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vogliamo comprendere quale sia in un arco ribassato la sezione più performante a parità di area. ovviamente cambiando la forma della stessa avremo momenti d'ierzia differenti, e con questi anche raggi d'inerzia diffrenti.

ora considerando le aree di cm 80x20 (1); 20x80 (2); 40x40 (3); 160x10 (4); 10x160(5) tutte di area 1600 cmq  calcoliamoci i momenti d'inerzia

I₁ = 1/12x20x40³ =106.666 cm⁴

I₂ = 1/12x80x10³ =6.666 cm⁴

I₃ = 1/12x40x20³ =26.666 cm⁴    

I₄ = 1/12x10x80³ =426.666 cm⁴

I₅ = 1/12x160x5³ =1.666 cm⁴

come risulta evidente i momenti d'ierzia baricentrici sono molto differenti tra di loro, ora vediamo se questo inficia nelle prestazioni dell'arco e quindi se l'arco sia più o meno spingente ( ovviamente più l'arco spinge più si comporta da arco, ovvero questo sta a significare che ha trasformato la flessione in spinta quindi distaccandosi da un comportamento a trave, infatti l'arco ribassato è " più arco" di un arco a tutto sesto). se si ritrova un momento flettente in sommità dell'arco quasto si sta comportando quasi come una trave ed andrà quindi a provocare lesioni in mezzeria (proprio come una trave), infatti è più comune trovare archi a tutto sesto con crepe in sommità piuttosto che archi ribassati con lo stesso tipo di lesione.

L'arco in questione ha una luce di 24 m ed una freccia di 3, con un carico distribuito di 20 KN/m

applichiamo in sap le varie sezioni all'arco e vediamo la spinta laterale.

l'arco è una volta iperstatico quindi la deformata prende una forma a campana con 2 punti di flesso simmetrici l'uno rispetto all'altro

ora analizziamo i valori riscontrati ovvero le spinte dell'arco ed i momenti massimi in sommità:

S₁ =485KN M₁ = 12KN          

S₂ =491KN M₂ = 3KN         

S₃ =489KN M₃ = 0,1KN  

S₄ =470KN M₄ =9KN

S₅ =491KN M₅ =60KN 

Per quanto riguarda le spinte dell'arco non si osservano differenze apprezzabili, ma nel momento in cui si analizzano i momenti in mezzeria allora osserviamo che la sezione con forma di trave (160x10) abbia un momento più alto comportandosi più come una trave che come arco, tant'è vero che lo sforzo alla base comunque risulta essere basso ( bisogna sempre ricordare che vi deve essere un equlibrio costante tra forze esterne e azioni interne, quello che non riesce a compensare la spinta di base lo deve equilibrare il momento in mezzeria per riavere equilibrio); 

in definitiva la sezione più spingente è la quinta (10x160), e fa si che l'arco ribassato si comporti più da arco rispetto agli altri.

prendiamo in esame tre tipologie strutturali differenti: una trave IPE, una travatura reticolare ed una trave Vierendeel, tutte con luce di 20m e densità di carico q= 20 KN/m  andandole a dimensionare ci si accorge di quanto sia differente la grandezza tra l'una e l'altra tipologia, considerando la sezione da utilizzare. la trave IPE avrà una sezione molto più grande e consistente della travatura reticolare asd esempio. Questo è dovuto al fatto che dovendole progettare entrambe usando lo stesso materiale, ovvero l'acciaio, la tensione sigma = N/A ; nella reticolare il momento esterno viene bilanciato proprio da N x il braccio h (l'altezza della reticolare), mentre nella trave IPE è T o C per il braccio h (2/3H) che bilancia il momento esterno. dovendo rimanere costante il rapporto ovvero la tensione sigma, all'aumenmtare di N dovrà aumentare anche A, ma se M=Nxh (a parità di M per entrambe le tipologie vistro che si deve equilibrare un momento esterno di ql²  /8 ) all'aumentare di h diminuisce N e con piccolo N abbiamo una A piccola.

ma andiamo a vedere nel dettaglio cosa avviene se si dimensionano le tre tipologie:verifico in sap i calcoli effettuati precedentemente. questa esercitazione ci vuole dimostrare come a seconda della luce debbano necessariamente cambiare anche le tipologie costruttive che impieghiamo. 

ESERCIZIO1_ trave semplice

Il momento massimo è M=ql²/8quindi:

M_max= ql²/8 = [20 KN/m * (20 m)²] / 8 = 1000 KNm

 Per dimensionare la trave uso la formula W_x=M/σ_admconacciaio classeFe 360:

σ_adm = f_yk/ν = 235/1.2 = 195.3 N/mm²

Wx= M/σadm= 1000 KNm / [195.3 N/mm² *1000] = 0.0051 m³ --> 5100 cm³

 Dato che il valore di W_x è molto alto, aumento la σ_adm scegliendo l’acciaio classe Fe 510:

σ_adm= f_yk/ν= 355/1.2 = 295.83 N/mm²

W_x= M/σ_adm = 1000 KNm / [295.83 N/mm² *1000] = 0.0034 m³ --> 3400 cm³

Adotto una IPE O 600 (h=610 mm b=224 mm)Fe510 W_x=3879 cm³

ESERCIZIO2_ trave reticolare

Il carico distribuito da 20KN/m si divide sui 5 nodi in modo tale che i tre centrali siano soggetti a una forza puntuale di 100KN e quelli estremi di 50KN.

