:

Analiziamo come varia la rigidezza torsionale di un telaio al variare del materiale e della geometria del materiale stesso....

N.B:La struttura sarà composta sempre da tre aste di lunghezza "L"=4m con un vincolo ad incastro alle loro estremità ed un asta a sbalzo, sempre di lunghezza "L"=4m, ed un carico ripartito "q"=10 KN/m che genera un momento "m",applicato sul nodo, pari a 80 KNm. 

CALCESTRUZZO:

1-sezione rettangolare 

I = momento d’inerzia = bh³/12 m⁴

E = modulo di elasticità = 21000 N/mm²=  21000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 10000  N/mm²=  10000000 KN/m² 

I_t = coefficente di resistenza a torsione= c₂ x ab³ = (0,249)x(0,50)x(0,20)³ = 0,000996 m⁴

a/b è  tabellato. In questo caso vale a/b = 0.50/0.20 = 2,5 =>   c₂ = 0,249

2-sezione circolare 

I = momento d’inerzia = π x r⁴/64 = 0,001256m⁴

E = modulo di elasticità = 21000 N/mm²=  21000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 10000  N/mm²=  10000000 KN/m² 

I_p = momento polare d'inerzia= π x r⁴/2 = 0,040192m⁴

ACCIAIO:

1-sezione scatolare

I = momento d’inerzia =0,0005715 m⁴

E = modulo di elasticità = 210000 N/mm²=  210000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 80000  N/mm²=  80000000 KN/m² 

I_t = 0,000856 m⁴

2-IPE 270

I = momento d’inerzia =0,0000542 m⁴

E = modulo di elasticità = 210000 N/mm²=  210000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 80000  N/mm²=  80000000 KN/m² 

I_t = 0,00000011 m⁴

CONCLUSIONI:

-sezione rettangolare in cls 0.2mX0.5m

M_t= 3,88 KNm      φ_y= 0,0000083

-sezione circolare in cls ø= 0.4m

M_t= 8,65 KNm      φ_y= 0,00000334

-sezione scatolare in acciaio 0.4mX0.4m s=0.0015m

M_t= 5,73 KNm      φ_y= 0,0000019

-IPE 270 in acciaio

M_t= 0,01 KNm      φ_y= 0,000022

Possiamo affermare che la geometria della sezione influisce notevolmente sulla Resistenza torsionale di un asta, ed in particolar modo le sezioni chiuse offrono resitenze torsionali maggiori rispetto alle sezioni aperte.

Importante, per questi fini, è anche il materiale: l'acciaio grazie al suo modulo di elasticità tangenziale offre più resistenza torsionale rispetto al cls che ha un modulo di elasticità tangenziale otto volte più piccolo.

Un asta con una rigidezza torsionale maggiore sarà in grado di supportare momenti torcenti maggiori e deformazioni più piccole rispetto un asta con una rigidezza torsionale inferiore.

Esercitazione 9

Rigidezza torsionale

La struttura qui disegnata è soggetta ad un carico distribuito pari a 5 KN/m sul tratto a mensola. 

Tale carico provoca una deformazione di inflessione delle aste nel piano a cui lo stesso carico appartiene, ed una di torsione per l’asta a questo ortogonale. Ciò avviene perchè il nodo tra le travi è rigido (infatti, se si trascurano le deformazioni assiali, esso si muoverà di rotazione pura).

Come già anticipato, essendo il tratto caricato di tipo a mensola, la struttura può essere rappresentata con un sistema equivalente in cui la mensola ed il carico vengono sostituiti dal momento (5*2^2)/2 che questo genera.

Questa rappresentazione aiuta ad intuire la natura qualitativa della conformazione deformata:

Il grafico dei momenti sarà noto per il metodo delle rigidezze:

Possiamo così impostare l’equazione di equilibrio del nodo, nella quale l’unica incognita risulta essere la rotazione:

eql:

(5*2^2)/2 - (GJt/10)*φA - 2(4EJ/10)*φA = 0

=> φA = 100/(8EJ + GJt)

Per verificare l’influenza della forma della sezione sulla sua rigidezza torsionale, proviamo ad assegnare una sezione a tutte le aste, mantenendo fisse quelle delle aste soggette a flessione, cambiando di volta in volta la sezione dell’asta soggetta a torsione.

