blog di nicola.moscheni

In quest'ultima esercitazione farò un veloce studio del comportamento degli archi.

Arco a tutto sesto - F (freccia dell'arco) = L (distanza dall'imposta dell'arco alla proiezione a terra della chiave)

Arco a sesto acuto - F > L

Arco a sesto ribassato - F < L

Ho disegnato i tre archi in Rhino per poi importarli in Sap. Ho sistemato il modello per evitarne "errori":

- ho usato il comando Merge Joints perché le curve importate erano in verità segmenti accostati. Questo comando mi permette di garantire una curva continua

- alla chiave di ogni arco ho annullato il trasporto del momento usando il comando Release/Partial Fixity. (come se ci fosse una cerniera)

Ad ogni imposta dell'arco ho assegnato un vincolo cerniera. Infine imposto anche la sezione della trave.

Impongo un carico uniformemente distribuito (20KN)che agisca su una luce pari a quella degli archi (Gravity Projected)

Ora posso far partire l'analisi. Ecco la deformata.

Posso anche vedere i diagrammi di Sforzo Normale, Taglio e Momento.

N   

T    

M   

Soprattutto Sforzo Normale e Taglio sono interessanti da analizzare in quanto essi sono strettamente legati alle reazioni vincolari delle cerniere all'imposta. Si può notare infatti che più ci si sposta verso l'imposta dell'arco e più la spinta dell'arco aumenta. Essa è infatti l'opposto delle reazioni vincolari.

In particolare questa, dipende dalla freccia dell'arco che più è bassa e più è alta la spinta. Se andiamo a vedere nelle tabelle SAP le reazioni vincolari delle cerniere possiamo notare che l'arco a tutto sesto ha una spinta quasi due volte superiore a quella dell'arco acuto ma molto inferiore rispetto a quella dell'arco ribassato.

In questa esercitazione analizzo un IMPALCATO STRUTTURALE, considerato come un CORPO INFINITAMENTE RIGIDIO (struttura Shear Type) alle azioni che agiscono lungo il suo piano, si comporti sotto l’effetto di FORZE ESTERNE ORIZZONTALI come ad esempio in questo caso il SISMA; il suo comportamento dipende:

- dai CONTROVENTI considerati VINCOLI ELASTICI CEDEVOLI, assimilabili a molle che reagiscono alle forze agenti lungo il loro stesso piano in proporzione della loro rigidezza;

- dalla distanza tra il CENTRO DELLE MASSE, baricentro geometrico dell’impalcato, e il CENTRO DELLE RIGIDEZZE, dato dalla risultante di tutte le rigidezze.

Questi due aspetti determinano infatti la RIGIDEZZA TRASLANTE K_δ e di conseguenza laTRASLAZIONE δ lungo la direzione della FORZA AGENTE e la RIGIDEZZA ROTAZIONALE Kφ e di conseguenza la ROTAZIONE φ intorno al CENTRO DELLE RIGIDEZZE.7

I diversi telai hanno controventi, i quali sono indicati con delle molle V per quelli VERTICALI e O per quelli ORIZZONTALI.

H pilastri: 3,20 m
Si tratta di pilastri in cemento armato che hanno un Modulo di Young E= 21000 Nmm
Sezione dei pilastri  30x40 cm

A seconda del posizionamento del pilastro avremo diversi Momenti di Inerzia I_x= 

I_x= 4000 cm⁴                        I_x=3000 cm⁴

Prima di procedere al foglio excel definisco la suddivisione dei telai con le rispettive numerazioni dei pilastri, a seconda che io stia analizzando l’impalcato rispetto l’asse x e poi lungo l’asse y.                                   

(STEP 1) Calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

La rigidezza traslante viene calcolata secondo la formula  dove I_x in questo caso è la somma di tutti i momenti di inerzia di ogni pilastro.

(STEP 2) Tabella sinottica controventi e distanze

Considerando come origine l'angolo in basso a sinistra considero le distanze di ogni molla da esso.

(STEP 3) Calcolo del centro di massa

Dividendo l'impalcato in aree semplici possiamo calcolare la posizione del centro delle masse, ovvero il punto di applicazione delle forze esterne. Ogni area avrà il suo baricentro e la sua area. Nel foglio di calcolo il dato si basa su queste formule:

(STEP 4) Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze si calcola mediante le seguenti formule:

Il calcolo delle rigidezze torsionali globali invece lega la distanza di ogni controvento con la sua rigidezza traslante.