Analizzo la struttura con SAP per ottenere il valore di N_max a trazione (T) e di N_max a compressione (C).

Utilizzo il valore di T≈215 KN per progettare il tirante più sollecitato in acciaio classe Fe510:

A_min= T/σ_adm = [215 KN*1000]  / 295.83 N/mm² = 726.77 m²= 7.3 cm²

Risulta necessario un profilo tubolare a sezione circolare con diametro d=76.1 mme spessore s=3.2 mm.

Utilizzo il valore di C≈200 KN per progettare il puntone più sollecitato in acciaio classe Fe510:

I_min= (C*ν*l²)/(π²*E)= [200 KN*1.2*(500cm)²]  / (π²*2100 N/cm²) = 289.49 cm⁴

Risulta necessario un profilo tubolare a sezione circolare con momento di inerzia I=293 cm⁴, diametro d=127 mm e spessore s=4 mm.

A questo punto calcolo la snellezza λ = lo / ρ_min:

ρ= √ I / A = √ 293/15,5 = 4,34 cm

λ= 500/4,34 = 115,2

 Adotto per i tiranti un profilo tubolare circolare d=76.1 mm

e per i puntoni un profilo tubolare circolare d=127 mm

ESERCIZIO3 _ trave Vierendeel

Analizzo la struttura con SAP per ottenere il momento massimo M_max=230.3 KNm dopo aver imposto la rigidezza delle travi uguale a 1 e dei pilastri pari a 1000.

A questo punto posso progettare la trave di acciaio classe Fe510:

W_x= M/σ_adm = 230.3 KNm / [295.83 N/mm² *1000] = 0.00078 m³ --> 780 cm³

 Adotto una IPE 360 (h=360 mm b=170 mm)Fe510 W_x=904 cm³

CONCLUSIONI

Per superare una luce di 20m e sostenere un carico distribuito di 20KN/m è preferibile adottare una trave Vierendeel perché consente di risparmiare sul materiale e ha un’altezza minore, quindi risponde ai requisiti meglio delle altre due tipologie.

Dovendo superare una luce di 20 m con una carico distribuito di 20 kN/m i tre esercizi riportati di seguito mostrano le differenti sezioni che può assumere una trave in base alla sua tipologia.

ESERCIZIO 1 | Trave appoggiata

Sapendo che il momento massimo è M_max = ql²/8 = 20 * 20² /8 = 1.000 kN*m

Quindi attraverso la formula che ci fornisce il modulo di resistenza:

W_min = M_max/σ_am con σ_am = σ_c / υ

Ottengo:

σ_am = 235/1,15 = 204,35 MPa

W_min = 1.000/204,35*1000 = 0,005 m³ = 5.000 cm³

Non avendo trovato tra i profili un’IPE con un modulo di resistenza soddisfacente provo utilizzando un acciaio più resistente:

σ_am = 355/1,15 = 308,7 MPa

W_min = 1.000/308,7*1.000 = 0,0033 m³ = 3.300 cm³

Nonostante questa modifica non si ottiene un riscontro adeguato tra i profili standard.

ESERCIZIO 2 | Trave reticolare

Sapendo che il carico distribuito q = 20 kN/m ottengo, in base alle zone di influenza, un carico puntuale F₁ = 100 kN nei tre nodi centrali e un carico di F₂ = 50 kN nei nodi estremi.

Calcolando le sollecitazioni con SAP ottengo i valori delle forze assiali che agiscono sulle aste. Il puntone più sollecitato ha N_C = 200 kN (ca.) mentre il tirante più sollecitato ha N_T = 215 kN (ca.)

Progetto del tirante:

A_min = N_T / σ_am = 215*1.000/308,7 = 696,5 mm² = 6,965 cm²

Ottengo così un profilo tubolare a sezione circolare con diametro d = 76,1 mm e spessore s = 3,2 mm

Progetto del puntone:

I_min = N_C * υ* lo² / π² * E  

dove E è il modulo elastico dell’acciaio pari a E = 2.100.000 kg/cm² e lo è la lunghezza equivalente che in questo caso è uguale a quella reale.

Quindi I_min = 200*1,15*(5²*10⁴)/π²*21.000 = 277,5 cm⁴

Ottengo così un profilo tubolare a sezione circolare con diametro d = 127 mm, spessore s = 4 mm, momento di inerzia I = 293 cm^4 e sezione A = 15,5 cm^2

Posso così calcolarmi la snellezza:

λ = lo / ρ_min

ρ = √ I / A = √ 293/15,5 = 4,34 cm

λ = 500/4,34 = 115,2

ESERCIZIO 3| Trave Vierendeel

Ottenuto il momento massimo con SAP pari a M_max = 230,3 kN*m, avendo utilizzato rigidezza nelle travi pari a 1 e nei pilastri pari a 1.000, posso calcolare il modulo di resistenza:

W_min = M_max / σ_am = 230,3/308,7*1.000 = 0,00075 m³ = 750 cm³

Adotto quindi un profilo IPE 360 con h = 360 mm, b = 170 mm e Wx = 904 cm³

Posso quindi notare come le tre tipologia di travi richiedano, a parità di condizioni e materiale, altezze differenti. La trave appoggiata risulta essere tra le tre la soluzione più svantaggiosa.