A quest’ultima verranno assegnate le seguenti sezioni:

1. C.A. rettangolare (0,67*0,15 m);
2. C.A. circolare (d = 0,36 m);
3. Scatolare quadrato acciaio (l = 0,2 m , t = 0,01 m);
4. Circolare cavo acciaio (d = 0,2 m . t = 0,01 m);
5. HE200.

Viene impostato un foglio excel per calcolare, una volta raccolti i dati derivanti dalla forma e dal materiale delle varie sezioni, la rotazione φA ed il momento torcente (che sarà proporzionale alla rigidezza torsionale della sezione).

1. C.A. rettangolare

1. C.A. circolare

1. Scatolare quadrato acciaio

1. Circolare cavo acciaio

1. HE200

N.B. Alcuni dati geometrici sono stati ricavati per comodità da SAP, nel menù section properties:

Ovviamente si può cercare un riscontro sulle ipotesi qualitative e quantitative fatte, tramite l’analisi della struttura su SAP.

In primo luogo si può verificare a livello qualitativo l’aspetto della deformata:

Mostro poi qui a titolo esplicativo il confronto tra la sezione circolare in C.A. ed il profilo scatolare quadrato.

C.A. circolare:

Scatolare quadrato:

Si può osservare, come già si intuiva, che le sezioni a profilo aperto hanno una rigidezza torsionale inferiore rispetto ai profili pieni o scatolari. Ovviamente influisce nella rigidezza anche la grandezza della sezione (le cui dimensioni appaiono nel modulo di rigidezza).

Come si è verificato con il metodo delle rigidezze nel caso della flessione, ad una maggiore rigidezza torsionale corrisponderà una maggiore sollecitazione di momento torcente (mentre inversamente proporzionale sarà ovviamente la deformazione). 

Esercitazione_8.0

rigidezza torsionale (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema tridimensionale composto da travi e pilastri di lunghezza 10m, e da un aggetto di lunghezza 2m con un carico uniformemente distribuito pari a 5 kN/mq. Lo scopo dello studio del sistema risulta essere quello di comprendere come la sezione ed il materiale della trave soggetta a torsione influiscano su quest’ultima a parità di azioni esterne.

2_

Per poter studiare la struttura in maniera più semplice, quest’ultima viene studiata tramite uno schema equivalente dove l’aggetto soggetto al peso uniformemente distribuito viene eliminato e vi è applicato un momento concentrato M= (q*L²)*1/2. L’azione del momento applicato genera una flessione nella trave e nel pilastro posizionati nel piano XZ, ed una torsione nella trave posizionata nel piano YZ.

3_

Dopo aver studiato la deformata della struttura si puo ricavare di conseguenza il grafico qualitativo dei momenti, nel quale l’unica incognita presente risulta essere la rotazione φA (la rotazione sarà uguale in quanto abbiamo supposto che il nodo A sia un nodo rigido).

Successivamente si procederà studiando l’equilibrio del nodo, e definendone la sua rigidità.

Eq. nodo A => (q*L²)*1/2 - (((4*E*I)*1/10*L)*φA) - (((4*E*I)*1/10*L)*φA) - (((G*It)*1/10*L)*φA) = 0

=> (q*L²)*1/2 = (((4*E*I)*1/10*L)*φA) + (((4*E*I)*1/10*L)*φA) + (((G*It)*1/10*L)*φA)

=> (q*L²)*1/2 = φA*(((4*E*I)*1/10*L) + ((4*E*I)*1/10*L) + ((G*It)*1/10*L))

rigidezza del nodo A => RA = ((4*E*I)*1/10*L) + ((4*E*I)*1/10*L) + ((G*It)*1/10*L)

=> RA = ((q*L²)*1/2)*1/φA)

=> φA = ((q*L²)*1/2)*1/RA)

trave AC MAC= - (((4*E*I)*1/10*L)*φA)

trave AD MAD= - (((G*It)*1/10*L)*φA)

pilastro AB MAB= - (((4*E*I)*1/10*L)*φA)

Eq. nodo A => (q*L²)*1/2 = MAC + MAB + MAD

4_

Possiamo ora attraverso le formule sopra ricavate calcolare la rotazione φA ed il momento torcente MAD:

(q*L²)*1/2

E (in funzione del materiale che viene impiegato nella sezione)

Ix= ((B*H³)*1/12)

G= E*(1/2*(1+ν)) (dove ν è il coefficiente di Poisson che dipende dal materiale impiegato nella sezione)

It= c2*a*b³ (dove c2 è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione a/b)

Successivamente andremmo a studiarci le seguenti sezioni attraverso un foglio Excel ed il software SAP2000:

• • Acciaio:

1.1 sezione quadrata cava r= 20cm tw= 1cm

1.2 HEA 220

1.3 sezione circolare cava r= 20cm tw= 1cm

• • CA:

2.1 sezione rettangolare 15cm _ 67cm

2.2 sezione circolare 36cm

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema del nodo si procede con la verifica tramite il software SAP.