(STEP 5) Analisi dei carichi sismici

Per trovare la forza sismica calcolo il carico totale permanente G della struttura (definito per somma di carichi strutturali, accidentali e permanenti moltiplicata per l'area) e il coeficente di contemporaneità Y (dato dalla normativa, che diminuisce il carico accidentale).

La forza sismica orizzontale F (kN) è data dal prodotto dei pesi sismici totali per il coefficente di intensità sismica c (che dipende dalla zona sismica).

(STEP 6-7) Ripartizione forza sismica

Individuo come l’ipotetica forza sismica si ripartisce nelle due direzioni e viene assorbita dai controventi. Nel mio caso il centro delle rigidezze e il centro delle masse NON coincidono, pertanto avrò una rotazione data da un momento (momento torcente) creatro dalla forza sismica che ha un braccio, il cui valore coincide con la differenza tra il centro delle masse e il centro delle rigidezze, rispettivamente all’asse x e all’asse y.

In seguito cerco il valore della traslazione lungo x e lungo y che equivale a

Poi calcolo la rotazione dell'impalcato che equivale al rapporto tra il momento e le rigidezze torsionali totali 

Ricavo infine le reazioni con cui ciascuna molla reagisce e contrasta la forza orizzontale sismica.

 Passo ora su SAP 2000

  Disegno la struttura direttamente nel programma con l'accortezza di predisporre le sezioni di travi e pilastri nel modo corretto. Nel caso delle travi, abbiamo immaginato di lavorare con un ipotetico modello Shear Type. Questo richiederà non solo una trave particolarmente alta ma dovremo aumentare il momento di inerzia in modo importante. Ricordiamoci anche di assegnare la giusta sezione al giusto pilastro secondo com'era stata immaginata la disposizione.

E' il momento di disegnare due punti, ovvero il Centro delle Rigidezze e il Centro delle Masse.

Prima di procedere "leghiamo insieme tutti i nodi superiori, in modo che si muovino come elemento unico. Impongo il vincolo Diaphragm

[Assign] > [Joints] > [Constraints]

Ora al centro delle Rigidezze applichiamo una forza, la Forza Sismica Orizzontale, lungo l'asse y. Una volta avviata l'analisi ecco come si presenta la deformata.

Si può vedere come gli spostamenti del punto siano infinitesimali.

Molto di quanto sviluppato in questa esercitazione fa riferimento anche a procedure utilizzate durante l'esercitazione 2.

Ipotizzo di essere alle prese con un solaio composto come quanto segue (del quale ho evidenziato l'area di influenza di una della trave). 

Voglio dimensionare questa trave in funzione di tre ipotetici pacchetti murari: legno, acciaio e laterocemento. Di conseguranza si tratteranno di tre tipologia di trave diverse. Per questa operazione mi avvalgo di un file excel all'interno del quale si "nascondono" diverse formule fondamentali che andrò a spiegare man mano. Molti dei valori sono stati spiegati nel posto precedentemente citato, bisogna però fare subito una distinzione. Nel caso precedente si trattava di una trave doppiamente appoggiata con momento massimo calcolato come . In questo caso, trattandosi di una mensola bisogna considerare che .

Area di influenza = 12 m²

(1) TRAVE E SOLAIO IN LEGNO

I dati da A a K, come detto in precedenza, sono già stati ricavati in precedenza con l'aiuto della scorsa esercitazione (a differenza del momento, anche questo già detto). Procedo.

K) h - altezza della trave calcolata come = 52,75 cm

L) h_D - altezza di progetto assegnata =55 cm

M) E - modulo di elasticità parallelo alle fibre (come da normativa)= 8000 N/mm²

N) I_X - momento di inerzia calcolato come  =415938 cm⁴

O) V_MAX - spostamento massimo della trave calcolato come =1,25 cm⁴

P) L/V_MAX - rapporto che deve essere soddisfatto per >250= 240,87  Non verificato!

Non essendo verificato devo decidere di alzare il valore dell'altezza della trave. Con 60 cm viene verificato.

(2) TRAVE E SOLAIO IN ACCIAIO

La tabella fornisce il valore (in J) W_x=643,58 cm³ ovvero il modulo di resistenza a flessione dell'acciaio. Per scegliere il profilato corretto scelgo quello con valore immediatamente superiore. Nel mio caso IPE330 (W_x=713 cm³).

N) I_X - momento di inerzia (tabellato) =11770 cm⁴

L) peso della trave (tabellato)=0,49 KN/m

P) L/V_MAX - rapporto che deve essere soddisfatto per >250= 211,11  Non verificato!