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

QUICK GRID LINES > impostare 6 assi sull’asse x, 2 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

vengono assegnati incastri sulle 3 aste

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > DISTRIBUTED, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono distribuiti.

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 22

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 33

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

Possiamo ora avviare l’analisi della struttura in funzione delle varie sezioni assegnate.

ACCIAIO

SEZIONE QUADRATA CAVA

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

HEA 200

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

SEZIONE CIRCOLARE CAVA

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

CA

SEZIONE RETTANGOLARE 15cm_67cm

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

SEZIONE CIRCOLARE 36cm

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

ABSTRACT: La seguente esercitazione si occuperà di analizzare attraverso il calcolo manuale gli effetti della torsione all'interno di una semplice struttura iperstatica in 3 dimensioni e la verifica del risultato all'interno di SAP2000. La torsione nasce quando momenti uguali e opposti agiscono su piani di sezione presi lungo l'asse della trave: l'effetto sarà per l'appunto una deformazione torcente della trave stessa, la quale risponde a tale deformazione attraverso la sua rigidezza torsionale Rt che dipende dal modulo di elasticità tangenziale G, dalla lunghezza l della trave e dal momento d'inerzia torsionale I_t.

L'esercitazione consisterò proprio nel valutare gli effetti di Rt=G ^. I_t / l

ma ricordiamo che per il modello di
trave adottato non abbiamo
deformabilità assiale perciò

Ricordando lo schema noto

e la resistenza alla torsione come Rt=G ^. I_t / l e il momento torcente come M= Rt φ

Se la deformata per le travi sul piano ZY incastrate è la seguente

allora l'equilibrio al nodo sarà

la cui equazione è ql²/18 = (4EI/l + 4EI/l + GI_t/l) φ
⇒ φ=ql²/18R con R=4EI/l + 4EI/l + GI_t/l

Per le travi dunque si avrà che i momenti flettenti sono per quelle inflesse M=4EI/l ^. 1/R ^. ql²/18
mentre per quella soggetta a momento torcente M_t=GI_t/l ^.1/R ^. ql²/18
(che rispettivamente per la scelta della struttura con travi di uguale lunghezza diventano M=2/9EI ^.1/R ^. ql e Mt=GIt/18 ^.1/R ^. ql)

Assegnazione di profili e verifica su SAP2000

luce travi l = 1m

q=18 KN/m ⇒ q(l/3)²/2 = 18 ^. 1/9 ^. 1/2= KN m

NB le misure sono espresse in KN e m per un confronto più rapido con SAP

Scatolare in acciaio h=b=0,2 m=a t=0,007 m I=bh3/12-b(h-t)3/12= = 3.359 10-4 m4 It=4Ω2s / lm= =4(a2)2 s / 4a = a3s = =5.032 10-5m4  E=2,1 108 KN/m2 G=8 107 KN/m2 M=0.457 KN m Mt=0.085 KN m	IPE200 h=0,2 m b=0,1 m a=0,0056 m e=0,0085 m I= 1,42 10-6 m4 It=5,164 10-8 m4 E=2,1 108 KN/m2 G=8 107 KN/m2 M=0.4991 KN m Mt=0.0017 KN m	Profilo in CLS(valori SAP) h=b=0,2 m I=1.333 10-4 m4 It=2.253 10-4 m4 E=2,485 107 KN/m2 G=1.035 107 KN/m2 M=0.5000 KN m Mt=0.0801 KN m

NB una volta inseriti i valori metrici base delle sezioni le informazioni su quelli derivati e sui materiali sono visualizzabili dai pannelli contestuali di SAP attraverso le schermate Section Properties e il + vicino il pannello Material

RISULTATI SAP

Con questa esercitazione si vuole studiare il comportamento degli impalcati in presenza delle forze orizzontali, ed in che modo questi si comportano da controventi per la struttura stessa. In particolare analizzeremo come si  ripartiscono queste forze (in questo caso sismiche) lungo le due direzioni x ed y.