Cerco un nuovo profilo dal profilario in modo da soddisfare il rapporto. IPE360 (W_x=904 cm³ - I_x=16270 cm³ - 0,57 KN/m - valori da sistemare in tabella) soddisfa il rapporto.

(3) TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO E SOLAIO LATEROCEMENTO

A seguito del calcolo l'altezza ricavata è di 63,61 cm. 

Q) H_d=65 cm

Y) P) L/V_MAX - rapporto che deve essere soddisfatto per >250= 115,95  Non verificato!

Correggo l'altezza della trave fino a verificare il rapporto. Il rapporto è soddisfatto con una trave alta 85 cm. (251,13 rapporto verificato)

La trave qui presentata non è altro che una struttura iperstatica. 

Si calcoli quindi il valore v_MAX e la sua posizione sulla lunghezza della trave attraverso l'equazione della linea elastica.

Scriviamo le equazioni di riferimento:

Di cui le prime tre si riferiscono allo sforzo normale perciò possono essere ignorate.

      di cui             quindi      

      di cui               quindi          

      perciò         

di cui  è una costante perché dipende dal materiale della struttura che consideriamo sempre uguale in tutte le sezioni, e   rappresenta un carico uniformemente distribuito, abbiamo quindi che:

Ci troviamo quindi con quattro differenti costanti additive. Per trovarle dobbiamo esprimere le condizioni al bordo.

Non ci resta che trovare i valori di c₁ e c₂. Mettiamo quindi a sistema le due equazioni, tenendo conto che per convenzione di segno q₂ ha segno negativo.

Dalla seconda equazione si può ricavare c₂:  

E sostituirlo nella prima: 

Svolgendo le equazioni (risparmio tutto lo svolgimento in quanto si tratta della soluzione di un normale sistema a due equazioni) si hanno le due soluzioni c₁ e c₂:

Ora bisogna trovare la posizione dove lo spostamento è massimo, in quel punto cioè dove  . 

Essendo

di cui le soluzioni sono:

Di cui solo s₂ è valida in quanto inferiore al valore di l e perciò interno alla trave. A questo punto è sufficente sostituire il valore nella funzione  per trovare il valore dello spostamento massimo.

Ma perché affrontare un difficile calcolo quando possiamo usare SAP2000 per scoprire tale valore?

(alcune procedute verranno date per per scontate, si rimanda perciò ai post precedenti)

Iniziamo. Aprite SAP2000 e impostate il modello [Grid Only] e impostate i parametri [Number of Grid Lines] e [Grid Spacing] tenendo conto che stiamo progettando in 2D quindi il valore Z=1.

Nel mio caso i parametri saranno rispettivamente per (X, Y): [Number of Grid Lines]=(2, 1) ; [Grid Spacing]=(1, 1). Cioè ho previsto una griglia composta da due serie di linee lungo X, una lungo Y; distanziate di 1 m.
Impostare vista xz.

Disegnare la trave seguendo le linee della griglia. Impostare vincoli e forza agente sulla struttura [Assign > Frame Loads > Distributed...] e assegnare il valore del peso distribuito in [Load]. (Nel mio caso 12). Quindi assegnamo il peso proprio della struttura e la sezione della trave. Questa volta ho scelto una sezione rettangolare 20cm x 20 cm di spessore 1 cm.

Ecco la struttura.

A questo punto bisogna dare un punto di riferimento per misurare lo spostamento e tutte le forze che agiscono a quel 0,57L.  Quindi [Draw > Draw Special Point]. Puntarlo sulla struttura, quindi clic destro, menù [Location], doppio clic su [Joint Cordinates] e impostare X=0,57 (e controllare che Y,Z=0).

[Run Analysis]

Ecco la struttura "in azione".

A questo punto è possibile conoscere tutti i dati che ci interessano, ma soprattutto lo spostamento massimo perché nelle tabelle è stato preso in considerazione il punto che abbiamo assegnato precedentemente. Lo troviamo nella tabella [Joint Displacements] indicato nella colonna U3.

Ipotizzo di essere alle prese con un solaio composto come quanto segue (del quale ho evidenziato l'area di influenza di una delle travi).

Voglio dimensionare questa trave in funzione di tre ipotetici pacchetti murari: legno, acciaio e laterocemento. Di conseguranza si tratteranno di tre tipologia di trave diverse. Per questa operazione mi avvalgo di un file excel all'interno del quale si "nascondono" diverse formule fondamentali che andrò a spiegare man mano. (il file completo è in allegato)

Area di influenza = 24 m²

(1) TRAVE E SOLAIO IN LEGNO

I dati inseriti nell'excel corrispondono a:

A) Interasse =4 m

B) q_{S -} CARICHI STRUTTURALI il peso proprio delle parti strutturali del solaio ovvero i travetti e il tavolato (in questa fase di dimensionamento non considero il peso della trave oggetto di analisi, in quanto, non conoscendone le dimensioni, non lo posso ancora calcolare - NDR) =0,46 KN/m²

C) q_{P -} CARICHI PERMANENTI il peso proprio delle parti non strutturali del solaio, ovvero tutto quello che viene portato. A questo aggiungo il peso dei tramezzi (1 KN/m²)e degli impianti (0,5 KN/m²), definiti dalla normativa =2,48 KN/m²

D) q_{A -} CARICHI ACCIDENTALI un valore aggiuntivo che tiene conto della destinazione d' uso dell edificio, in questo caso residenziale =2 KN/m²

E) q - somma dei precedenti carichi distribuito sull'interasse =27,28 KN/m

F) Luce della trave =6 m

G) M - momento massimo della trave considerato come momento massimo di una trave doppiamente appoggiata caricata uniformemente  =122,80 KNm

H) f_MK - resistenza caratteristica con valore dato dalla normativa (nel caso di legno lamellare)=24 N/mm²

I) k_MOD - coefficiente riduttivo che tiene conto della durata del carico e dell'umidità della struttura (sostanzialmente il livello di degrado della struttura) dato dalla normativa =0,8 

J) σ_AM - tensione ammissibile calcolata come  dove al denominatore c'è un coefficiente di sicurezza (per il legno lamellare 1,45)=13,24 N/mm²

K) Base della trave che scelgo essere di 30 cm

L) h - altezza della trave calcolata come =43 cm

Ora che abbiamo un valore ipotetico della trave devo scegliere un profilo chiaro. Opto per 30x48 cm. Questo valore mi permette di calcolare il peso proprio della trave da aggiungere a q_S per poi verificare nuovamente l'altezza corretta della trave. 

(2) TRAVE E SOLAIO IN ACCIAIO

In questo caso non andrò a ricavarmi base ed altezza della trave, ma trattandosi di un profilato ci sono delle sezioni già pronte. Questo vuol dire che mi baserò sul Modulo di Resistenza W_x.

A) Interasse =4 m

B) q_{S -} CARICHI STRUTTURALI =2,5 KN/m²

C) q_{P -} CARICHI PERMANENTI =1,2 KN/m²

D) q_{A -} CARICHI ACCIDENTALI =2 KN/m²

E) q - somma dei precedenti carichi distribuito sull'interasse =27,28 KN/m

F) Luce della trave =6 m

G) M - momento massimo della trave =122,80 KNm

H) f_YK - tensione di snervamento caratteristica (avendo scelto un acciaio FE430/S275)=275 N/mm²

I) σ_AM - tensione ammissibile calcolata come  dove al denominatore c'è un coefficiente di sicurezza (per l'acciaio 1,15)=239,13 N/mm²

J) W_x - modulo di resistenza calcolato come  =587,88 cm³

Ora che ho questo valore devo cercare nel profilario un profilato con un W_x immediatamente superiore, ovvero una IPE330 (W_x=713 cm³). Una volta trovato il profilato, faccio la verifica finale inserendo il peso proprio della trave ai carichi strutturali.

W_x è ancora verificato.

(3) TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO E SOLAIO LATEROCEMENTO

A) Interasse =4 m

B) q_{S -} CARICHI STRUTTURALI =3,75 KN/m²

C) q_{P -} CARICHI PERMANENTI =3,4 KN/m²

D) q_{A -} CARICHI ACCIDENTALI =2 KN/m²

E) q - somma dei precedenti carichi distribuito sull'interasse =49,18 KN/m

F) Luce della trave =6 m

G) M - momento massimo della trave =221,31 KNm

H) f_Y - tensione di snervamento caratteristica dell'acciaio da armatura (da normativa dev'essere sopra i 450 N/mm²)=450 N/mm²

I) σ_AM - tensione ammissibile dell'acciaio =391,30 N/mm²

J) R_CA - resistenza caratteristica del calcestruzzo (da normativa, nel mio caso scelgo C40/50)=40 N/mm²