OSSERVAZIONI:

È bene precisare che, perché un sistema di controventamento possa essere efficace, bisogna trovarsi nella situazione in cui gli impalcati possono essere considerati corpi rigidi sul proprio piano per cui la forza orizzontale loro applicata tende a spostarli, ed i controventi contrastano questa azione grazie alla loro elasticità. Questo vuol dire, in termini meccanici, che un controvento, nel piano dell’impalcato, è un appoggio cedevole elasticamente capace di reagire solo in direzione della forza applicata (una molla con una specifica rigidezza).

Partiamo anzitutto da una considerazione: dato che il corpo è rigido e piano, la sua cinematica dipende solo da tre parametri:

1. la traslazione orizzontale do

2. la traslazione verticale dv

3. la rotazione φ

PASSO 0:

SI DISEGNA UNA PIANTA TIPO, CON UNA STRUTTURA PORTANTE IN CLS ARMATO, AVENTI PILASTRI DI SEZIONE 30cmX40cm DISPOSTI IN VERTICALE OD ORIZZONTALE, SECONDO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO XY, IN BASE ALLE NECESSITÀ ARCHITETTONICHE STRUTTURALI. INDIVIDUIAMO SUBITO CHE L'IMPALCATO È COSTITUITO DA N.5 TELAI IN DIREZIONE X ED ALTRETTANTI N.5 TELAI IN DIREZIONE Y.

PASSO 1:

SI CALCOLA LA RIGIDEZZA TRASLANTE (KT) DI OGNI TELAIO RICORDANDOCI CHE:

 k = 12EI/h³ rigidezza di un singolo pilastro

E (N/mm²) = modulo di Young 

h (m)= altezza dei pilastri dell'impalcato

  My = F * (X_c – X_G) 

-LA TRASLAZIONE TOTALE E VERTICALE                                                                                                    Uo = F/K_oTot                                                                                                       Uv = F/K_vTot  

-LA ROTAZIONE DELL'IMPALCATO                                                                                         φ =M_T/Kϕ 

ANALIZZANDO QUESTI DATI SI CAPISCE L'IMPORTANZA DEL BUON POSIZIONAMENTO DEI CONTROVENTI IN UNA STRUTTURA. UNA RAGIONATA PROGETTAZIONE STRUTTURALE SI IMPEGNA A FAR COINCIDERE IL CENTRO DELLE RIGIDEZZE CON IL CENTRO DELLE MASSE COSICCHE' NON SI SVILUPPEREBBE MOVIMENTO TORCENTE (DOVUTO ALLE FORZE ORIZZONTALI) E LA CORRISPETTIVA ROTAZIONE DELL'IMPALCATO.

GRATICCIO DI TRAVI

Il Graticcio di travi, utilizzato per grandi luci, è costituito da travi dirette lungo due direzioni perpendicolari. Si differenzia dalla gerarchia di travi perché non è costituito da travi principali e travi secondarie, ma tutte le travi collaborano allo stesso modo, hanno lo stesso momento di inerzia a prescindere dalla loro orditura e presentano un nodo che consente la trasmissione della rotazione .

RISOLUZIONE DI UN GRATICCIO

L’esercizio propone 2 travi entrambe doppiamente incastrate, su cui agisce una forza F all’incrocio tra le 2 aste. Il nodo in 3 d ha 6 gradi di libertà: esso può avere 3 differenti traslazioni, secondo i 3 assi x, y e z e 3 rotazioni intorno ai 3 assi. Analizziamo le deformate delle due aste separatamente e notiamo che:

SPOSTAMENTI

Per l’indeformabilità delle aste, che altrimenti si accorcerebbero o allungherebbero, non abbiamo spostamenti lungo x e lungo y,(u_x u_y =0), ma solamente lungo z ( u_z =delta)  a causa del carico F che agisce lungo z.

ROTAZIONI

φ_z non la consideriamo, φ_x è nulla poiché nell’asta BC la forza F  è applicata a l/2  dove la tangente è orizzontale,φ_y è l’unica ad esserci.

Le incognite sono quindi: lo spostamento (∂) e la rotazione (φ_y) che troveremo attraverso 2 equazioni di equilibrio al nodo:

Equilibrio CONTRO la traslazione verticale           

Equilibrio CONTRO la rotazione                              

Separiamo idealmente le due incognite, facendole agire separatamente e sovrapponendone poi gli effetti. Conoscendo i valori in una trave doppiamente incastrata possiamo quantificare Taglio e Momento flettente. 

Analizzando solo i gli effetti di ∂ vediamo:

Analizzando solo i gli effetti della rotazione oraria φ_yvediamo:

deformazioni, reazioni vincolari e momenti

La flessione della trave AC intorno all’asse y provoca la torsione di quella BD poiché ciò che è flessione in un piano diventa torsione nel piano ortogonale a questo.

EQUILIBRIO AL NODO CONTRO LA TRASLAZIONE VERTICALE

EQUILIBRIO AL NODO CONTRO LA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE Y

Per trovare il valore dello spostamento e della rotazione, inseriamo i valori noti

Per una luce l=6 m e una forza F=20 KN e entrambe le aste hanno una sezione rettangolare in cls con a=0,67m e b=0,15m

Otteniamo i seguenti valori:

Verifico i risultati ottenuti con sap.

Disegno attraverso una griglia il graticcio in sap, gli assegno il materiale, la sezione scelta precedentemente, il modulo di elasticità e di elasticità tangenziale.

Notiamo che anche con sap ho trovato gli stessi valori per le rotazioni e gli spostamenti.

Otteniamo i seguenti valori:

u₃=u_z =0,0001 con segno negativo perché convenzionalmente l’asse positivo è verso l’alto

R₂= φ_Y = 0,00004

In questo esercizio studieremo il comportamento di due travi perpendicolari tra di loro , le quali collaborano tra di loro per garantire un miglior equilibrio alla struttura.

SCHEMA DI RIFERIMENTO

DEFORMATA

Lungo l'asta 2 avendo la forza che cade perfettamente al centro si avrà come detto precedentemento solo abbassamento, sull'asta 1 invece, abbiamo in y anche la rotazione poichè la forza non cade perfettamente al centro, ma a 1/3L .

Dunque  per quanto riguarda gli spostamenti sappiamo che u_x = 0 , u_y = 0 e u_z = δ ; per quanto riguarda le rotazioni abbiamo solo φ_Y. 

          

        

       

FL²/EI - δ/L*(1113/2) + 81/2  φ_Y = 0

 

Vado ora a sostituire δ/L con l'equazione prima ottenuta

 

FL²/EI - 1113/2*[(36+8α)/81]φ_Y+ 81/2  φ_Y = 0

FL²/EI - 371/27*(18+4α)φ_Y+ 81/2  φ_Y = 0

FL²/EI = 371/27*(18+4α)φ_Y+ 81/2  φ_Y = 0

 

Metto φ_Y in evidenza

 

φ_Y[371/27*18 -81/2 + 371/27 * 4α ] = 0 

φ_Y[1241/6 + 1484/27 α ] = 0 

FL²/EI = φ_Y[1241/6 + 1484/27 α ]

 

φ_Y = FL²/EI [1241/6 + 1484/27 α ]

 

Abbiamo così ottenuto φ_{Y e} δ 

 

Definiamo ora una sezione inserendo dei valori noti per trovare i valori incogniti della rotazione e dello spostamento .

 

Supponiamo di realizzare una struttura in cls , in cui entrambe le aste abbiano la seguente sezione :

 

 

                                         

supponiamo di avere una luce di 8m e una forza applicata pari a 40kN

 

Sappiamo che :

 

Jt  ( coefficiente di resistenza a torsione)

c₂ è tabelleto in funzione di a/b . In questo caso vale  a/b = 0.67/0.15= 4,46 →c2 = 0,291

Jt = c₂ab^{3 =} (0,291) 0,67 * (0,15)³ = 0,000658 m³

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

I (momento di inerzia) = bh³/12 = (0,15 * 0,67³) /12 = 0,003759 m⁴

G ( modulo di elasticità tangenziale) = 10000000 kN/m²

Andiamo ora a sostituire i valori noti nell'equazioni prima trovate 

Ricordiamo che :

δ/L = (36 + 8α)/81φ_Y

φ_Y = FL²/EI [1241/6 + 1484/27 α ]

α = GJt/EI = 10000000 * 0,000658 / 21000000 * 0,003759 = 0,083355

φ_Y   =  40 * 64 / 21000000 * 0,003759 [ (1241/6 + 1484/27) * 0,08355] = 0,0001534

δ/L =  [(36 + 8 * 0,08355) / 81) * 0,0001534 = 0,0000808 

δ = 8 * 0,0000808 = 0,000646

VERIFICA SAP

Disegno la struttura grazie all'aiuto della griglia. Assegno i vincoli e la forza esterna, e cambio i valori del modulo di elasticità E e del modulo di elasticità tangenziale G. 