K) σ_CA - tensione ammissibile del calcestruzzo =391,30 N/mm²

L) α calcolata come  dove η è un coefficiente di omogeneizzazione che lega i moduli elastici di acciaio e calcestruzzo =0,46

M) r calcolata come =2,26

N) base =20 cm

O) h altezza della trave senza considerare il copriferro inferiore calcolata come =49,89 cm

P) δ copriferro inferiore =5 cm

Q) H altezza totale della trave =54,89 cm

Questa volta però per fare la verifica della trave decido non solo di aumentare l'altezza della trave fino a che non ottengo un valore adeguato, ma di intervenire anche su R_CA in modo da aumentare la resistenza del calcestruzzo in modo da non dovre avere una trave troppo alta.

In effetti dopo varie prove mantenendo R_CA=40 N/mm² avrei dovuto utilizzare una trave da 75 cm, aumentando invece tale valore sono riuscito ad ottenere un profilo non esagerato.

In questa esercitazione provvederò ad analizzare una struttura reticolare spaziale. Molte nozioni base per il procedimento di questa nalisi sono contenuti nel mio precedente post.

Alcune considerazioni. La struttura può essere disegnata in un altro programma, nel mio caso Autocad. Importante è non disegnare nel Layer 0 e le aste devono essere disegnate tutte separatamente. Salvare in .dxf.

Nel momento in cui importiamo il file, seleziono nel menù Frames il layer dove ho disegnato le aste. [File] > [Import] > [Autocad .dxf File]

Ecco qui la struttura.

Come nel post precedente, nel caso della stuttura reticolare piana, devo "sistemare" il modello. Perciò impongo il Momento 0 ai nodi, imposto la Sezione (tubolare) e oltretutto devo assicurarmi che i nodi vengano riconosciuti come tali per ovviare ad una tolleranza troppo alta. Perciò [Edit] > [Edit Points] > [Merge Joints] quindi inserisco un valore di tolleranza relativamente basso (nel mio caso 0,05).

A questo punto impongo le forze sui nodi (80KN).

E' il momento di posizionare i vincoli. [Assign] > [Joints] > [Restraints] selezionando i soli nodi che vengono interessati.

Nel mio caso ho deciso di inserire due carrelli e due cerniere.

Via all'analisi. Ecco la deformata, sempre meno rincuorante.

Ora passo al diagramma dello sforzo normale.

Quello che si può notare è che in in questo caso, le aste maggiormente sollecitate sono quelle più vicine ai carrelli. Questo perché, a differenza del post precedente, questa stuttura presenta uno sbalzo. Questo, non ha la possibilità di scaricare le forze, quindi di contrastarle che gli vengono esercitate sopra e quindi lo sforzo maggiore lo subiscono le aste più vicino al vincolo dove esse trovano un'opposizione.

A questo punto individuo le aste maggiormente sollecitate e quindi i loro valori tensionali.

Di tutte e 280 le aste quella più sollecitata ha un valore  σ=250  N/mm². Questo significa che dovremmo considerare un acciaio di classe Fe430/S275 oppure Fe510/S355 che hanno tensioni di snervamento caratteristiche adeguate.

Mi appresto a risolvere questa reticolare piana. Si tratta di una struttura composta da triangoli equilateri. Così composta oltretutto, la struttura può essere considerata simmetrica, ecco perché posso permettermi di concentrarmi su una delle due parti della struttura, al suo simmetrico il comportamento sarà appunto, simmetrico.

Prima procederò con il Metodo delle Sezioni di Ritter (1) e in seconda battuta con il programma SAP2000 (2). 

(1)  Metodo delle Sezioni di Ritter 

In questa fase farò un'analisi cercando di trovare quali siano le parti più sollecitate della struttura e quindi le aste poste a maggior sforzo (siano esse tiranti o puntoni), le quali immagino già siano in corrispondenza del modulo centrale. Posso ricavarmi le reazioni vincolari R=9/2 F

Il metodo, in sostanza, taglia tre aste. Ognuna delle aste ha un suo sforzo normale che vado a rappresentare uscente da essa (con verso completamente casuale, NDR).

Procedo considerando l'equilibrio a rotazione per i nodi C e D

NODO C M_c=0 ⇒ -N₁₄(3^½/2)L+F(L/2)+F(3L/2)+F(5L/2)+F(7L/2)+F(9L/2)-(9F/2)5L=0 ⇒ N₁₄=(-20*3^½*F)/3