        

Assegno poi ad entrambe le travi la sezione scelta e faccio partire l'analisi. 

     

Leggiamo ora i risultati ottenuti. 

     

Abbiamo che Ux e Uy sono uguali a zero, mentre Uz = 0,0006524. Mentre per quanto riguarda la rotazione abbiamo un valore corrispondente a = 0,00008.

I valori trovati manualmente corrispondo, se non per un minimo scarto, a quelli trovati in sap. 

 

 

 

 

ABSTRACT: La seguente esercitazione prenderà in analisi una pianta strutturale di un edificio a un piano. Attraverso la modellizzazione del solaio come impalcato infinitamente rigido orizzontalmente (una modellazione analoga è già stata incontrata per i telai shear-type della trave Vieerendel http://design.rootiers.it/strutture/node/954) si analizzeranno gli effetti di una forza orizzontale valutando le rigidezze dei suoi controventi, necessari a impedire la rotazione lungo l'asse z.

Il controvento è un vincolo cedevole con rigidezza K (kN/m) visualizzabile come una molla elastica poichè capace di reagire a trazione e compressione solamente lungo il proprio proprio asse.
L'impalcato ha rigidezza proporzionale alla distanza dal centro delle rigidezze. Se gli assi (x e y) del centro delle rigidezze e del centro delle masse coincidono allora il solaio non sarà in grado di ruotare.

Considerato il telaio in figura si assegnano pilastri con la seguente sezione.

il momento di inerzia del pilastro è dunque dato da I=bh³/12 ⇒

I=40 cm^.40³/12=213333 cm⁴

Il telaio dunque assume in pianta, secondo il modello adottato, la seguente configurazione:

Dove la rigidezza di ogni controvento (modellato come un telaio shear-type) viene calcolata come segue (in modo analogo al post http://design.rootiers.it/strutture/node/151):

F= (12EI_1B/h³ + 12EI_2B/h³ + 12EI_3B/h³ + 12EI_4B/h³ + 12EI_5B/h³ ) δ⇒

⇒ F= k δ  ⇒ k= 12E/h³ (I_1B+I_2B+I_3B+I_4B+I_5B)

NB come esemplificazione è stata presa la sezione lungo B

Esempio di tabella per il calcolo delle rigidezza dei telai (per visualizzare tutti i calcoli scaricare il file .xls allegato)

I telai per i quali calcolare k dunque saranno A,B, 1C-2C e 3C-4C orizzontalmente e 1,2,3,4 e 5 verticalmente.

Individuiamo quindi il centro di massa cdm dividendo la struttura nelle seguenti porzioni di area e sfruttiamo il foglio excel per il calcolo delle sue coordinate.

Attraverso il foglio di calcolo (sempre opportunamente adattato al telaio in questione) si trova il centro delle rigidezze CK

I due centri sono traslati l'uno rispetto l'altro ci si aspetta dunque che su ogni "molla" agisca una forza diversa da 0 in grado di contrastare l'effetto della rotazione.

I valori di tale forze sono opportunamente evidenziati sul foglio Excel.

Vediamo cosa cambia se consideriamo un nodo incastro in 3D invece che in 2D: intanto non bloccherà più 3 gradi di libertà ma 6 e renderà solidali delle travi tra loro perpendicolari.

Eliminiamo per un attimo l'asse DC (che sarebbe "uscente" dallo schermo) e osservo il comportamento di questa struttura:

- la mensola produce un MOMENTO FLETTENTE che arriva direttamente al nodo D; assumo inoltre che il pilastro sia assialmente indeformabile e che quindi assorba lui tutto lo sforzo qL.

                                              configurazione equivalente:

- il momento genera sul nodo una ROTAZIONE che diventa: FLESSIONE nelle travi AD e BD, TORSIONE nella trave DC. Da qui nasce l'esigenza di una nuova RIGIDEZZA, che contrasti le deformazioni derivanti dal momento torcente.

Risolviamo il sistema con il METODO DELLE FORZE facendo cedere l'incastro in A alla rotazione.

1) INTEGRO:

2) METTO LE CONDIZIONI AL BORDO:

3) SOSTITUISCO I VALORI NELLE EQUAZIONI:

4) DIAGRAMMI

In questo caso il MOMENTO non si ribalta sul pilastro! Ci vuole altro per equilibrarlo!

Il MOMENTO si è diviso esattamente a metà perchè la RIGIDEZZA delle due aste è la stessa!

SAP